2025高考数学复习技巧：概率与统计（八大题型）含答案解析

概率与统计

CCC

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】条件概率与全概率公式

【题型二】离散型随机变量及其分布

【题型三】二项分布

【题型四】超几何分布

【题型五】正态分布

【题型六】一元线性、非线性回归模型

【题型七】列联表与独立性检验

【题型八】概率、统计与其他知识的交汇问题

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：均值、方差的大小比较、最值范围问题

CCC

解密高考

考情分析I.

1、全国团对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查.在

高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，

以解答题形式出现，属中档题.

2、以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、

不等式的解集、定积分等知识交汇考查.在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.

3、以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查

离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法.在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档或较

难.

备考策略：小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判断

以及正态分布也是需要熟练掌握的。今年还需对冷门的知识点，比如用样本方差估计总体方差、最小二乘

法、残差等知识点的掌握和理解。

题型特训提分

【题型一】条件概率与全概率公式

【例1】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（）

1113

A.-B.-C.-D.-

8424

【答案】C

【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：A：A；=48,

甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：A；A；A；=24,

241

所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为一=一,

482

故选:C

【例2】（多选）有三个相同的箱子，分别编号1,2,3,其中1号箱内装有1个红球、4个白球，2号箱内装有2

个红球、3个白球，3号箱内装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱

并从中摸出一个球，事件A,表示“取到，号箱«=1,2,3）",事件B表示“摸到红球"，事件C表示"摸到白球”,

则（）

A.P（B|A）=|B.P（3|A）+P（C|4）=尸（A）

71

C.P（B）=-D.P（4|5）=-

IDo

【答案】AD

【分析】对于A,,由条件概率公式，即可求解；对于B,利用事件B,事件C相互对立和条件概率公式，

即可求解；对于C,根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D,利用选项C中结果，再利用贝叶斯公

式，即可求解.

11

PM3X1

【详解】对于选项A,因为P（a4）=5=所以选项A正确;

P(A)15

3

对于选项B,因为事件3,事件C相互对立，所以P（同4）+尸（c|A）="4?：二所以选项B不

正确;

对于选项C,由全概率公式知

111212

P(B)=P(A)P(B|A)+^(4)^|4)+^(4)^(5|4)=-X-+-X-+-X1=-.

所以选项c不正确；

Q

对于选项D,由选项C知P(5)=西

11

贝"(A忸)=9^=县喘产=玉5=?所以选项D正确，

15

故选：AD.

【例3】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%,加工出来的零

件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%、30%.任取一个零件，

如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为()

2120183

A.—B.—C.—D.—

47474710

【答案】C

【分析】记事件4：取到的零件为甲车床加工的，事件&：取到的零件为乙车床加工的，事件4：取到的零件

为丙车床加工的，事件比取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得尸(4⑻的值.

【详解】记事件4：取到的零件为甲车床加工的，事件4：取到的零件为乙车床加工的，

事件4：取到的零件为丙车床加工的，事件3：取到的零件是次品,

则呼闻=焉，尸…焉,尸”)$，

尸⑷/尸⑷W尸⑷小

36

/I\P(AB)尸(A)尸(MA)ZTioo」8

由贝叶斯公式可得尸(A忸)二尸(5)

3/36453347

［尸(A)P(BR)10X100+10><100+10><100

因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为关.

47

故选：C.

【变式1】电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的.某体育用品供应商在甲电商平

台推广新品A和8,在乙电商平台推广新品C.已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7,推送B的概率为

0.5,同时推送A和3的概率为0.3；乙平台向该用户推送C的概率为0.6,且甲平台的推送结果与乙平台的

推送结果互相不受影响.

⑴在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送B的概率；

（2）求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率.

【答案】⑴:2

（2）0.96

【分析】（1）设甲平台向该用户推送A为事件推送8为事件N,则甲平台没有向该用户推送A为事件而，

应用条件概率公式，计算可得结果；

（2）应用对立事件的性质，可以计算这两个平台向该用户不推送A、8、C中任一种的概率，用1减去可得

结果.

