2025年高考数学复习易错题：指数函数、对数函数和幂函数（学生版+解析）

专题04指数函数、对数函数及塞函数

目录

题型一：指数运算及指数函数

易错点01对根式性质理解不到位出错

易错点02忽略底数对指数函数性质的影响

题型二对数运算及对数函数

易错点03忽视对数式成立的条件而出错

易错点04判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错点05利用换元法求值域遗忘范围

题型三幕函数

易错点06错判基函数的性质

题型一：指数运算及指数函数

易错点01：对根式性质理解不到位出错

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三・全国・专题）下列说法正确的个数是（）

①49的平方根为7；②（婀③病=°；④正3）2-3）-

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是±7,故①错误；

3（1V

（妪）=4=〃，故②正确；

病=同，故③错误；

而可=3§，故④错误.

故选:A.

【易错剖析】

本题容易混淆根式的性质和分数指数塞的运算律而认为J/=a，长1=(-3)：成立而误选C.

【避错攻略】

1.根式的概念

一般地，如果无"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃eN*.

(1)当〃是奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的九次方根是一个负数,这时,。的〃次方根用符号标

表示.

(2)当“是偶数时，正数。的〃次方根有两个，记为土布，负数没有偶次方根.

(3)0的任何次方根都是0,记作而=0.

式子而叫做根式，其中〃(">1,且〃627*)叫做根指数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

根据“次方根的意义，可以得到：

(1)(而)"=a.(2)当"是奇数时,"=山当"是偶数时?二:=["'""：

v{-a,a<0

3.分数指数幕的意义

m__

正分数指数塞规定〃〃=y/a^^>0,且〃>1）

m]

分数指数累规定〃n=~^（〃>0,加,几£!^*,且〃>1）

负分数指数幕

an

0的分数指数幕0的正分数指数早等于0,0的负分数指数幕没有意义

易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值

范围不同，如(标)"中当〃为奇数时,为偶数时,a.0,另外根式的化简结果也不同；

m

—72

⑵分数指数累。〃中的一不能随便约分，要注意底数取值范围的改变.

m

举一反三

1.(2024・河南•三模)若atO,6eR,则化简2幅3+(6了+病的结果是()

A.3+a+Z?B.3+a+回

C.2+a+〃D.2+a+MI

2.(2025高一•全国•课后作业)。(3—2)=()

A.3—7tB.7i—3

C.|3-7i|D.当〃为奇数时，3-71；当”为偶数时，71-3

3.（24-25高一上•黑龙江大庆•期中）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（）

A・-yfx=(-X)，

-11

C.13=(x>0)

易错题通关

1.（23-24高一上•北京延庆•期末）#(-2)4的值为()

A.±2B.±4C.2D.4

1

2.（23-24高三上•山东潍坊•期中）将疗写成分数指数幕的形式为)

7a

447_7

A,7BD.

a-QC.a4a*

3.（23-24高一上•广东佛山•阶段练习）下列运算结果中正确的是（)

A.anB.(-=Q6

D.

a12

4.（23-24高三上•广东中山•阶段练习）设。＞0,将1〒表示成指数嘉的形式，其结果是（）

y/ayja3

73

B.i

A・〃2aC.a6D,标

5.（24-25高三上•江苏盐城•开学考试）（多选）下列选项中正确的有（）

A.府=。B.若aeR,贝!]一“+1）=1

______4

为=匠

C.#尤4+y3=x3+yD.

6.（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）（多选）下列运算正确的是（）

236

A.B.(a)=a

C.log43=21og23D.Ig54-lg2=log25

7.（24-25高三上•海南海口・阶段练习）（多选）若代数式G万+忘二I有意义，则

4-2x+l+&X_2）4=.

8.（2023高三・全国・专题练习）（多选）«_2），+8（-3）4的值为

易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响

易错陷阱与避错攻略

Q

典例（2024•四川攀枝花•模拟预测）已知奇函数外）="+力1（。>071）在［-1』上的最大值为■!，则。=

（）

A.工或3B.l或2C.3D.2

32

【答案】A

【分析】根据奇偶性求得6,分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可.

