福建省漳州市乙丙级联盟校2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考数学试卷（考试时间：120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量，，且，则（）A.9 B.8 C.6 D.32.复数的共轭复数等于（）A. B. C. D.3.把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形4.已知，，，则与的夹角为（）.A. B. C. D.5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则6.已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.7.在中，已知，，则的面积为（）A. B. C.2 D.8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的，恒成立，则实数的值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若向量，，则（）A. B.C.在上的投影向量为 D.与的夹角为10.记，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A.若是中点，B.若，则C.与不共线D.若，则.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知是方程的一个根，则_______.13.已知向量，，若，则_______.14.已知四边形中，，，则.设与面积分别为，.的最大值为_______.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在中，，点是的中点，设，，（1）用表示，；（2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.16.（15分）已知复数，其中是实数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求17.（15分）在中，内角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18.（17分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.（1）求；（2）若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）19.（17分）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）若为的中点，求证：平面；（3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CDAABCDB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011BCABCACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.13.14.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）【解析】（1）因为，所以，因为是的中点，.（2）因为，所以，所以.16.（15分）【解析】【详解】（1）复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是.（2）复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，，，，则，，，，，即有，，所以.17.（15分）【解析】【详解】（1）在中，由，则，由余弦定理知：，因为，所以.（2）因为，，所以，即，由正弦定理，由，所以，，由，，解得：或，即或，①当时，，在中，由正弦定理，所以，所以；②当时，三角形为等边三角形，，.综上：当时，；当时，.18.（17分）【解析】（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即，又，所以；（2）若选条件①：因为为的内心，所以，由，得因为，所以，所以，即，所以.当且仅当时取面积最小值.若选条件②：因为为的垂心，且，所以，故，即，又，即，所以所以.当且仅当时取面积最小值.若选条件③：因为为的重心，且，所以，又，故，即，即，所以所以.当且仅当时取最大值.19.（17分）【解析】（1）在正四棱锥中，，，则正四棱锥侧面的高为，所以正四棱锥的表面积为；（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，当M为SA的中点时，，又平面，平面，所以平面；（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.理由如下：取的中点Q，由，得，过Q作的平行线交于E，连接，，中，有，又平面，平面，所以平面，由，得.又，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，而平面，所以平面.高一数学选填解析一、单项选择题1.【解析】依条件得，，所以故选：C2.【解析】故选：D3.【解析】【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示：由图得，，故为等边三角形，故选：A4.【解析】【详解】因为，，，则，即，可得，则，且，所以.故选：A.5.【解析】对于A，若，，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，若，则在平面内存在不同于n的直线，使得，则，从而，故，故B正确；对于C，若，，则或与相交，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误.6.【解析】若圆台上下底面半径分别为r，R且，则圆台轴截面腰长为，所以，，即，所以，可得，故，，综上，圆台的表面积为.故选：C7.【解析】因为，及和，所以，解得：，又因为，所以.所以.故选：D.8【解析】由单位向量，且向量的夹角为，得，由，得，即，依题意，对任意的，恒成立，而，当且仅当时取等号，因此，整理得，所以.故选：B.二、多项选择题9.【解析】由题，，所以，故A错；又，故B正确；，所以在上的投影向量为：，故C正确；因为，，又，所以，故D错误.故选：BC.10.【解析】故选：ABC11.【解析】对于A：正确；对于B：因为O为的外心，设AB中点为D，连接OD，则所以对于C：错误.因为所以与垂直，又因为，所以与共线对于D：正确.因为H为的垂心，则，即，即，则，同理，，所以，设，因为，所以，即，则，，即，则，，，，故D正确.故选：ABD三、填空题12.【解析】由是方程