【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送A为事件推送8为事件N,则甲平台没有向该用户推送A为

事件而，由题设可知：

P（M）=0.7,P（N）=0.5,P（W）=0.3,P（M）=l-P（M）=0.3,

又尸（N）=P（MN）+P（而N）=0.5,所以P（而N）=0.2,

.（应N）2

（2）设平台向该用户推送C为事件Q,

则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：P=\-P（MNQ）,

因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以尸（而配）=尸（必利•尸⑼，

因为尸（而:）=尸（而N）+P（而讨）=0.3,所以P（而H）=0.1,

即P（M7V）F（2）=0.lx0.4=0.04,

所以尸=1-P（而讨@）=1-0.04=0.96.

【变式2】小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为3:，周二去健身的概率为：5，且小李周一不去健

身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率

为.

【答案】1/0.5

【分析】设"小李周一去健身"为事件4设"小李周二去健身"为事件2,根据题意利用全概率公式可得，进

而结合条件概率公式分析求解.

【详解】设"小李周一去健身"为事件4设"小李周二去健身"为事件2,

则"小李周一、周二都去健身"为事件

35-

由题意可知：P（A）=：,P（B）=-,且P（5|A）=2P（5|A）,

46

由全概率公式可知：P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）,

51-3-

即丁丁⑻A)+V⑻代入尸⑻m=2尸⑻4)，

2

可解得P(8|A)=§,

3?1

所以P(A2)=尸(A)尸(2|A)=［X§=5.

故答案为：

21

【变式3】甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为］,且每人

每次投中与否互不影响.

⑴求"甲第一次未投中，乙两次都投中"的概率；

⑵求“乙获胜"的概率.

【答案】呜

【分析】⑴结合随机事件的概率求解即可(2)结合随机事件"乙获胜”分为甲投中0次，乙投中1次或者两次,

和甲投中1次，乙投中两次两种情况结合全概率公式求解即可.

【详解】(1)设事件"甲第一次未投中，乙两次都投中"为事件A,

1111

则尸(A)=—x—x—=

33327

(2)谁事件"乙获胜"为事件及

11

则尸(2)=—X—X

3333233J2332339

【题型二】离散型随机变量及其分布

【例1】(多选)设随机变量&的分布列为「卜=：］=成，(笈=1,2,3,4),则()

A.10〃=1B.尸(0.3<0.82)=0.5

3

C.E^)=-D.?C=l)=0.3

【答案】ABC

【分析】由。+2々+3々+4々=1,求出〃，根据随机变量均值的定义，结合选项依次判断即可.

【详解】A：由1+2々+3a+4。=1,得10〃=1,故A正确；

23

B：尸(0.3<&<0.82)=尸修=0.2+0.3=0.5,故B正确;

C：由选项A知，a=OA,

i23

贝I]PG=-)=0.1.PC=-)=0.2,PG=-)=0.3,PC=1)=0.4

~123434

所以=—x0.1+—x0.2+—x0.3+—x0.4=—,故C正确；

44444

D：由选项A知，＜2=0.1,则尸C=1)=04,故D错误.

故选：ABC

【例2】已知随机变量J的分布列如表

-101

1

PaC

4

若£>C+2)=；,贝|EC+1)=()

八5T33„1厂3Tl

A.一或一B.一或肃C.—或——

222222

【答案】B

【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可.

1Q

【详解】由题意得。+。+1=1,即a+c=彳①，

E(J)=(-l)xa+0x；+lxc=c-a,=(-1)2xa+0x^-+l2xc=c+a,

又因为r)C+2)=。⑷=g,所以〃⑷二切“卜同切匕”+G-年-4,②，

联立①，②，解得(c-a)2=；,所以c-〃=土;，

”，1…15、”1.51

当C—CL——口寸，Q.——,C——;当C—CI-口寸，CL——,C——,

288288

1a

故E《+l)=E©+l=c_a+l,解得%+1)=；或j

故选：B.

【例3】已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球,

一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和

一个3号球.

⑴从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，

摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二

次摸到的是3号球的概率.

【答案】⑴分布列见详解；E(X)=1

,、29

（2）---

112

【分析】(1)分析可知随机变量X的可能取值为0,1,2,结合超几何分布求分布列和期望;

(2)设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解.