【详解】因为〃x）是奇函数，所以〃r）=—f（x）,所以/（—x）+/（x）=0.

BPa-x+bax+ax+b-ax^O,则（6+1乂,+才、）=0,解得6=—1,

经检验6=T符合题意，所以〃耳="-/，

当4>1时，0<-<1,

a

则函数y=优在［T1］上单调递增，y=在［一U］上单调递减，

所以〃力="-「在［-1,1］上单调递增，

Q

l

所以，/（X）max=f（l）=a-a=-f整理得34_8。—3=0，

解得。=3或。=-;（舍去），所以。=3；

当Ovavl时，—>1,

a

贝IJ函数y="在［-1,1］上单调递减,y=］在［-1,1］上单调递增，

所以在［-1,1］上单调递减,

Q

所以，/Wmax=/（-1）=整理得3a2+8。一3=0，

解得°或a=-3（舍去），所以4=；,

综上，a=§或3.

故选：A.

【易错剖析】

本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.

【避错攻略】

1指数函数的概念

一般地，函数y=/（a〉O,且awl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数。是一个大于0且不等

于1的常量，定义域是R.

【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点

（1）定义域为：R

（2）规定。＞0,且awl是因为：

①若a=l,则丁=优三1（恒等于1）没有研究价值；

②若。=0,则%＞0时，y=优三0（恒等于0）,而当xWO时，优无意义；

③若a＜0,则中加为偶数，〃为奇数时，无意义.

④只有当0＜a＜l或a＞l时，即a＞0,且awl,x可以是任意实数.

2底数对指数函数图像与性质的影响

（1）底数。与1的大小关系决定了指数函数丁=优（。＞0且awl）图象的“升”与“降”.

①当。＞1时，指数函数的图象是“上升”的，且当%＞0时，底数a的值越大，函数的图象越“陡”，

说明其函数值增长的越快.

②当0＜。＜1时，指数函数的图象是“下降”的，且当了＜0时，底数。的值越小，函数的图象越

“陡”，说明其函数值减小的越快.

（2）底数。的大小决定了图象相对位置的高低：不论是。＞1还是0＜。＜1,底数越大，在第一象

限内的函数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数。的大小决定了图象相对位置的高低；

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.

举一反三

1.（23-24高一上.湖南株洲•期末）若函数〃%）=优（4>0且中1）在。1］上的最小值与最大值的和为3,则

函数y=2奴-1在［0」上的最大值是.

2.已知函数/（x）=a后（a>0且awl）在区间［2,3］上单调递增，则。的取值范围为（）

3.函数>=3-优在区间卜I?上的最小值是_3,贝心的值是.

■易错题通关

1.函数y=aX-2（a>0且&力1,一1<%<1）的值域是［一|,1］,则实数a=（）

A.3B.C.3或之

2.（23-24高三上.北京海淀•阶段练习）已知a>0且分1,函数〃尤）=°""1若函数在区间

-x+a,x>l

［0,2］上的最大值比最小值大!•，则a的值为（）

A.彳1或2B.7；或2C.2或彳7D.1彳或7:

23222

一、、口，［（a-2）x+4a+l,x<2一人

3.（23-24高三上.安徽六安•阶段练习）己知函数/（无）=：1c（。>0且"1）,若，⑴存在

［2a,x>2

最小值，则实数。的取值范围为（）

A.吗B.

C.uD.fo,1u（l,2）

5.（23-24高一上.黑龙江绥化•阶段练习）已知指数函数f（x）="在［-1』上的最大值与最小值之差为2,则

实数。的值为（）

'三B.邑2近+3

D.72+1

2

6.（2024高三.全国.专题练习）已知函数/（x）=a'（。>0且。司）在区间［-2,4］上的最大值是16,求实数

a的值；

7.（2024高三下.全国.专题练习）函数，（x）=/，+优+1（a>o,且aHl）在［-U］上的最大值为13,求实

数a的值.

