第1节　数列的概念与简单表示法 高二数学下学期

第六章

数列第1节数列的概念与简单表示法INNOVATIVEDESIGN1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时对点精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.数列的定义

按照____________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.确定的顺序2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列an+1____an其中n∈N*递减数列an+1____an常数列an+1=an摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列有限无限><3.数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.序号n常用结论与微点提醒

×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(

) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(

) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)

解析

(1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列.××√2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(

) A.21

B.33

C.152

D.153

解析

由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.CB3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于(

) A.n

B.2n C.2n+1 D.n+1

解析

∵a1=S1=1+1=2, an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),

当n=1时,2n=2=a1,

∴an=2n.

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一

由an与Sn的关系求通项例1

(1)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=

.

(2)已知数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=

.

-2n-1解析

当n=1时,a1=S1=2a1+1,∴a1=-1.当n≥2时,Sn=2an+1,①Sn-1=2an-1+1.②①-②得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2),∴{an}是首项为a1=-1,公比为q=2的等比数列.∴an=a1·qn-1=-2n-1.思维建模

训练1

(1)(2025·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n+1,则{an}的通项公式为

.

(2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=

.

考点二

由数列的递推关系求通项公式

角度1

累加法——形如an+1-an=f(n),求an例2

(2025·苏锡常镇调研)围棋起源于我国,至今已有4

000多年的历史.在围棋中,对于一些复杂的死活问题,比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气,大小为(n+1)的眼有an+1口气,且a1=1,a2=2,an+1-n=an-1(n≥2,n∈N*),则an的通项公式为

.

B思维建模

A

n·2n-1

考点三

数列的性质

B(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1

000 C.f(10)<1

000 D.f(20)<10

000解析

因为当x<3时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;令x=5,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项:3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…,显然f(16)>1

000,所以f(20)>1

000,故选B.B教考衔接

斐波那契数列

典例

(多选)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(

)ABD

ABD

B

思维建模

D

C

3,-1

课时对点精练3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B

A

C4.(2025·成都诊断)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1且an+1=2Sn+1,则a5=(

) A.101 B.81 C.32

D.16

解析

当n=1时,a2=2S1+1=3,

当n≥2时,an+1=2Sn+1,① an=2Sn-1+1,②

由①-②得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),

且当n=1时上式也成立,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列, a5=1×34=81.B

D

A

C

D

BCD

ABC

ACD

3

14.(2025·杭州模拟)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数