2024届高三数学二轮复习：函数与导函数（二）

24届高三二轮复习函数与导函数专题2——函数与导函数

(二)

一、洛必达泰勒公式

1.(2023上•福建莆田•高三莆田第四中学校考阶段练习)已知函数

f(x)=sinx-2ax-axcosx,Vx>0,/(x)<0,则实数。的取值范围是()

A・卜HB-H)C.g+HD.(0,1

2.(2024•湖北武汉•武汉市第六中学校联考二模)已知e，+sinxN以+1对任意xe[0,+co)

恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-00,2]B.[2,+oo)C.D.[1,+co)

3.(2024上.北京石景山•高三统考期末)已知函数〃x)=ln(l-%).

⑴求曲线V=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵求证：当xe(-8,0)时，f(x)>-^x2-x；

(3)设实数k使得/(x)>小_x对xe(-8,0)恒成立，求k的取值范围.

4.(2023下•四川资阳•高二统考期末)已知函数〃x)=(x—l)e'+依+1.

⑴若”=-e,求〃力的极值;

(2)若xNO,/(x)>2sinx,求。的取值范围.

5.(2023下・安徽合肥.高二校联考期末)已知函数〃x)=e"g(x)=sinx+cosx.

⑴求证：/(%)>%+!；

(2)若xNO,问/(x)+g(x)-2-6NO(aeR)是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围;

若不恒成立，请说明理由

二、主元法

6.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(了)=々%*—36+2sim:-l,其中e为自然对数的底

数.

⑴若〃0)是函数〃x)的一个极值，求实数。的值；

⑵求证：当时，/(x)>0.

试卷第2页，共36页

7.(2024上•全国•高三专题练习)函数/(x)=±9D-elnx

⑴当”=e时，讨论函数的单调性；

⑵当a>e时，证明：/(^)<(a-l)e.

8.(2024上•全国•高三专题练习)知函数f(x)=xlnx.

⑴求函数AM的单调区间和最小值；

(2)当>>0时，求证：bb>(^y(其中e为自然对数的底数);

e

（3）若〃>0,6>0求证：/（Q）+（Q+））ln22/（Q+Z?）-/e）.

9.(2004.全国•高考真题)已知函数/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函数〃x)的最大值；

(2)设0<"6,证明。<g(a)+g(b)-2g[苛^]<(b-a)ln2.

10.(2023•河南・统考模拟预测)已知函数/(x)=a(e*-l)-hu.

⑴当。=1时，求的图象在点。，/⑴)处的切线方程；

⑵当时，证明：/(x)>sinr.

试卷第4页，共36页

三、零点比大小

11.（2012.全国.高考真题）已知函数，（x）满足满足/（%）=/”）e"T-/（0）x+g%2；

（1）求人%）的解析式及单调区间；

(2)f(x)>^x2+ax+b,求(。+1)。的最大值.

12.（2024上•湖北十堰•高三统考期末）若直线y=与曲线y=2+lnx相切，则a+b

的取值范围为（）

1

A.[e,+oo）B.—,+oo

C.[2,+a））D.[l,+oo)

13.（2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考一模）设函数/（%）=%-e—“，直线y=ox+b

是曲线＞=/（%）的切线，则为+b的最小值为（）

11

A.2——B.丁—1

ee

C.2——D.2T——

ee

14.（2024・全国•高三专题练习）已知关于%的不等式（。+1＞之lnx+〃恒成立，贝心筋一的

最小值为（）

111

A.-1B.D.

248

15.（2023•全国•高三专题练习）已知》+44/皿"对Vxe'L+s]恒成立，则的最小

a\a）a

值为.

四、剪刀差

16.(2023・四川宜宾・统考一模)已知/'(x)=x-xlnx-1,记了⑴在x处的切线方程

e

为g(x).

⑴证明：g(x)N/(x)；

(2)若方程/(x)=机有两个不相等的实根%,%(%<々)，证明：xl-x2>2m+2-e-^.

17.(2023・四川泸州・四川省叙永第一中学校校考模拟预测)己知函数Ax)=hix-二.

X

(1)是否存在实数a使得了⑺在(。，+8)上有唯一最小值如果存在，求出。的值；如果

不存在，请说明理由；

(2)己知函数/(X)有两个不同的零点，记/5)的两个零点是X1,求证：

尤2-尤］v(e+l)a+1；

试卷第6页，共36页

18.（2023上•全国•高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数=x-1有

两个零点.

（1）求。的取值范围；

7

（2）设两零点分别为百,%2（石<%），证明龙2-%

19.（2022・四川资阳•统考一模）已知函数〃尤）==+4（尤+1）.

