2025年高考数学重点题型训练：圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（学生版+解析）

专题11圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题

一、椭圆定点问题

1.已知圆E：0+1)2+y2=16,点F(l,0),G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H

(1)求动点H的轨迹「的方程；

(2)经过点F和7(7,0)的圆与直线I：%=4交于「，Q,已知点4(2,0),且4P、4Q分别与T交于M、N.试探究直

线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.

2.已知点4(2,0),2(-/一口在椭圆l(a>b>0)上.

⑴求椭圆”的方程；

(2)直线1与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于4B),过C作x轴的垂线分别交直线于点P,Q,当P是CQ

中点时，证明.直线I过定点.

3.如图，椭圆C:/+箕=l(a>6>0)的左、右顶点分别为A,B.左、右焦点分别为Fi，F2,离心率为日,

点M(VX1)在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知P,。是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为灯，直线8。的斜率为七，灯=2七.过点8作直线

P。的垂线，垂足为X.问：在平面内是否存在定点T,使得|7H|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不

存在，试说明理由.

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4.已知椭圆C++琶=l(a>b>0)的左、右焦点分别为6，尸2，&，8分别是C的右、上顶点，且=V7,

。是C上一点，ABF?。周长的最大值为8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE过&,直线ZE,4D分别交直线x=-4于M,N两点,尸是线段MN的中点，证明：以PD为直径

的圆过定点.

5.己知椭圆C:《+'=l(a>b>0)的左顶点为4,过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=&F=3.

⑴求△APQ的内心坐标；

(2)是否存在定点D,使过点。的直线咬C于交PQ于点R,且满足标•而=丽•前？若存在，求出

该定点坐标，若不存在，请说明理由.

二、双曲线定点问题

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6.已知点P(4,3)为双曲线石橐―a=l(a>0,b>0)上一点，E的左焦点6到一条渐近线的距离为倔

(1)求双曲线E的标准方程；

⑵不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于4B两点，若直线必，P8的斜率和为1,证明：直线y=kx+t

过定点，并求该定点的坐标.

7.双曲线C:《一《=l(a>0,b>0)的左顶点为4焦距为4,过右焦点尸作垂直于实轴的直线交C于B、D

两点，且AABD是直角三角形.

⑴求双曲线C的方程；

(2)已知是C上不同的两点,MN中点的横坐标为2,且MN的中垂线为直线2，是否存在半径为1的定圆E,

使得，被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.

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8.己知双曲线C+一a=l(a>0,6>0)的右焦点，右顶点分别为F,4B(0,b),\AF\=1,点M在线段48

上，且满足|BM|=国阳川，直线。M的斜率为1,。为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线，与双曲线C的右支相交于P,Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|•|FQ|=

|EQ|•|FP卜恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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9.已知双曲线C与双曲线套一7=1有相同的渐近线，且过点2(271-1).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点D(2,0),E,尸是双曲线C上不同于。的两点，且丽•加=0,DG1EF于点G,证明:存在定点

H,使|GH|为定值.

10.已知双曲线C:一一《=i(b>0)的左、右焦点分别为&,F2,4是C的左顶点，C的离心率为2.设过尸2

的直线I交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限.

(1)求C的标准方程;

(2)若直线AP、2Q分别交直线x于M、N两点，证明：丽・丽为定值；

(3)是否存在常数人使得NPF2/I=4NP4F2恒成立？若存在，求出；I的值；否则，说明理由.

三、抛物线定点问题

11.已知动圆M恒过定点尸(0,£),圆心M到直线y=-1的距离为d,d=|MF|+也

⑴求M点的轨迹C的方程；

(2)过直线y=久-1上的动点Q作C的两条切线切心切点分别为4B,证明：直线4B恒过定点.

12.已知抛物线G：%2=2py(p>0)和圆C2：(x+1)2+y2=2,倾斜角为45。的直线。过的焦点，且k与Q相

切.

