2024-2025学年人教版八年级数学下册同步训练：平行四边形（特殊平行四边形）中的最值问题（解析版）

专题4平行（特殊平行）四边形中的最值问题

类型一：平行四边形中的最值问题

类型二：矩形中的最值问题

类型三：菱形中的最值问题

类型四：正方形中的最值问题

类型一：平行四边形中的最值问题

1.如图，在平行四边形N8CD中，ZC=135°,AB=2,4D=3,点、H,G分别是CD,8c上的动点，连

接/〃，GH.E,尸分别为N",G”的中点，则EF的最小值是（）

A.2B.V2C.亨D.2V2

【分析】过点/作NN,5c于点N,证△/8N是等腰直角三角形，得BN=AN=五,再由三角形中位线

1

定理可得EF=pG,当/G_L8c时，/G有最小值，即跖有最小值，即可解决问题.

【解答】解：如图，过点/作NNLBC于点N,

:四边形/BCD是平行四边形，ZC=135°,

J.AB//BC,

：.ZJ9+ZC=180°,

Z5=180°-ZC=180°-135°=45°,

•：ANLBC,

：.ZBAN=90°-ZB=45°,

AABN是等腰直角三角形，

V2V2r-

/.BN=AN=x2=V2?

■:E、F分别为4H、GH的中点，

・・・斯是△4G"的中位线，

1

：.EF=-AG,

当时，/G有最小值，即斯有最小值,

，当点G与点N重合时，NG的最小值为五，

'-EF的最小值为日＞

故选：C.

2.如图，在△4BC中，4B=BC=15,NC=18,。是2C边上任意一点，连接40,以4D,8为邻边作

UADCE,连接。E,则。E长的最小值为（）

【分析】设/C,ED交于点、0,过点。作于点R勾股定理求得。2,等面积法求得0E根据

垂线段最短，当点。与点R重合时，0D最小，进而求得。E的最小值，即可求解.

【解答】解：设/C,ED交于点0,过点。作。尸，2C于点尸，连接05,如图所示，

在平行四边形/OCE中，AO=CO,EO=DO,

"：AB=BC=\5,

：.BO.LAC,

,：AC=18,

；./O=CO=9,

在RtASOC中，8。=7SC2-OC2=12,

11

,/SAOBC=-^CO'BO=-BC-OF,

二。9=7.2,

当点。与点尸重合时，OD最小，

：.ED的最小值为200=14.4.

故选：A.

3.如图，在平行四边形/BCD中，ZC=120°,⑷3=4,AD=8,点、H、G分别是边CD、8c上的动

点.连接/〃、“G,点£为的中点，点尸为G”的中点，连接£足则所的最大值与最小值的差为

A.2B.2V3-2C.V3D.4-V3

【分析】如图，取40的中点M,连接CM、AG.AC,作2c于N.首先证明N/CD=90°,求出

1

AC,AN,利用三角形中位线定理，可知所=/G,求出NG的最大值以及最小值即可解决问题.

【解答】解：如图，取4。的中点连接CM、AG.AC,作NNJ_3c于N.

/.ZZ>=180°-ZBCD=6Q°,4B=CD=4,

：W=£)Af=£)C=4,

...△CW是等边三角形，

ZDMC=ZMCD=60°,AM=MC,

：.ZMAC=ZMCA=30°,

：.ZACD=9Q°,

：.AC=4V3，

在RtZk/CN中，NC=4百，ZACN=ZDAC=30°,

1「

.'.AN=-AC=2V3,

,:AE=EH,GF=FH,

1

：.EF=~AG,

•.•点G在8c上，

的最大值为NC的长，最小值为NN的长，

•'-AG的最大值为4百，最小值为2百，

斯的最大值为2百，最小值为百，

产的最大值与最小值的差为：V3

故选：C.

4.如图，在△/2C中，NACB=9Q°,/C=3,BC=4,点。为2c上一点，ZDAC^30°,£为射线40

上一动点，四边形2CEE为平行四边形，连接AF,则3尸的最小值为(

15L5L「33L

A.—V3B.-V3+1C.4V3--D.7V3+3

4-ZZZ

【分析】延长8C到点G,使CG=8。，作直线尸G,作8"_LFG于点“，由N/C3=90°,NDAC=

30°,得NO=2CD,则/。=百。=3,求得。。=百，贝ijCG=8。=4一百，所以8G=8-百，再证

1V3

明四边形。GFE是平行四边形，则尸G〃D£,可证明/G8〃=30°,贝！JG〃=WG=4—亏，而3G=

33

2GH,则百G"=4百-万，所以8尸的最小值为4百-万，于是得到问题的答案.