（1）若f（x）单调递增，求。的取值范围；

（2）若/'（无）有两个极值点耳，巧，其中玉<马，求证：x2-^>e-ea+\ll-a.

20.（2023下•四川成都•高三成都七中校考开学考试）己知函数〃x）=e"T.

⑴求函数〃X）的单调区间；

（2）求函数可无）=彳詈的最小值；

⑶若函数“X）的图象与直线y=机有两个不同的交点A（%，M）、网和％）,证明:

UPe7Mej—4

五、韦达类零点问题

21.（2023・四川攀枝花•统考模拟预测）已知函数7■（x）=ae，—x（aeR）.

⑴当a=l时，求的单调区间；

⑵设函数8（力=1一1'工一%一〃尤），当g（x）有两个极值点石,马（不＜马）时，总有

坞（％）"2+xjd+月-3）成立，求实数r的值.

试卷第8页，共36页

22.(2023上•山西吕梁•高三校联考阶段练习)已知函数/(无)=-；x2+G-]nx(aeR).

⑴求函数A©的单调区间；

(2)若函数/(x)有两个极值点4，%。<三)，求当a为何值时，4/(占)-2/(々)取得最大

值.

23.(2024上•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数

y(x)=«lnx-x2-(2-a)x.

⑴求函数/(x)的极值；

fr()

⑵设/(%)的导函数为广(可，若4/(%<%)为〃%)的两个零点，证明：y^xy>-l

24.(2024上.天津宁河.高三统考期末)已知函数/(无)=ln尤+#,aeR.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在(I"⑴)处的切线方程；

⑵求的单调区间；

⑶设和々(°〈不<々)是函数g(x)=/(x)-融的两个极值点，证明：

g(^)-g(x2)<j-lna.

25.(2024上•江苏无锡•高三统考期末)已知函数+orlnx(aeR),广⑺为

〃x)的导函数，g(x)=/'(x).

⑴若。=-12,求y=/(x)在［1,灰］上的最大值；

⑵设尸(可超(3))，2(x2,g(x2)),其中<再.若直线PQ的斜率为左，且

"<g'a)+g'㈤,求实数。的取值范围.

2

试卷第10页，共36页

六、隐零点

26.(2024上•辽宁葫芦岛・高三统考期末)已知函数/(”=e*-aln(ax+“)-。，其中.0.

⑴当。=1时，求的单调区间；

(2)已知。<0,若/(彳)只有一个零点，求。的取值范围.

27.(2024・广东广州•铁一中学校考一模)已知函数-x+lnx),其导函数

为广(».

⑴若〃无)在不是单调函数，求实数的取值范围；

⑵若〃x)>0在(1,y)上恒成立，求实数的最小整数值.

28.(2024上•广东深圳•高三统考期末)已知函数f(x)=e，-aln(x+l)(aeR).

⑴若了(a)的最值为。，求实数”的值；

(2)当a=±("eN*)时，证明：/(%)>(M+l)a.

29.(2024・四川自贡・统考一模)函数/(x)=e*-lnx的最小值为机.

⑴判断力与2的大小，并说明理由：

⑵求函数g(x)=Inx-三的最大值.

30.(2023上•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知实数a>0,函

数〃x)=xlna-alnx+(x-e)2,e是自然对数的底数.

⑴当。=e时，求函数的单调区间；

(2)求证：/(X)存在极值点%,并求看的最小值.

试卷第12页，共36页

七、零点极值点作差

31.（2023上•广东深圳・高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数

/（x）=（x-l）er+ax2,aeR.

⑴讨论，（x）的单调性；

⑵当时，若/⑺的极小值点为马，证明：/（无）存在唯一的零点4,且为-%21112.

32.（2024上•天津•高三校联考期末）已知函数〃尤）=e工-无e「aln：（e是自然对数的

底数）.

（1）当a=l时，求函数“X）在点。/。））处的切线方程；

⑵当a>e时,

①求证：函数/(X)存在唯一的极值点4；

②在①的条件下，若/(x0)=0且％>玉，求证：/<5[+1-3

2%+1

33.(2024上•重庆•高三统考期末)已知函数/(x)=e'+(l-a)x-ln<zr.(e为自然对数

的底数)

⑴当°=1时，证明〃尤)存在唯一的极小值点%,且〃％)>2；

⑵若函数存在两个零点，记较小的零点为天，s是关于x的方程

ln(l+x)-cosx=ar1—2的根，证明：s>%.

Q

34.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(cosx-％)(兀+2%)-§(sinx+l),

试卷第14页，共36页

g(x)=3(%-兀)cosx-4(1+sinx)In13---J.

