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文档简介

第三章一元函数的导数及其应用第12节函数与导数中的融合创新问题INNOVATIVEDESIGN高考中函数与导数的新定义压轴题主要涉及以下几个方面:1.定义新函数.

2.定义函数的相关点、直线.

3.与帕德逼近、洛必达法则、泰勒公式、柯西中值定理(含罗尔中值定理)、微积分、微分几何等高等数学知识相关联.目

录CONTENTS课时对点精练题型一

定义新函数

解

由题意知f(x)的定义域(0,+∞),

(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数m的取值范围.

要保证f(x)只有一个零点,只需要当0<x<1时,f(x)=-4x3+mx-1没有零点,

得0<m<3;④当m≤0时,当x∈(0,+∞)时,g(x)=-4x3+mx-1<0,此时f(x)只有一个零点x=1,综上,f(x)只有一个零点时,m的取值范围为(-∞,3)∪(5,+∞).

(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],存在常数k,对任意的x1,x2∈[a,b],有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|恒成立,求证:函数y=f(x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”;

题型二

定义函数的相关点、线或性质

(2)若D=R,f(x)=ex,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M的“f最近点”,且直线MP与曲线y=f(x)在点P处的切线垂直.解

因为函数f(x)=ex,M(1,0),所以s(x)=(x-1)2+e2x,则s′(x)=2(x-1)+2e2x.记m(x)=s′(x)=2(x-1)+2e2x,则m′(x)=2+4e2x>0,所以m(x)在R上严格单调递增.因为m(0)=s′(0)=0,所以当x<0时,m(x)=s′(x)<0;

令h(k)=k+e2k-1,易知h(k)有R上严格单调递增,又h(0)=0,所以方程k+e2k-1=0有唯一解k=0,所以点P(0,1).综上,存在满足条件的一个点P(0,1). (3)若D=R,已知y=f(x)是可导的,y=g(x)的定义域为R且函数值恒为正,t∈R,

M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)).若对于任意t∈R,都存在曲线y=f(x)上的一点P,使得P既是M1的“f最近点”,又是M2的“f最近点”,试判断y=f(x)的单调性.

特别地,当x=t时,

法二先证明一个结论:对于M(a,b),设P(x0,f(x0))为M的“f最近点”,曲线y=f(x)在点P处的切线为l,则MP⊥l.证明:因为s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,所以s′(x)=2x-2a+2f′(x)(f(x)-b),所以当s(x)在x=x0处取得最小值时,s′(x0)=0,即x0-a+f′(x0)(f(x0)-b)=0,

题型三

与高等数学知识有关的新定义问题

(1)求实数a,b的值;(2)设h(x)=f(x)-R(x),证明:xh(x)≥0;

图3

解

如图1,图1

所以由题意可知围成的面积

所以切点坐标为(1,1),切线方程为y=2x-1.

证明

两条抛物线的大致图象及位置如图2.图2

由对称性可知,两条抛物线围成

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