2024冀教版七年级数学下册 第九章 因式分解（3大压轴）含答案

第九章因式分解

压轴题型一利用十字相乘法因式分解

例题：(2024上•北京东城•八年级统考期末)利用整式的乘法运算法则推导得出：

(ax+b)(cx+d^acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可

得ac/+(〃?+bc)x+bd=(ot+6)(cx+d),通过观察可把也r?+(ad+bc)x+bd看作以无为未知数，a、b、c、

d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项相分别进行适当的分解来

凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1,这种分解的方法称为十

字相乘法.例如，将二次三项式2/+1卜+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2,

贝！J2x2+lh+12=(龙+4)(2x+3).

axd+cxb=bc1x3+2x4=11

图1图2

根据阅读材料解决下列问题：

(1)用十字相乘法分解因式：X2+6X-27;

(2)用十字相乘法分解因式：6X2-7X-3；

(3)结合本题知识，分解因式：20(x+y)2+7(x+y)-6.

巩固训练

1.十字相乘法分解因式：

(I)A:2+3x+2

⑵x?—3x+2

⑶％2+2x-3

(4)X2-2X-3

(5)x2+5无+6

(6)x2—5x—6

(7)x2+x—6

(8)%2-x-6

(9)-5^-36

(10)X2+3X-18

(H)2X2-3X+1

(12)6尤2+5x—6

2.阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2/-尤-3的方法(如图).

第一步：二次项21=A2彳;

第二步：常数项-3=-lx3=lx(-3),画“十字图”验算“交叉相乘之和”;

(-l)x2x+3x=x3x2r+(-l)x=5x

①②

1x2x+(-3)x=-x-3x2x+lx=-5x

③④

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项-X.

即2x?—x-3=(尤+l)(2x-3).

像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.

运用结论：

(1)将多项式/-x-2进行因式分解，可以表示为％2-x-2=；

(2)若3V+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数。的所有可能值.

压轴题型二分组分解法因式分解

例题：阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项

式只用上述方法无法分解，如：^rr-mn+2m-2n\细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，

后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整

个式子的因式分解了，过程为

m2—mn+2m-2n=^m2—mnj+(2m—=m[m—n)+2(m—n)=(in—n)[m+2).此种因式分解的方法叫做

“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)因式分解：a3-3a2-4i?+12;

(2)已知相+〃=5,〃=1,求环一川+21n一2n的值.

巩固训练

1.(2024上.山西长治.八年级统考期末)阅读下列材料，并完成相应的任务.

数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分

解，如“苏TM+Z“—Z"“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因

式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，

其过程如下：机2—mn+2m—2n=(^m2—mnj+(2m—2n)=m(m—n)+2(m—ri)=(m—n)(m+2).

此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.

任务：

(1)因式分解：a3-3a2+2a-6

(2)已知加+〃=-5,m—n=2,求相？一〃2+9相—9〃的值.

2.阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解.

例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法.

①am+an+bm+bn=(am+brri)+{an,+bri)=m(a+/?)+n(a+/?)=(4+b)(m+ri)；

@x2-y2-2y-l=x2-(y2+2y+l)=x2-(y+l)2=(x+y+l)(x+y-l)

试用上述方法分解因式：

(1)(72+2ab+b2+ac+be;

(2)4/-x2+4xy-4y2.

3.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2Q-3必-4+6匕因式分解.经过小组合作交流，

得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2a-3必)-(4-66)

=a(2-3&)-2(2-3Z>)

^(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2。-4)-(3必-66)

=2(«-2)-3/7(«-2)

=(a-2)(2-3b)

小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用

提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的.这种方法可以称为分组分解法.(温馨提示：因式分解一

定要分解到不能再分解为止)

请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：

(1)因式分解：x1-a2+x+a;

(2)因式分解：ax+a2-2ab-bx+b1.

压轴题型三因式分解的应用

例题：(2024上.河南商丘.八年级统考期末)［阅读材料］

将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法.分组分解法有两种分法：一是“3+1”

分组.二是“2+2”分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构

成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组.