⑴证明：存在唯一X。,使〃x)=o；

(2)证明：存在唯一尤1d半兀)，使g(%)=0,且对(1)中%有毛+不＜兀.

35.(2024・全国•模拟预测)已知函数g(x)=lnx--y+a,

/(x)=g(x)+a(x-l)+^-^(aeR).

⑴若与g(x)在定义域上有相同的单调性，求a的取值范围;

(2)当。＞1时，记“X),g(x)的零点分别为无。，占，判断％与4的大小关系，并说明理

由.

八、对称方程

36.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃同=3-f+依+igeR）,其中e是自然对数的

底数.

⑴当。=-1,求“X）的极大值；

（2）若存在占,々（芯片马），使得/（不）=）（当），且%+%=1,求。的取值范围.

37.（2024上.广东湛江•高三统考期末）已知函数/。）=@*,xe[l,^o）.

X

⑴讨论了（X）的单调性.

⑵是否存在两个正整数4,巧，使得当玉＞%时，（々-%）2=无『靖?若存在，求出

所有满足条件的为，巧的值；若不存在，请说明理由.

38.（2023•四川南充,统考一模）设函数/（x）=（x-l）e，-尤-1釜为自然对数的底数）

试卷第16页，共36页

(1)求/(尤)在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;

(2)证明：/(x)有且仅有两个零点外,且为+%=。.

39.(2024上•河北邯郸•高三磁县第一中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=x1-2x+nAwc+—(加eR).

⑴当%=1时，求〃x)的单调区间；

(2)设g(x)=f(x)-(x-若存在％+赴=2(玉工尤?)，使得g(%)=gQ),求实数机的

取值范围.

40.(2024•全国.模拟预测)已知函数/'(x)=g(x)(eX+l)+2.

⑴若g(x)=x,求证：当x>0时,f(x)>2ex

⑵若g（x）=sinx-1,求证：〃x）在（-兀，兀）上有且仅有三个零点七，巧，X?（士<尤2<尤3），

且再+/+W=0.

九、三条切线问题

41.（2023上•广东汕头•高三金山中学校考阶段练习）若过点（〃?,〃）（〃，>0）可作曲线

y=d-3x三条切线，贝I]（）

A.n<—3mB.n>nr'—3m

C.n=in3—3m或〃=—3mD.-3m<n<m3-3m

X+]

42.（2023下•黑龙江大庆・高二大庆中学校考阶段练习）已知函数/（x）=—若过点

e

尸（-1,㈤可以作曲线y=/（%）三条切线，则m的取值范围是.

43.（2023下•陕西西安・高二陕西师大附中校考期末）若曲线“可吟有三条过点（。,a）

的切线，则实数。的取值范围为

9

44.（2024•河南•模拟预测）己知函数〃尤）=—+lnx的图象在x=4处的切线方程为

x

y=/（x）.

⑴求/（X）的解析式；

⑵若过点（。力）（a<4）可作图象的三条切线，证明：

试卷第18页，共36页

2

45.（2023•广东•东莞市东华高级中学校联考一模）函数/（无）=—+ln尤在x=4处的切线

x

方程为>=人（彳）.

⑴求丸（尤）；

（2）已知;<a<l,过9力）可作了（x）的三条切线，证明：h（,a）<b<f（a）.

十、零点同构

46.（2023下•四川成都・高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知％是方程

4-x（）

%3^-4+2111%-4=0的一个根，贝Ue丁+2111%的值是（）

A.3B.4C.5D.6

47.（2023上•河北石家庄•高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知

m3-6m2+15m=l,n3-6n2+15n=27,那么根+〃的值是.

48.（2023上•内蒙古鄂尔多斯•高三期末）已知函数/（x）=ln%+mx+l,g（x）=x（ex-1）.

⑴若f（x）的最大值是0,求用的值;

⑵若对任意尤>0,/(x)Vg(x)恒成立,求机的取值范围.

49.(2023上•四川•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=ax-lnx(aeR),g(x)=xe*-1.

(1)若a=3,求〃尤)的极值；

⑵若/'(x)+g(x)20对任意的xe(0,+<x>)恒成立，求a的取值范围.

50.(2022•全国响二专题练习)已知为是函数/(X)=x~e""+lnx-2的零点，贝!|

e2f+lnxQ=.

