2025高考数学复习技巧：立体几何小题（六大题型）含答案解析

立体几何小题

CCC

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】表面积与体积的计算

【题型二】最短路径问题

【题型三】立体几何新定义

【题型四】截面问题

【题型五】交线与轨迹问题

【题型六】“球”的切接问题

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：动点导致的体积，角度变化

解空高考

考情分析:立体几何小题几乎年年考。

通常考点有，多面体，旋转体表面积、体积的考察；与内切球，外切球的方式考察；截面问题，轨迹问题,

动点问题形式考察

备考策略:

1.锻炼自己的空间想象能力

2.熟悉各种解题模型

3.会对多面体的各个截面讨论

题型特训提分--------------------------------------

【题型一】表面积与体积的计算

【例1】已知圆锥的母线长为6,其外接球表面积为等，则该圆锥的表面积为（）

A.12TIB.16兀C.18兀D.27兀

【答案】B

【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系（〃-尺）2+产=发，再结合户+序=6?和R=2叵即可计算.

4

【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图，

该其外接球的半径为R,则外接球表面积为"=4兀叱，则氏=述，

24

即|&。|=|。0=苧，

设圆锥的高为|40=/7,圆锥的底面圆半径为|。#=乙则—+/=62,

由（/7-R）2+/=R2,解得/2=竺=40/=2,

R

则此圆锥的表面积为7ir2+Ttrl=16TI.

【例2】如图，已知圆台形水杯（不计厚度）的杯口直径为6,杯底的直径为4,高为心水杯中盛有部分

水当杯底水平放置时，杯中水的高度为上将半径■的小球放入杯中，小球被完全浸没，zK恰好填满水

81918191

【答案】D

【分析】根据小球的体积和原来水中的体积之和为整个圆台的体积，结合圆台体积的计算公式，列出方程,

即可求得结果.

【详解】圆台水杯上底面圆半径为R=3,下底面半径为弓=2,

当杯底水平放置时，液面半径为2，

为方便理解，画出圆台的轴截面图如下所示:

R

因为此时杯中水的高度为3,故&为1=学]

g（7T，j+;K2+（无片XTrR。=g（4兀+9k+J36k2）/7=£Tl/7,

整个水杯盛满水时的体积为:1

未放置小球前水的体积为:

24

又小球体积为3兀*[*]=二^兀；

3⑴6

故旦也+经-电业即旦由经兀，解得力=驯.

246324691

故选：D.

【例3】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的

A.2上B.而C.V15D.2V15

【答案】D

【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得5氏=2兀/，求得衣=8,进而由儿二病二3可求得圆锥

的高.

【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为r=2,

TT

设扇形半径为R，则有：尺=2"，解得兄=8,因此圆锥的母线长为刀=8,

所以圆锥的高&=一/=。64.4=2屈.

故选：D

【变式1】若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（）

8白

A.-----71B.8兀C.12兀D.8岳

3

【答案】A

【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论.

【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，

所以圆锥的底面半径r=2,高h==26,

所以圆锥的体积V==兀、4*2/=述兀.

333

故选：A.

【变式2］（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和4,母线长为5,则该圆台的（）

A.高为4B.母线与底面所成角为60。

C.侧面积为257tD.体积为28兀

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形、侧面积及体积公式逐项求解判断.

【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别有=2,2弓=8,腰长/=5,

对于A,圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高耳=取=y=4,A正确；

对于B,母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角。，cos0=^-2L=|^1,B错误;

对于C,圆台的侧面积5=兀&+4）/=25兀，C正确；

对于D,圆台的体积V=g兀a?+q弓+］）/z=g兀（1+Ix4+I6）x4=28n,D正确.

故选：ACD

【题型二】最短路径问题

【例1】如图圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为12cm,BC为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆

柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为（）

A.10cmB.11cmC.13cmD.12cm

【答案】c

【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点3展开后的对应点为9，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行

的最短路径为A9,利用勾股定理计算出48,即可.

