2025年高考数学复习专练：新定义问题（10大题型）解析版

解答题：新定义问题

题型1集合的新定义问题题型6数列的新定义问题

题型2函数与导致的新定义问题题型7立体几何的新定义问题

题型3复数与不等式的新定义问题新定义问题题型8平面解析几何的新定义问题

题型4三角函数的新定义问题题型9概率统计的新定义问题

题型5平面向量的新定义问题题型10高等数学背景下的新定义问题

题型一：集合的新定义问题

茏麓》大题典例

(24-25高三上•山东•期中)已知集合5={0,1,2,…集合T=S,记T的元素个数为叩.若集合T

中存在三个元素。，b,c(a<b<c),使得c+2a>36,则称7为“理想集”.

(1)若〃=1,分别判断集合工=也2,3,5},4={0,1,2,5}是否为“理想集”(不需要说明理由)；

(2)若力=1,写出所有的“理想集”7的个数并列举；

⑶若|为=4〃+2,证明:集合T必为“理想集”.

【答案】(1)北不是“理想集”，石是“理想集”；(2)答案见解析；(3)证明见解析

【解析】(1)工不是“理想集”，心是“理想集”.

由题意，令a=0,6=2,c=3,则3+2x0<3x2；

令a=0,6=2,c=5,贝！]5+2x0<3x2；令a=0,6=3,c=5,贝！15+2x0<3x3；

令a=2,6=3,c=5,则5+2x2<3x3；所以北不是“理想集”.

令“=1,6=24=5,贝1]5+2xl>3x2,所以石是“理想集

(2)共16个“理想集”.

若力=1,有5={0,1,2,3,4,5}.

当|T|=3时，若。=0,贝121,由c+2a>36可知c>3623,故3,c)=(1,4)或(1,5)；

若a=l,则622,由c+2a>36可知c+2>3626,则4<cV5,故(仇c)=(2,5).

故含有三个元素的“理想集"7={0,1,4},{0,1,5}或{1,2,5},共3个.

当|T1=4时，7={0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,1,2,5},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4,5),

共7个.

当|7>5时,T={0,1,2,3,4},{0,123,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5},共5个.

当1=6时,7={0,1,2,3,4,5},共1个.

综上所述，所有“理想集”7的个数为16个分别为：

{0,1,4},{0,1,5},{1,2,5},{0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,1,2,5},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{1,2,3,5),

{1,2,4,5},{0,1,2,3,4}.{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5},{0,1,2,3,4,5).

(3)若|7|=4"+2,记7={玉,工2,…，匕2}且04再<%<…<匕计245".

利用反证法，假设对于7中任意三个元素。，b,c(a<b<c),均有c+2a436,

则3%+iWx4,+2+2%,z=l,2,...»4M+1.

记N=匕“+2—x,，于是%4V/，贝|」加+1vg%v…yi-

因此14%向V[J（X「亦偌]（5"-0）=制“<1,矛盾.

故集合7必为“理想集”.

龙笼》犀魂揖号.

集合新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使

用书上的概念.

蔻塞》笠式训级

1.（24-25高三上•广东•月考）已知集合/={1,2,3,…,2〃}（〃eN*）,S是集合/的子集，若存在不大于"

的正整数机，使集合S中的任意一对元素[，S],都有加，则称集合S具有性质P.

⑴当〃=10时，试判断集合8={xcHx>9^C=keHx=3""eN*}是否具有性质尸？并说明理由；

（2）当“=100时，若集合S具有性质尸，那么集合7={201-苫,€5}是否具有性质尸？并说明理由；

（3）当”=3左，左eN*时，若集合S具有性质P求集合S中元素个数的最大值/（"）.