H^一■、换元同构

51.(2023・四川成都•石室中学校考一模)已知函数〃尤)=(1*2-名山式+?尤2有三个零

21nxilnxInx

点七、巧、X3且占(尤2<尤3，则—：—+9"的取值范围是()

试卷第20页，共36页

52.（2023・四川乐山•统考二模）若存在「目-1,2],使不等式

x（）+（'-l）lna^+金与-2成立，则“的取值范围是（）

A.[―.e2"|B.二通2C.|"4-'e4"|D.|"-,e4

_2eJJ[e2J|_e_

53.（2023上•四川内江•高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知函数

〃无）=（111%）2-彳工111%+£尤2有三个零点七,马,三，且玉＜三，则。的取值范围是.

54.（2023・新疆•校联考一模）若存在正实数苍丫满足xln上-ye'+尤（无+1）20,则）的

X

最大值为.

55.（2023上•宁夏银川•高三校联考阶段练习）己知函数/（x）=（lnx-5+2）lnx.

⑴讨论的单调性；

（2）当。=2时，求证：/（x）＜---x2+ax-a.

十二、Lambert同构

56.（2024上•青海西宁•高三统考期末）已知函数/（无）=e*-尤-1.

（1）证明:〃x）±0.

⑵若关于x的不等式⑪+2足尤+12%2/有解，求。的取值范围.

57.（2024上•山西运城・高三校考期末）已知函数/（力=3+依（4€11）.

⑴若函数〃彳）有两个不同的零点，求实数。的取值范围；

⑵若对任意的xe（O,+s）恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数。的

最大值.

58.（2023上•湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习）设〃x）=ar-（a+l）ln尤-

⑴讨论的单调性；

⑵设g（x）=*e2，—/⑺，若关于尤的不等式gaB^+g+sjlnx+g+l恒成立，求实

数a的取值范围.

试卷第22页，共36页

59.(2023•全国•高三专题练习)完成下列各问：

(1)已知函数〃x)=xex-a(x+hr),若/(力20恒成立，则实数a的取值范围

是;

(2)已知函数/(%)=祀*+6-。(％+111%+1),若/⑺之。恒成立，则正数a的取值范围

是;

(3)已知函数/(x)=W—alnx-x-l(尤>1),其中b>0,若/(力20恒成立，则实数

a马b的大小关系是;

(4)已知函数/(x)=ae2-ln2x-l,若/(x)20恒成立，则实数。的取值范围

是;

(5)若函数〃"=依+氏5-lnx-1在(0,y)上的最小值为0,则实数a的取值范围

是.

60.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=J-ex+alnx的最小值为1,则。的取

值范围为.

十三、乘法同构

61.(2022上•四川广安•高三广安二中校考期中)已知正数羽丫满足yin尤+ylny=e"

则孙-2x的最小值为()

A.—In2B.2—2In2C.—In2D.2+ln2

22

62.(2023•四川绵阳•统考二模)已知让R,对任意正数x都有八3'、-log3%N0恒成立，

则r的最小值为()

A.-------B.-----C.A3D.pe

2eln3eln3ee

63.(2024上•河北•高三雄县第一高级中学校联考期末)设实数〃〉0,若不等式

x

aeE-L.ln—对任意x>0恒成立，则。的最小值为（）

e

A.eB.2eC.—D.—

e2e

64.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（%）=0©"-'）"+6111%+工2-（6+2）工.

⑴当。=0时，求函数“X）的单调区间；

⑵当6=一1时，已知方程〃x）=d在台［］］时有且仅有两个根，求实数a的取值范

围.

65.（2023・四川乐山・统考一模）已知函数/（x）=log/,g{x）=ax,其中实数々>1.

x

⑴求力(%)=在（。,+8）上的单调区间和极值;

g(x)

⑵若方程gd+对'（X）=1有两个零点,求实数”的取值范围.

试卷第24页，共36页

十四、加法同构

66.（2024上•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数

/（x）=xlnx+（（7-l）x.

⑴若“X）的最小值为-2.求。的值；

⑵若函数y=eA-a-f（x）有两个极值点.其中e为自然对数的底数.求实数。的取值范围.

67.（2023上•四川雅安•高三校联考期中）已知函数〃无）=eE」lnA」，若/（x）对恒

aa

成立，贝心的取值范围是.

68.（2024上.广东深圳.高三深圳外国语学校校联考期末）若不等式

e"+（2a-1）x-2欣20对任意x«0,内）恒成立，则。的取值范围是.

69.（2023上•广东佛山•高三校考阶段练习）已知函数/。）=2屁2\

（1）求了（尤）的最小值；

⑵若对V无：>0,a>0,/（了）“依+1）111（空）-2x恒成立，求实数。的取值范围.

70.(2023・广东・统考模拟预测)已知实数相，”满足

2023-2/n3-ln2

---------m=--------lnw-ln(2e2020)=0,贝|机〃=_________.