(1)求抛物线G的方程；

(2)动点M在G的准线上，动点4在G上，若G在点4处的切线12交y轴于点8,设丽=拓5+而，证明点N在

定直线上，并求该定直线的方程.

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13.已知直线If.x-y+1-0过椭圆C:Y+-1(6>。)的左焦点，且与抛物线M\y2=2Px(p>0)相

切.

(1)求椭圆C及抛物线"的标准方程；

(2)直线b过抛物线M的焦点且与抛物线M交于两点，直线。4,08与椭圆的过右顶点的切线交于M,

N两点.判断以为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P,若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

14.在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点尸(0,1),且与直线y=-l相切，设动圆的圆心Q的

轨迹为曲线匚

(1)求曲线r的方程；

(2)P为直线小y=%)(M)<0)上一个动点，过点P作曲线「的切线，切点分别为4，B,过点P作4B的垂线，

垂足为H,是否存在实数小,使点P在直线/上移动时，垂足“恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求

出出的值，并求定点H的坐标.

15.已知抛物线C：y2=2px(.p>0),直线x+y+1=0与抛物线C只有1个公共点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线y=k(久一与曲线C交于A,8两点，直线04,。8与直线x=1分别交于ALN两点，试判断

以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

四、椭圆定值问题

16.已知椭圆C：a+£=l(a>6>0)的离心率e=],短轴长为2g.

⑴求椭圆C的方程；

⑵己知经过定点P(l,l)的直线/与椭圆相交于A,B两点，且与直线丫=-如相交于点。，如果而=4都,

QB=I1PB,那么2+〃是否为定值？若是,请求出具体数值；若不是，请说明理由.

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17.在椭圆C：今+3=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆「：x2+y2=a2+b2±,

z

QZb

称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(l,?),Q

(1)求椭圆。的方程；

⑵过椭圆C的蒙日圆上一点M,作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N,若k°M，k°N存在,证明：-k°N

为定值.

18.已知。为坐标原点，定点&(—1,0),&(1,0),圆。:/+*=2,M是圆内或圆上一动点，圆。与以线段

F2M为直径的圆。1内切.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)设M的轨迹为曲线E,若直线Z与曲线E相切，过点心作直线I的垂线，垂足为N,证明：|0N|为定值.

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19.设椭圆E：京+l(a>6>0)过点M(鱼,1),且左焦点为&(—记0).

⑴求椭圆E的方程；

(2)A4BC内接于椭圆E,过点P(4,l)和点4的直线1与椭圆E的另一个交点为点D,与BC交于点Q,满足

|而||而|=|而||而证明：APBC面积为定值，并求出该定值.

20.椭圆C：5+5=1的右焦点为尸(1,0),离心率为

(1)求椭圆C的方程；

(2)过尸且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点，尸是直线x=4上任意一点.求证：直线PM,PF,PN的斜率

成等差数列.

五、双曲线定值问题

22

21.在平面直角坐标系尤Oy中，圆&：(x+2)+y=4,F2(2,0),尸是圆&上的一个动点，线段PF2的垂

直平分线/与直线Pa交于点记点〃的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵过点尸2作与无轴不垂直的任意直线交曲线C于48两点，线段AB的垂直平分线交无轴于点X,求证:黑

为定值.

22.已知双曲线/一y2=1的左、右顶点分别为4,A2,动直线/：y=for+m与圆/+V=1相切，且

与双曲线左、右两支的交点分别为P](Xi，yi),P2(乂2，无)・

⑴求上的取值范围；

(2)记直线P/4的斜率为ki，直线P2A2的斜率为k2,那么k.2是定值吗？证明你的结论.

23.已知P是圆C:Q+2)2+/=12上一动点，定点M(2,0),线段PM的垂直平分线门与直线PC交于点T,

记点T的轨迹为a.

(1)求C'的方程；

⑵若直线Z与曲线L恰有一个共点，且2与直线%:y=去，%：>=-日久分别交于4B两点，ZkOAB的面积

是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

24.已知双曲线C：g-g=l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±江，焦距为10,4，4为其左右顶

点.