【解答】解：延长3C到点G,使CG=8D,作直线歹G,作3”，尸G于点〃，

VZACB=90°,AC=3,BC=4,ZDAC=30°,

；.AD=2CD,

'-AC=y/AD2-CD2=V(2CD)2-CD2=0CD=3,

：.CD=V3,

:.CG=BD=4-而,

：.BG=BC+CG=4+4-y/3=8一百，

V四边形BCFE是平行四边形，

J.BC//EF,BC=EF,

'JDG//EF,DG=CG+CD+BD+CD=BC=EF,

四边形DGFE是平行四边形，

J.FG//DE,

.•.点F在经过点G且与DE平行的直线上运动，

VZBHG=90°,ZBGH=ZADG=900-ZDAC=60a,

:.NGBH=90°-/BGH=3Q°,

11「有

：.GH=~BG=~x(8-V3)=4一半

\'BG=2GH,

:.BH=JBG2—GH2=J(2GH)2_GH2=而GH=百X(4—y)=4百一*

YBF'BH,

「3

:.BF>4也一5,

「3

/的最小值为4百-万，

故选：c.

5.如图，在平行四边形4BCD中，48=3,BC=5,点、E,尸分别是40,上的动点，AE=CF,连接

EF,过点8作8GLEF,垂足为G,若S平行四边形”8=12,则2G的最大值为_VK

【分析】连接AD交EF于点Z,作AWLDC交。C的延长线于点8，由平行四边形的性质得。C=4B=

3,AD=BC,AD//BC,则NEDL=NFBL,而AE=CF,可证明OE=8R由S平行四边形NBCO=£>C・.=

3BH=12,求得3H=4,则。8=面匚寿=3,所以。〃=6,则BD=JBH?+DH2=2后,再证明

1

△DLE学ABLF,得DL=BL=5BD=值,因为8G,斯于点G,所以8G的最大值为后，于是得到

问题的答案.

【解答】解：连接AD交跖于点L作。交。。的延长线于点〃，则NH=90°,

•・•四边形/5C。是平行四边形，AB=3,BC=5,

；・DC=AB=3,AD=BC,AD//BC,

：./EDL=/FBL,

♦；AE=CF,

：.AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

,:S平行四边形N8CQ=℃・5//=35/7=12，

：.BH=4,

•*.CH-VBC2-BH2=V52-42=3,

・•・DH=DC+CH=3+3=6,

:・BD=y/BH2+DH2=V42+62=2V13,

在ADLE和尸中，

(Z.D0E=Z.BOF

1乙EDL=^FBL,

WE=BF

:ADLE迫ABLF(AAS),

11

'.DL=BL=~BD=-x2V13=V13-

•..2G，斯于点G,

:.BGWBL,

：.BG<V13,

:・BG的最大值为g,

7

H

6.如图，在平行四边形/BCD中，已知N8=4,BC=6,ZABC=60°，点尸是8c边上一动点（点尸不

与B,C重合），连接4P,作点8关于直线4P的对称点0,则线段0c的最小值为_277-4_.

【分析】过点4作N4_L3c于〃，禾!j用解直角三角形得/〃=/8・sin//8C=2Vi，BH=AB-cosZABC=

2,CH=BC-BH=4,由勾股定理得4c=2行，再由/0=/8=4,可得点0在以4为圆心㈤5为半径的

04上，即当C、。、/三点共线时0c最小，0c的最小值=/。-/0=277-4.

【解答】解:如图3,过点4作于〃，连接NC,

'：AB=4,BC=6,NABC=6Q°,

则NH=2百，BH==2,

：.CH=BC-BH=6-2=4,

在RtA^C/f中，NC=AH2+CH2=J(2V3)2+42=2”，

:点8与点。关于直线AP对称，

：.AQ=AB=4,

...点。在以4为圆心为半径的ON上，

...当C、。、4三点共线时。C最小，QC的最小值=/。-/。=2”—4,

故答案为：2V7-4.

