第二课时　一元二次方程、不等式 高二数学下学期

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第5节一元二次函数、方程和不等式第二课时一元二次方程、不等式INNOVATIVEDESIGN1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.

2.了解一元二次不等式的意义.

3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时对点精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集__________________ax2+bx+c<0(a>0)的解集____________________

R{x|x1<x<x2}⌀⌀3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba=ba>b(x-a)·(x-b)>0{x|x<a,或x>b}______________________(x-a)·(x-b)<0{x|a<x<b}________________{x|x≠a}{x|x<b,或x>a}⌀{x|b<x<a}

常用结论与微点提醒

×√××

2.(人教A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为

.

-33.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=

.

解析

由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2,即a=-1,b=-2,故a+b=-3.(-3,0)

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一三个二次之间的关系

ACD

思维建模1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.ABD

考点二不等式的解法ABD

思维建模对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.

D

考点三一元二次不等式恒成立问题

ACD

C角度3

给定参数范围的恒成立例5

(2024·杭州调研)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(

) A.[-1,3]

B.(-∞,-1] C.[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析

不等式x2+px>4x+p-3,可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,

由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),

令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),D

思维建模恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.训练3

已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由;解

原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,当m=0时,-2x+1<0不恒成立;当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解,所以不存在实数m,使不等式恒成立.

课时对点精练3KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

C3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是(

) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2}

解析

当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R;

当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2.

综上,-1<a≤2,故a的取值范围为{a|-1<a≤2}.B

A

B

6.(2025·恩施调研)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是(

) A.[-3,-2)∪[4,5) B.(-3,-2]∪(4,5] C.(-3,-2]∪[4,5)

D.[-3,-2)∪(4,5]

解析

不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1)<0,

当a=1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为空集,不符合题意;

当a>1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为(1,a),

要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则4<a≤5;

当a<1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集(a,1),

要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则-3≤a<-2,

综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].D

A

A

CD

对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,

ACD

11.(2025·淮南联考)若存在m,n(m<n-1),使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n},则下列结论正确的是(

) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4cAD

13.一般地,把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式x2-kx+2k<0有实数解,且解集区间长度不超过3个单位,则实数k的取值范围为

.

[-1,0)∪(8,9]

14.(2025·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2+