【详解】(1)由题意可知：随机变量X的可能取值为0,1,2,则有:

4202001

P（x=。）年=/（x=i）W下尸—2)=方

6C466

可得随机变量X的分布列为

X012

1_2]_

P

6§6

191

所以随机变量X的期望E空)=0乂％+1、+2><%=1.

(2)记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件A，4,A3，

第二次摸到的是3号球为事件B,

2ill?

则尸(4)=了尸(4)=尸(4)=了尸⑻4)=了尸(阴4)=］尸(44)=方,

21111?29

所以尸(B)=p(4)P(例A)+P(4)P(例4)+P(4)P(例丁下.

T"1T"T"T"/AA乙

【变式1］设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则4=.

X024

50

P--2q

~24

【答案】1/0.5

【分析】根据随机变量的概率非负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,列出方

程和不等式，解方程组即可.

【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,

所以；+7—2q+q2=1,

24

解得4=31或g=g3,

又因为随机变量的概率非负不大于1,

所以0W：-2q41,0<^2<1,

解得上收，

OO

综上4=g，

故答案为：g##0.5.

【变式2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是:，乙每次击中目标的概率是:，假设两

42

人是否击中目标相互之间没有影响.

⑴求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；

(2)设甲击中目标的次数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴三3

3

(2)分布列见解析，E(X)=(

【分析】(1)甲恰好比乙多击中目标2次，包括甲恰好击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰好击中目标

3次且乙恰击中目标1次，根据公式得到结果；

(2)根据题意确定变量X的所有可能取值，根据变量对应的概率和独立重复试验的概率公式，写出变量对

应的概率，写出分布列，做出期望值.

【详解】⑴设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件耳，甲击

中目标3次且乙击中目标1次为事件B2,

则P(A)=P(BJ+尸(o)=c；

3

所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为高.

128

(2)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,

27

P(X=1)=C；

64

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

77?7Q13

所以£1(X)=0x——+lx——+2x—+3x—=—

v7646464644

【题型三】二项分布

【例1】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率

为工，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为;.已知输入的问题表达不清晰的概率

为】

⑴求智能客服的回答被采纳的概率；

(2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布

列、期望及方差.

4

【答案】⑴］；

4I?

⑵分布列见解析，期望为:，方差为2.

【分析】(1)根据给定条件，利用全概率公式求解.

(2)求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.

【详解】(1)设人="智能客服的回答被采纳"，3="输入的问题表达不清晰"，

1—41—7

依题意，==P(A|B)=-,P(A|/?)=-,

552X

——11474

因止匕尸(A)=P(B)P(A|B)+尸(2)尸(A|2)=—x—+—x—=—,

52585

4

所以智能客服的回答被采纳的概率为二.

(2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,2),

P(X=0)=唉)。钞=点，尸(X=1)=C；0©2=高,

JJJ.乙JJJ.L乙J

尸(X=2)=下(令2(聂=焉尸(X=3)==黑,

所以X的分布列为：

X0123

1124864

p

125125125125

4124112

数学期望E(X)=3xw=(；£>(X)=3x-x^=—.

【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是:，乙每次击中目标的概率是3，假设两人

是否击中目标相互之间没有影响.

⑴求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；

（2）设甲击中目标的次数为X,求X的分布列和数学期望.

3

【答案】（1）京

IZo

3

（2）分布列见解析，-

【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目

标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可；

（2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以X~B[3,；],根据二项分布即可求解.

【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件耳，甲击

中目标3次且乙击中目标1次为事件

则尸（小尸（4）+尸（即=%门箝。播+4*嗯）唱,

3

所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为之.

128

（2）由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,且

=V/（X=3）=1

64

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

77?7Q13

^l^E（X）=0x-+lx-+2x-+3x-=-

【变式1】某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2

件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某

一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9,0Q5和0.05,且各件产品的质

量情况互不影响.

⑴求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

⑵若质检员一天抽检3次，以X表示一天中需要调整设备的次数，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴0.9；

⑵分布列见解析，E（X）=0.3.

【分析】（［）应用全概率公式计算求解即可；

（2）先根据对立事件求概率。=尸仁），再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可.

