2024-2025学年山东省淄博某中学高三（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省淄博实验学校高三（上）期末数学试卷中

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数次=（1一讥-1+7，）,Z2=Vs-i>则㈤一㈤=（）

A.4B.6C.8D.96

2.已知集合4={Q,g)|/+g2=]},B={(x,y)\y=x+\/2},则集合4ng中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.3

412万7T

3.若sin(a+/3)=cos(a—/?)=—,且5<a+/3<7r,O<Q—0<5，则sin2a=()

513zn

人33「33-63-63

A.——B.——C.——D.——

65656565

4.已知QCR,若集合M={1,Q},N={—1,0」},则“MUN”是“Q=0”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3立+97T）\+1（3>0）的最小正周期为八，则/（2）在区间07,T-上的最大值为（）

（3

A-jB.1CID.2

6.已知a,b为实数，则使得“a〉6〉0”成立的一个必要不充分条件为()

A.->yB.ln(a+1)>ln(6+1)

ab

C.a3>b3>0D."a—1>C一1

7.若V/eR，3sina;-acosx+2a6,则。的取值范围为（）

A.(―CK),4—vV]B.(—oo,4+V7]C.[4—A/7,+oo)D.[4+V7,+oo)

8.如图，矩形/BCD中，已知48=2,BC=4,£为8C的中点.将△4BE沿着向上翻折至

得到四棱锥"-4ECD,平面/EN与平面/ECD所成锐二面角为。，直线ME与平面/ECO所成角为。,

则下列说法错误的是（）

第1页，共15页

A.若广为/£＞中点，则AABE无论翻折到哪个位置都有平面平面〃5尸

B.若。为中点，则△ABE无论翻折到哪个位置都有CQ〃平面/EN

C.Vasina=sin/3

D.存在某一翻折位置，使鱼cosa=cos0

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列统计量中，能度量样本的，72,…，出的离散程度的是()

A.样本3,X2,%的极差

B.样本21,X2,…，g的中位数

C.样本3,x2,g的标准差

D.样本①1+1,22+1，23+1,…，①"+1的方差

10.已知向量W=(1,2),下=(2,—4),且丁与了的夹角为a,则()

A.记一了=(1,—2)B.|T|=2|0*1

_:3

C.~(t//bD.cosa=——

11.在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样

本容量为〃的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100],按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区

间[50,60)的人数为16,则由样本估计总体可知下列结论正确的为()

A./=0.016B.n=1000

C.考生成绩的第70百分位数为76D.估计该市全体考生成绩的平均分为71

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

7T

12.函数/(乃=sin(2，—/的最小正周期是.

第2页，共15页

13.已知实数ae（l,3）,be《,：），则:的取值范围为.

14.已知数列｛厮｝的通项公式an=/sin（57r）,neN*,则｛厮｝的前22项和S22=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资

金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.

（1）写出第x年（2019年为第一年）该企业投入的资金数贝万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；

（2）该企业从第几年开始（2019年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？

（参考数据1g0.112一0.959,1g1.1«0.041,1g11«1.041,lg2^0.301）

16.（本小题15分）

已知函数/（x）=-2-\/3sin2a;+sin2x+瓜

（1）求函数/（乃的最小正周期和最小值；

⑵在给出的直角坐标系中，用描点法画出函数沙=在区间［0,封上的图象.

17.（本小题15分）

已知数列｛厮｝是公差不为零的等差数列，满足向=1,&4+05=a9,正项数列｛K｝的前〃项和为Sn，且

（1）求数列｛a,J和｛K｝的通项公式；

⑵在瓦和电之间插入1个数C11,使仇，C11,与成等差数列；在与和勾之间插入2个数C21,C22,使历，

C21,。22,3成等差数列；…；在现和队+1之间插入〃个数金1,%,…，。加，使"cnl,金2,…，Gin,

心+1成等差数列.

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(i)求Cnk;

(ii)求Cn+。21+C22+,•,+Cnl+Cn2+,•,+Cnn的值.

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面48CD为直角梯形，AD//BC,底面A8CD,AADC90%

AD=2BC,0为/。的中点，M为棱尸C的中点.

(1)证明：P4〃平面

(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.

19.(本小题17分)

b_1

在锐角△48。中，它的内角/,B,C的对边分别为a,b，C，且(a+c)sin4—cos(B+|7r)

(1)求证：cosB=1-2sin2A;

1

(2)若m<----<n,求机一九的最大值.

tanAtanB

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:Z1=(1—，)(一1+7E)=—1+7+8,=6+瓯,

则囱=+82=10，

':①=a一\，

：区|=\J(\/3)2+(-1)2=2，

故⑸一如=8.

故选：C.

根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.