7.如图，四边形CU8C为平行四边形，在平面直角坐标系中，点/(a,0),B(6,c),其中a,b,c

满足Va-12+724—2a=\16—b\+(c—10)2.

C1)求出a,b,c的值；

(2)若点E,厂分别为线段OC,48上的点，且OE=AF,AD1DF,点X的坐标为(9,0),求出线

【分析】(1)根据二次根式有意义的条件可解得。=12,进而可得|16-川+(c-10)2=0,然后根据非

负数的性质解得6=16,c=10即可；

(2)首先确定点C坐标，连接OE,CF,AC,AC与EF交于点,G,取/G中点K,连接。K,HK,证

明四边形NEC尸为平行四边形，进而可确定点G,K坐标，利用勾股定理可得/G,"K的值，根据“直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DK的值，在△DAK中，由三角形三边关系可得。8>

DK+HK,所以当点。、K、〃在同一直线上时，取最大值，即可获得答案.

【解答】解：(1)根据题意，V^12+V24^=|16-b|+(c-10)2,

可知a-12^0,24-2心0,

解得a=12,

A116-b\+(c-10)2=0,

V|16-b\^Q,(c-10)2^0,

.*.16-6=0,c-10=0,

解得6=16,c=10；

(2)由(1)可知，A(12,0),B(16,10),

:.OA=n,

V四边形OABC为平行四边形，

：.BC=OA=n,BC//OA,

：.C(4,10),

如图，连接CF,AC,/C与斯交于点G,取NG中点K,连接DK,HK,

V四边形OABC为平行四边形，

；.OC=B4,OC//BA,

•：OE=BF,

：.OC-OE=BA-BF,即CE=AF,

...四边形AECF为平行四边形，

：.CG=AG,

：.G(8,5),K(10,2.5),

4G=V(12-8)2+(0-5)2=V41，

•CADLDF,点K为/G中点，

1V41

：.DK=~AG=--,

，2

,:H(9,0),

•*-HK=4(9-10)2+(0—2.5)2=手，

•.,在中，DH>DK+HK,

...当点。、K、〃在同一直线上时，

D8取最大值，最大值为D"=DK+HK=母；①.

8.如图，在口/BCD中，M,N分别是ND,8c的中点，ZWC=90°,连接NN,DN,NN与8M交于点

O.

(1)求证：AABM%ACDN；

(2)点P在直线2M上，若BM=3,CM=4,求△〃、小)的周长的最小值.

【分析】（1）利用平行四边形的性质首先得出/8=CO,AM=CN,进而得出0△CON；

（2）首先得出平行四边形4BMW■为菱形，进而得出当点尸位于点川时，NP+DP取到最小值为AD,利

用勾股定理求出即可.

【解答】（1）证明：：在口/BCD中，M,N分别是NO,3c的中点，

：.AB=CD,

在A4BM和△CDN中，

（AB=CD

\^BAM=^DCM,

VAM=CN

:AABM沿/\CDN（£4S）；

（2）解：•.,在口48CD中，M,N分别是4D,2C的中点，

J.AM//BN,AM=NB,

...四边形ABNM为平行四边形；

在RtZ\3CM中，N为8C中点，

：.MN=BN,

平行四边形为菱形.

垂直平分/N,

点、N关于■BM的对称点为点/.

当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD.

在RtZXBCN中，BM=3,CM=4,

由勾股定理得=5,

又由（1）知，BM=DN=3,

...△PND的周长的最小值：5+3=8.

9.如图，在口N8CD中，已知48=2,BC=4,ZABC=60°,N/3C的平分线交/。于点G,点尸从3

点开始，沿射线8G运动.

（1）计算BG的长度；

（2）点P运动到何处时与点。的距离最小，并求出最小距离；

（3）点P在运动过程中，PC+PD的最小值是2依.

【分析】（1）过N作N//J_3G于〃，求出//8G=/C5G=//G8=30°,求出即可求出答

案；

（2）过。作DPL2G于尸，此时P点与点。的距离最小，求出。G,根据含30度角的直角三角形性质

求出即可；

(3)作。关于直线2G的对称点E,连接CE,交直线2G于P,则此时尸C+PD的值最小，且等于CK

长，求出EZ,即可求出CE的值，得出答案即可.