【详解】

把圆柱沿母线AC剪开后展开，点8展开后的对应点为笈，

则蚂蚁爬行的最短路径为A8',

如图，由题意可知AC=12,CB'=5,

在RtAACB',AB'=752+122=13>

所以它爬行的最短路程为13cm,

故选：C

【例2】圆锥顶点A,底面半径为1,母线43=4,AB的中点为一只蚂蚁从底面圆周上的点B绕圆锥侧

面一周到达M的最短路线中，其中下坡路的长是（）

A.0B.垣C.逑D.-J5

55

【答案】B

【分析】将圆锥侧面沿母线A3剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段过A作四的垂线，

垂足为N,求出的长即可.

【详解】将圆锥侧面沿母线A3剪开并展开成扇形，

27r7T

则该扇形半径AB=4,弧长为2兀><1=2兀，圆心角NBAM=：-=不，

42

最短路线即为扇形中的线段,BM=JAB。+AM。=2小,

过A作的垂线，垂足为N,当蚂蚁从8点爬行到点N过程中，它与点A的距离越来越小，

于是为上坡路段，当蚂蚁从点N爬行到点M的过程中，它与点A的距离越来越大，

于是M0为下坡路段，下坡路段长===

265

故选：B

TT

【变式1】如图，在正四棱锥2-钻8中，PA=2,NBPA=—,一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面

12

爬一圈回到点4则小虫走过的最短路线的长为

【答案】2

【分析】画出正四棱锥P-ABCD的侧面展开图，得至UA,M,N,E共线时，小虫走过的路线最短，最长

最短距离.

【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示.

当A,M,N,E共线时，小虫走过的路线最短，最短为A4'的长.

因为Bl=2,ZBPA=—’71,所以ZAPA=4x’71±=’712,

12123

则ARV是边长为2的等边三角形，则〃V=2,即小虫走过的最短路线的长为2.

故答案为：2.

【变式2】已知圆台上下底面的圆心分别为。，。0，母线AB=3（点8位于上底面），且满足AO2=2BO-

圆仪的周长为2兀，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到A3的中点C,则蚂蚁爬行的最短路程

为（）

A.B.3/C.3币D.正

22

【答案】A

【分析】首先求出底面圆。2的半径R，与上底面的半径「，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，

延长A3、4瓦交于点0,连接AC,设NB。耳=a,利用弧长公式及4?=3求出a与。4,再在△A0C中

利用余弦定理求出AC即可.

【详解】因为圆。2的周长为2兀，则底面圆。2的半径R=AQ=1,

=BO1=;,

将圆台的侧面沿着母线A3剪开，展成平面图形，延长A3、A片交于点0,连接AC,如图,

弧53]的长为兀，设N_B05]=a,则二义。4=2兀，axOB=Ti,

TT39

则04=203,又钻=3,即04-03=3,所以0A=6,则"=一，OC=3+-=-,

322

在△A0C中由余弦定理AC=+OC--2OAOCcosa

912x6x2」*

,62+

1222

所以蚂蚁爬行的最短路程为半.

故选：A

【题型三】立体几何新定义

【例11从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为"一笔画”.下列几何体

可以“一笔画"的是（）

【答案】C

【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔

画的条件.

【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以c选项正

确；

从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点

才可以一笔画，

而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.

故选：C

【例2】如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？.

【答案】1,2

【分析】通过想象每根绳子在拉伸两个端头时的变化过程，来确定哪些绳子会形成结，直接判断即可.

【详解】绳子工的判断：当拉伸绳子1的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成一

个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结；

绳子2的判断：同样，对于绳子2,其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕而

形成一个结；

绳子3的判断：绳子3在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方

式并没有形成闭环式的交叉；

绳子4的判断：绳子4拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开；

根据对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是1,2,

故答案为：1,2.

创新题主要是在原概念、原公式、原定理、原法则、原运算等的基础上，给出新概念、新公式、新定理、

新法则、新运算等，然后此基础上去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对

新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题"不一定是"难题”,

掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

【变式1】给定两个不共线的空间向量。与分，定义叉乘运算规定：①0x6为同时与a力垂直的向

量；②a,6,axb三个向量构成右手系（如图1）；③|"6|=同卜卜皿氏6〉.如图2,在长方体中

一44G2中，A8=AZ）=2,AA=4,则下列说法中错误的是（）

图1图2

A.ABxAD=A4j

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+A£））x朋=ABxAAl+ADxAAi

D・KABCD-A用GP=（^^xAD）・CG

【答案】B

【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算

长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D.