⑴求C的方程；

(2)设点P是直线1：比=2上的任意一点，直线P4、P4分别交双曲线C于点M、N,A2Q1MN,垂足为Q,

求证：存在定点R,使得|QR|是定值.

22__

25.己知尻,&分别为双曲线。京一a=1(a>。3>0)的左，右焦点，点。(2,2n)在C上，且双曲线C的渐

近线与圆久2+y2-6y+8=。相切.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点尸2且斜率为k的直线1交双曲线C的右支于4B两点，Q为式轴上一点，满足|Q*=|QB|,试问

幽野心是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

六、抛物线定值问题

26.已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点为尸，准线为/,过点尸且倾斜角为二的直线交抛物线于点M在

6

第一象限)，MN1I,垂足为N,直线NF交工轴于点。，\MD\=4V3.

⑴求p的值.

(2)若斜率不为0的直线。与抛物线C相切，切点为G,平行于％的直线交抛物线C于P,Q两点，且NPGQ=]

点尸到直线PQ与到直线"的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

27.已知抛物线G：y2=2Px(p>0)上一点Q(l,a)到焦点的距离为3.

(1)求a,p的值；

(2)设P为直线久=一1上除(-1,一百)，(-1,百)两点外的任意一点，过P作圆C2：(x-2尸+/=3的两条切线,

分别与曲线6相交于点力，B和C,D,试判断4B,C,。四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；

若不是，请说明理由.

28.已知点尸是抛物线C：y2=2p%(p〉0)的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以尸为圆心、NF为半径的圆

交y轴于D,E,\DE\=2V3.

(1)求抛物线C的方程；

⑵过(-1,0)作直线1与抛物线C交于4,B,求/QvA+kNB的值.

29.贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行

了图形化应用的测试，提出了。eCas%私〃算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画

出地物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线r：/=2py,其

中p>0为一给定的实数.

y

(i)写出抛物线r的焦点坐标及准线方程;

(2)若直线Z:y=kx-2pk+2P与抛物线只有一个公共点，求实数k的值;

(3)如图，A,8,C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E,凡证明：《卷=瞿=照

|0E|\FC\\BF\

30.已知点a为直线i：x+i=0上的动点，过点a作射线ap(点P位于直线1的右侧)使得力P1设

线段4F的中点为8,设直线P8与x轴的交点为7,PF=TF.

(1)求动点P的轨迹C的方程.

(2)设过点Q(0,2)的两条射线分别与曲线C交于点M,N,设直线QM,QN的斜率分别为七也，若=+号=2,

请判断直线MN的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出

定点.

七、椭圆定直线问题

22

31.椭圆E的方程为？+1,左、右顶点分别为4(一2,0),B(2,0),点P为椭圆E上的点，且在第一象

4o

限，直线/过点尸

(1)若直线/分别交x,y轴于C,。两点，若PD=2,求PC的长；

⑵若直线/过点(-1,0),直交椭圆E于另一点。(异于点A,B),记直线4P与直线BQ交于点试问点M

是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由.

32.已知曲线C:(5—m)x2+(m-2)y2=8(meR).

(1)若曲线C是椭圆，求机的取值范围.

(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方)，直线=kx+4与曲线C交于不同的

两点M,N.设直线AN与直线相交于点G.试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不

是，说明理由.

33.已知椭圆C:液+5=16>0,匕>0)过点知律,乎),且离心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线=x+ni与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A,B,试问：△M4B的内心是否在一条定直线上?

若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

34.已知椭圆C:a+力=l(a〉6>0)过点Q(1,习，且后心率为］.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点P(l,2)的直线I交C于4、B两点时，在线段AB上取点M,满足|4P|•\MB\=\AM\■\PB\,证明：点M总

在某定直线上.

35.椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为4(-2,0),B(2,0),点(1,%)在椭圆E

上.

⑴求椭圆E的方程.

⑵过点(一1,0)的直线/与椭圆E交于P,。两点(异于点A,B),记直线AP与直线8。交于点试问点

M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.