本题考查复数的运算与复数的模，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：•.♦集合4={(①⑼|/+g2=0,B==X-\-y/2},

把g=/+代入/+y2=1，得2a?+2瓜工+1=0，

△=(2"2_4*2x1=0,

二集合4nB中元素的个数为1.

故选：B.

把沙=2+四代入，2+/=1,得2/+2V^r+1=0，求出根的判别式为0，由此能求出集合4nB中

元素的个数.

本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

412

【解析】解：因为sin(a+0)=己COS(Q_0)=逅,

0lo

7T7T

又］＜a+0＜再。—

35

所以cos(a+0)=-sin(a—/?)=—,

0lu

则sin2a=sin(a+0+a—0)

=sin(a+0)cos(a—0)+cos(a+(3)sin(a—/?)

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33

-65-

故选：B.

根据和差角公式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和

转化思想，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了集合与集合的关系，充分条件必要条件的判定，属于基础题.

根据集合与集合的关系，求出。的值，再根充分条件必要条件的定义即可判断.

【解答】解：aGR,若集合”={1,研，7V={-1,0,1},

若MJN,则a=O或a=—1,

故“MUN”是“a=0”的必要不充分条件.

故选：B.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了余弦函数的周期性，求余弦函数的值域或最值，属于基础题.

由周期公式求得/，结合换元法即可求得最大值.

【解答】

解：由题意丁=列=不，解得0=2，所以/(2)=cos(2x+1)+1,

匚江］,c7F「7T47r

当cC0,5时，t=2x+—E—,—,

/OOO

所以当+J=［时，/(，)最大值为cos.+l=：,当且仅当x=0时等号成立.

故选：C.

6.【答案】B

【解析】解：对于/,如果不能推出a〉b>0,如果a〉b〉O,则必定有!<；,既不是充分条

abab

件也不是必要条件，错误；

对于3,如果ln(a+1)>ln(b+1),根据对数函数的单调性可知a+1>b+1〉0》a〉6〉—1,但不能

推出a〉b〉0,但是a>b>0=>a>b>—1,正确；

对于C,因为03〉阴〉0等价于a〉b〉o,是充分必要条件，错误；

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对于。，如果7^二1>，口，则必有a>b》l>0,是充分不必要条件，故错误.

故选：B.

根据充分条件和必要条件的定义，不等式的性质及对数函数和幕函数的单调性每个选项判断即可.

本题考查了充分条件和必要条件的定义，对数函数和塞函数的单调性，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为3sinc—acos,+2a>6,即(2—cos;r)a》3(2—sin/),

注意到2—cos/>0,可得a》3(2-smQ,

2—cosx

令t=:则,表示点4(2,2)与点P(cos2,sine)连线的斜率，

2—cosx

且sin?x+cos?2=1,所以点尸在圆。：/+峭=1上，

所以f表示点4(2,2)与圆。：/+才=1上的动点尸连线的斜率.

因为直线NP与圆。有公共点，

直线AP的方程为沙一2=*7—2),即施一沙+2—2力=0,

则与驾(1,解得4-84+6,

，祥+133

即】=：—sin’的最大值为土所以a23xi±U=4+，7.

故选：D.

根据参变分离可得a》3?—2,t=：—sme表示点4⑵2)与点F(cosx,sine)连线的斜率.

2—cosx2—cosx

根据直线与圆的位置关系运算求解即可.

本题主要考查了不等式恒成立求解参数，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：对于4若/为/£>的中点，连接BF交AE于H,

则AELMH，又MHCFH=H，

.,.AELL平面AfflR而AEU平面.,.平面4E7W1平面

故/正确；

对于8,取的中点尸，连接P。，则PQ〃4D,且PQ=：AD,

又CE“AD,aCE=、AD,:.PQ“CE,且PQ=CE,则四边形ECPQ为平行四边形,

可得CQ〃尸E，而。QC平面NEM,「七二平面/£”,，。(2〃平面/£”,故8正确;

对于C,由判断/时可知，AElnMBF,而4EU平面48CD，则平面平面/2CD，

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过M作MO_L平面/BCD,则。在8尸上，

平面与平面AECD所成锐二面角为a为（或其补角），

==

则sina=H，^[Ey/^MH,则sina=鱼sin/?，故C错误；

对于。，若改cosa=cos0，又cosa=;3=yy万=ge，则。E=20H,故。正确.

1MHME72MH

故选：c.

连接3尸交/£于X,证明AE_L平面〃3下，再由面面垂直的判定判断/；取的中点P,连接尸。，证明

四边形ECP。为平行四边形，可得CQ〃PE,再由线面平行的判定判断3；证明sina=\^sin0判断C错

误；求出当0E=20H时，有，]cosa=cos0判断。.