【详解】对于A,例同时与A民AD垂直，

lUimuumiiUiDi||Uuui|/Uimuuw\IUUHI

ABxAD=ABAD\sin（AB,AD}=2x2xsin90°=4=招,

且AB,AZ）,A4,构成右手系，即ABxAZ）二朋成立，A正确；

对于B,ABxAD=AAl,ADxAB=-AAl,则ABxwADxAB,B错误；

zuunuumxtoriionumii

对于C,（AB+ADIXA4=ACxAAJ=2V2x4xsin90°=872,

ACxA4,与05共线，且方向相同，

|ABx44tl=2x4xsin90=8,ABxA4,与.共线，且方向相同，

^£）x7141=2x4x8^90=8,ADx惧与.共线，且方向相同，

贝|]刖*胡+46司=8"4人44,+46441与£）8共线，且方向相同，

因止匕（AB+AO）xA4]=48x441+AT>x44],C正确；

2

对于D,^ABco-ABCDt=2x2x4=16,（ABxAD〉C£=AA}-CCt=4=16,

因此匕BCD-MG=（A3xAD）CG，D正确.

故选：B

【变式2】在一张纸上写着一个词，把纸对半折下，使能够看到词的下半部分.从纸的另一面你能看到什么？

描述一下.

12

CAHNPyKA

un1111'111"K

34

rMpH6AVbl

1VI1flUFlVUIR

【答案】答案见解析

【分析】想象各张纸的上半部分折过去然后旋转过来，即从另一面看过来的图象即可.

【详解】由题意各纸张从另一面看的图形为：

1为

nnvu

2为v2i«a

3为D口yi」

4为

1*1flV0

【变式3】在《线性代数》中定义：对于一组向量％,%,见存在一组不全为。的实数勺，h,…除使

得：用4+&4+.+M%=0成立，那么则称%,%,%线性相关，只有当左=履=左=0时，才能使

£%+&%++尢,%=。成立，那么就称为,%，。“线性无关.若｛%,%,2｝为一组不共面的空间向量，

则以下向量组线性无关的是（）

A.%+%，%+%+。3，a3B.%,%+%,a2~a3

C.%,%+a?，%—a?D.%+a）,cc^—a?,%

【答案】D

【分析】根据向量组线性相关，无关的定义列出等式，解方程组即可判断.

【详解】因为｛4,4,4｝为一组不共面的空间向量，则内不能用电，线性表示，

即只有当勺=攵2=攵3=。时，匕％+左2%+占。3=6

对于A：设%（%+%）+左2（。1+。2+%）+%%=0，

整理得：（勺+左2）%+（匕+左2）。2+（e+&）。3=。，

所以有+k2=。,七十%3=。，取勺=%=1,攵2=—1,

所以%+%,%+%+%，电线性相关，故A错误；

对于B：设勺%+左2（。2+%）+匕（。2-。3）二°，

整理得：（k[+&+%）&+（&-匕）%=0，

所以有匕+左2+与=。/2-43=。，取用=一2,左2=左3=1'

所以a2,a2+a3,%-%线性相关，故B错误；

对于C：设勺/+&（%+4）+%（1-%）=。，

整理得：（勺+&+匕）。1+（左2—%）。2=。，

所以有匕+左2+/=。/2-攵3=。，取勺=一2,攵2=%=1，

所以的,%+%,%线性相关，故C错误；

对于D：设发（%+%）+&（%-%）+&%=0，

整理得：（/+左2）。1+（勺_左2）。2+&。3=0，

所以有4+左2=。，左一左2=。，左3=。，解得用=k2=k3=0,

所以%+%,%-%，%线性无关，故D正确.

故选：D

【题型四】截面问题

【例1】如下图所示，在正方体ABCD-ABIGR中，如果点E是A4的中点，那么过点2、B、E的截面图

形为（

C.正方形D,菱形

【答案】D

【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.