【答案】（1）集合8不具有性质产，集合C具有性质产，理由见解析

出7={201-工区€$}具有性质产，理由见解析；(3"(〃)=〃

【解析】(1)集合8不具有性质产，集合C具有性质P,理由如下：

当〃=10时，/={1,2,3,…，20},5={10,11,…，20},

C={2,5,8,U,14,17,20},

因为对于任意不大于10的加，都可以找到该集合中的两个元素自=10,4=10+机，

使得-4卜加成立，

因为可取加=1<10，对于该集合中的任意一对元素G=3%-1,02=3&-1,k1,k2eN,,

都有ki—c?|=3%—左N1,kx,k2GN,

故集合8不具有性质P,集合C具有性质?；

(2)7={201-x|xeS}具有性质产，理由如下：

当月=100时，^4={1,2,3,­••,200),

T={201—e$},任取f=201—e7,其中工。€$,

因为所以x°e{l,2,3,…,200},

从而1V2O1-XOW2OO,gpz=2Ol-xoe^,故

因为集合S具有性质P,故存在不大于100的正整数机，

使得对于S中的任意一对元素，都有卜1-S2IR冽，

对于上述正整数加，从7={201-尤忖©5}中任取一对元素。=201-西出=201-%，

其中3&S,则有，-修=卜-工2卜比,

故集合T={201-x|xeS}具有性质产；

(3)n=3k,KeN*时，4={1,2,3,…，6左},

S^A,集合S具有性质P,

对于"743斤，AeN*,对于s中的任意一对元素S],$2，都有卜1-52上机，

要求集合S中元素个数的最大值，

若leS,则剩余元素为隆+2,3后+3,…,6左,

此时S中元素个数为6左-(3左+2)+1+1=3左，

若2eS,则剩余元素为3左+3,…,6左,

止匕时S中元素个数为6左一(34+3)+1+1=3左一1,

依次类推，

若3人-leS,则剩余元素为6左，此时S中元素个数为2,

若3人eS,贝US中不在含有其他元素，此时S中元素个数为1,

若弘+leS,则S中不在含有其他元素，此时S中元素个数为1,

若弘+2eS,则剩余元素为1,此时S中元素个数为2,

若6左eS,则剩余元素为1,2,…3后-1,此时S中元素个数为3左-1-1+1+1=3左，

综上，f（n）=3k=n.

2.（24-25高三上•北京•期中）已知集合力={1,2,3,…"，其中”©N*,4，4，…，4是A的互不相同的

子集.记4的元素个数为",a=12…,机），4n4的元素个数为可（i<z<j<m）.

⑴若〃=4,m=3,4={1，2},4={1,3},噩=妁=1,写出所有满足条件的集合4（结论不要求证明）;

（2）若〃=5,且对任意的都有N）>0,求小的最大值；

⑶若给定整数"27,（i=l,2,…，皿）且对任意机，都有必=1,求机的最大值.

【答案】（1）4={1}或4={1,4}或4={2,3}或4={2,3,4}；（2）mmax=16；（3）mmax=n

【解析】（1）因为乂3=也3=1,则4c4和4n4的元素个数均为1,

又因为〃=4,4={1,2},4={1,3},则/={1,2,3,4},

若4c4={1},4c4={1},则4={1}或4={1,4}；

若4c4={2},4c4={3},则4={2,3}或4={2,3,4}；

综上4={1}或4={1,4}或4={2,3}或4={2,3,4）.

（2）集合/={123,4,5}共有32个不同的子集，

将其两两配对成16组B„G（，=1,2,…,16）,

使得B,cQ=0,B〜C：=A,则当C,不能同时被选中为子集4（/=1,2,…,加），故/416.

选择A的16个含有元素1的子集：4=⑴,4={1,2},4={1,3},……Al6=A,符合题意.

综上，外皿=16.

（3）结论:%1ax=n,

令4={1},4={1,2},4={1,3},An={1,〃},集合4〜A"符合题意.

证明如下：

①若4〜4中有一元集合，不妨设4={1},

则其它子集中都有元素I,且元素2〜n都至多属于1个子集，

所以除4外的子集至多有〃-1个，故加

②若4〜4中没有一元集合，但有二元集合，不妨设4={1,2}.其它子集分两类：

耳=卜也}或卜必，4}（/=1,2,…,s）,和J={2勺}或{2,卬引（/=1,2,…乃，

其中sN%,如々.互不相同，C/C互不相同且均不为1,2.