【解答】解:(1)过4作/〃_L8G于",

VZABC=60°,8G平分//3C,

AZABG=ZCBG=?>Qa,

四边形ABCD是平行四边形,

J.AD//BC,

...NNG2=NCBG=30°=NABG,

.'.AG=AB=2,

在RtZ\/3〃中，AH=~AB=l,由勾股定理得："一"=百,

"：AB=AG,AHLBG,

:.BG=2BH=2S；

过。作DPLBG于P,止匕时P点与点D的距离最小,

则NDPG=90°,

■:NDGP=NAGB=30°,-/G=4-2=2,

1

：.DP^~DG=\,

即最小距离是1；

作。关于3G的对称点E,连接CE,交直线3G于尸，交4D于Z,则此时尸C+PD的值最小，且等于

CE长，

由(2)知：£>£=2X1=2,

•:CD=AB=2,

：.CD=DE,

VZABC^60°,BG平介/ABC,

：.ZGBC=30°,

:四边形ABCD是平行四边形，

AZADC=ZABC=60°,AD//BC,

:.NPGD=NGBC=30°,

'JDELBG,

.,./EZ）Z=180°-90°-30°=60°,

即NEDG=//DC,

,:DE=DC=2,

J.DZLAD,CE=2CZ,

在RtZ\CDZ中，ZC£>Z=60°,DC=2,ZDEC=90°,

：.DZ=1,CZ=百，

即CE=24

故答案为2日.

类型二：矩形中的最值问题

10.如图，已知在Rt^4BC中，/ACB=90°,/C=3,2C=4,点尸在斜边48上（不与4、2重合），

过尸作PEL/C,PFLBC,垂足分别是£、F,连接EF.随着尸点在边上位置的改变，则跖长度

的最小值.（）

【分析】连接尸C,过点C作CZ/L/8于点”，先求出/8=5,证明四边形PEC尸是矩形，则M=PC,

当尸C的值最小时，M的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点“重合时，尸C的值为最小，

最小值为线段CH的长，则EF的最小值是线段CH的长，然后根据三角形的面积公式求出线段CH的长

即可得出答案.

【解答】解：连接尸C,过点C作CHLA8于点〃，如图所示：

由勾股定理得：AB=^JAC2+BC2=5,

"：PE±AC,PF±BC,

ZPEC=ZPFC=ZACB=90a,

，四边形PEC尸是矩形，

：.EF=PC,

.•.当PC的值最小时，EF的值为最小，

•.•点尸在斜边48上（不与/、8重合），

根据“垂线段最短”得：当点尸于点〃重合时，PC的值为最小，最小值为线段S的长,

：.EF的最小值是线段CH的长，

11

,/S“BC=WCH=-AC'BC,

尸长度的最小值为2.4.

故选：C.

11.如图，尸是矩形/5CD的对角线AD上一点，45=3,BC=5,PE_LBC于点E,尸尸，CD于点尸，连接

AP,EF,则4P+E下的最小值为（）

【分析】连接。，根据矩形的性质得到斯=。，/尸钻厂的最小值即为公+C尸的最小值，当/，尸，C

三点共线时，4P+CP的值最小，且为/C的长度，根据勾股定理得到NC="5+Be?=J32+52=

V34,于是得到结论.

【解答】解：连接CP,

:四边形/2C。是矩形，

:.EF=CP,

J.AP+EF的最小值即为NP+CP的最小值，

当/,P,C三点共线时，/P+CP的值最小，且为/C的长度,

•..四边形/BCD是矩形，

•,./C=y/AB2+BC2=V32+52=V34.

J.AP+EF的最小值为百3

故选：C.

D

C

12.如图，AB=4Q五,点。在48上，△/CD是边长为10的等边三角形，过点。作与CD垂直的射线，

DP,过射线。尸上一动点G（不与。重合）作矩形CDG//,记矩形CDG8的对角线交点为。，连接

A.20V2B.20C.40V2D.40

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC=OD,再证明则NO4B=30°；点。

一定在NC42的平分线上运动，根据垂线段最短得：当02,4。时，。2的长最小，根据直角三角形30

度角所对的直角边是斜边的一半得出结论.