[详解】分别取BBi,CG的中点G,尸，连接AG,BF,D、F,GF,

如图QEB厂即为过点2、B、E截正方体所得的截面图形,

由题意可知：4E//G8且4E=GB,所以四边形AEBG为平行四边形,

所以AG//E8,又因为G尸〃4G且Gf=B1G,4。//4G且AR=B[C],

所以AA〃G尸且A2=GB,所以四边形为平行四边形，所以RF//AG,

所以DF//EB,同理ER//BF,所以四边形2E3F为平行四边形，

又因为EB=BF,所以平行四边形REB尸为菱形，

【例2】已知一正方体木块ABCD-ABC2的棱长为4,点E在棱AA上，且AE=3.现过2瓦用三点作一

截面将该木块分开，则该截面的面积为（）

A.4726B.5V17C.2726D.2m

2

【答案】A

【分析】如图，在CG上取一点尸，使得c/=1,连接耳尸,。尸，则四边形。班/为平行四边形，即平行

四边形。班/为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出S,og,即可求

解.

【详解】

DiG

如图，在CG上取一点f，使得CP=1,B.F,DF,AF,ECVEF,AQ,

因为AE//CZ旦AE=C£,所以四边形AECXF为平行四边形，

所以所与AG相交于。且。为AG的中点，

又。在上，所以E尸与耳。相交于0,且。平分£F,B.D,

所以四点£»,瓦综尸四点共面且四边形DEBXF为平行四边形,

所以过D,E,4三点的截面是平行四边形。匹/，

22后,/亦+府=

DE=\lAE+AD=5,BtE="尸+(BG'=DB[=4A/3,

B]E2+DE?—B[D?_17+25-48___3

..cosNDEB1

2B】EDE~2x5x67—5717

4A/26

..sinNDEB】=Jl-cos?NDEB1

5A/17

故截面面积为S=2S=2x-DExB.EsinZDEB.=5xVF7x生”=4而.

215V17

故选：A.

【变式1】如图，正方体ABC。-A4GQ的棱长为4,BtP=2PC,RQ=3QG，过2,P,。三点的平面

截该正方体，则所截得的截面面积为（)

1573C.15厉D.3721

【答案】D

CRCP1

【分析】延长3尸交eq于点穴,贝（1----,推出B,H,Q，R四点共面，再计算S梯形BH2R即可得

人」B、BB、P2

出答案.

CRCP1

【详解】延长交CG于点R,贝!J----=----=一,

人」B[BB[P2

即R为CC1的中点，

连接。R,取A片中点连接则8"//QR,

所以B,H,Q,R四点共面，故梯形QR8H即为截面图形,

BH=BR=2QR=275,QH=y/V7,

RH=依同+BR=才+4C：+CIR2=2A/6,

记3"边上的高为〃，BN=x

贝ljRB2-BN2=QH2-{BH-QR-BN)2=h1=>(2右『_1=(a-(2石一#-x『=力解得

4,2国

*飞yr

所以曲3=+BH）拉=$3乖义工=3©.

故选：D.

【变式2】如图，正方体A2CD-ABC?的棱长为2,点E,厂分别是42,8C的中点，过点2,E,尸的

平面截该正方体所得的截面多边形记为。，则。的周长为（

A.4夜+46B.4肉后C.V2+2V13D.4旧+0

【答案】C

【分析】作出辅助线，得到五边形。/以旧即为截面O,根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面

周长.

【详解】延长D4,DC,与直线所相交于M,。，

连接QM，2Q与4AGC分别交于点,连接尸耳班

则五边形QPEFH即为截面。，

正方体的棱长为2,点及尸分别是的中点,

所以砂=—xj2?+22=五,

2

由RtBEF=R3CQF三RtAAEM得,

AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=^,

4

所以p,H分别为靠近AC的三等分点，故AP=G"=§，

所以由勾股定理得D,P=D[H=22+=J4+—=户=,

所以。的周长为D/+PE+E尸+打/+么/7=冬叵*2+巫又2+0=2如+忘.

33

【变式3】如图，正方体ABC。-44^口的棱长为1,尸为3C的中点，Q为线段CG上的动点，过点A、P、

Q的平面截该正方体所得的截面记为S,给出下列四个结论：

①当0<CQ<g时，S为四边形；

②当CQ=；时，S为等腰梯形；

③当CQ=1时，S的面积为亚；

2

31

④当。。=7时，s与。12的交点r满足GR=§.以上结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面.