例如：am+bm+an+bn—(am+bnij+［an+bn)=〃z(a+6)+〃(a+6)=(a+b)(:%+〃)；

x2+2^+1—4=^x2+2x+l^—4=(x+1)-—22=(x+1—2)(x+l+2)=(x—l)(x+3).

［应用知识］

(1)因式分解：cr-ab+bc-ac.

(2)因式分解：-a1-6ab-9廿*9.

［拓展应用］

(3)己知一三角形的三边长分别是a,b,c,且满足：2a2=c(2a-c)+6(2a-6).试判断这个三角形的形

状，并说明理由.

巩固训练

1.(24-25八年级上•山东济宁•阶段练习)若〃为任意整数，且5+11)2-1的值总可以被左整除，贝蛛等于

()

A.11B.22C.11或22D.11的倍数

2.(24-25八年级上•安徽合肥・期末)当x>0,y>0.且xwy时，x2(x-y)+y2(y-x)^a()

A.总是为正艮总是为负

C.可能为正，也可能为负D.不能确定正负

3.(24-25八年级上•山东日照•阶段练习)取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，

方便记忆，原理是：如对于多项式--丁，因式分解的结果是(x-y)(尤+封(/+,2),当彳=9,y=9时,

各个因式的值是尤-y=。，x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项

式4/-孙2,取x=io,y=10时，用上述方法产生的密码可以是()

A.101030B.010103C.100130D.301001

4.(24-25八年级上•山东淄博・期中)【阅读材料】

因式分解：(x+y)2+2(x+y)+l.

解：将“x+y”看成整体，令尤+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.

再将“A”还原，原式=(x+y+l)L

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

【问题解决】

⑴因式分解：4+5(x-y)+(x-y)2；

⑵因式分解：(a+b\a+b-4)+4.

(3)证明：若，为正整数，则代数式(〃+1)(〃+2乂1+3")+1的值一定是某个整数的平方.

5.(24-25八年级上•吉林长春•期末)综合实践课上老师展示了如下例题：

例：已知多项式2V一2/+根有一个因式是x+2,求，"的值.

解：由题意，设2丁一2/+机=4(x+2)(A为整式)，

,当左=-2时，A(%+2)=0,

六当x=—2时，2尤3—2尤2+机=0,

则2x(—2)3—2x(—2)?+m=0,解得加=・.

这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法.

(1)数学思考：例题中“■”处加的值为；

(2)方法运用：已知三次四项式2尤3一/一天一〃有一个因式是2彳一3,求〃的值；

(3)深入探究：已知关于x的多项式丁+/+法一6分解因式得知

①求。、6的值；

6.(24-25八年级上•湖北孝感・期末)仔细阅读下面的例题，解答问题：

例：已知二次三项式％2—4%+机有一个因式是x+3,求另一个因式以及加的值.

解：设另一个因式为％+几，得，f—4x+zn=(x+3)(%+〃)，

贝!J/-4%+mf+（〃+3）x+3〃,

n+3=—4

m=3n

解得［f-n=1-7

,另一个因式为％-7,机的值为-21.

仿照以上方法解答问题：

⑴已知二次三项式2f_5x+2左有一个因式是2x+3,求另一个因式以及％的值；

(2)若二次三项式尤2一5彳+6可分解为(彳-2)。+“)，求。的值；

(3)若二次三项式2/+法-5可分解为(2x-l)(x+5),求6的值.

7.(24-25八年级上•四川宜宾・期末)“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的

部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.例如，用配方法分解因式：X2-6X-1.

解：%2—6x—7=x2—6x+9-16=(x—3)--16=(x+l)(x—7).

(1)用配方法分解因式：«2+10«+21；

⑵若4=/+万2+27与B=8a+6b,请比较A、8的大小关系并说明理由；

(3)如图，VABC中，NC=90。,AC=8cm,3c=6cm.点/从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，同时点

N从点C开始以lcm/s的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动.设运动时间为心)，

△MNC的面积为S(cm2).

