2024-2025学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年天津市河西区高三(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},则""=()

A.{3}B.{2,4}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)

22

2.已知曲线C：上+工=1,则“a〉0”是“曲线C是椭圆”的()

aa—1

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知Q=ln7r,b=log%e,c=e71,则eb,c的大小关系为（）

A.b<c<aa<b<cC.c<a<bD.b<a<c

4.某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示,

则这组样本数据的70%分位数为(

A.85B.86C.87D.88

5.已知函数/(/)为奇函数，一个周期为7T,则/(/)的解析式可能为()

A.cos（^-—2/）B.sin（7T7）C.sin弓-2/）D.tan（7r-1）

6.设冽，〃是两条不同的直线，Q,0是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()

A.若?n〃Q,mH3,贝!JQ〃/3B.若7n_La,则nJ_a

C.若a_L。，m.La,则D.若?n_La,m///3,贝ija_L/3

7.已知函数/(/)的定义域为R,g=/(2)+4是偶函数,4=/(2)—3*是奇函数，则/(In2)=()

511

A.2B.—C.3D.--

23

22

8.已知双曲线C：a―鲁=15>0/>0)的虚轴长为2，5，P为C上一点，过点尸向C的两条渐近线作

垂线，垂足分别为4B,\PA\-\PB\=y,则双曲线。的方程为()

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x2y2t222222

AA.-------=1

52

9.如图，在体积为忆的三棱锥4—BCD中，E,F,G分别为棱AC,

AD上的点，且=AF=2FC，AG=2GD,记。为平面3CG,

CDE,尸的交点，记三棱锥。一BCD的体积为匕，则0:V=()

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.i是虚数单位，复数z满足z-i—3-zi,则z=.

11.(旅—马5)展开式中的常数项为.

X

12.已知点P在抛物线林力=42上，过点尸作圆C：(工—2)2+/=1的切线，若切线长为2〃f,则点尸

到M的准线的距离为.

13.甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出

的是两个白球的概率是;若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出

的是白球的概率是.

14.在△OAB中，ZAOB=90°>\OA\=\OB\=2^2,。为48的中点，P,。是以。为圆心，2为半径

的圆上的两个动点，线段尸。过点。，则历可用巨？，加表示为;7注的最小值为.

117r

15.若函数/⑶=(x2-2V2x+-m)sin(-mx--)(meN*)在［0,4］上恰有3个零点，则符合条件的m的个

数为.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)

在△46。中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知巴二=兰—1.

tanAa

(I)求角3的大小；

(n)设a=3,6=3\/7.

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⑶求C的值；

（可求tan（2A—B）的值.

17.（本小题15分）

如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面四边形48co是直角梯形，NCD4=90°，点S在平面48co上

的投影为线段的中点O，AD=ISO=2BC=2CD=4,E,歹分别是线段S4S3的中点.

（I）求证：EF〃平面SOC；

（H）求直线CE与平面S48所成角的正弦值；

（III）求点D到平面SAB的距离.

18.（本小题15分）

223

已知椭圆4r+《=l（a>b>0）的左、右顶点分别为/,B,左、右焦点分别为Fi，巳，点T（l=）在椭圆

a2b22

上，且|TM|+|T3=4.

（I）求椭圆的方程;

（II）设斜率不为0的直线/过点E，与椭圆交于M,N两点，点尸，0分别为直线NM,8N与y轴的交点,

S^BF2Q,求等丝叱的值.

记△4EP,△BF2Q的面积分别为

J^BF2Q

19.（本小题15分）

已知公差不为零的等差数列｛厮｝的前〃项和为Sn，$3=6,02,a4,a8成等比数列，nGN*.

（I）求数列｛an｝的通项公式及Sn；

（n）设/=2Sn+a?求/的最小值，并求取得最小值时〃的值；

%

（明设Tm・其中…，号

20.（本小题16分）

已知函数/Q）=&cosx+bx\nx-bx,/（，）的导函数为尸⑺，（a,beR,e为自然对数的底数）.

（I）当a=b=1时，求函数/侬）在点（//（『））处的切线的斜率；

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7T

（11）若6=0且函数/（/）在（0,万）上是单调递增函数，求a的取值范围；

（in）若0<a<l,3,72满足/'（电）=/（22），证明：质+无>2

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为全集0={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},

所以CuA={2,4,6},

所以(Co4)UB={2,4,6}.