【详解】①当0<CQ<g时，如图(1),S是四边形，故①正确;

DiCi

图⑴

②当时，如图是等腰梯形，

CQ=g(2),S故②正确；

DiCi

图⑵

③当CQ=1时，如图(3),此时截面为菱形两条对角线的长分别为四，石

所以S=,x0x百=】但，③正确.

22

S

图⑶

3使RN=g,连接⑷V交42于S,连接QN交C12于尺，连接SR,

④当CQF寸，如下图，延长皿至N,

12

则4V//PQ,由NRDrQRC】,可得C]R:RR=qQ:D]N=1:2,所以。毋=:,即=],故④正确;

N

DiRG

aQ

--HC

TP

图⑷

故选：D

【题型五】交线与轨迹问题

【例1】如图，三棱柱A8C-A4cl中，AB=4,AC=3,BC=5,惧=6,。为CC1中点，E为8耳上一

点，BB[=3BE,ZACD=120°,M为侧面MGC上一点，且//平面,则点M的轨迹的长度为

C.及D.1

【答案】B

【分析】在CD上取点M，使得MD=2，MC=1,在AC上取点也，使得％A=2，MC=1,则BM//OE、

加|加2//4。，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面//平面相圮，则点M的轨迹为线段〃1加2，

结合余弦定理计算即可求解.

【详解】由题意知，BE=2,CD=3,在C。上取点Mj,使得MQ=2,M0=1,

则MXDUBE豆M、D=BE,所以四边形BEDMt为平行四边形,

故BMJIDE,又平面ADE,DEu平面ADE,

所以BM〃平面

在AC上取点外,使得％A=2,%C=1,

有畿=浅=1所以（MM-CDA,则必加2〃47）,

LVL,iyivl2/1乙

又叫平面ADE,4）u平面ADE,

所以M{M2II平面ADE,又BMJ=Mi，BM「MXM2u平面BMXM2,

所以平面BM%//平面ADE，则点M的轨迹为线段MjM”

在,CMjM?中，CM,=CM2=l,ZMtCM2=120°,由余弦定理，

22

得M,M2=^M,B+M2B-2MXB-M2Bcos120°=6,

【例2】在三棱锥A-3CD中，底面BCD是等边三角形，侧面ABZ）是等腰直角三角形，AB=AD=®，P

是平面BCD内一点，且AP=1,若AC=#，则点P的轨迹长度为（）

A.匝B.-C.3生D.-

3333

【答案】C

【分析】取的中点。，连接AO,CO,作AN，CO交CO的延长线于点N,利用线面垂直的判定得到AN1

平面BCD,进而得出AN,NP,再结合余弦定理和同角三角函数的基本关系可得点P的轨迹是以N为圆心,

正为半径的圆，最后结合圆的周长计算公式即可求解.

3

【详解】如图，取30的中点。，连接AO,CO,易得AOLBACOLB。,

又AOCO=O,AO,COu平面AOC,所以3。工平面AOC,

又AB=AD=也,所以如=2,AO=1,C0=6,

在△AOC中，AC=4^，由余弦定理得cosNAOC=-^^t=-走，

2xlxV33

作4VJ_C。交CO的延长线于点N,则AN_LBD,

又BD1CO=O,即,COu平面BCD,所以4V7,平面BCD,

又NPu平面BCD,所以4VJ_NP,

所以sin/AOC=必，所以A7V=A0-sin/A0N=9,

33

在Rt^AAP中，AP=1,则NP=J”?-W=昱，

3

所以点P的轨迹是以N为圆心，也为半径的圆，

3

则点尸的轨迹长度为宜况，

3

A

故选：C,

【变式1】在棱长为I的正方体ABC。-中，点0为侧面84GC内一动点（含边界），若D\Q泻,

则点。的轨迹长度为.

TT1

【答案】兀

【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.

【详解】由题意，。在面B4GC的轨迹是以G为圆心，半径为3的四分之一圆弧，

11TT

所以轨迹长度为1"厂“

故答案为：—

4

【变式2］已知正方体ABC。-AB］CQ］棱长为3,点M在正方体内部运动（包括表面），且HAf//平面ARC,

则动点M的轨迹所形成区域的面积为.