①用含有f的代数式表示S,并直接写出f的取值范围;

②求f为何值时S的值最大，最大值是多少？

参考答案与试题解析

第九章因式分解

压轴题型一利用十字相乘法因式分解

例题：⑴(x-3)(x+9)

⑵(2x-3)(3x+l)

(3)(4尤+4y+3)(5x+5y-2)

【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用.

(1)利用十字相乘法进行求解即可；

(2)利用十字相乘法进行求解即可；

(3)先分组，再利用十字相乘法进行求解即可.

【详解】(1)解：x2+6x—27

=(x-3)(x+9),

lx9+lx(-3)=6

(2)解：6x2—7x—3

=(2x-3)(3x+l),

2xl+3x(-3)=-7

(3)解：20(x+y)2+7(x+y)-6

=[4(x+j)+3][5(x+y)-2]

=(4x+4y+3)(5x+5y-2),

X.

4x(—2)+5'3=7

巩固训练

1.(l)(x+l)(x+2)

(2)(X-1)(X-2)

⑶(x-l)(x+3)

(4)(x+l)(x-3)

(5)(x+2)(x+3)

(6)(x+l)(x-6)

(7)(x-2)(x+3)

(8)(X+2)(X-3)

(9)(x-9)(x+4)

(10)(x+6)(x-3)

(ll)(2x-l)(x-l)

(12)(2x+3)(3x-2)

【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用：

(1)2=1x23=1+2,从而运用十字相乘法可分解因式；

(2)2=(-l)x(-2),-3=-1+(-2),从而运用十字相乘法可分解因式;

(3)-3=(-l)x3,2=-l+3,从而运用十字相乘法可分解因式；

(4)-3=(-3)x1,-2=-3+1,从而运用十字相乘法可分解因式；

(5)6=3x2,5=3+2,从而运用十字相乘法可分解因式；

(6)-6=-6xl,-5=-6+1,从而运用十字相乘法可分解因式；

(7)、=-2x3,1=-2+3,从而运用十字相乘法可分解因式；

(8)-6=-3x2,—1=—3+2,从而运用十字相乘法可分解因式；

(9)-36=-9x4,-5=-9+4,从而运用十字相乘法可分解因式；

(10)-18=6x(-3),3=6+(-3),从而运用十字相乘法可分解因式;

(11)2=2x1,l=(-l)x(-l),-3=2x(-l)+lx(-l),从而运用十字相乘法可分解因式;

(12)6=2x3,-6=(—2)x3,5=3x3+2x(—2),从而运用十字相乘法可分解因式

【详解】(1)X2+3X+2

=X2+(1+2)AH-1X2

=(x+l)(x+2)；

(2)X2-3X+2

=JC+(—1—2)x-|-(—1)x(—2)

=(x-l)(x-2)；

(3)x2+2x-3

=X2+(-1+3)+(-1)X3

=(x-l)(x+3)；

(4)x2-2x-3

=X2+(1-3)X+1X(-3)

=(x+l)(x-3)；

(5)x2+5x+6

—%2+(2+3)x+2x3

=(x+2)(x+3)；

(6)x2—5x—6

=x2+(1—6)x+lx(—6)

=(x+l)(x-6)；

(7)x2+x—6

=X2+(-2+3)X+(-2)X3

二(x-2)(x+3)

(8)x2-x-6

=X2+(2-3)X+2X(-3)

=(x+2)(x-3)；

(9)X2-5X-36

=x2+(-9+4)x+(-9)x4

=(x-9)(x+4)；

(10)V+3尤-18

=x2+(6—3)x+6x(—3)

=(x+6)(x-3)；

(ID2X2-3X+1

=(2x-l)(x-l)

(12)6x2+5x-6

=(2x+3)(3x-2).

2.(1)(尤+l)(x-2)

⑵图见解析，。=-8,-16,8,16

【分析】(1)根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；

(2)根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可.