若，=0,贝iJsW〃-2,^m=\+s+t<n-\<n

若此1,则由冏cG卜1得每个集合Bj中都恰包含G中的1个元素（不是2）,

且互不相同，

因为G中除2外至多还有2个元素，所以sW2.

所以〃7=1+S+/V1+2+2<〃.

③若4〜4均为三元集合，不妨设4={1,2,3}.将其它子集分为三类：

Bj={1,勺,4}0=1,2,…,s）,q={2,盯C}行=1,2,…,f）Q.={3,dp4.}（7=1,2,…,r）,

其中

若"r=0,则（除1,2,3外，其它元素两个一组与1构成集合目〜。）,

若此1,不妨设C产{2,4,5},

则由冏cG|=1得每个集合Bj中都或者有4、或者有5,

又用,鸟,…，及.中除1外无其它公共元素，所以s42.

所以加=l+s+%+〃Wl+2+2+2=7W〃.

综上，^max=«.

题型二：函数与导数的新定义问题

茏能》大题典例

（23-24高三上•北京・月考）设离散型随机变量X和F有相同的可能取值，它们的分布列分别为尸（X=%）=/,

P{Y=ak}=yk,xk>0,%>0,斤=1,2,…,〃，为=才九=1.指标D（XIIV）可用来刻画X和y的相似程

k=lk=l

度,其定义为D（X||y）=f41n区.设X〜3（〃,p）,0<p<l.

k=iyk

⑴若y〜5（凡办0<q<1,求D（xl|y）；

（2）若"=2,尸（¥=左一1）=；,笈=1,2,3,求£>（X||7）的最小值；

（3）对任意与x有相同可能取值的随机变量y,证明：r>（xllr）>o,并指出取等号的充要条件

【答案】（1）吵In器非+加!!二；（2）ln3-1ln2；（3）证明见解析

【解析】⑴不妨设勾=左，则x,=CR(l-”T,%=CW(l-q)T.

k\n-k

所以。(刈y)=£cR(i_0"Yin。「%

k=oq0-0)

=InAC:pR.p)〃<+〃ln欠tC5k(1-P)'T=呼m+n\n^.

q(i-p)k=01一qk=0夕(1一0)If

(2)当〃=2时，P(X=2)=p\P(X=l)=2p(l-p1P(X=0)=(1-p)2,

ifif(p)=D(X\\Y)=p2Xa3p1+2p(\-p)\n6p(1-p)+(\-pfln3(l-j>)2

=p1Inp2+2p(l-p)]n2p(l-p)+(l-p)2ln(l-/?)2+ln3,

则/(P)=4plnp+2p+(2-4p)\\n2p(l-p)+]]-4(l-p)}n(l-p)-2(1-p)=2[ln/?-ln(l-/?)+(l-2/?)ln2],

令g(p)=ln0-ln(l-p)+(l-2p)ln2,贝！]g'(0)='+-----21n2>0,

P1-P

令。(？)='+一一一21n2,则。'(0=::I、？,

P1-PP(1-。)

当0<p<；时，d(0)<0,e(p)单调递减；

当g<p<l时，"(p)>0,0(0)单调递增；

所以0(p)>e[；J=4-21n2>O,则g(p)单调递增，而g][=0,

所以/5)在收|为负数，在为正数，

则f(P)在[。,£|单调递减,在加单调递增,

3

所以0(X11丫)的最小值为ln3-5M2.

11_

(3)令〃(%)=lnx-x+l,贝|J4(%)=——1=-----r-,

XX

当0<x<l时，h\x)>0,〃(%)单调递增；

当x〉l时，〃'(x)<0,〃(x)单调递减；

所以可%)〈妆1)=0,即Inx-X+1W0,当且仅当％=1时，等号成立，

则当x>0时，InxWx-l,所以In,W，-1,即InxZl-L

XXX

故O(X1|y)=tx*ln^1-比==°，

k=lyk*=1\X/c/k=lk=lk=\.

当且仅当对所有的％,4=%时等号成立.