【答案】唯/薛

22

【分析】利用截面8AG〃平面AC2,判断出动点M的轨迹在△AGB三角形及其内部，即求VABG的面

积即可得到结果.

【详解】因为平面BAC//平面ACD,,

所以点Af是该正方体表面及其内部的一动点，且〃平面AD,C,

所以点M的轨迹是三角形及其内部，

2

所以VA5G的面积为SABC=-（3A/2）.sin-=^.

外£«52\/32

故答案为：竽

【题型六】“球”的切接问题

【例1］己知球。与正三棱柱ABC-A4G的各个面均相切，记平面ABG截球。所得截面的面积为耳，球。

的表面积为$2,则3=（）

39101113

A.—B.—C.D.

1313117468

【答案】A

【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，

由此确定正三棱柱底面边长.求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的关

系得到耳，再在直角三角形中求cosNCEG，进而得出球心到平面距离.根据勾股定理求截面圆半径，再

用圆面积公式得截面圆面积.用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值.

【详解】如图，设球。的半径为R:球。与正三棱柱ABC-4与£的各个面均相切

•••正三棱柱ABC-A4a的高为2R,底面边长为2辰.

设正三棱柱A5C-A与G上，下底面的中心分别是是48的中点，连接EG交。。2于厂，

则。到平面ABC,的距离d=|。叫sin/OP£

=|OP|cosNCEC]^|OF|=

所得截面圆半径r=依-1=,虺

故选：A.

出

or-

'c

【例2】已知菱形ABC。的边长为26,NEW=6。，以8。为折痕把△ABD折起，使点A到达点4的位置,

且平面A3D，平面BCD若点A,民C。都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.16兀B.20兀C.24JID.28兀

【答案】B

【分析】先把平面平面3CD,转化为HELCE,再利用等边三角形的性质，确定△3CD和

的外接圆的圆心。，。2的位置，从而得到四边形。。£3为正方形，进一步得到。&=1，再求出△3CD的外

接圆半径,在包含球半径R的Rt^BOa中求解即可.

【详解】如图所示，取5。的中点E,连接4E,CE,

由题意可知43。和△BCD均为全等的等边三角形，

所以A'ELBZXCELBD,且AE=CE=2若xsin60。=3,

因为平面ABD_1_平面BCD,平面平面38=31）,

所以A'E_L平面BCD,因为CEu平面3C。，所以A'E_LCE.

设。为球心，0］为△BCD的外心，。2为的外心，

则平面BCD,。。2,平面A3D,且«E=O2E=gcE=gAE=l,

所以四边形。。也。2为正方形，即。。=1.

2

又因为△38的外接圆半径8。=CQ=§CE=2,

所以在RtABO。］中，BO2=OOC+BO^,即代=1+2?=5,

所以球的表面积为S=4成°=20TI.

故选：B.

【变式1】已知A,B,C,D是半径为15的球的球面上四点，AB1AC,BC=24,则三棱锥A-3co体

积的最大值为（）

A.384B.1152C.38473D.11525/3

【答案】B

【分析1利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，

就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积.

【详解】因为ABSAC,3c=24,所以BC为VABC的外接圆的直径，即半径厂=/===12,

22

由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知，

球心到平面ABC的距离d=JR2f2=^52-122=9，

2222

D击454n工口c1…An1AC+AB1BC124一”

又口一角\ABC面租SABC=—AC,ABW-----------=------=-x=144,

ABC2222222

当且仅当AC=AB=12A/2时取等号，

而点。到平面ABC的距离的最大值为d+H=9+15=24,

所以三棱锥A-BCD体积的最大值为$144x24=1152.

故选:B.

误区点拨

易错点：动点问题导致的体积，角度，距离的变化

解题技巧：1.对各个题型进行总结。

2.在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。

例1.（多选）如图，在棱长为2的正方体耳GQ中，M是棱8c的中点，N是棱。2上的动点（含

端点），则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.若N是棱。2的中点，则过A、M、N的平面截正方体ABCD-ABCiR所得的截面图形的周长为逃

2

C.若N是棱。2的中点，则点R到平面的距离为勺旦

21

D.若CN与平面所成的角为凡则sin。e与与

【答案】ACD

【分析】对于A选项，-AMN~^N-AA^M，由题。2〃面所以不论N在棱。2上如何运动，锥体的底

和高都不会发生变化；对于B选项，作出过A、M、N的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；

对于C选项，运用等体积法计算即可；对于D选项，以A为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面

的法向量，代入线面角公式即可求范围.