【解答】解，：四边形CDGH是矩形，

11

：.CG=DH,OC=-CG,OD^-DH,

：.OC=OD,

:△/CD是等边三角形，

J.AC^AD,NC4D=60°,

'：OA=OA,

AACO^AADO,

1

/.ZOAB=ZCAO=2x60°=30°，

二点。一定在/C42的平分线上运动，所以当02，/。时，05的长最小，

'：ZOAB=30°,ZAOB=90°,

11

：.OB=-AB=-x40V2=20VL

即OB的最小值为20匹,

故选：A.

13.如图，矩形48c。中，AB=6,BC=3,若NC、上各取一点M、N,使3M+MN的值最小，求这个

最小值（)

l2426

A.5B.3V3C.-D.-

【分析】由对称性可得/8=/"=4,HM=BM,BO=HO,可得MN+BM=HM+MN,则当点“，点

点N共线且时，MN+5M的最小值为”N,根据三角形的面积公式可求//N的长，即可求解.

【解答】解：如图，作点8关于/C的对称点〃，连接HB,交4。于O,连接HM,

过点、H作HNL4B于N,

:・AB=AH=6,HM=BM,BO=HO,

：.MN+BM=HM+MN,

・•・当点7/,点M,点N共线且HN,4g时，〃7\叶敏的最小值为

U：AB=6,BC=3,

••AC=y/AB2+BC2=3心

11

9,

-SAABC=-XABXBC=-ACXBO,

6「

:・BO=^,

12「

:.BH=M后

丁OC=y/BC2-OB2=|V5,

312

/.^O=3V5--V5=_yV5>

11

/.S“BH=^AB-HN=-BH-AO,

BHAO—V5x—V524

HN==-5--------S_=

AATB365

24

：.MN+BM的最小值为行-,

故选：C.

A--N---B

14.如图，矩形N8CD中，AB=BC=\,动点£,尸分别从点/,C同时出发，以每秒1个单位长度

的速度沿48,CD向终点8,。运动，过点£,厂作直线/,过点/作直线/的垂线，垂足为G,则NG

【分析】由勾股定理可求/C的长，由''44S"可证△C。尸名△ZOE,可得NO=CO=1,由NG_LER

可得点G在以为直径的圆上运动，则/G为直径时，/G有最大值为1,即可求解.

;四边形48co是矩形，

：.AB//CD,/B=90°,

,:AB=GBC=1,

-"-AC=JAB2+BC2=V3+1=2,

•..动点£,F分别从点4C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿N3,CD向终点8,。运动,

:.CF=AE,

■:ABHCD,

：./ACD=NCAB,

又；/C0F=NAOE,

.♦.△COF"LAOE(AAS),

：.AO=CO=1,

"：AG±EF,

...点G在以NO为直径的圆上运动，

为直径时，NG有最大值为1,

故答案为：1.

15.如图，矩形N5CD中，AB=4,BC=6,£为射线A4上一动点，以为直径的圆与CE相交于点〃,

则£＞二长度的最小值为2.

【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，取2c的中点G,连接HG,DG,可推出

1,--------------

ZBHE=ZBHC=90°,HG^~BC=BG=CG=3,求出DG=JcD?+CG2=5,根据。G-//GW。8,

即可求解；

【解答】解：取8c的中点G,连接8",HG,DG,如图所示：

为直径，

:.NBHE=NBHC=90°,

1

：.HG=­BC^BG=CG=3,

,；CD=4B=4,

:.DG=VCD2+CG2=5,

,：DG-HGWDH,

：.DH^5-3=2,

故答案为：2.

16.如图，在矩形/BCD中，AB=4,40=5,点、E,G分别在边48,CD上，且/E=CG,点、F在边BC

上，连接斯，BG,若BF=2,则£F+2G的最小值为—病

AD

BFC

【分析】如图，连接DE,作。关于的对称点。'，连接F交AB于E',连接DE,D'E,证明

四边形8成)G为平行四边形，可得BG=DE,当D',E,尸三点共线时，D'E+EF=D'F,此时EB+8G

最小，过尸作切。于〃，则四边形/出叼为矩形，再进一步可得答案.

【解答】解：如图，连接DE,作。关于48的对称点。'，连接。'F交AB于E',连接。E,D'E,

由轴对称的性质可得：DE=D'E,DE=D'E',AD=AD'=5,

•.,矩形A8CD,

：.AB//CD,AB=CD,

•:AE=CG,

:.BE=DG,

四边形BEDG为平行四边形，

；.BG=DE,

EF+BG=EF+DE=EF+D'E,

...当D',E,尸三点共线时，D'E+EF=D'F,此时EF+5G最小,

过尸作F"，/。于〃，则四边形N8F”为矩形，

：.FH=AB=4,AH=BF=2,

：,D'H=7,

:.D'F=742+72=V65，

J.EF+BG的最小值为屈.