莪卷》解法指导

函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，

会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读

出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

龙麓》奠式训级

1.(24-25高三上•湖北•期中)把满足任意x,"R总有++=力的函数称为“类

余弦型，，函数.

17

⑴已知/(无)为“类余弦型”函数/(x)>0,〃2)==,求/(1)的值；

O

⑵在⑴的条件下，定义数列:a„=2/(n+l)-/(n)(neN,),求噫争抽自十…+喀号的值；

⑶若g(x)为“类余弦型”函数，且g(0)>0,对任意非零实数/，总有g(/)>l.设有理数A3满足民|>闻,

判断g@2)与g(xj的大小关系，并给出证明.

【答案】(1)j(2)4950；(3)g(x2)>g(xj,证明见解析

【解析】⑴令x=y=0则，/(0)+/(0)=2/2(0),又/(x)>0,故"0)=1,

令x=l,尸1,则〃2)+40)=2/⑴/⑴，则尸⑴:孑，

乂/⑴>0,故〃1)=：；

(2)令x=",y=l,”eN+,则++=2=，

即2/(〃+1)-/(")=2[2/(〃)一/(〃一1)],

=2/(«+1)-/(»)(«£N*),则%=2%,

又为=3,所以数列｛%｝以2为公比，3为首项的等比数列，

即a“=3x2i,则噫.=〃-1,

贝！]log22+log2?+—I-log2=0+1+2H1-99=xlOO=4950；

(3)由题意得：函数g(x)定义域为R,定义域关于原点对称，

令x=y=O,有g(O)+g(O)=2g2⑼，又g(0)>0,故g(O)=L

令无=0,>为任意实数，则g(y)+g(-y)=2g(o)g(y),即g(y)=g(-y),故g(x)是偶函数,

因为g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y),又因为当x/0时，g(x)>l,

所以当xwO时,有2g(x)g(y)>2g(y),所以g(无+y)+g(x-y)>2g(y),

又民I，㈤为有理数，不妨设1|=>，卜2|=一，

Q\Qi

令N为同，㈤分母的最小公倍数，且㈤=},|引=：，。，6均为自然数，且"6,

设G=g［5］，xeN,g(O)=l<g^,则C0<G，

令x=Ny=N则8匕厂/匕力逸匕)

即c„+1+C„_,>2C„,贝UC„+1-C„>C„-C„_1；

即可得c,M-Q>G-GT>C„--q_2>->C2-G>c-c0>o，

故可得g［5］单调递增，则g(M>g(M，

又g(x)是偶函数，所以有g(z)>g(xj.

2.(24-25高三上•上海•期中)已知函数y=/(x),若其定义域为(0,+功，且满足矿对一

切尤e(O,y)恒成立，则称/(x)为一个“逆构造函数”.

⑴设g(x)=d+l(x>0),判断y=g(x)是否为“逆构造函数”，并说明理由;

(2)若函数y=依-3-Inx-U是，，逆构造函数,,，求。的取值范围；

X

⑶已知“逆构造函数“v=/(x)满足对任意的都有/(玉+/)《〃网)/伉)，且/⑴=2.求证：

对任意关于x的方程/(x)=a无解.

【答案】(1)是，理由见解析；(2):*1-£］；(3)证明见解析

【解析】(1)由于g'(x)=3x?,故对xe(0,+8)有xg(x)-g(x)=3x3-X3-1=29-1>-1.

所以y=gO)是否为“逆构造函数”.

(2)由y'—ciI2-xyr-y—cix-1H----------ux+3+InxH------2+InxH--------.

XXXXX

一方面，若函数>="一3-lnx—L^是“逆构造函数”，则孙'一〉〉一1,即2+lnx+2。")>一1.

XX

所以3+Inx+—―〉0对任意x>0成立.

x

特别地，取x=e-3得3-3+生W>。，从而注”>0,故

e-3e-3

得3+ln（2（l-明+差

再取x=2(l-a),>0,从而3+ln(2(l-Q))+1〉0.

此即ln（2（l-a））>一4,故2（l-a）>eT,解得。<1-上；

另一方面，若。<1一人，贝lJ2（l-a）>ei.

