湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高二期中考试数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）班级：姓名：考场号：座位号：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用交集概念计算即可.【详解】集合，，则.故选：D.2.函数的零点所在的区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题直接使用零点存在性定理求解即可.【详解】解：∵∴，，，，∴根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：.故选：B.【点睛】本题考查零点存在性定理，是基础题.3.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：正弦函数、余弦函数的最小正周期是．故选B．考点：三角函数的周期．4.已知向量若，则实数的值为（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】若，则，解得.故选：A.5.在区间为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案.【详解】在区间为减函数；在区间为减函数；在区间为增函数；在区间为减函数.故选：C.6.某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式即可求解.【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为.故选：B.7.在中，角所对的边分别为，若，则（）A. B.2 C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】由正弦定理运算得解.【详解】根据正弦定理.故选：C.8.如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.直线平面内【答案】A【解析】【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可.【详解】根据正方体性质知道，平面，平面，则平面.故选：A.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算正确的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据对数的基本运算求解即可.详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，正确；对D，正确.故选：CD10.已知，下列选项中是“”的充分条件的是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可.【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意；对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意；对于C，因为，所以，即，故C符合题意；对于D，取，但有，故D不符合题意.故选：ABC11.已知复数，以下说法正确的是（）A.的实部是5B.C.D.在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD.【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.故选：ABC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=_________．【答案】##0.5【解析】【分析】根据三角函数的定义直接得解.【详解】根据三角函数的定义，可得.故答案为：.13.已知，则函数的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式直接求函数的最小值.【详解】当时，由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立.故函数的最小值是.故答案为：.14.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________.【答案】【解析】【分析】由条件可得，所以角为异面直线与所成角.【详解】由四边形是平行四边形，得所以角为异面直线与所成角.平面，平面，又.所以为等腰直角三角形，则所以异面直线与所成角的大小为故答案为：【点睛】本题考查异面直线成角的问题，属于基础题.四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系来求解的值；（2）运用二倍角公式和来计算的值.【小问1详解】已知，，在这个区间内，所以.将代入可得：.【小问2详解】根据二倍角公式，，则.将，代入上式可得：16.某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.【答案】（1）从该校高一、高二学生中各抽取的人数为120人和80人.（2）【解析】【分析】（1）根据分层抽样的原理，按各层人数占总人数的比例来确定抽取人数；（2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数.【小问1详解】已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人.现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例.高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人.同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人.【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为,分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为.那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即.已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数=频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为.17.已知二次函数满足,(1)求函数的解析式;(2)求函数在的最小值和最大值.【答案】(1);(2)最小值是5，最大值是14．【解析】【分析】（1）把代入可求得，得解析式；（2）配方求出对称轴方程，确定最大值和最小值．【详解】由可知,解得．∴.(2)∵,,对称轴，∴当时，，时，．【点睛】本题考查求二次函数解析式和二次函数的最值，属于基础题．本题求解析式直接代入已知条件即可，而求最值，可先求得对称轴，对开口向上的抛物线，由于对称轴在所求最值的区间内部，因此顶点处是函数的最小值，离对称轴较远的区间端点处函数值是最大值．18.在数列中，已知.（1）试写出，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式；（2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可．【小问1详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式【小问2详解】由（1）可知，则因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以19.已知关于x，y的二元二次方程表示圆C．（1）求圆心C的坐标；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2），（3）存在，满足题意.【解析】【分析】（1）方程变形为，然后即可得到答案（2）由（1）中变形得到的方程即可算出答案