故答案为：V65.

17.如图，在矩形/BCD中，已知N8=4,BC=2,E为48的中点，设点尸是ND/2平分线上的一个动点

(不与点/重合).

(1)证明：PD=PE；

(2)连接尸C,求尸C的最小值.

【分析】（1）根据角平分线的定义得到利用MS定理证明△。/尸且2\£/尸，根据全等

三角形的性质证明结论；

（2）作CPP,根据垂线段最短得到PC最小，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】（1）证明：•••四边形/BCD为矩形，

:./DAB=90°,

；”平分/D4B,

：.ZDAP=ZEAP=45°,

在尸和中，

（AD=AE

\^DAP=AEAP,

VAP=AP

：.^\DAP^/\EAP（MS）

：.PD=PE；

（2）解：如图1,作CPLAP'于P,

则尸'C最小，

,:ABHCD,

：.ADFA=ZEAP,

:ZDAP=ZEAP,

：.ZDAP=ZDFA=45°,

:.FC=DF=4D=2,ZP'FC=45°,

,V2r-

：.P'C=FCX—=V2

图1

类型三：菱形中的最值问题

18.如图，己知菱形N2CD的边长为6,点/是对角线NC上的一动点，且N48C=120°,贝UM4+MB+VD

的最小值是（）

A.3百B.3+3V3C.6+V3D.6百

【分析】过点用■作于点E,连接AD交NC于。，点M运动到DE上，且。射线时，DE

取得最小值，此时DK最短，即"Z+MB+VD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的

长，进而可得结论.

【解答】解：如图，过点M作于点E,连接3D交/C于。，

；菱形48co中,ZABC=120°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,

是等边三角形，

/.ZMAE=30°,

：.AM=2ME,

'：MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,

点〃运动到DE上，且DEL射线48时，DE取得最小值，此时DE最短，即MZ+MB+MD最小，

•菱形48c0的边长为6,

•*.DE=>JAD2-AE2=V62-32=3百，

：.2DE=6y/3.

：.MA+MB+MD的最小值是6百.

19.如图，在菱形/BCD中，/C=8,BD=6.E是CD边上一动点，过点E分别作斯，OC于点尸，EGL

0D于点G,连接FG,则FG的最小值为（

D

A.2.4B.3C.4.8D.4

11

【分析】连接OE,由菱形的性质得/CLBD,OD=OB=~BD,OC=OA=~AC,利用勾股定理可以求

得。C的长为5,又因为跖，。C,EG±OD,可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质

可得G尸=。£,当OELCD时，OE最短,再利用面积法求出OE的长即可求解PG的最小值.

【解答】解：连接

•..四边形/BCD是菱形，

11

C.ACLBD,0D=]BD=3,OC=~AC^4,

由勾股定理得CD=VOD2+0C2=后+42=5,

又,：EF_LOC,EG±OD,

二四边形OFEG为矩形，

:.GF=OE,

当OEJ_CD时，OE值最小，

11

止匕时，S^OCD=2OC'0D=2CD，OE'

OCOD4x3

：.FG的最小值为2.4.

故选：A.

20.如图，在菱形/2CZ）中，AB=5,BD=8,点P为线段2。上不与端点重合的一个动点.过点尸作直线

BC、直线8的垂线，垂足分别为点及点足连结P4,在点P的运动过程中，PE+P/+P尸的最小值等

于（）

AD

/

BEC

A.7B.7.8C.13D.13.8

【分析】连接4。交8。于点。连接PC,先通过菱形的性质和勾股定理，计算出OC的长度，再根据S

△5仃+/0〃=*38建立等式推算出PE+P尸的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案.

【解答】解：如图，连接4C交友）于点O,连接尸C,

•・•四边形48CD是菱形，

11

：.ACLBD,OB=-BD=-X8=4,AB=BC=CD=5,

在RtZ"O5中，由勾股定理得：04={AB?-0B?='52—42=3,

：.OC=OA=3f

PELBC,PF工CD,SABCP+SACDP=S"CD，

111

：.-BC-PE+-CD•PF=-BD.0C,

/.5P£+5PF=8X3,

解得：PE+PF=4.8,

即尸E+尸尸的值为定值4.8,

当R4最小时，PE+P4+P厂有最小值，

・・,当9时，P4的最小值=04=3,

：.PE+PA+PF的最小值=4.8+3=7.8,

故选：B.