8.（21-22高一上.河北.阶段练习）已知函数=且。41）.

（1）若"2）=；,求/（-2）的值；

（2）若〃x）在［-1,1］上的最大值为"求。的值.

9.（23-24高三上・甘肃兰州•阶段练习）已知函数〃无）=/+尸、+机（优-尸）（。>0且"1）.

⑴若利=2,求函数的最小值；

（2）若/（x）2-1恒成立，求实数加的取值范围.

题型二对数运算及对数函数

易错点03：忽略对数式成立的条件而出错

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山西太原•期中）已知函数〃x）=log“x（。>0,的图象经过点（2,-1）,则不等

式-1）的解集为.

【答案】图

【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.

【详解】由题意可得〃2）=log.2=—1,贝H=2,解得。=g,

由函数=10§1%在（。,+e）上单调递减，

2

x>2x-l

则—可得x>0,解得

2x-l>0

故答案为：gj.

【易错剖析】

x>0,

本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.

[21>0

【避错攻略】

1.对数的定义

一般地，如果优=双（。〉0,且。工1）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log〃N,其中。叫

做对数的底数，N叫做真数.

2.常用对数与自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828...

底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为InN.

3.指数与对数的互化

当。>0,aw1时，a、'=N=x=logflN.

4.对数的性质

（1）logfl1=0；（2）logfla=l；（3）零和负数没有对数.

5.对数运算性质

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：

⑴logfl（M-N）=logflM+logflN；

M

（2）log—=logflM-logaN；

n

（3）logaM=nlogaM{ne7?）.

【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.

易错提醒：基于对数式log“N,其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数a>0且真数N>0,

在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件，避免出现遗漏或多解.

举一反三

1.（24-25高一上•广东广州•期中）（1）已知log—），-7x+13）=0,求x的值；

2.（24-25高三上•北京•阶段练习）若log2（x+l）W0,则实数x的取值范围是.

3.（24-25高三上•湖北武汉•期中）若P：log/a-l）<g,4：a2-2a-3<0,则P是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

,易错题通关》

1.（2025•广东•模拟预测）若Iog2%+logj=2,则病”=（）

A.3B.4C.9D.16

2.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）已知集合4={M（^尤VI},B=（x|0<x<4）,则A8=（）

A.{x|x<2}B.{x|无44}

C.{x[0<x44}D.1x|0<x<2}

3.（24-25高三上•内蒙古赤峰•期中）已知。，6eR,Iga+lg（力）=1,则4a+6的最小值为（）

A.20B.472C.2.75D.4行

4.（2024.广东广州.模拟预测）若x,yeR,贝『2-2'>0”是“111（%7）>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）设函数7（彳）=/,，则不等式/（2皿3力+八3-log3尤）<0的解集是

（）

A.B.,4C.（0,27）D.（27,y）

6.（24-25高三上•湖北•期中）若关于尤的函数〃x）=lg[log0（/+ax+2）]的定义域为R,则实数。的取值范

围为（）

A.（O,1）U（1,2）B.（O,l）u（1,272）C.（1,2）D.（1,20）

2

7.（24-25高三上•上海闵行•期中）设0<a<1,若logfl（x+l）>10gli（3尤+5）,则实数x的取值范围是.

8.（23-24高三下.上海.阶段练习）方程坨（2-*）+联3-*）=312的解是.

9.（24-25高三上•河南・期中）已知函数〃"=1。82]占-1）为奇函数.

（1）求。的值；

（2）求满足"X）<log?（x+2）-log点X的x的取值范围.

易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•辽宁大连•期中）函数”x）=log3（d-4）的单调递增区间为（）

A.（0,+oo）B.（-oo,0）C.（2,+00）D.（-00,-2）

【答案】C

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.

【详解】函数〃x）=log3（d-4）,令f_4>0,即（x—2）（x+2）>0,解得x>2或x<-2,

所以的定义域为（-力「2）52,+功，

又y=log3X在定义域上单调递增，y=Y-4在（2,+⑹上单调递增，在（-口,-2）上单调递减，

所以的单调递增区间为（2,e））.