设°(7)=f-ini,则d("=i_；=Y，所以对0</<i有"'("="^<0,对,>［有d(r)=?>0.

从而/«）在（o』上递减，在口,+℃）上递增，故0（i）=i.

所以对x>0,有

-4

2,(1—CL)p己-4巳-4\1(巳-4\

xyf-y=2+lnx+----->2+lnxd---=2+-----In——-In—-=2+^?——-4>2-l-4=-l.

xxxxJeI%)

1—Z7

从而止匕时函数歹二"一3-Inx-----是“逆构造函数

x

综上，0的取值范围是［叫1-一］.

（3）设则

%,工2X2X2

所以九（%）在（0,+8）上单调递增.

一方面,对xWl,有〃x）_l="（上"（1）==—=］>o.

所以对任意xNl,有

另一方面，对0<x<l,假设/（x）40,

则根据/。）=2>0及零点存在定理，存在”［印）使得/（〃）=0.

再由条件/（国+工2）4/（西）/（工2），

知2=/■⑴=/（〃+（1-〃04八〃）［。一〃）=0./（1-〃）=0,矛盾.

所以对任意0<x<l,有〃x）>0.

假设存在0</<1使得/（%）V1,则根据41）=2>1及零点存在定理，存在"1）使得〃"）=1.

从而对任意X>0,有/（X+M）</（X）/（M）=/（%）.

A./（!+«）-1/、/、/⑴一1/⑴T/（1+«）-1

但由u>0,知U---L_=/?（i+M）=_>2AJ—---->-,矛盾.

1+MV\>11+w1+M

所以对任意0<x<l,都有〃x）>L

综合两方面可知，对任意的x>0,都有/（x）>l.

所以对任意aVI,关于x的方程/卜）=。一定无解.

题型三：复数与不等式的新定义问题

蔻塞》大题典例

（24-25高三上・江苏泰州•月考）已知常数。也ceR,设关于龙的方程办2+区+。=0.

（1）在复数范围内求解该方程.

b

Xj+x2=—,

（2）当aw0时，设该方程的复根分别为网,马,证明：°

c

.~a

（3）如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式.已知任何一元〃次（〃eN*）复系数多项式

方程/（x）=0至少有一个复根.证明：/（》）=0有"个复数根（重根按重数计）.

（4）将题设的常数“a,b,ceR”改为“a,6,ceC”，并证明：（2）仍然成立.

【答案】⑴答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）答案见解析

【解析】（1）当a=0,6=0,c=0时，方程有无数个根，所有根组成的集合是C；

当。=0,6=0,°40时，方程无根；

当a=0,6片0时，方程的根为x=_§；

b

"。时，配方得"5一千

①当A=〃—4〃CN0时，方程有两个实根

-b+\lb2-4ac-b-\b2-4ac

X]=,X2—,

2a2a

②当A=/-4“c<0时，方程化为4。一X+2=-1,

Aac-bI2aJ

r-.--12

由于4->o,因止匕2ajx+2]=T

4ac—byj^ac—b2\2a)_

,o,,2a

由于(土了=-1,因此i——=±i,

^4ac-b2

故方程有两个复根寸土萼王,=上一

（如果认为i=Q，然后把两种情况合并成一种情况x=F鼠b-4ac,则只能得1分.

2a

因为我们只曾定义过i2=-l，但从来没有规定过i=Q,而i2=_l也不能推出i=Q.

这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的.

就算Q=i,那为什么不是Q=-i?

我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则.）

再次强调：Q不是i,"i”不能写成“Q”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足i2=_i.

-b+\b2-4acb_

国+工2=-------------------------1-

2aa

（2）①当A=b2-4ac»0时,

-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4acc

_-b+iyj4ac-b2-b-iyl4ac-b2b_

x+x

x22a2aa

②当A=〃-4*<0时，根据复数的运算法则，得

-b+i\l4ac-b2-b-i\l4ac-b2c

xx----------------------------——

{22a2aa

（如果和（1）一样认为［=ci合并情况的话，只能得1分）

（3）一元〃次（〃eN*）复系数多项式方程/（x）=0至少有一个复根,

不妨设该方程的一个复根为为，则〃x）必然能够分解出一个因式（x-占），即=（x-占）/（x）.