八、双曲线定直线问题

36.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的

反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:9—《=1(6>0)的左、右焦点分别为后、尸2,从尸2发出的

光线经过图2中的4、B两点反射后，分别经过点C和D,且tanNC4B=—[,AB1BD.

4

⑴求双曲线E的方程；

⑵设4、42为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P(4,0)的直线[与双曲线C交于M、N两点，试探究直线4M与

直线4N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由.

37.已知曲线C上的动点P满足|P&|—|P&I=2,且:(一2,0),F2(2,0).

⑴求C的方程；

(2)若直线A8与C交于2、B两点，过4B分别做C的切线，两切线交于点P’.在以下两个条件①②中选择一个

条件，证明另外一个条件成立.

①直线4B经过定点M(4,0)；

②点P'在定直线x=［上.

38.已知点(2,3)在双曲线(7:9—・6=1上.

(1)双曲线上动点。处的切线交C的两条渐近线于4B两点，其中O为坐标原点，求证：AAOB的面积S是定

值；

(2)己知点过点P作动直线/与双曲线右支交于不同的两点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点

满足黑=黑，证明：点H恒在一条定直线上•

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39.已知双曲线C曝-翥=1(a>0,6>0)经过点。(4,3),直线小"分别是双曲线C的渐近线，过。分别作

k和，2的平行线匕和1'2,直线交工轴于点M,直线，2交y轴于点N,且I0MH0NI=2次(。是坐标原点)

⑴求双曲线C的方程；

⑵设&、4分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点F的直线交双曲线C于P、Q两个不同点，直线4P与4Q

相交于点G,证明：点G在定直线上.

40.已知双曲线C：*W=l(a>0,6>0)的离心率为企，过点E(l,0)的直线/与C左右两支分别交于跖

N两个不同的点(异于顶点).

(1)若点尸为线段MV的中点，求直线。尸与直线斜率之积(。为坐标原点)；

(2)若A,8为双曲线的左右顶点，且|2B|=4,试判断直线AN与直线的交点G是否在定直线上，若是,

求出该定直线，若不是，请说明理由

九、抛物线定直线问题

41.过抛物线/=2py(p>0)内部一点「(科冗)作任意两条直线力B,CD,如图所示，连接延长交于点

Q,当P为焦点并且481CD时，四边形4C80面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程;

(2)若点证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.

42.已知抛物线E：V=2px(p>0),过点(一1,0)的两条直线小G分别交E于4、B两点和C、D两点.当。的

斜率为1时，\AB\=2V10.

(1)求后的标准方程；

⑵设G为直线4。与BC的交点，证明：点G在定直线上.

43.已知抛物线Q：x2=2py(p>0)和圆C2：。++外=2,倾斜角为45。的直线4过G的焦点且与心相

切.

(1)求p的值：

⑵点M在G的准线上，动点A在Q上，Q在A点处的切线b交y轴于点2，设而=祈彳+而，求证：点

N在定直线上，并求该定直线的方程.

44.已知抛物线/=4y,P为抛物线外一点，过P点作抛物线的切线交抛物线于4B两点，交x轴于M,N两

点.

(1)若P(—1,—2),设A04B的面积为Si，APMN的面积为S2，求金的值；

S2

(2)若POofo)，求证：△PMN的垂心H在定直线上.

45.已知/为抛物线C:/=2py(p>0)的焦点，直线2:y=2久+1与C交于A,B两点且|4F|+田?|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直线瓶:丫=2尤+1«K1)与(7交于〃，N两点，且AM与BN相交于点T,证明：点T在定直线上.

专题11圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题

一、椭圆定点问题

1.已知圆E：0+1)2+y2=16,点F(1,O),G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H

⑴求动点H的轨迹「的方程；

(2)经过点F和7(7,0)的圆与直线I：久=4交于P,Q,已知点力(2,0),且4P、4Q分别与「交于M、N.试探究直

线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.