本题考查空间中面面垂直、线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中

档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：对于/,极差为一组数据中最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，

故该样本的极差能度量该样本的离散程度，故/正确；

对于3,中位数为一组数据中中间的数，故该样本的中位数刻画了该样本的集中趋势，故2错误；

对于C,标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据离散程度越大，标准差越小，数据

的离散程度越小，故该样本的标准差能度量该样本的离散程度，故C正确；

对于。，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，又样本为+1,x2+l,的+1,…，xn+l

的方差与样本3,22,…，的方差是一样的，故样本的+1,X2+1,23+1，…，出+1的方差能度

量样本为，X2,",的的离散程度，故。正确.

故选：ACD.

根据极差，中位数，标准差，方差的含义，即可依次求解.

本题主要考查了极差，中位数，标准差，方差的定义，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】【分析】

根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的判断以及向量夹角的计算，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

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对于4,向量过=(1,2),b=(2,—4),~CL—b=(—1,6)，A错误;

对于8,|b|=，4+16=2\/5»|~^|—A/1+4=则|b|=2|/|，B正确,

对于C,向量才=(1,2),7=(2,—4),1x(—4)#2x2,3与了不共线，。错误;

记•71x2+2x(-4)3

对于。,建'0正确;

故选：BD.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于4因为侬+0.030+0.040+0.010+0.004)x10=1,解得;r=0.016,故N正确；

对于3,因为成绩落在区间［50,60)内的人数为16,所以样本容量冗=「=100,故2错误；

U.U1.0XJLU

对于C,因为(0.016+0.030)x10=0.46<0.7,(0.016+0.030+0.040)x10=0.86>0.7

所以考生成绩的第70百分位数落在区间［70,80),

设考生成绩的第70百分位数为x,则0.46+(x-70)x0.04=0.7,

解得x—76>

即考生成绩的第70百分位数为76,故C正确；

对于。，学生成绩平均分为

0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x850.004x10x95=70.6,故D正确.

故选：ACD.

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,即可判断/，根据成绩落在区间［50,60)内的人数和频

率可判断8,根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题.

12.【答案】7T

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.

根据三角函数的周期公式进行求解即可.

【解答】

解：由正弦函数的周期公式得函数的周期7=箸=不

故答案为：7T.

13.【答案】(4,24)

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【解析】解：1,；)，

o4

则—e(4,8).

ae(1,3),

贝畤C(4,24).

故答案为：(4,24).

根据不等式的性质即可求解.

本题考查了不等式性质的运用和计算.属于基础题.

14.【答案】241

【解析】解：当n=2人且上6?/*时，Q九="sinkTr=0，

2fc2

当n=2k+1且％eN时，an=nsin(A；7r+=(-l)n,

所以S22=的+ci3+&5••,+O2i—(-1)°x+(—1)1x32+(—I)?x52+■■,+(—1严x212

=1+(5-3)(5+3)+…+(21-19)(21+19)=1+2x(8+16+24+32+40)=241.

故答案为：241.

讨论？i=2k、n=2k+1对应厮的通项可得S22=的+。3+…+&21，结合等差数列前"项和公式求值

即可.

本题考查了等差数列的求和公式，属于中档题.

15.【答案】解：(1)第一年投入的资金数为200x(1+10%)万元，

第二年投入的资金数为200x(1+10%户万元，

第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数贝万元)与x的函数关系式沙=200(1+10%)"万元，

其定义域为｛/CN*忸<10｝；

(2)由200(1+10%厂>400可得1.1，〉2，即立>当3x黑鲁«7.3,

1g1.10.041

即企业从第8年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元.

【解析】⑴根据题意可得？/=100。+10%)，万元，其定义域为5eN*,w10｝，

⑵由200(1+10%)”>400,解得即可.

本题考查了函数的应用，对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

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16.【答案】解：⑴/⑶=A/3(1—2sin2x)+sin2x=sin2x+V3cos2x=2sin(23+—)•••(2分)

3

二函数的最小正周期T=7T，/Q)min=-2…(6分)

7T

⑵由y=2sin(2a+w)知,列表如下：

O

7T7T77r57r

X07T

12312"6"

yV320-20A/3

(9分)

【解析】(1)先利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，用二倍角公式和两个角的和的正弦公式，

再依据化简后的解析式求三角函数的周期.

(2)要画出函数在区间上的图象，在所给的区间上找出函数值域的几个特殊点，最大值和最小值点，在坐标

系中描出点画出函数图象.

本题考查三角函数的最值，以及函数的图象的作法，解题的关键是对函数的解析式进行化简，以及熟练掌

握正弦函数的性质，作三角函数函数的图象一般用五点法作图，化简函数/(2)的解析式是解题的突破口.

