2024-2025学年人教版八年级数学下册同步训练：菱形（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（原卷板）

第04讲菱形

学习目标

课程标准学习目标

1,熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应用性质。

①菱形的定义与性质

2.掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱

②菱形的判定

形。

菱形利用羲形的性质求线段长度

\利用蔓形的性质求角的度数

题型T利用菱形的性质求点的坐标

菱形的列定与性质综合

t5知识清单

知识点01菱形的定义与性质

i.菱形的概念：

有一组邻边的平行四边形是菱形。

2.菱形的性质：

①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

特殊性：

②边的特殊性：四条边都。

即：ABBCCDAD

③对角线的特殊性：对角线相互________且_______每一组对角。

即：ACBD,S.ZDACZBACZDCAZBCA,

ZADBZCDBZABDZCBD。

④面积计算：等于对角线乘积的一半。即S菱形

⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。

【即学即练1】

I.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）

A.对角线垂直B.两组对边分别平行

C.对角线互相平分D.两组对角分别相等

【即学即练2】

2.如图，在菱形/BCD中，4B=5,对角线/C=6.若过点/作垂足为£,则/£的长为（）

【即学即练3】

3.如图，菱形4BCD,/B=60°,E,尸分别是C3,CD上两点，连接AF,EF,且/E4F=60°,

如果/R4E=a,则下列说法错误的是（）

A.ZCEF^aB.NFAD=60°-a

C.NEFC=6Q°-aD.ZAFD=90°-a

【即学即练4】

4.如图，在菱形48。中，对角线NC、8。交于点。点G是N8的中点，若OG=2.5,BD=8,则菱形

ABCD的面积是（）

C

A.48B.36C.24D.18

知识点02菱形的判定

I.菱形的判定：

判定方法文字语言数学语言图形

四条边都_________的四\9ABBC_____CDAD

直接判定

边形是菱形，四边形/BCD是菱形

1

邻边__________的平行;在口/BCD中，AB=AD

平行四边形四边形是菱形二四边形48cA是菱形

加特殊性对角线____________的;在口488中，ACVBDC

四边形是菱形二四边形48co是菱形

【即学即练1】

5.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）

A.对角线垂直

B.两对角线相等

C.两对角线互相平分

D.两对角线互相垂直平分

【即学即练2】

6.已知：如图，在四边形N8CD中，AD//BC,对角线/C的垂直平分线与边8C分别相交于点£、

F.求证：四边形4FCE是菱形.AED

'0

B

FC

题型精讲

题型01用菱形的性质求线段长度

【典例1】菱形4BCD中，若对角线/C=8CTO,BD=6cm,则菱形/BCD的周长是（）

A.25B.20C.15D.10

【变式1】如图，在菱形4BCD中，对角线NC、区D相交于点O,点〃为边4D的中点.若菱形/BCD的

周长为20,则08的长为（）

5

A.-B.4C.5D.10

【变式2】如图，四边形48co是菱形，对角线/C、BD交于点O,DELAB于点、E,尸是线段4D的中点,

5

连接若。N=4,OF=~,则的长为（）

6121824

A.-B.-C.-D.-

【变式3】如图，在菱形/BCD中，//=60°,点£,尸分别在边N8,8c上，ZEDF=60°,BF=抵,

BE=1,则AD的长为（）

A.V6B.V3+1C.V6+1D.2V3-1

【变式4】如图所示，在边长为2的菱形/BCD中，/D45=60°,点£为中点，点尸是/C上一动点,

则£尸+8厂的最小值为.（提示：根据轴对称的性质）

D

C

E

R

题型02利用菱形的性质求角的度数

【典例1］如图，在菱形48CD中，对角线NC与3。相交于点O,OELAB垂足为E,若NBCD=50°,

贝ijNBOE的大小为（）

【变式1】如图，四边形48CD是菱形，对角线NC、8。相交于点。，DHLBC于点、H,连接。〃，ZBAD

=56°,则4D//O的度数是（）

A.38°B.34°C.28°D.24°

【变式2】如图，在菱形4BCD中，/ABC=66°,对角线ZC,BD交于点O,E为CD的中点，连接。£,

则N/0E的度数为（）

A.114°B.120°C.123°D.147°

【变式3】如图，在菱形488中，N4BC=a,点E为对角线8。上一点，尸为/。边上一点，连接CE,

EF,若CE=EF,CELBD,则NDEF一定等于（）

1

A.aB.90°--aC.90°-aD.90°+a

题型03利用菱形的性质求点的坐标

【典例1】如图，菱形ON8C的顶点C在x轴的正半轴上，顶点/的坐标为(-3,4),顶点3的坐标为.