【答案】(1)?+?=1

(2)经过定点，定点坐标为(1,0)

【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H的轨迹「的方程；

(2)设可(%2，为)，直线MN的方程为：％=my+几，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出％八y1,

亚，火之间的关系，再利用两点式写出直线M4的方程，求出点P,鸿)，Q(4,表)，再写出以PQ为直径

的圆的方程，根据圆的方程经过点7(7,0),得到关系式，进而求得"为定值，从而得到直线MN过定点.

【详解】(1)如图所示，

V\HE\+\HF\=\HE\+\HG\=4,且|EF|=2<4,

.,.点H的轨迹是以E,F为焦点的椭圆，

设椭圆方程今+9=1，贝!12a=4,c=1,.,.a=2,b=Va2—c2=V3.

azbz

22

所以点H的轨迹方程为：?+方=1.

（2）设直线MN的方程为：x=my+n,

（兰光=

由143,得（3优2+4）y2+6mny+3n2-12=0

lx=my+n

17/86

设”(久1，为)，Nd，yZ，则%=一春瓦£，7172=宝%.

n

所以，%i+%2=巾(乃+%)+2n=%1%2=(jny1+n)(my2+n)=t累:;

因为直线AM的方程为：y=六(x—2),令x=4,得yp=/，

所以，尸(4,含)，同理可得Q(2表)，

以PQ为直径的圆的方程为：(X一47+(y-言)(y-言)=0,

即(久-4)2+y2-(匹+匹)y+匹x匹=0,

因为圆过点(7,0),所以，9+汽*且三=0,

12n2-48

得9+——4产=0,代入得9+,,2+；啜\、=0,

X1X2-2(%I+X2)+4727n2+4*16n14

3M2+43m2+4

化简得，9+.；2冏48=。(4a2_16n+16不0,n丰2),解得几=1或九=2(舍去)，

4nz-16n+16

所以直线MN经过定点(1,0),

当直线MN的斜率为。时，此时直线MN与x轴重合，直线MN经过点(1,0),

综上所述，直线MN经过定点(1,0).

2.已知点4(2,0),B(—")在椭圆"：■+'=l(a>6>0)上.

(1)求椭圆M的方程；

(2)直线1与椭圆M交于C,。两个不同的点(异于A,B),过C作x轴的垂线分别交直线于点P,Q,当P是CQ

中点时，证明.直线1过定点.

【答案】(1注+y2=l

(2)证明见解析

【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD方程，结合韦达定理和P是CQ中点的条

件，找到直线CD中两个参数的关系，从而求出定点.

【详解】⑴由题知a=2,又椭圆经过J代入可得;(-§2+2(一丁=1，解得b2=l,

故椭圆的方程为：1+y2=i

4

18/86

(2)

由题意知，当11X轴时，不符合题意，故1的斜率存在，设1的方程为丫=履+111,

y=kx+m

次2_]消去丫得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0,

{4+y-

则A=64k2m2-16(m2-l)(4k2+1)=16(4k2-mz+1)>0,

即4k2+1>m2

设C(xi，yj,D(x2,y2),xt+x2=xxx2=

AB的方程为y=；(x-2),令x=X1得P(x],也，]

AD的方程为y=2),令x=X]得Q(Xi，£5|y2),

由P是CQ中点，得甘=y1+A|.y2,即悬+六=%

即(kx1+m)(x2-2)+(kx2+m)(x1-2)=|[xxx2-2(x1+x2)+4],

即(1—4k)x1x2+(4k—2m—2)(x1+x2)+4+8m=0,

即4m2+(16k+8)m+16k2+16k=0,所以(m+2k)(m+2k+2)=0,

得m=-2k-2或m=-2k,

当m=-2k-2,此时由△>(),得kv-：符合题意;

8

当m=-2k,此时直线1经过点A,与题意不符，舍去.

所以1的方程为丫=kx-2k-2,即y=k(x-2)-2,

所以1过定点(2,-2).