【详解】（1）设A,表示事件"在一次抽检中抽到的第z,件产品为一等品"，1=1,2,

与表示事件"在一次抽检中抽到的第i件产品为二等品"，，=1，2,

C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整"，则c=A-4+A•鱼+片

由已知尸（A）=0.9,P（Bj=0.05,z=l,2,

所求的概率为尸（C）=P（A•&）+P（A•用）+「（4•4）=0.92+2x0.9x0.05=0.9.

（2）依题意有：随机变量X的可能取值为。,1,2,3,

由⑴知一次抽检后，设备需要调整的概率为0=P©=l-O.9=O.l,

依题意知X~5（3,0.1）,则P（X="=Ux0.VxO.934化=0,1,2,3）,

故X的分布列为：

X0123

p0.7290.2430.0270.001

所以：E（X）="p=3x0.1=0.3.

【变式2］我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找

到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为90%；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为60%.若这个人能够找到鱼

窝的概率为50%.

⑴求此人能捕到鱼的概率；

（2）此人连续下网＞5）次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为。=左（左=。,1,2,…，小，则"

为何值时，6次捕到鱼的概率=6）的值最大？

【答案】⑴75%

（2）〃=7或〃=8

【分析】（1）根据全概率公式直接求解即可；

（2）根据二项分布概率公式可表示出P信=左），采用不等式法可求得左的范围，结合人=6最大可确定”的

取值.

【详解】（1）记事件A为"此人能补到鱼"，事件B为"此人能找到鱼窝"，

贝1」/5（川8）=90%=0.9,P（A,）=60%=0.6,P（8）=P（^）=50%=0.5,

p（A）=P（B）P（A|JB）+P（B）P（A|B）=0,5x0.9+0.5x0.6=0.75=75%.

（2）由（1）知：4〜B（n,0.75）,P（^=k）=C*xO.75"x（l-0.75）"-'=C^xO.75"x0.25n^,

假设当5=左时，左次补到鱼的概率最大，

nkMn+1A

rJC*xO.75^x0.25->C^'xO.75xO.25--3n-l<3n+3

川jc：x0.75/x0.25"Y>CWx0.75*Mx0.25"+"'牛后：4«4，

"3n-l,

5<------<6

若尸信=6）的值最大，贝ij4,解得：7<n<^,

6<^^<73

I4

又〃〉5且〃wN*,〃=7或〃=8,

即当〃=7或〃=8时，6次补到鱼的概率尸（J=6）的值最大.

【题型四】超几何分布

【例1】袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.

⑴求取出的3个球中有2个白球的概率；

（2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.

21

【答案】⑴石

⑵分布列见解析，E（X）=g

【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可.

（2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可.

C2C121

【详解】（1）所求概率为号=宣

G44

（2）X可能的取值为0,1,2.

C3

尸（x=o）=胃6

11

C20C2_909

P（X=I）

Cf2~22022

42

尸（X=2）=*CC101

22022

故X的分布列为

X012

691

P

112222

®EX=Ox—+lx—+2x-=-

1122222

【变式1]（多选）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女

生的人数，用¥表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（）

备注：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X=r）=CMCN-M其中r=0,l,2,3,…=,则

C?

称X〜H（w,M,N）.

A.B.y~H（5,8,14）C.E（X）＜E（Y）D.E（X）+E（F）=5

【答案】BCD

【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人，

则所选5人中女生的人数X和男生的人数Y服从超几何分布，

即*~”（14,6,5）,丫~“（8,5,14）,所以选项A错误，选项B正确;

又由超几何分布的均值公式，可得：

nM=5x6=15«M=5x8=20

'）N147'、）N147'

所以E（X）＜E（F）,

E（X）+E（y）=]+万=5,所以选项C,D正确.

故选：BCD

【变式2】一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品.现进行如下两个试

验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为X1,期望方差分别为E（Xj,O（Xj；

试验二：逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为X?,期望和方差分别为矶X2）,O（Xj,

则下列判断正确的是（）

A.E（X1）=E（X2）,D（X1）＜D（X2）B.E（X1）=E（X2）,Z）（X1）＞Z）（X2）

£（X）＞E（X）,Z）（X）＞D（X）D.

c.1212E（XI）＜E（X2）,D（XI）＜D（X2）

【答案】A

【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸

出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案.