由复数的运算法则可知，方程工（x）=0是一元（“7）次（〃eN*）复系数多项式方程.

不妨设该方程的一个复根为X2,则工（x）必然能够分解出一个因式卜-％）,即/（x）=（X-%"（x）.

重复该过程，最终f（x）=（x-xJ（x-X2）…,

其中。为常数，ceC.显然/（X）有〃个复数根（重根按重数计）.

（4）由（3）得复系数二次方程办2+6x+c=0（a,"ceC）有两个复数根,

分别设为再,％2，则原方程可化为再）（%-%2）=。，

2

gpax-a（x1+x2}x+axxx2=0,

和原方程比较系数，得-。（再+%）="3%=。

,bc

即Hn石+x=——,石工2=一•

2aa

龙笼》解送揖号.

新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景,

要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵

活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求,

“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

蔻麓》一变式训级

1.（24-25高三上•山东枣庄•月考）对于四个正数小"、小q,若满足阿＜牡，则称有序数对（％,〃）是（。应）

的“下位序列

⑴对于2、3、7、11,有序数对（3,11）是（2,7）的“下位序列”吗？请简单说明理由;

（2）设.、6、c、d均为正数，且（。力）是（c/）的“下位序列”，试判断£、三、段之间的大小关系;

bdb+a

（3）设正整数n满足条件：对集合｛间0＜m＜2024,meN｝内的每个相，总存在正整数k,使得（取2024）是（k,n）

的“下位序列”,且（后,〃）是（租+1,2025）的“下位序列”,求正整数”的最小值.

n（1+CC

【答案】⑴是，理由见解析；（2）:＜产＜[；（3）4049

bb+aa

【解析】（1）•.・3*7＜1r2,，（3,11）是（2,7）的"下位序列"；

（2）•.・（。,6）是伍,"）的“下位序列”，；.〃＜小,

a,b,c,〃均为正数,

,,a+cabe-ada+can

故「7一工=,工八;.>°，即；—7-y>0,

b+db(6+d)bb+db

a+ca

---->一,

b+db

a+cc

同理<—

b+dd

aa+cc

综上所述:—<----<—；

bb+dd

mn<2024左

（3）由已知得

(m+V)n>2025左

因为机，凡后为整数，

[mn+1＜2024后

故J

\mn+n-l＞2025k"

4049

2024(冽〃+n-1)>2024x2025左>2025(加〃+1),/.n>

2024-m

该式对集合｛加|0＜冽＜2024｝内的每一个加EN*的每个正整数加都成立,

4049

:.n>---------------=4049,

2024-2023

所以正整数〃的最小值为4049.

2.（23-24高三下•辽宁・模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的〃元形式为:

2

设6，eR(z=1,2,­••,//),《不全为0,々不全为0,则注；2月.〉？也|,当且仅当存在一个数左，使

Z=1Z=1\Z=1J

得生=屹时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设P是棱长为友的正四面体内的任意一点，点尸到四个面的距离分别为4，d2,d3,d4,求

d：+退+d；+道的最小值；

(3)已知无穷正数数列｛4｝满足：

①存在meR,使得at<m-

②对任意正整数八/(»/)()=1,2,…)，均有何-勺卜Ej.

求证：对任意〃eN,恒有m>\.

【答案】⑴设q,七，仇,&eR,贝！］(cz；+a；)伍;+6；)»+%62).当且仅当。也=时等号成立；⑵“

(3)证明见解析

【解析】(1)柯西不等式的二元形式为：设田,2,优，HeR，贝乂。；+加)付+片”(％4+%仿)1

当且仅当。也=出仇时等号成立.

(2)正四面体ABCD的体积等于以P为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和，

即叱BCD=，P-ABC+Vp-DBC+^P-CDA+Vp—DAB•

所以聆(0j=；x'(后j(4+4+&+Z)，因此4+出+/+4=干.