19/86

3.如图，椭圆(7:《+箕=1(£1＞匕＞0)的左、右顶点分别为A,B.左、右焦点分别为Fi，F2,离心率为日,

点M(VX1)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知P,。是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为B，直线8。的斜率为七，k、=2k2.过点8作直线

尸。的垂线，垂足为问：在平面内是否存在定点T,使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不

存在，试说明理由.

【答案】⑴(：:1+4=1；

4Z

(2)存在定点T(|,0)使|TH|为定值，理由见解析.

【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a,b,c,即可得椭圆方程;

(2)根据题意设BQ:y=k(x-2),AP:y=2k(x+2),联立椭圆方程求P,Q坐标，判断直线PQ过定点，结

合BH1PQ于H确定H轨迹，进而可得定点使得|TH|为定值.

(£=之

a2可得L2a214,则椭圆方程为C:f+券=1；

【详解】(1)由题意《A.2_=1

a2Tb21b"=c=242

=b2+C2

(2)若直线BQ斜率为k,则直线AP斜率为2k,而A(—2,0),B(2,0),

所以BQ:y=k(x-2),AP:y=2k(x+2),

联立BQ与椭圆C,则x2+2k2(x—2)2=4,整理得(1+2k?)x2-8k?x+8k?-4=0,

4k2-2

所以2xQ=f^，则XQ=故yQ=—

l+2k2

联立AP与椭圆C则x2+8k2(x+2)2=4,整理得Q+8k2)x2+32k2x+32k2-4=0,

2-16k2

所以—2xp=32k2—4则Xp故yp=8k

l+8k2l+8k2l+8k2

4k2-22-16k2_64kj

综上，Q-Xp

Xl+2k2l+8k2-(l+8k2)(l+2k2)'

20/86

_4k8k_12k+48k3

YQYP-i+2k2l+8k2-(l+8k2)(l+2k2)'

当64k-47。，即k7士妙1^=器甯=急，

此时PQ：y+感=―(x+者)=&x+(U：蓝，2)，

所以PQ：y=占x+等=占(3X+2),即直线PQ过定点(号,0)；

当64k4—4=0,即k=±决寸，

若k.贝辰Q=-|且yQ=_£xP=-|j.yP=p故直线PQ过定点(一|,0)；

若k=_$则XQ=_|且yQ=£xp=_|且yp=_(故直线PQ过定点(一|,0)；

综上，直线PQ过定点M(号,0),又BH1PQ于H,

易知H轨迹是以BM为直径的圆上，故BM的中点(|,0)到H的距离为定值，

所以，所求定点T为(|,0).

【点睛】关键点点睛：第二间，设直线BQ,AP联立椭圆，结合韦达定理求点P,Q坐标，再写出直线PQ方程

判断其过定点是关键.

22

4.已知椭圆C拿+3=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&,尸2,48分别是C的右、上顶点，且|4B|=V7,

。是C上一点，ABF2。周长的最大值为8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE过&,直线力E,AD分别交直线x=-4于M,N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径

的圆过定点.

【答案】(1)?+?=1;

(2)证明见解析.

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【分析】（1）根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；

（2）设D（Xi，%）,E（X2，y2）,直线DE:x=my—1,联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形

的对称性可得定点在x轴上，代入韦达定理求解即可.

【详解】（1）依题意，a2+b2=7,

△BF2D周长|DB|+|DF2|+a=|DB|+2a—|DF1|+a<|BFt|+3a=4a,当且仅当B,F1,D三点共线时等号

(2)设D(xi，y1),E(x2，y2)，直线DE:x=my-L代入土+匕=1,整理得(3m2+4)y?-6my-9=0,

43

2

△=36m2+36(3m+4)>0,yt+y2=素=就;，

易知AD:y=（x—2）,令x=-4,得N（—4,三号），同得M（—4,三普）,

从而中点P卜4,-33+表）｝

以PD为直径的圆为（x+4）（x—xj+（y+3（丫—Yi）=

由对称性可知，定点必在x轴上，

令y=0得，(X+4)(x-X1)-3yl(含+言)=0,

Yi,y2Yiy22my1y2-3(yi+y2)