【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为X1,

则X1的可能取值是0,1,2,

C°C21__C^_24

则P(XI=O)=岩心P(Xn8

jo315

P(X=2)=-C2^cAo2

jo15

故随机变量X1的概率分布列为:

012

182

P

31515

则数学期望为：E(X1)=0xl+lxA+2xA=l,

方差为：O(X[)=(0—g)2•；+"g)2,t+(2-g)2•[=!!；

42

试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为元二y,

则X?~,

24

故E(X2)=2xg=m，

2312

方差为：D(X)=2X-X-=-^,

25525

b,、，〜»、323612〜“、

所以£>(^1)=—<—=—=D(X2),

故E(XJ=E(Xz),。(乂)<。的).

故选：A.

【题型五】正态分布

【例1】(多选)若随机变量X服从标准正态分布，P(X>ni)=OA,则()

A.m>0

B.m<0

C.P(|x|</n)=0.2

D.尸(|X[>m)=0.2

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用标准正态分布的性质逐项计算判断.

【详解】对于AB,由尸(X>m)=0.4〈尸(X>0)=0.5,得相>0,A正确，B错误;

对于CD,P（|X|>m）=P（X<-m）+P（X>ni）=2P（X>777）=0.8,贝|尸（|X|<7〃）=0.2,C正确，D错误.

故选：AC

【例2】（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,

经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4,

假设坐公交车用时X和骑自行车用时-都服从正态分布，则（）

A.P（X<30）<P（r<34）

B.P（X<36）=P（r<36）

C.若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车

D.若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车

【答案】BD

【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和3b事件的原则，逐项判断即可.

【详解】由题意：X〜N（30,36）,y〜N（34,4）.

对A：因为尸（XV30）=；,P（y<34）=1,所以P（XW30）=P（y（34）,故A错误；

对B：因为尸（XM36）=尸（XV30+6）=尸（XV4+0）,P（K<36）=P（K<34+2）=P（K<M2+cr2）,所以

P（X<36）=P（y<36）,故B正确；

对c：因为P（X434）>P（X430）=1,P（K<34）=1,所以尸（XW34）>尸（FW34）,所以只有34分钟可

用，小明应选择坐公交，故C错误；

对D：因为尸（XV38）二尸（XV3O+8）<P（XVWj+20）,P（K<38）=P（K<34+4）=P（K<M2+2cr2）,所以

P（X<38）<P（r<38）,所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确.

故选：BD

【例3】某校高三学生的模考数学成绩X服从正态分布Ne5,IO?）,按照16%,34%,34%,16%的比例将

考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是（）

附：P（/Z-CT<X</z+cr）»0.6827,P（^/j-2a<X</z+2cr）«0.9545,P（//-3cr<X<//+3cr）®0,9973.

A.优秀B.良好C.合格D.基本合格

【答案】B

【分析】利用正态分布的性质即可求解.

【详解】由题得4=85,cr=10,所以4+b=95,〃—b=75,

4+2b=105,〃-2cr=65,

因为P(〃一crWX<//+cr)«0.6827,P(//-2cr<X<//+2cr)«0.9545,

所以P(X>95)a1一°；827=015865^16%,

根据比例成绩大于95分为优秀，

因为P(85<X495卜°6；27=034135~34%,

根据比例成绩在85到95之间的为良好，

P(75<x<85)»06；27=0.34135=34%,

根据比例成绩在75到85之间的为合格，

P(X<75)«1-°詈7=0.15865216%,

根据比例成绩小于75分为基本合格，

因为小张的数学成绩为92分，则他的等级是良好.

故选：B.

【变式1】已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械

生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为()

(运算结果保留小数点后两位)参考数据：若X服从正态分布(〃,/)，则

尸(〃~(y<X<jLi+o)=0.6827,PQi-2cr<X<//+2b)=0.9545,P(//—3b<X<//+3b)=0.9973.

A.0.57B.0.75C.0.80D.0.84

【答案】C

【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解.