21.如图，在菱形48cZ）中，E、尸分别是边C。、5C上的动点，连接EF,G、H分别为4£、斯的

中点，连接G".若ND=45°,AD=4,则GH的最小值为（）

A.2B.4C.2五D.V2

【分析】由三角形中位线定理可得/尸=2G〃，则当/尸有最小值时，G"有最小值，即当/尸，3c时,

/尸有最小值，由等腰直角三角形的性质可求N尸的最小值，即可求解.

【解答】解：如图，连接4F,

•；G、H分别为AE、£尸的中点，

：.AF=2GH,

当//有最小值时，G"有最小值，

...当//，3c时，4F有最小值，

.四边形4BCD是菱形，

；./8=/。=45°,48=40=4,

：.AF的最小值=净B=2近,

.•.G”的最小值为VL

故选：D.

22.如图，P为菱形/BCD的对角线/C上的一个定点，0为/。边上的一个动点，/P的垂直平分线分别

交48,AP于点、E,G,/DAB=30°,若尸。的长的最小值为3,则AE的长为6.

【分析】过P作PK_LN8于K,连接尸£,由线段垂直平分线的性质推出/E=P£,因此

由菱形的性质得到/胡。=2/8/尸=30°,由三角形的外角性质得到NPEK=2N84P=30°,由含30

度角的直角三角形的性质得到尸£=2PK,由角平分线的性质推出PK=3,得到尸£=2X3=6,因此/£=

6.

【解答】解：过户作于K,连接PE,

〈GE垂直平分4尸，

:.AE=PE9

：.ZEAP=ZEPA,

・・,四边形48C。是菱形，

・・・ZC平分N54。，

:・/BAD=2/BAP=30°,

：.ZPEK=ZEAP+ZEPA=2ZBAP=30°,

VZPXE=90°，

:.PE=2PK,

当月。，4。时，尸。的长最小，最小值是3,

此时ZC平分N5/。，PK2AB,PQLAD,

：.PK=PQ=3,

・••尸£=2X3=6,

J.AE—6.

故答案为：6.

23.如图，菱形48co的边长为遥，ZBCD=120°,P,Q分别是2C,2。上的动点，且CP=DQ,则/尸+/0

的最小值为2b.

【分析】如图，连接/C,过点C作CTLC4,使得CT=4D=1,连接NT.证明出

(SAS),推出/尸=£7,推出NP+/0=/P+PT2/T,求出NT即可解决问题.

【解答】解：如图，连接/C,过点C作CTLC4,使得CT=4D=1,连接NT.

;四边形4BCD是菱形,

；.AB=CB=CD=AD,NABC=N4DC=60°,NADB=《NADC=30°,

：.£\ABC是等边三角形，

ZACB=60°,AC=AB=Q

\'AC±CT,

：.ZECT=30Q,

ZADQ=ZPCT,

,:CP=DQ,CT=DA,

/./\ADQ^/\TCP(S4S),

：.AQ=PT,

：.AP+AQ=AP+QT^AT,

VZACT=90°,AC=CT=标,

：.AT=VxC2+CT2=2百，

：.AP+AQ^2^3>

J.AP+AQ的最小值为2百.

故答案为：2百.

24.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形/5CA的顶点/,。分别在x轴，y轴的正半轴上移动,

点，，C之间的距离为4,连接OC,则线段OC长度的最大值为_2向+2_.

【分析】取/O的中点£,连接C£,OE,AC,先证明△NBC和△/£>(7是等边三角形，即可求出CE的

长，再在RtA4OO中利用斜边中线性质求出OE,最后根据OE+CE2OC确定当C、O、E三点共线时

OC最大，最大值为OC=OE+CE,据此求解即可.