2

X]_2x2—2my1—3my2—3my1y2—3m仇+y2)+9

-18m18m

_3m2+43m2+4__36m__

2n2•?—rri，

-9m18m|?36

3m2+43m2+4

2

所以(x+4)(x-xj+3myi=0,BPx+(4—xjx—4xt+3myx=0,因为x】=my1—1,

所以X?+(5-myjx-my1+4=0,即(x+l)(x-my1+4)=0,

解得x=-1,所以圆过定点(一1,0).

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【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(Xi，yJ,(X2，y2);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算A；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为X1+X2，xjx2(或y1+y2，yiy2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

5.己知椭圆C:5+\=l(a〉b>0)的左顶点为4过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=4F=3.

⑴求△APQ的内心坐标；

⑵是否存在定点D,使过点。的直线/交C于M,N,交PQ于点R,且满足标•而=丽•前？若存在，求出

该定点坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(三,0)

⑵存在定点D(4,0)

【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a2=b2+c2,列出等式即可求出椭圆C的方程，判断AAPQ的内

心在x轴，设直线PT平分NAPQ,交x轴于点T,此时T为AAPQ的内心，进行求解即可；

(2)设直线1方程为y=k(x-t),M(x「%),N(X2,y2),将直线1的方程与椭圆方程联立，得到根的判别

式大于零，由点M、R、N、D均在直线I上，得到加-ND=MD-RN,此时2t-(1+t)(x1+x2)+2xtx2=0,

结合韦达定理求出t=4,可得存在定点D(4,0)满足题意.

【详解】(1)a2=b2+c2,—=a+c=3，.a=2,b=百,c=1

a

椭圆C的标准方程为1+(=1,

43

不妨取P(1卷),Q(l,-|),A(-2,0),则AP=手,PF=j；

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因为AAPQ中，AP=AQ,所以△APQ的内心在x轴，设直线PT平分NAPQ,交x轴于T,则T为AAPQ的内心,

且普泊'号，所以"=怒，则T(孚。)；

(2)•..椭圆和弦PQ均关于x轴上下对称.若存在定点D,则点D必在x轴上.•.设D(t,O)

fy=k(x-t)

当直线1斜率存在时，设方程为y=k(x-t),M(x1,yi),N(X2，y2),直线方程与椭圆方程联立£，

I43-

消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,

则A=48(k2+3-k2t2)>O,xi+X2=芸①

•点R的横坐标为1,M、R、N、D均在直线1上，MR-ND=MD-RN

22

•1•(1+k)(l-Xi)(t-x2)=(1+k)(t-x1)(x2-1)

•••2t-(l+t)(X1+x2)+2X]X2=02t-(l+t)黑+2x=0,整理得t=4,

因为点D在椭圆外，则直线1的斜率必存在.，存在定点D(4,0)满足题意

【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件

建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从

特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

二、双曲线定点问题

6.已知点P(4,3)为双曲线E:，—，=1缶>04>0)上一点，E的左焦点Fi到一条渐近线的距离为

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA,PB的斜率和为1,证明：直线y=kx+t过

定点，并求该定点的坐标.

【答案】⑴?一?=1

⑵证明见解析，定点为(-2,3).

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【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b=E，再将点P(4,3)代入双曲线方程求出a?=4,可得双曲线E的

标准方程；

(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得X1+X2、x1X2,再根据斜率和为1列式，推出t=2k+3,从

而可得直线y=kx+t过定点(-2,3).

【详解】(1)设Fi(—c,O)(c>O)到渐近线y=£x,即bx-ay=0的距离为百，

则百=导当，结合a?+b2=c2得b=V3,

vb2+a2

又P(4,3)在双曲线捺―?=1上，所以£一；1,得a2=4,

所以双曲线E的标准方程为。-(=1.