【详解】尸(96<x<112)=尸(〃一cr<X<〃+3cr)=0.84,

P(92<X<108)=P(〃-2(r<X<〃+2cr)=0.9545,

故所求概率P=0.84x0.9545=0.80178®0.80,

故选：C.

【变式2】已知随机变量J〜N(L4),MP(^>r)=Jp(^<o),则2+①(0<x<t)的最小值为.

【答案】9

9Q

【分析】由正态分布的对称性求得参数/的值，再用基本不等式求出的最小值，即可得到答案.

x2-x

【详解】由随机变量。〜N(l,b,则正态分布的曲线的对称轴为4=1.

又因为尸所以0+/=2,解得r=2.

当0<x<2时，由基本不等式得：芯+2\6存2=,|(22-x)+^->2^(2-x)?^=.

将两个不等式相加，就有9+12+/—126+12=18,从而2+/_29.

2-x)x2-x

22+„+上一3+6-9

而当x=；时，有％2-尤2236：

33

9Q

所以4+4的最小值为9.

故答案为：9.

【变式3](多选)随机变是X服从正态分布令函数“x)=P(X2x),则下列选项正确的是()

A./(1)=1B./(x)是增函数

C.〃尤)是偶函数D.“X)的图象关于点中心对称

【答案】AD

【分析】由正态分布可求得/。)=尸(X21)=J,判断A；易得/(x)在(1,+8)上是减函数，可判断B；计算

/⑴W/(T)，可判断C；证明/(x)+〃2-x)=l可判断D.

【详解】对于A,因为X~N[1,£|,所以/(1)=P(X21)=；,故A正确；

对于B,x>l,当无增大时，/(x)=P(X2x)减少，

所以〃幻在(1,+s)上是减函数，故B错误；

对于C,7(1)=P(X>1)=/(-1)=P(X-i)>故C错误；

对于D,若〃x)的图象关于点[1,£|中心对称，则/(x)+/(2—x)=l,

因为X服从正态分布所以关于x=l对称，

所以「(X2x)=尸(XW2T),

则〃尤)+/(2-x)=P(X2龙)+P(X22-x)=P(XW2—x)+P(X22—x)=l,故D正确.

故选：AD.

【题型六】一元线性、非线性回归模型

【例1】某公司收集了某商品销售收入y(单位：万元)与相应的广告支出x(单位：万元)共io组数据

（4y）（i=l,2,3,…,10）,绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A点

后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是.

八销售收入W万元

60-•

50-.•**

40-.•

30-

P1.01.‘52.02.’53：03：54：04：55：05‘.5广智支出

x/万元

①决定系数R2变小②残差平方和变小

③相关系数「的值变小④自变量x与因变量y相关性变弱

【答案】①③④

【分析】回归效果越好，则决定系数代越大，相关系数『的绝对值越大，残差平方和越小.

【详解】从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回归效果更好，

故决定系数尺2会变大，更接近于1；残差平方和变小;

相关系数厂的绝对值，即上|会更接近于1,由图可得x与>正相关，故厂会更接近于1,即相关系数「的值变

大，自变量x与因变量>相关性变强，故①，③，④错误，②正确.

故答案为：①③④.

【例2】众所周知，乒乓球被称为中国的"国球"，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.

某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期（用x=l

表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推）参加活动的累计人数y（人）的统计数据.

Xi234567

y614203774108203

⑴根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型y=试建立》与龙的回归方程（精确到0Q1）;

（2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30

人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5

和27.0,试求全体学生身高的平均数和方差.

7717

参考数据：9=66,2之1.57,=2681,£x,4=50.95,其中z,=lg%,z=-^z;；

Z=11=1/Z=1

参考公式：对于一组数据（4用），（的，岭卜…，（"〃，为），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计

，UM-nuv

公式分别为♦"7''一，a=v-(3u.

£一nu

i=\

【答案】⑴y=10"S7

（2）平均数为167.5,方差为42.6

【分析】（1）利用对数变换将非线性回归模型y=cd工转化为线性回归模型，再根据给定的参考公式求出线

性回归方程的系数，进而得到y与x的回归方程；

（2）根据分层抽样的性质，利用平均数和方差的计算公式来求解全