【详解】(1)解：•.•d=xY,常数项-2=(-1)X2=1X(_2),

%2—x—2=(x+l)(x_2),

故答案为：(尤+1)。-2)；

(2)解：：3无2=3.》，常数项5=(-l)x(-5)=lx5,

画“十字图”如下:

(-1)x3x+(-5)x=-8x(-5)x3x+(-1)x=-16x1><3X+5-X=8X5x3x+l-x=16x

p=-8,-16,8,16.

【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键.

压轴题型二分组分解法因式分解

例题：⑴(a-3)(a-2)伍+2)

Q)7

【分析】本题考查了因式分解的新方法，及其应用.

⑴根据方法，适当分组分解即可.

⑵先因式分解，后代入求值即可.

【详解】(1)〃3一3片—4〃+12=/(〃一3)-4(〃一3)

二(〃-3),2_4)

=(a-3)(〃-2)(a+2).

(2)病—〃2+2m—2n

=(m+n)(m—n)+2(m-n)

又加+〃=5,根—〃=1,

故原式=lx(5+2)=7.

巩固训练

1.(1)(。-3乂〃n+2)

(2)(jn-ri)(m+H+9),8

【分析】本题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键.

(1)仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解；

(2)先利用“分组分解法”进行因式分解，再将根+几=-5,机-〃=2作为整体代入求值.

【详解】(1)解：a3—3a2+2a—69

—/—3)+2(〃—3)

二(〃-3)(片+2).

(2)解：m2—n2+9m—9n

=(m+ri)(jn—ri)+9(m—n)

=(m—n)(m+〃+9).

将根+〃=—5,加一几=2代入，得：

原式=(加一〃)(m+〃+9)=2x(-5+9)=8.

2.(l)(a+b)(〃+Z?+c)

(2)(2a+x—2y)(2a—x+2y)

【分析】此题考查了分解因式-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

(1)原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；

(2)原式后三项提取-1,利用完全平方公式及平方差公式分解即可.

【详解】(1)解：原式=,+M+c(a+b)

=(a+Z?)(a+Z?+c)；

(2)解：原式=4/一(尤2—4孙+4y?)

=4a2_(x-2y)2

=(2a+x—2y)(2a—x+2y)

3.⑴(x+〃)(％-〃+1)

(2)(a-b)(x+a—b)

【分析】本题考查了分组分解法因式分解；

(1)先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解；

(2)先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解.

【详解】(1)解：x2-a2+x+a

—(Y—/)_|_(4_|_〃)

=(X-〃)(X+Q)+(%+")

(2)ax+a2—2ab—bx+b2

=(ax-bx)+(a2-2ab+b2)

=x{a-b)+{a-b)2

=^a-b)^x+a-b).

压轴题型三因式分解的应用

例题：(1)(2)(3+。+3b)(3-。-36)；(3)这个三角形为等边三角形.理由见解析

【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用.

(1)利用“2+2”分组，再利用提公因式法分解即可；

(2)利用“3+1”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可；

(3)整理后，利用“2+2”分组，再利用完全平方公式分解得到(a-c)2+(a-6)2=0,根据非负数的性质求

解即可.

【详解】解：(1)a1-ab+bc-ac=^a1-ab^+{bc-ac)

=a^a-b^+c[b-a)

=(a-b)[a-cj-

(2)—储一6"一9必+9

=-(Q2+6H+9/)+9

=-(〃+3叶+9

=32—(a+30)2

—(3+a+3“(3-a-3Z?)；

(3)这个三角形为等边三角形.

理由：・.・2〃2=c[2a-c)+b(2a-b),

/.2a之=2ac—c2+2ab—b1,

2a之—2ac+c?—2ab+—0,

二.(/—2ac+02)+(a?—2ab+)=0,

(Q—C)+(〃—/?)—0.

,/(a—op>O,(tz—Z?)2>0,

.\a-c=0,a—b=0,

••a=b=c，

.•・这个三角形是等边三角形.

巩固训练

1.A

【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式

【分析】本题考查了因式分解的应用.先将("+11)2-"2因式分解，进而可以得出答案.