2nV'

十五、其他同构

71.(2023上•四川德阳•高三德阳五中校考阶段练习)设函数f(x)=x+lna,

g(x)=竺詈，若/(尤)>g(x)在xe(0,l)恒成立，则实数。的取值范围是.

72.(2023上•四川广安•高三四川省广安友谊中学校考阶段练习)已知函数

f(x)=弓,g(x)=?,若/(m)=g(n)<0,贝!］，”"的最小值为.

73.(2022・全国・高三专题练习)若々>1,对任意元£6+8)，°十〃％一°以“加小-6

lax

恒成立，求。的取值范围.

74.(2023・广东广州•广州市培正中学一模)若实数f是方程e'7nx=x+，的根，则e」nt

X

的值为.

75.(2024上•广东揭阳•高三统考期末)已知函数/(x)=Ze龙+(hix)2—x,其中左>().

⑴当上=,时，证明：/(x)>0;

e

⑵若对任意xe(0,+oo),都有/(x)N(尤+ln左))求人的取值范围.

试卷第26页，共36页

十六、切点同构

76.(2024・四川成都.成都七中校考模拟预测)已知函数/(x)=a-Mog,x,其中4>1.

⑴当b=e时，若/(尤)在区间(1,口)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)当匕=1时，讨论了⑺的零点个数.

77.(2023・四川南充•统考一模)设函数/(x)=/(e为自然对数的底数)，函数/⑺与

函数g(x)的图象关于直线y=x对称.

(1)设函数力(幻=也应，若xe(O㈤时，/z(x)2也恒成立，求利的取值范围；

sinx

(2)证明：/(工)与g(x)有且仅有两条公切线，且/(x)图象上两切点横坐标互为相反数.

78.(2024上•广东•高三统考期末)已知函数/(x)=x"Tog,x(a>0,b>0)且bwl),

若21恒成立，则必的最小值为.

79.(2023上•河南•高三开封高中校联考期中)已知a>0且awl,对于Vxe(0,+oo),不

等式x"TogaXNl恒成立，则alna=.

80.(2024•陕西安康•校联考模拟预测)已知若曲线y=a1na与直线V="相

切，贝.

十七、异构

81.(2020上•江西南昌•高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习)已知aeR,函数

f(x)=e'-ax-\,g(x)=x-ln(x+l)(e=2.71828…).

(1)讨论函数/(x)极值点的个数；

(2)若°=1,当无e[0,+<»)时，求证：/(x)>g(x).

试卷第28页，共36页

82.(2024上.山东滨州.高三统考期末)已知函数/⑺=(2-〃-

⑴求函数的单调区间；

(2)若.=1,求证：/(j;)+exln(x+l)<x+l.

83.(2023上,山东•JWJ三校联考阶段练习)设/(尤)=办-+—(其中〃>0).

x

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)设若关于％的不等式g(x)2成：+(〃+3)1!1%+L+1恒成立，求实

数a的取值范围.

84.(2023上•江苏南通・高三统考阶段练习)若存在行(。,+8),使得Inx-夜+1之2办,

则，的取值范围是.

85.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=ln%+M+l,g(x)=-1).

⑴若f(x)的最大值是0,求正的值；

⑵若对于定义域内任意x,/(x)4g(x)恒成立，求机的取值范围.

86.(2023上•北京东城•高三北京市广渠门中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=eA-6cv+«-l,aeR.

⑴求证：Vxe(0,+co),InxVx恒成立；

(2)若/(x)存在极值，求。的取值范围；

⑶若xe[a,+oo)时，0成立，求。的取值范围.

87.(2023•海南•校联考模拟预测)已知函数/(x)=xlnx-加.

⑴当。=1时，讨论函数的单调性；

⑵若不等式/("，。/+0-4/一对亘成立，求实数。的取值范围.

试卷第30页，共36页

88.(2024上.江苏南京•高二校联考期末)已知函数/(尤)=口-1)/一(依2-1,。€!<.

(1)当a>0时，讨论函数/(X)的单调性；

(2)当x»0时，/(x)>(%-2)eY-ln(x+l)+2x,求°的取值范围.

89.(2022.全国.高三专题练习)已知函数y(x)=e£-"-xlnr+x(aeR)有两个极值点,

“x2(xl<^),设/(x)的导函数为g(x),证明。>2.

e2，2

90.（2022・全国•高三专题练习）当a>0时，证明,zhix+2+lnW

a

十八、分而治之

91.（2024上•山东淄博.高三统考期末）已知函数可无）=三二

⑴若x>0时，恒