故选：C

【易错剖析】

本题求解时容易错解中忽视了函数力力的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函

数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.

【避错攻略】

1.复合型函数单调性规律

若函数y=/（M）在A内单调，M=g（x）在8内单调，且集合{〃/〃=g（x）,xe3}GA.

⑴若y=/（〃）是增函数，M=g（x）是增（减）函数，则y=/[g（x）]是增（减）函数

⑵若y=/1）是减函数，M=g（x）是增（减）函数，则y=/[g（x）]是减（增涵数

2.复合型函数单调性判断步骤

第一步：求函数的定义域

第二步：令内函数为M=g（x）,画出其图像，从而确定其函数的单调性

第三步：画出外函数y=/（M）的图象并确定其单调性

第四步：利用结论同增异减判断.

易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调

性的影响；（2）树立定义域优先的思想.

举一反三

1.（24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习）函数/（无）=lnx+ln（2-尤）的单调递增区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.D.（1,+co）

2.（24-25高三上•山东德州•期中）已知关于x的函数>=1°8［（炉+办+。-1）在［-3,-2］上单调递增，则实数。

2

的取值范围是（）

A.a<4B.a<4

C.a<3D.a<3

3.（24-25高三上•江苏泰州•期中）函数〃x）=ln（x2—8x+12）的单调递增区间为.

易错题通关

1.（24-25高三上•北京房山•期中）已知函数〃x）=ln［三）下列说法第误的是（）

A./⑺的定义域为（-M）B./（x）的图象关于.v轴对称

C.〃x）的图象关于原点对称D./"）在（0,1）上单调递增

2

2.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）已知函数/（x）=log2（x-2ax）,aeR,贝甘241”是“函数/（x）在（1,+«）

上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024•广东佛山•模拟预测）函数/（x）=l°g!（4-x）+log^x的单调增区间为（）

22

A.（2,4）B.（0,2）C.（2,+8）D.（一8,2）

4.（24-25高三上・江苏常州•期中）己知函数/（x）=log.（2-or）（a>0,且awl）.3xe［l,2］,使得

成立，则实数。的取值范围是（）

A.g"B._|』［（U］

C.（1,2］D.1,2

5.（2024•海南•模拟预测）已知a>0且"1,若函数="与g（x）=1鸣，+4办+7）在［―1,y）上的单

调性相同，则。的取值范围是（）

A.]o,gB.1,ljC.（1,2）D.（1,+s）

6.（24-25高三上•重庆•阶段练习）（多选）关于函数〃x）=ln（e，+eT-2）,以下说法正确的是（）

A.为奇函数

B./（x）为偶函数

C./⑺在区间（0,+8）单调递增

D.f（x）在区间（0,+e）单调递减

7.（24-25高三上•天津南开•阶段练习）已知函数〃元）=上2（-/+依+15）在1,4上单调递增，则实数。的

取值范围为.

8.（24-25高三上•河南•阶段练习）已知函数〃x）=ln卜inx+cosx+30）.

⑴证明：〃尤）是周期函数；

（2）求外力的单调递增区间.

9.（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）已知函数/（x）=log.（2—x）+log/x+4）（a>0,且awl）.

（1）若。>1,求函数〃尤）的单调递增区间；

（2）若函数〃尤）的最小值为-g,求。的值.

易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•河南焦作•阶段练习）若函数f（x）=l+lgx,则函数尸（x）=2[/⑹T㈤尤e4/0°的

值域为（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根据对数的单调性可得”x）e[0,3],再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.

【详解】函数/5）=1+1改在[上,100]上单调递增，

又(；)1+坨2=1-1=°，/(100)=l+lgl00=l+2=3,故”x)e[0,3],

令t=[/(x)]2-f(x2)="(尤)f-1-21gx=[/(x)]2-2/(x)+1=[/(x)-l]2e[0,4],

而函数y=2,在［0,4］上单调递增，贝h42Y16,

所以函数尸(x)=2"(切5四的值域为［1,16］.