17.【答案】解：⑴设数列｛厮｝的公差为力

由题意知，的+3d+di+4d=仇+8d,因为。1=1,

所以l+3d+l+4d=l+8d,解得d=l,

所以an=1+(n-1)x1=n；

n

因为数列｛5｝的前〃项和为Sn,且满足Sn=3-1,

所以当72=1时，=31-1=2,

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当几》2时，bn=Sn-S.i=3"—1—3-1+1=2x3NT,

验证，当n=1时，bi=2,满足上式,

故机=2义3-1;

(2)(i)在现和K+1之间插入〃个数金1,，n2,…，cnn,使K，cnl,cn2,…，cnn,成等差数列,

n1

设公差为*则或=1+1一=2x3-2x3吁1_4x3"-

n+1n+1n+1

所以c=b+kd=2x3“T+=2、+l+-x2x3"-1；

nknnn+1n+1

/•・、、乩n(n—1)73+n

(11)坟赫=Cnl+Cn2+,一+品。=ncnl+---dn=nX-X2X3

Ml)x4X3』

=4nx3n-1，

2n+

则CH+C21+C22+,•,+Cni+Cn2+,•,+Cnn=Cn+(。21+。22)+…+&1+。成+…+Cnn)

=Mi+M2+,,,+Mn,

设Tn=Mi+M2+,•,+Mn，

n-1

所以4=4义3°+8x31+12x32+.••+(4/一4)3九一2+4nx3,

34=4x31+8x32+12x33+-+(4n-4)x3n-1+4nx3%

12n-1n1231

两式相减得，—2Tn=4+4X3+4X3+---+4X3-4nx3=4(3°+3+3+3+•••+B^)

]_3n

-4nx3"=4x----4nx3n=(2-4n)x3n-2,

所以4=1+(2冗一1)x3".

【解析】本题考查数列的通项公式与前〃项和的求法，错位相减法求和，属于较难题.

(1)根据等差数列基本量的运算求得公差力再由等差数列的通项公式可得厮=心利用

bn=Sn—求与，即可，注意检验冗=1的情形；

(2)(i)设等差数列现，Cnl,cn2,…，Cnn,6升1的公差为办，结合心=叱?与等差数列的通项公式,

n+1

可得^nk;

(ii)利用等差数列的前〃项和公式求得金1+金2+-・+的，再采用错位相减法，求解即可.

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18.【答案】解：（1）连接/C交8。于N,连接

-：AD//BC,AD=2BC，。为AD中点，

:.BC=DQ,四边形BCD。为平行四边形，

：.CD//BQ,又。为中点，

,N为/C中点.

•.•Af为尸。的中点，

为△尸4。的中位线，

故MNUPA,

又MNC平面BMQ,PA，平面BMQ,

所以P4//平面

（2）由（1）可知,PA〃平面

.•.点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，设为d,

.Vp-BMQ—VA-BMQ—VM-ABQ,

取CD中点K,连接MK、KQ、KB,

•••”为尸C中点，K为CD中点,

：.MK//PD,且尸O=2MK=2,MK=1,

又POJ_底面48CD，所以底面ABCD.

又BC=；AD=1,PD=CD=2,NAD。=90°，

第13页，共15页

AQ=1,BQ=2,S^ABQ=；xlx2=l,

RtAQDA^中,DQ=DK=1,QK-A/2,

RtZWKQ中，MQ=，口K2+Q>2=遮,

RtZ\6CK中，CK=CB=1,KB=®

RtZWKB中，MB='ME+KB2=通,

等腰△M5Q中，MN=、MB2_NB2=伤

「•Vp-BMQ=VA-BMQ—VM-ABQ

=a-

oS^ABQ-MKo=-

—a,S/\BQM-d=-x-x2xV2-d=~^~d^

oJ/o

则点P到平面BMQ的距离为g.

【解析】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到平面的距离，属于拔高题.

(1)连接/。交30于N,连接只要证明MN〃P4,利用线面平行的判定定理可证；

(2)由(1)可知，PA//nBMQ,所以点尸到平面a00的距离等于点4到平面的阳的距离，进而利用等

体积法可进行求解.

b11八.d

19.【答案】(1)证明：根据(a+c)sin4=巾，3、=初,结合正弦定理得上-=竺==)

')cos(B+-7f)Q+csmBb

整理得庐=Q(Q+c)=Q2+QC,

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以Q?+Q。=Q2+—2QCCOSB，可得c?=Q。+2accosB,

结合8为锐角，化简得cos5=C+=「>0,所以c〉a,9>l,

2ac2aa

由c?=QC+2QCcos_B，可得c=Q+2QCOS