【解答】解：在平面直角坐标系中，边长为4的菱形/BCD的顶点/,。分别在x轴，y轴的正半轴上移

动，如图，连接NC,取的中点E,连接CE,OE,

由题意得AB—BC—AC—4—AD—DC,

：.AABC和△4DC是等边三角形，

；.NB4C=/DAC=60°,

•.,点E是4D的中点，

1

：.AE=~AD=2,CE±AD,

:.CE~AC2-AE2=2^,

1

•・•在中，OE=p4D=2,

/.OC<OE+CE=2^3+2,

・•・当C、。、E三点共线时0c最大，最大值为2百+2,

故答案为：2V3+2.

25.如图所示，在菱形/BCD中，AB=4,NB4D=120。，△4EF为正三角形，点£、尸分别在菱形的边

BC、CD上滑动，且£、尸不与3、C、。重合.

(1)证明不论£、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形NEC尸的面积和△(7£尸的周长是否发生变化？如

果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值.

【分析】(1)先求证48=4C,进而求证△48C、△/(?£)为等边三角形，得/4=60°,NC=48进而求

证A4BEgA4CF,即可求得8E=CF；

=

(2)根据△4BE丝A4C/可得SAASESAACF>故根据S四边形NEC尸uSAAEC+SzUCFuSzUEc+SAZBEuSugC

即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形/£尸的边NE与8c垂直时，边AE最短.△/£尸的周长

会随着/E的变化而变化，求出当4E最短时，的周长即可.

【解答】解：(1)如图，连接/C,

:四边形N8C。为菱形，ZBAD=nO°,

：.ZBAC=6Q°,

尸是等边三角形，

；./EAF=60°,

：.Z1+ZEAC^6O°,/3+N£/C=60°,

/.Z1=Z3,

VZBAD^UO0,

ZABC=60°,

：.△/3C和△NCO为等边三角形，

.,.Z4=60°,AC=AB,

.•.在和△/<?尸中，

zl=z3

AB^AC

./.ABC=Z4

:.AABE咨MCF(ASA).

:.BE=CF；

(2)四边形/EC尸的面积不变，△(7£尸的周长发生变化.理由如下:

由(1)得△4B-CF,

则S“BE=S4CF，

故S四边形XECFuSA^EC+SAjcFMSA^Ec+SAAgEuSAylBC，是定值，

作/3c于5点，则28=2,

11_________

S四边形ZECF=SA^BC=]BC•AH——BC-Y/AB2—BH2—4百.

/\CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂线段最短”可知：当正三角形/斯的边/£与BC垂直时，边AE最短.

故的周长会随着/£的变化而变化，且当/£最短时，的周长会最小=4+〃5—即/2

=4+2省.

类型四：正方形中的最值问题

26.如图，正方形N8CO的边长为4,点E与点尸分别为射线8C,CD上一点，且欧=。凡连接NE,BF

并交于点G,点尸为边CD上一点，DP=\,连接尸G,则线段PG长度的最小值为()

【分析】如图，取中点。，根据正方形的性质得到/8=3C=4,BD=^2BD,NO8c=45°,求得

BO=OA=2,根据全等三角形的性质得到//£8=N8/C,求得//G3=90°,推出点G在以N5为直

径的圆上运动，连接。尸，当点G在。尸上时，线段尸G长度的值最小，过尸作于，，根据勾股

定理得到OP=Jp“2+0”2=/2+/=近7,求得PG=O尸-OG=VI7-2,于是得到结论.

【解答】解：如图，取N8中点O,

•.•四边形/BCD是正方形，

：.AB=BC=4,BD=皿BD,〃8c=45°,

:点。是48的中点，

：.BO=OA=2,

,:BE=CF,ZABE=ZBCF=90°,

:.LABE会LBCF(SAS),

：.NAEB=ZBFC,

：.ZBFC+ZFBC=90°=ZAEB+ZFBC,

：.ZAGB=90°,

.•.点G在以为直径的圆上运动，连接。尸，当点G在。P上时，线段尸G长度的值最小,

过尸作PHLAB于H,

：.PH=AD=4,AH=DP=1,

：.0H=1,

OP=VPH2+OH2=&+/=V17,

：.PG=OP-OG=717—2,

即线段PG长度的最小值为后-2,

(2,0),B(0,4),点P为线段上一个动点，连接4P,以4P为

边在第一象限构造正方形APMQ,连接BM,当有最小值时，点。的坐标为()

A.,2)B.(3,2)C.(V5-1，2)D.(2V3-1，2)

【分析】过点M作儿W_Ly轴于点N,过点0作轴于点E,可证明△肱