故选：D.

【易错剖析】

本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.

【避错攻略】

1.指数型复合函数值域的求法

(1)形如y=于(/)(〃>0,且awl)的函数求值域

借助换元法：令优二%,将求原函数的值域转化为求/⑺的值域，但要注意“新元广的范围

(2)形如y=(a>0,且aHl)的函数求值域

借助换元法：令〃=/(x),先求出〃=/(x)的值域，再利用y=的单调性求出y=的值域。

2.对数型复合函数值域的求法

(1)形如y=/(logax)(a>0,且a#l)的函数求值域

借助换元法：令log“x="先求出log.x=f的值域河，再利用y=/(f)在河上的单调性，再求出

y=的值域。

(2)形如y=loga/(X)(a>0,且awl)的函数的值域

借助换元法：令〃=/(%),先求出〃=/(X)的值域，再利用y=log〃〃的单调性求出y=log。/(%)

的值域。

易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范

围变大而出错.

・举一反三

W+4%+3

1.(24-25高三上•海南省直辖县级单位•期中)已知函数y,则下列说法正确的是()

A.定义域为R

B.值域为（0,2]

C.在卜2,内）上单调递增

D.在[-2,+oo）上单调递减

2.（2024・上海•模拟预测）函数〃尤）=1。82（2司」喉（8力的最小值为.

3.（22-23高一下.青海西宁.开学考试）若函数〃%）=4+.守+9月的值域为[°，+8），则a的取值范围

是.

易错题通关.

1.（23-24高二下•浙江•期末）已知函数y=ln（/-3x+2）的定义域为集合A,值域为集合3,则金A=（

A.（y,l>（2,y）B.（一C.（1,2）D.[1,2]

2.（24-25高三上•山西•阶段练习）已知,则函数〃尤）=的值域是（）

A.B.（0,3]C.D.[3,+co）

3.（2024.吉林长春.模拟预测）（多选）已知函数则下列说法正确的是（）

A.函数/（无）单调递增

B.函数值域为（0,2）

C.函数〃尤）的图象关于（0,1）对称

D.函数〃尤）的图象关于（L1）对称

4.（2024高三・全国・专题练习）已知函数〃力=2喋2彳-豌2（厂1）,的最小值是.

5.（23-24高一上•广东茂名•期中）函数>=[坨（2，+1）[-4*2':+1）+6的值域是.

（[、J-/+2尤+3

6.（24-25高三上•重庆涪陵•开学考试）函数y=；的值域为.

7.（23-24高一上•浙江湖州•期末）设函数〃x）=（2e：l）,xe[0,^）,则函数〃尤）的值域是.

8.（23-24高三上•黑龙江绥化•阶段练习）当xWl时，函数/（x）=4、-2.+2的值域为.

9.（24-25高三上•山西晋城•阶段练习）已知函数/⑺满足，（2x）Togz（4x2-8尤+〃?）.

2

⑴求“X）的解析式；

（2）若机=8,求外力的值域;

（3）讨论〃%）的定义域.

题型三幕函数

易错点06：错判塞函数的性质

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•海南海口•阶段练习）已知幕函数〃x）=J（m,“eN*,加，〃互质），下列关于/（元）

的结论正确的是（）

A.m,"是奇数时，塞函数/（x）是奇函数

B.7"是奇数，〃是偶数时，幕函数/（X）是偶函数

C.m是偶数，力是奇数时，塞函数Ax）是偶函数

D.0＜己＜1时，幕函数/（无）在（0,内）上是增函数

m

【答案】ABD

【分析】对于ABC：根据幕函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据嘉函数的性质直接

判断即可.

【详解】对于选项A：若叫"是奇数时，则/（同=丘，

此时f（x）的定义域为R,且=而彳=-而=〃x）,

所以嘉函数f（x）是奇函数，故A正确；

对于选项B：若他是奇数，〃是偶数时，则〃尤）=犷，

此时Ax）的定义域为R,且/（-x）=而彳=正=〃x）,

所以幕函数/（元）是偶函数，故B正确；

对于选项C：机是偶数，”是奇数时，则/（尤）=丘，

此时了（尤）的定义域为［0,+8）,不关与原点对称,

所以累函数f（x）不具有奇偶性，故C错误；

对于选项D：0＜二＜1时，由塞函数性质可知：/（元）在（0,+电）上是增函数，故D正确；

m

故选：ABD.