由柯西不等式得(4+1；+4+4)(1+1+1+1)2(4.1+42・1+4・1+4-1)2.

从而4+g+/+成2!,当且仅当4=4=4=〃=@时等号成立.

36

因此d；+d；+d：的最小值为—.

(3)对〃24,记左，左2，匕,左是1,2,L,n的一个排列，且满足0<%<…〈叫工口.

由条件②得：T^(i=2,3,…,n),于是，对任意的〃24,都有

k.+k._.

［,\+7~~~~7—+…+小，［（尤+左〃_1）+（左〃_1+左〃_2）+…+（k2+尢）］2（〃_1）2.

I代〃+%-1%-1+%-2/2+41J

_____________("Iy_____________

所以-------+--------+•••+-----

(总+/一1)+(左〃-1+左〃一2)+…+(左2+K)

院+院_\kn_i+kn_2

(-1)2(〃—1)2、(〃—I)?13«-4

-------------------------------------------------------->-------------1---------------

2(左]+左2+…+左”)一后i—后“十几—k]—k〃+w—3n2+77—3

3n—43〃一4

从而m>1——---------，当〃>4时，1Z----------<1，故加21.

n+〃一3n+〃一3

题型四：三角函数的新定义问题

茏能》大题典例

（24-25高三上•全国•专题练习）对于集合/=…和常数为,定义:

1r

b=卜-4）+S"（%-％）+…+sm"（4一％）为集合A相对的%的“正弦标准差”.

Vn

⑴若集合/=],三，综=:，求N相对的。。的“正弦标准差”；

⑵若集合/=是否存在序,“尸emd]'使得相对任何常数4的“正弦标准差”是一个

与%无关的定值？若存在，求出a,产的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），1了1；Q）存在。=詈，£=等，使得相对任何常数。。的“正弦标准差”是一个与。。无关的

定值，理由见解析

.2兀.2兀

sin—i-sin——

【解析】（1）•兀，

------1-2----------12=sm——

212

.7i71兀.兀V21V2V6-V2

=sin—cos——cos—sin—=——x---------x——=-----------

343422224

（2）存在a=詈11jr，£=者1Qjr，使得相对任何常数4的“正弦标准差”是一个与4无关的定值,

理由如下:

sin2|--0j+sin2(a-0)+sin2(B-0｝】COSI21一cos(2a-2%)

OoQl-cosR尸-2%)

14)=----------+----------H-

222

31.

=-(sin2^0+cos2acos2%+sin2asin260+cos2/?cos2^)+sin2,sin24)

31

=---[sin2〃(1+sin2a+sin2夕)+cos2%(cos2a+sin2/7)],

sin2a+sin2,=一1

只需则(cos2a+cos20?+(sin2a+sin20)2=1,

cos2cr+cos2/7=0

BP2+2cos2acos2/7+2sin2crsin2(3=1,整理得cos(2a-2夕)=一;,

l,、［「3兀'c「3兀7兀1

因为戊£下,兀，Pe,

L4)［24)

所以5-，2兀)，2(3e3兀,万］,—2月£(一-^-,—3兀,

则2a-2f3G(-2n,7i),

所以2a—Ip———,则20—2a+,

(4兀)

所以cos2a+cos2f3=cos2a+cosI2cr+—1=0,

口ncc4Tl.c.4兀八

即cos2a+cos2acos-----sin2asm-=0,

33

整理得cos2。+6sin2a=0,故tan2a=-^^,

3

因为2夕"=,2兀］,所以2c=坐，c=坐，

micec4兀117147119兀c19兀

则2/7=20+^=?+-7=?，/?=—

363612

1«_.«.»117T—19兀八、、sin2a+sin2,=一1/

检验，将a=五-,P=石"代入

cos2a+cos2夕=0

.1171.1971.(71^1.7兀1(1A1

sm------i-sm----=sm—+sin——=------F——=-1

66I6)62I2)

,满足要求,

11兀19兀，兀、7兀兀兀八

cos------Fcos----=cos—+cos——=cos-----cos—=0

66