【详解】对于A选项，〃一AMN=%一肥”，因为。2//的，可得〃面A4,M,

所以不论N在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，

即匕,-AMN为定值，故A选项正确；

对于B选项，四边形AMHN为过A、M、N的平面截正方体所得截面，

因为平面平面4BCG，且面AAD?1平面4WHN=4V,

面B^BCCic面AMHN=MH,

有MHHAN,又因为V、N为中点，所以H为四等分点，

贝1JC.RN=\AM\+\AH\+\HN\+\AN\=y/5+^-+^-+^[5,故B选项错误；

对于C,当N是棱。2的中点时，AM=\lAB2+BM2=V22+12=y/5>AN=\/Ab2+DN2=>/22+l2=75-

MN=^MDr+DN-=7（22+l2）+l2=瓜.

人小…m八，AM2+AN2-MN25+5-62,I~27历

由余弦定理cosAMAN=­；—=——『一尸==，则nsinZMAN=.1-（-）2=—.

2-AM-AN2xV5xV55\55

所以S=-xAMxANxsinZMAN=-xy/5xy/5x—^—.

小AMN2252

1112

%-A.N=§xSXCD=-x—x2x1x2=—,又％_AD]NVD「AMN•

设点。到平面曲的距离为"根据丫…=#"人即上浮x，=|，解得仁当，所以选项

C正确.

对于D选项，以A为坐标原点，建立坐标系如图,

则4（0,0,0）,4（2,0,2）,C（2,2,0）,设N（0,2,X）,Xe[0,2],所以阴=（2,0,2）,AC=（2,2,0）,CN=（-2,0㈤,

2x+2y=0

设面世C的法向量为〃=(x,y,z),则令尤=1,解得”=所以

2x+2z=0

s*邛伤詈邛后"当"二°时‘冲”?’当人。时,

当且仅当a=2时等号成立，因此北字丰，故D选项正确;

故选：ACD.

变式1.（多选）在长方体中，己知43=4,4。="的=°,点P是线段与C上的动点.则

下列说法正确对的是（）

A.a-b-c,则AP_L8£>|

B.若a=b=c,则点尸到平面AG。的距离是走4

3

TTTT

C.若a>b>c,则直线AP与直线AA所成角的范围是

D.若a>b>c,分别经过43,A2AA且平分三棱锥4-48。体积的截面面积依次为，，邑,邑，则

Sl>S2>S3.

【答案】ABD

【分析】由。=6=c,即ABCD-A与G2为正方体，根据正方体的结构特征及线面垂直的判定及性质判断

A；通过证明4c〃面AC。，得到点p到平面AG。的距离，即为3。到面AG。的距离d,再求出s到面

MC的距离为心结合d=-2右判断B；注意直线A尸与直线AA所成角，即为直线AP与直线AD所成

2222

角，利用P与耳重合时AD_LAP判断C；根据长方体的性质有Si=/a汨+Yc2,S2=ylab+bc,

与702cl+6%2,结合a>6>c即可判断D.

【详解】若a=6=c,即ABCD-ABCQ］为正方体，

由又。R，面ABCD,ACu面ABC。，则。R_LAC,

又BDDR=£>都在面8£）2内，故47_1_面8。2，BRu面BDR,

所以ACL8。，同理可证又ACcA耳=A都在面相。内，

所以3A_L面阴C,而APu面阴C,贝lj4P_L32，A对；

由正方体的结构特征易知，CD4f与为平行四边形，则

4£）u面AG£>,4c（Z面AC。，则用C//面ACQ,而尸e4C,

所以点尸到平面AG。的距离，即为与c到面AG。的距离d,

若3到面阴c的距离为〃，则La.La2=L〃.L24.Yl,可得h=吃,

32322V3

所以<7=BD1—2h-a,B对；

AB

由42//A。，则直线AP与直线AA所成角，即为直线AP与直线A