故选：C.

根据集合的基本运算求解即可.

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】C

(a>0

【解析】解：曲线C是椭圆的充要条件为{a-l>0,则解得。的范围为a〉1,

Ia#a-1

而{a\a〉1}£{a|a>0},

所以“a>0”是“曲线。是椭圆”的必要不充分条件，

故选：C.

先求出椭圆。成立的a的范围，进而可以求解.

本题考查了四个条件的应用，涉及到椭圆成立的条件，考查了学生的运算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为a=ln7re(1,2),b=log^e6(0,1),c=e">e,

故c〉a〉b.

故选：D.

结合指数函数及对数函数单调性即可比较a,6,c的大小.

本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由图可知,成绩在［80,90)的频率为1-(0.03+0.015+0.005)x10=0.5,

设这组样本数据的70%分位数为x,

则0.05+0.3+(工—80)x0.05=0.7,解得立=87.

故选：C.

结合频率和为1,以及百分位数的定义，即可求解.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

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5.【答案】A

【解析】解：对于4,/(#)=cos(5—2%)=—sin2i,/(—7)=cos('+2/)=sin2/=—/(6),此时函

数/(力)是奇函数，

27r

又最小正周期T=^--Z7=7T,故4正确；

I-z\

对于5,因为sin[7T(i+7r)]=sin(7rx+7r2)7^sin(7rx),

所以7T不是/(/)的周期，故5不正确；

对于C,f⑸=sing—2力)=cos2x,/(—))=sing+2/)=cos2x=/(力)，此时函数/(%)是偶函数，

故。不正确；

-7FT--I_7TI—.2斤

对于D,因为函数/⑸=tan(7r-R的最小正周期一甲一，所以7T不是〃乃的周期，故。不正确.

22

故选：A.

根据奇函数的定义，结合诱导公式，周期的定义逐项判断即可.

本题考查了奇函数的定义，诱导公式以及周期的定义，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：若M〃a,m//(3,则a与口可以成任意角，选项错误；

若机_La,mln,则冗〃a或nCa,B选项错误；

若a_L0,m_La,则m〃。或6U0,C选项错误；

若必_La，m,B,则a_L0,二。选项正确.

故选：D.

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可.

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为函数/(2)的定义域为凡沙=/(0+/是偶函数，g=/(劝—3/是奇函数，

所以/(—乃+eT=/(c)+e"①

于(—x)-3e-x=-f(x)+3ex,②

由①-②，可得/Q)=e'+2eT,

所以/(In2)=eln2+2e-m2=2+2x；=3.

故选：C.

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由题意求得/(/)=e'+2e-3再将/=In2代入求解即可.

本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了指数的基本运算，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由题意得26=2四，解得6=，^，

双曲线渐近线方程为“==土即ay±=0，

aa

22

设点尸(皿办则土―[=1，即2病—Q2几2=2Q2〉0，

az2

则P(m,n)到两渐近线方程的距离分别为严卓回，

Va2+2

赤川山小IORI\V2m+an\\\/2m-an\|2m2-a2n2|2a210

所以EHP联="+2=/一

22

解得。2=5,故双曲线方程为C：土—£=1.

52

先得到6=松和渐近线方程，并设点P(m,n)，贝127n2_a2n2=2a2>0，由点到直线距离公式得到方程,

求出a2=5,得到双曲线方程.

本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.

9.【答案】C

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【解析】解：如图,

设BGCDE=N,BFCCE=M,连接CN,DM,

易知平面BCGn平面CDE=CN，平面ZZBFC平面CDE=DM，

显然CNnDM=O,

：•AE=EB，AF=2FC^AG=2GD^

,-.A^=^AS,前=：前标=|前，

在△AB。中，设丽=小口，0<A<1,丽=〃就，0<〃<1,

南=前+丽="+A磊=前+X（加-宿=入抽+1（1-X）彷

O

而=就+丽=旭+〃比=A^+四（4-施）=；（1-4）霜+回血,

（入=5（1-〃）入=Z

由平面向量基本定理得：|2，解得《:，

即云=打§,丽=；氤；

在△ABC中，设~FM=niP*0<m<1,EM=n^，0<n<l,

Ahl=AB+Fl\i=Aj^+mFI^=A声+m(A§—A^)=mA§+-(1—m)A(i,

=A^+E^=A^+nE^=AS+n(A^-AS)=-n)A^+nA^,

1

m=-

4

由平面向量基本定理得:

1

n=2

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即两?=；同，w=1^；

则在△ECO中，△MNOs^DCO,出=3=上,则型=2

DOCD2DM3

设点。，M,Ef/到底面的距禺分别为％o，h，M,八E，HA,

IhoDO2KMMC1KEEB1

人嬴=丽=&'位=而=5'h^^AB=2'

S/BCDho

mil_l^'_hoh0hMhE2111

，=

KJVT：7=析=嬴,五五=3'5义厂于

,也1

o

故选：c.

先画出图形确定点。的位置，设BGCDE=N,BFCCE=M,根据平面向量基本定理，分别确定N、

"的位置，结合已知条件，分别求出兽，兽，萼值，将三棱锥的体积之比，转化为等即可得到结果.

n-M"EnAriA

本题考查棱锥体积计算，属于中档题.

10.【答案】2-2

【解析】解：z-i—Z-zi,

则2(l+i)=3+i,

-

故"n二/「若一"T=2-2.

1+i(1+z)(l-i)

故答案为：2—勿.

根据已知条件，结合复数的四则法则，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

11.【答案】-672.

【解析】【分析】

通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为0,求出展开式中常数项.

本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.考查计算能力.

【解答】

oar

解：(怖—令9展开式中的通项为5]=)"(_$=侬工增X(-1/,

令9-3r=0可得r=3,

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此时常数项为乙=23瑞X(一1)3=-672.

故答案为：-672.

12.【答案】6

【解析】解：设P曹,yp),由圆的方程(工—2)2+/=1可知圆心。(2,0),半径「=1；

又切线长为2，7,可得|PC|=6=1=，药，

可得(彳—2)2+4=29,解得苏=20,可得P(5,gp)；

再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为5+1=6.

故答案为：6.

根据点P的位置以及切线长可解得P点横坐标为5,再由焦半径公式可得结果.

本题考查圆与抛物线的综合应用，是中档题.

-213

13.【口木】--

【解析】解：甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球,

从两个袋中分别随机各取出一个球，

则取出的是两个白球的概率是马=：2x：4=：2；

669

若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球,

则取出的是白球的概率是:

P2=JW13

676721

213

故口案为：

从两个袋中分别随机各取出一个球，利用相互独立事件概率乘法公式能求出取出的是两个白球的概率；先

从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，利用全概率公式能求出取出的是白球的概率.

本题考查相互独立事件概率乘法公式、全概率公式等基

础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】•巨1+0)-12

【解析】解：由。为N8的中点，P,。是以。为圆心，

2为半径的圆上的两个动点，线段尸。过点。，

如图：碗=赤+工+前，彷=的+9+前

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所以，2时=D?+超+而+函+掘+丽，

所以，加=3对+强）.

以。/,08所在直线分别为X,y轴，建立平面直角坐标系，则4（2四,0）,B（0,2V2）,

设P（2cos仇2sin。）,则Q（—2cos—2sin0）,

PA-Q杳=（2%/2—2cos/一2sin。）・（2cos/2v^+2sin9）=4\/2cos。—4cos20—4A/2sin9—4sin20

=4\/2cos0—4A/2sin0-4=8cos（0+；）—4e［-12,4］.

故答案为：；（可+QX）；-12.

利用向量的线性关系求解第一空；利用平面直角坐标系，结合向量的坐标运算，求解最小值即可得到第二

空.

本题考查向量的数量积的应用，是中档题.