【易错剖析】

对于募函数/（x）=x-,整数机,“取不同的值，对塞函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，

这一点在判断用函数的性质时是一个容易出错的知识点,要在复习中高度重视..

【避错攻略】

1.幕函数的概念、解析式、定义域、值域

幕函数的定义：一般地，函数＞=/叫做幕函数，其中X是自变量，。是常数.

p_

解析式：y=/=x'

【注意】定义域：当。为不同的数值时，募函数的定义域的不同情况如下：

1.如果。为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果〃为

偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2.如果同时“为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数.

当x为不同的数值时，嘉函数的值域的不同情况如下：

1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数.

2.在x小于。时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数.

而只有。为正数，0才进入函数的值域.

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的.

2.基函数的性质

所有的幕函数在（0,+8）上都有各自的定义，并且图象都过点（1,1）.

（1）当。＞0时，塞函数y=/有下列性质：

。、图象都通过点（1,1）（0,0）；

b,在第一象限内，函数值随尤的增大而增大；

c、在第一象限内，。＞1时，图象开口向上；0＜。＜1时，图象开口向右；

d、函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8）上是增函数.

（2）当。＜0时，幕函数y=V有下列性质：

。、图象都通过点（1,1）;

氏在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；

C、在第一象限内，当无从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，

当无趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近无轴.

（3）当a=0时，幕函数y=/有下列性质：

a、y=x°是直线y=l去掉一点（0,1）,它的图象不是直线.

易错提醒：|塞函数有关的问题，一定要注意哥指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另

外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.

举一反三

1.（24-25高三上•江西宜春•阶段练习）已知累函数〃可过点2,,若〃°+1）</（3-20，则实数°的

取值范围是.

2.（2024•北京延庆・一模）已知函数/（x）=N（0<a<l）在区间（-1,0）上单调递减，则a的一个取值为

____tn

3.（2025高三上•全国・专题练习）如图所示是函数（办〃eN*且互质）的图象，贝U（）

y-x

A.m,〃是奇数且竺<1B."是偶数，”是奇数，且‘<1

nn

c.机是偶数，〃是奇数，且多>1D.m,“是偶数，且%>1

nn

易错题通关

1.（24-25高三上•上海•期中）下列函数在区间（0,1）上为增函数的是（）

A.y=l°gMB.y=d-2x

3

C.y=y[xD.y=—

x

2.（24-25高三上•江苏淮安•期中）已知幕函数〃%）二"2一一1卜2T的图象与丁轴无交点，贝"的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024•天津・模拟预测）下列图象中，不可能成为函数〃切=丁+工的图象的是（）

X

4.（2024.四川南充.二模）已知函数的图象如图所示，则”元）的解析式可能是（）

士—±3-

A.y=X?B.y=y-1C.y—XD・y=x3

5.（23-24高一上.浙江•期中）塞函数〃尤）=/（品（”eN*）的大致图像是（）

6.（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）（多选）下列关于幕函数〃劝=尤1的说法正确的有（

A./（x）的定义域为RB./(x)的值域为(-8,0>(0,+8)

C.7(X)为偶函数D.不等式/(x)>l的解集为(0,1)

33

7.(23-24高一上•上海浦东新•期中)不等式(x+2尸<(5-2x尸的解集为.

19

8.(24-25高三上・甘肃白银•阶段练习)已知幕函数/。)=32_3)钟+"一2在(°，+8)上单调递减，则。的值

为.

9.(2024高三.全国・专题练习)己知函数〃彳卜一士加右旷)，且该函数的图象经过点(2,忘).

⑴确定m的值；

(2)求满足条件f(2-a)>的实数a的取值范围.