43

=kx+t

(2)联立，次—,消去y并整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0,

(43-

则3-4k2*0,A=64k2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0,即t2+3>4k2,

设A(xi，y])，B(x2,y2),

4t2+12

2=

则叼+*墨X1X2=-

3-4k2

则kpA+kpB+M=kX1+t-3+kxz+t-3

xx-4X2-4

_(kxi+t—3)(X2—4)+(kx24-1—3)(xt—4)

(Xi-4)(X2-4)

2kxx+(t-4k-3)(x4-x)-8t+24.

—1212—J.,

X1X2-4(X1+X2)+16

所以2kxiX2+(t-4k-3)(xi+x2)-8t+24=x1x2-4(xx+x2)+16,

所以(2k—1加或2+(t-4k+1)(X1+X2)—8t+8=0,

(2k-l)(4t2+12)(t-4k+l)-8kt

所以-—8t+8=0,

3-4k2+3-4k2

整理得t2-6k+2kt-6t-8k2+9=0,

所以(t-3)2+2k(t—3)—8k2=0,

所以(t-3-2k)(t-3+4k)=0,

因为直线y=kx+t不过P(4,3),即3K4k+t,t-3+4k^0,

所以t—3—2k=0,即t=2k+3,

所以直线y=kx+t=kx+2k+3,即y—3=k(x+2)过定点(-2,3).

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【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t=2k+3是解题关键.

7.双曲线C:^-冬=l（a>0,6>0）的左顶点为4,焦距为4,过右焦点尸作垂直于实轴的直线交C于B、D

两点，且△ABD是直角三角形.

⑴求双曲线C的方程；

（2）己知M,N是C上不同的两点,MN中点的横坐标为2,且MN的中垂线为直线1,是否存在半径为1的定圆E,

使得Z被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）x2—

（2）存在，E:（x-8）2+y2=1

【分析】（1）根据双曲线的性质，结合AABD是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程;

（2）首先利用点差法求出直线1所过的定点，即可求出定圆的方程.

【详解】（1）依题意，ZBAD=90°,焦半径c=2,

当x=c时,"=1,得y2=b2（\-1）=捺,BPy=±y,

所以|BF|=?,由|AF|=|BF|,得a+c=?,得a?+2a=2?—a?,

解得：a=1（其中a=-2<0舍去），

所以b?=c2-a2=4—1=3,

故双曲线C的方程为x2—?=1；

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(2)设M(x1,yj,N(x2,y2),MN的中点为Q(x0,y0)

因为M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2.

xa-9=1,①

xf-y=1,@

所以《

x°=『2,③

v_%+yz

Yo——2~

①■②得(Xi+X2)(X1-x2)-仇+丫2学》)=0,

3(XI+X2)3X46

当kMN存在时,kMN==一,

Y1+Y2

2y0yo

因为MN的中垂线为直线I,所以y-yo=-£(x—2),即l:y=—既(x-8),

当kMN不存在时，M,N关于x轴对称，MN的中垂线1为x轴，此时1也过T(8,0)，

所以存在以(8,0)为圆心的定圆E:(x-8)2+y2=1,使得1被圆E截得的弦长为定值2.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为

半径为1,所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.

22

8.已知双曲线一卷=l(a>0,6>0)的右焦点，右顶点分别为F,A,B(0,6),|4F|=1,点M在线段力B

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上，且满足|BM|=“川，直线0M的斜率为1,。为坐标原点.

⑴求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线，与双曲线C的右支相交于P,Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|•|FQ|=

|EQ|•恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴x2—?=1

(2)存在，Eg,O)

【分析】(1)由|AF|=L|BM|=V3|MA|,直线OM的斜率为1,求得a,b,c之间的关系式，解得a,b的值，

进而求出双曲线的方程；

(2)设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为NPEQ的

角平分线，可得直线EP,EQ的斜率之和为0,整理可得参数的值，即求出E的坐标.

【详解】(1)设c2=a2+b2(c＞0),所以F(c,O),A(a,O),B(O,b),

因为点M在线段A