15.【答案】5

117r

【解析】解：令/（力）=0,则X1—2V2x+-m=0或sinGm——）=0,

443

因为△=（-2V2）2-m=8-m,

当nz〉8时，g=/-2V^/+；77i在［0,4］上没有零点，

17T

则y=sin（-ma:一百）在［0,4］上应有3个零点，

、j17T「7T7rl

因为-mx--em--\,

4OOO

7T

所以27Fm--<3%,

o

77r/IOTT

即nn可（机<—z—，

oo

与m〉8联立，得8<m<学，

o

因为?neN*,所以加的值依次为9,10；

当m=8时，y=x2-2A/2X+:m在［0,4］上有1个零点v货,

V=sin（2/—（）在［0,4］上有3个零点0,y,y,不满足题意；

当1Wm<8时，y=x2-2V2x+在［0,4］上有2个零点，

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I

故g=sin(-ma;一向在图上应有1个零点,

4O

因为mCN*,所以该零点与y=x2-2^2x+|m的零点不相同,

所以0<771—[<7F,即学，

J33

7F47r

与1(771<8联立，得万(加〈支，

因为meN*,所以加的取值依次为2,3,4,

综上得符合条件的m的个数是5.

故答案为：5.

分6〉8、m=8>分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.

本题考查了正弦函数的性质、一元二次方程的根的个数，考查了分类讨论思想，属于中档题.

16.【答案】解：（I）因为四当=«—1,由正切公式及正弦定理可得汽空等1,

tanAacosBsmAsmA

整理可得sinBcosA=2sin0cosB-cosBsinA,

所以sincosA+cossin4=2sinCcosB，

即sin（?l+B）=2sin。cosB,

在£\ABC中，sin（A+B）=sinC>0,

可得cosB=；,因为Be（0,7r）,

7T

可得B=可；

o

7T

（U）0）a=3,6=3V7-B=&,

o

由余弦定理可得官=Q2+_2accosB，

即63=9+c?—2x3cx

即。2一3。—54=0,解得c=9或c=—6（舍），

所以。的值为9；

a_b__3A/7_r—

（行）由正弦定理可得sinAsinBsin。通，Q=3,

~T

可得sin4=q=等，因为a<b,可得cos4=\/l—sin24=WL

2\/211414

所以sin=2sinAcosA=2xx=3y,

141414

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c.c2,1c25x7r11

cos2A=2cos2A—1=2x-------1=--,

14214

14214214

cos(2A—=cos2AcosB+sin2AsinB=——x-H-----x—=—,

'/14214214

3A/3

sin(24—B)__3\/3

所以tan(2A_8)=

cos(2A—B)13

14

【解析】(I)由正切公式及正弦定理，辅助角公式，三角形内角和定理，可得cos6的值，再由角3的范围,

可得角B的大小；

(11)(，)由余弦定理可得c边的值；

(二)由正弦定理可得sinA的值，进而可得cosA的值，再由二倍角公式，可得sin2A，cos24的值，再由

两角差的正弦公式，余弦公式可得24-6的正弦值，余弦值，再求出tan(24-B)的值.

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，正切公式的应用，二倍角公式的应用，两角差的正弦公式，余弦公

式的应用，属于中档题.

17.【答案】(I)证明：因为E,尸分别是线段S3的中点，fz

所以EF//AB,未

/h\

又因为4D=2BC，底面四边形48CD是直角梯形，E//：\\

11\X.

所以4。〃3。，且40=30，/7“

所以四边形/0C8为平行四边形，所以4B//。。，\/；'、、、\

If、、

所以EF〃OC,而后歹C平面SOC,OCU平面SOC,丫---------

所以EF〃平面SOC；f

(n)解：ZCDA=90°,点S在平面48CD上的投影为线段的中点。，连接OBLAD,

SO,平面/BCD，

以。为坐标原点，以05,0D所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

因为AD=2S0=2BC=2CD=4,

则。(0,0,0),8(2,0,0),£)(0,2,0),5(0,0,2),A(0,-2,0),C(2,2,0),

加=(2,2,0)，大=(0,2,2),

因为E为/S的中点，可得

设踵=(-2,-3,1)＞设平面S/3的法向量为7?={x,y,z),

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则，元.标=0即]令y=f可得二mu)，

I方•乐=0I乙yNiN—U

小，C自=1x(—2)+(―1)x(—3)+1x1=2,|C面=，(—2)2+(一3)2+]2=714,

|r?|=^/12+(-1)2+I2=V3，

示_方,既_2_y/42

可得cos<it，

一同.而一\ZIIx通—21

7F

设直线C£与平面SN3所成角为。，0G[0,-],

所以sin。=|cos<7?,次g〉|=gl；

(HI)解：由(II)可得平面£48的法向量立=(1,一1,1),瓦=(—2,2,0)，

可得D到平面SAB的距离d=I版•看I=I-2-2+0.4A/3

3

【解析】(I)易证得EF〃4B,由题意证得四边形N0C8为平行四边形，可得AR〃O。，可证得EF〃OC,

再由线面平行的判定定理可证得结论;