10.(22-23高二下•江苏苏州•阶段练习)已知幕函数〃X)=(3川-2加卜m(meR)在定义域上不单调.

(1)试问：函数/'(x)是否具有奇偶性？请说明理由；

(2)若，求实数的取值范围.

壳题04指数函数、对数函数及塞函数

目录

题型一：指数运算及指数函数

易错点01对根式性质理解不到位出错

易错点02忽略底数对指数函数性质的影响

题型二对数运算及对数函数

易错点03忽视对数式成立的条件而出错

易错点04判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错点05利用换元法求值域遗忘范围

题型三幕函数

易错点05错判幕函数的性质

题型一：指数运算及指数函数

易错点01：对根式性质理解不到位出错

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三・全国•专题）下列说法正确的个数是（）

①49的平方根为7；②的丫=a；③后=a；④，（一3『=（-3）；.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是±7,故①错误；

（五）="=a,故②正确；

行=同，故③错误；

,------------1

y（-3）2=3弓,故④错误.

故选:A.

【易错剖析】

本题容易混淆根式的性质和分数指数塞的运算律而认为"=a,攻彳=（-3）1成立而误选C.

【避错攻略】

1.根式的概念

一般地，如果£=a,那么x叫做。的〃次方根，其中”>1,且“eN*.

（1）当〃是奇数时，正数的几次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数,这时,。的“次方根用符号布

表示.

（2）当"是偶数时，正数。的〃次方根有两个，记为土加，负数没有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,记作而=0.

式子G叫做根式，其中“5>1,且"eN*）叫做根指数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

根据“次方根的意义，可以得到：

（1）而）"=a.⑵当〃是奇数时，江=必当”是偶数时，折

［一〃，〃<。

3.分数指数事的意义

m___

正分数指数塞规定a”=〃EN*,且

分数指数嘉

负分数指数幕规定。"=—(a>Q,m,n&K,JELZZ>1)

an

0的分数指数幕0的正分数指数累等于0,0的负分数指数幕没有意义

易错提醒：（1）处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值

范围不同，如（孤）"中当〃为奇数时,为偶数时,a.O,另外根式的化简结果也不同；

—mF7_

⑶分数指数幕中的一不能随便约分，要注意底数取值范围的改变.

m

叁举一反三

1.（2024.河南.三模）若a»0,6eR,则化简2幅3+（6>+9的结果是（）

A.3+a+bB.3+a+|Z?|

C.2+a+bD.2+々+网

【答案】B

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.

【详解】由2晦3=3,（而『=〃，症=例可知，

2%3+（6）2+后=3+0+瓦

故选：B

2.（2025高一•全国•课后作业）2（3-兀）"（〃eN,〃22）=（）

A.3-71B.7i-3

C.|3-7t|D.当〃为奇数时，3-兀；当〃为偶数时，n-3

【答案】D

【分析】当“为奇数时，如3-兀）"=3-兀;当〃为偶数时，.（3—五）"即可求解.

【详解】当"为奇数时，0（3-2"=3-兀;

当〃为偶数时，乂（3—兀）"=|3—兀卜兀一3.

故选：D

3.（24-25高一上•黑龙江大庆•期中）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（）

A，-y/x=(-x)5B.

-11

C.X3=五口>。)

【答案】C

【分析】根据分式与指数幕的互化逐项判断可得答案.

【详解】对于A选项：-«=-x5（xZ0），（-x）5="（xW0），故A错误;

对于B选项:疗"=_y3(y<0)，故B错误;

11,八、

对于C选项:x§1=荻">°，故C正确;

X3

,291311

对于D选项:当了<0时,4=（_£^=（_力5,而当X<0时，/=正没有意义，故D错误.

故选：C

易错题通关

1.（23-24高一上.北京延庆.期末）4-2）4的值为（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】C

【分析】根据根式的运算求得正确答案.

【详解】痣可=卜2|=2.

故选：C

1

2.（23-24高三上.山东潍坊.期中）将疗写成分数指数塞的形式为（）

4477

A-a1