【变式1】如图，在菱形/BCD中，/8〃y轴，且8(7,-2),C(3,1),则点/的坐标为

【变式2】如图，菱形/BCD的对角线交于原点。，若点8的坐标为(4,加)，点。的坐标为(»,2),则

【变式3】如图，在坐标系中放置一菱形。48C,已知//8C=60°,点8在y轴上，04=1,先将菱形

ON8C沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°,连续翻转2017次，点8的落点依次为B2,

B.(1345.5,争

A.(1345,0)

C.(1345,争

D.(1345.5,0)

题型04菱形的判定与性质综合

【典例1］如图，在中，BA=BC,。是边/C上的中点，延长2。至点。，使得DELBC

于点E'AD

(1)求证：四边形/BCD是菱形./V

(2)若CD=5,DE=4,求NC的长.//

【变式1】如图，在Rt^/CE中，N/CE=90°,点D是NE的中点，连接CD,过点C作C2〃/£,过点

N作N8〃CD,CB,AB交于点、B,连接80.

(1)求证：四边形N8C。是菱形；

(2)连接BE交ZC于点G,交CD于点/，若BD=BC,CD=4,求OG的长.

【变式2】如图，口/BCD对角线NC,AD相交于点。，过点。作DE〃/C且。E=OC,连接CE,0E,

OE=CD.

(1)求证：C74BCD是菱形;

(2)若48=2,NABC=6Q°,求/E的长.

【变式3】如图，Zk/BC中，AC=2AB,平分/8/C,过点C作CEL4。交/。延长线于点E,点厂是

/C中点，连接EREB.A

(1)证明：四边形是菱形；

(2)若/3/C=120°,AB=2V7.求边3C的长./\n

C

E

强化训练

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.两组对边分别相等B.两组对边分别平行

C.对角线互相垂直D.有一个角是直角

2.在下列条件中选取一个作为增加条件，能使口458成为菱形的是（）

A.AC=BDB.4B=DCC.ACLBDD.AD//BC

3.若菱形4BCD的边的长为2c加，则菱形/BCD的周长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.如图，菱形/BCD的对角线NC、8。相交于点。，过点。作于点〃，连接若。/=4,

0H—3,贝（IS菱形/BCD为（）

A.6B.8C.24D.12

5.如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形

A.6cmB.6V3cmC.8V3cmD.10V3cm

6.如图，在菱形/BCD中，/ABC=60°,对角线/C与AD相交于点。，/尸，3c于点尸，交助于点

P.若/5=6,则DP的长为（）

A.2V3B.3V3C.4V3D.6百

7.如图，已知按以下步骤作图，如图1〜图3.

（1）以点/为圆心，任意长为（2）分别以点3,。为圆心，（3）分别连接DC,BC.

半径作弧，与//的两边分别交长为半径作弧，两弧相交于

于二点5、D；点C；

A

图3

图1图2

则可以直接判定四边形/BCD是菱形的依据是（）

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.四条边相等的四边形是菱形

8.如图，。是坐标原点，菱形/8OC的顶点8在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3,4）,则顶点/的

坐标为（）

（-2,4）D.（-4,V3）

9.如图，已知42=8,P为线段N2上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形

PBFE,点、P,C,E在一条直线上，/DAP=60°,M,N分别是对角线NC,的中点.当点P在线段

43上移动时，点儿W之间的距离最短为（）

E____________F

ApB

A.2B.2V3C.4D.4V3

10.如图，在菱形/BCD中，对角线/C与2。相交于点。，E,尸分别是的中点，下列结论：①

四边形NECF是菱形；②NBAE=/DCF；@ZDAF=ZFAO；@S^ABCD=EF-AC,其中正确结论

的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

BC

11.在四边形/BCD中，对角线NC与3。相交于点O,且。N=OC,OB=OD,请你添加一个条件

使四边形是菱形.

12.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形/BCD,若/B=2,N3=60°,则4c

两点间的距离为.

13.如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的

材料在平面内制作一个菱形.小明先用两根木条钉成一个角形框架然后将橡皮筋两端分别固定

在点/,B处,拉动橡皮筋上到C处.当四边形。4C8是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，

则

14.如图，在△48C中，点。、E、厂分别在边2C、AB、。上，5.DE//CA,DF//BA,下列四种说法：①

四边形AEDF是平行四边形；

②如果NA4C=90°,那么四边形NEDF是菱形；

③如果40平分NA4C,那么四边形4EZE是菱形;

④如果/8=/C,那么四边形NEDF是菱形.

其中，正确的有.（只填写序号）

15.如图，在菱形N8C。中，ZABC=60°,连接8D点尸是线段8。上一点，过点尸作尸£_L48,PF±

AD,垂足分别为点E,F.若/3=4,则尸£+尸尸的值为

16.已知：四边形/BCD是菱