(II)建立空间直角坐标系，求出直线CE的方向向量的坐标及平面S48的法向量疗的坐标，进而求出两个

向量的夹角的余弦值，进而求出线面角的正弦值；

(HI)求出瓦的坐标，在求出旧。•南|的值，即求出点。到平面&48的距离.

本题考查用空间向量的方法求线面所成角的正弦值及点到平面的在距离，线面平行的判定定理的应用，属

于中档题.

18.【答案】解：(I)因为点7在椭圆上，且|7%+|丁或=4,

此时2a=4,

解得a=2,

22

设椭圆方程为土+4=1，

4b2

3

因为点7(1,/在椭圆上，

解得y=3，

22

则椭圆的方程为土+外=1;

43

(n)由(I)知，4—2,0),5(2,0),三(1,0),

设直线/的方程为/=加y+1,Af(xi,yi),N〈X2、y》,

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x=my+1

/y2消去x并整理得（3m2+4为2+660—9=0,

--1--=1

{43

此时△>0,

-6772-9

由韦达定理得明+伙=砺干'沙改=

3m2+4'

yi

3+2）,

直线的方程为沙=Xi+2

令立=0,

2nl

解得yp

g+2'

同理得"Q=*

因为|4州=3,出同=1,

所以SAA含FP现品---------

△一唬”",黑最

5Q-\BF2\\OQ\

—6m

因为明=而干.於‘"改=而不，

—3m

grprn|3m2+4.

所以3|「而—-1=1-

薪1+3於

故含型的值为1.

【解析】(I)根据题目所给信息，结合椭圆的定义进行求解即可;

(n)设出直线/的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式进行求解即可.

本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(I)设等差数列｛厮｝的公差为d(d#0),

因为S3=6,所以3QI+3d=6,即Qi+d=2①，

因为Q2,。4,。8成等比数列，所以W=Q2a8，

即（Qi+3d）2=（Qi+d）（Q]+7d）②,

由①②可得：Qi=1,d=1，

所以（Ln—Qi+{ri—l）d—Tl9

n（n+1）

所以Sh=1+2+…+几

2

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/x,/x.2Sn+©9/+h+1919i--

(n)由(I)得：A=———-=------=71+1+—》2V19+1,

annn

IQ

当且仅当九=以，即n=时等号成立，

3949

又因为zieN*,所以当zz=4时，A=—；当h=5时，A=―,

45

所以当n=4时，/取得最小值为3好9

(HI)当n=l时，比=1,

当泛2人时，=所以数列｛6/是等差数列，

所以£=2fc~1+(2*T-1)+(2fc-1-2)+…+[2*T-(2"i—1)]-——(2fc*x+1)=22^3+2^2-

a-2

2n-]nnft

所以£仇=E(2*-3+2—)=f22^3+C2”2

i=li=li=li=l

=(2-1+2+23-+22n-3)+(2-1+2。+2+…+2n-2)

_2-1(1—22。)，2T(1—2。)_22"\m_]2

―1-221-2-3+3-

【解析】(I)根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算即可得出首项例和公差d,进而得出所求的答案;

(n)由(I)得：a=2Sn+019="+"+19==+1+”,利用基本不等式及neN*求解即可；

annn

2k-l

(in)当法2人时，数列｛K｝是等差数列，进而得出£bi=22k-3+2k-2,从而得出所求的答案.

£=2"1

本题考查数列的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.

20.【答案】解：(I)当Q=b=l时，f⑸=；力2-cosx+xlnx-x,

可得/'(劣)=I+sin1+In力，

此时/'(7T)=7T+In7T,

所以函数〃乃在点(在,/(万))处的切线的斜率为7T+1H7T;

(II)当6=0时，

可得/'(")=x+asinx,

因为〃力)