【详解】M：,/(n+ll)2-n2=(n+ll+n)(n+ll-n)=ll(2n+ll),

.•.(“+11)2-1的值总可以被11整除，即左=11,

故选：A.

2.A

【知识点】因式分解的应用

【分析】本题考查了因式分解的应用，将->)+/(>一耳因式分解为(x—y)2(x+y),判断即可得解.

【详解】解：

x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y),

Vx>0,y>0.且尤

(x-y)2(x+y)>0,即尤2(x-y)+y2(y-x)>0,总是为正

故选：A.

3.A

【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式

【分析】本题考查因式分解的应用，把4d-孙2进行因式分解，再根据产生密码的方法进行计算即可.

【详解】解：：谓-1=彳(41_力=武2彳+月(2》-江

.•.当X=10,y=10时，2x+y=30,2x-y=10,

产生的密码可以为：101030,103010,301010,

故选A.

4.(l)(4+x-y)(l+x-y)

⑵(q+6-2)2

(3)见解析

【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式

【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键.

(1)用换元法设=将原式化为4+54+A?,再利用十字相乘法因式分解得出(4+A)(l+A),再将A

还原即可；

(2)设a+b=B,则原式8(5-4)+4=32—48+4,再利用完全平方公式变形，将2还原即可；

(3)先计算仅+1)(“+2)=/+3〃+2,同理(2)计算即可.

【详解】(1)解：设x-y=A,

原式=4+5A+A2,

=(A+1)(A+1)

=(x-v+4)[(x-y)+l]

=(4+x-_y)(l+x-y).

(2)解：设。+6=3,

原式=3(3-4)+4

=B2-4B+4

=(B-2)2,

=(a+b)2-4(a+Z?)+4

=[(。+。)-2了

=(a+b-2)2；

(3)证明：原式=(〃2+3〃+2)(〃2+3〃)+i

设川+3〃=C,

原式=(C+2)C+l,

=C2+2C+1

=(C+l>

=(〃2+3九+1).

QH为正整数，

.../+3〃+i为正整数.

，代数色+1)(〃+2乂/+3冷+1的值一定是某个整数的平方.

5.(1)24

(2)〃=-3

⑶①人…②%-3

^0=11

【知识点】因式分解的应用、解一元一次方程(一)一合并同类项与移项、加减消元法

【分析】本题主要考查了因式分解的应用：

(1)解方程2X(_2)3_2X(-2)2+〃?=0可得出机的值；

(2)依照示例即可求出〃的值；

(3)①由题意得％3+依2+fet—6=M-(x—l)(x—2),令x=l,则1+a+b—6=0,即。+匕=5；令尤=2,贝!J

8+4〃+2/?—6=0,即2a+Z;=—1,解方程组解求解；

②贝I」由题意得九3—6f+11%—6=M.(x—1)(%—2),设M=(mx+〃)，则得到

x3-6x2+llx-6=(mx+n)-(x-l)(%-2),化简得到x3-6x2+llx-6=mx3+(n-3m)x2+(2m-3n)x+2n,使

^2=]

得等式恒成立，则二<,即可求解

[n—3m=—o

【详解】(1)解：2x(-2)3-2x(-2)3+7n=0,

—24+m=0,

根=24,

故答案为：24；

(2)角麻设2d——x+〃=A(2x—3),

令X=|，则有:2x]|)-|+n=0,

解得，n=-3；

(3)解：①由题意得+办2+/?%—6=M•(1—l)(x—2),

令兀=1,贝!|l+a+b—6=0,即a+b=5；

令x=2,则8+4a+2b-6=0,即2a+〃=-l,

.fa+b=5

[2a+b=-l'

解得：Un：

②此时关于X的多项式13+以2+笈—6为/一6炉+1卜—6,

则由题意得：/—6/+11%—6=Af•(%—l)(x—2),

设M=(mx+M),

x3-6x2+llx-6=(mx+〃)(x-l)(x-2),

x3—6x2+1lx—6=(mx+n)•(x2-3%+2)

d-6x