2025年高考数学二轮复习 模块七 平面解析几何（测试）学生版+解析

模块七平面解析几何(测试)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.圆弓：5-2)2+(丁-4)2=9与圆6口-5)2+/=16的位置关系为()

A.相交B.内切C.外切D.相离

2.已知双曲线-匕=1的渐近线方程为>=土;X,则实数旭=()

m2

人16

A.——B.3C.6D.9

9

22

3.已知双曲线宏f=1(〃>0,6>0)的一条渐近线的斜率为⑸一个焦点在抛物线/=16x的准线上，

则双曲线的顶点到渐近线的距离为()

A.3B.6C.73D.2^/3

4.下列选项中的圆既与x轴相切又与直线/：〉=后相切的是()

A.(x+后+(,-1)2=3B.(x+73)2+(y-l)2=l

C.(x+l)2+(y-石］=3D.(x+l)2+(y-V3)2=1

5.已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=4与直线/：尤-y+m=0交于A，B两点，若NACB=90。，则优的值为()

A.-1B.3C.-1或3D.+3

6.若直线4：兀+2》-3=0与直线/2：Ax-2y+l=0(左GR)平行，则这两条直线间的距离为()

A..B,正c.iD.拽

5555

22

7.已知a>6>0,双曲线C:0-4=1的离心率为e,若（e2T（二一1）>1,则点与椭圆

a1b-

22

■=1的位置关系为（）

ab

A.点M在椭圆E内B.点M在椭圆E上

C.点M在椭圆E外D.不确定

22

8.设椭圆C:=+4=l（a>6>0）的右焦点为HP为C上一点，P的半径为归司，过尸作y轴的垂线,

ab

交（P于两点，M在N的左侧.记C的离心率为e,点m轨迹的离心率为q,点N轨迹的离心率为

%,则（）

A.B.

C.ex<eD.e<e2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知与工分别是双曲线W:5-L=l（a>0）的上，下焦点，W上的点尸在第一象限内，且W的渐近线

a3

方程为y=±gx,则（）

A.a=3B.W的虚轴长为2石

C.W的焦距为D.|尸耳H尸国=6

y/5-lfA/5-I

10.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把212«0.618称为黄金数.离心率等于黄金数的倒

7

数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为A，4，虚轴的上端点

为B,左焦点为尸，离心率为e,则（）

A.a2e=1

B.q=0

C.顶点到渐近线的距离为e

D.&必的外接圆的面积为山1兀

4

11.如图，经过坐标原点。且互相垂直的两条直线AC和BD与圆（x-l）2+（y-l）2=4相交于A,C,B,D

四点，M为弦A8的中点，下列结论正确的是（）

A.4?长度的最大值为20B.线段2。长度的最小值为20

C.点M的轨迹是一个圆D.四边形ABC。面积的取值范围为[40,6]

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线/:x-2y+3=0平分圆（7:丁+/一办+卜-甸尸。，则a=.

13.一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为45,则水面椭圆的离

心率为.

14.已知在棱长为3的正方体ABCD-aqQ2中，点M是底面42C。内的动点，点N为棱上的动

点，且tan=2tanZBMBl,贝!|MV+ND的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

在平面直角坐标系xQy中，已知圆“：/+_/-2工+2殴+3=0,M上存在两点关于直线无+>+1=。对

称.

⑴求M的半径；

（2）过坐标原点。的直线/被M截得的弦长为2,求/的方程.

16.（15分）

2

（。>）与三-有相同的渐近线,

已知双曲线E：=10,6>0f=i

a2b2

⑴求E的方程;

(2)已知O为坐标原点，直线^-^^〃…。与石交于73,Q两点，且。P0Q=4,求相的值.

17.(15分)

在平面内，动点M到点。,0)的距离和它到直线x+l=0的距离相等，记动点M的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程，并判断其形状；

⑵若点4(&另),8(々，%)在曲线C上，且=-4-

(i)证明：直线AB过定点：

(ii)记(i)中的直线AB过的定点为P,且过尸作垂直于A8的直线/交曲线C于。、E两点，求四

边形AD3E的面积的最小值.

18.(17分)

己知椭圆C:/+《=l(a>b>0)的左顶点为A,焦距为26，且离心率为当.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/与椭圆C交于M,N两点，点尸为AAW的外心.

(i)若，/皿W为等边三角形，求点P的坐标；

(ii)若点P在直线尤=-；上，求点A到直线/的距离的取值范围.

19.(17分)

22

定义：对椭圆。:，+2=1(。>5>0)及任意一点尸(如%),称直线誓+誓=1为C关于点尸的“极

ab'crb

线

结论1：若点尸在椭圆C上，则C关于点尸的极线就是C在点尸处的切线.

结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦

点.

试根据上面的定义和结论解决下列问题：

22

己知久，耳是椭圆C:?+q=l的两个焦点，C关于点P（T,O）的极线。与C相交于两点.

⑴求|明；

（2）设C在点A处的切线为乙，在点B处的切线为过在上且在C外一点。作C的两条切线，切点

分别为证明：直线相交于一点；

（3）若Q（n〃）是C上除顶点以外的任意一点，直线QF、和QF2分别与直线I:千+£=0相交于点

S,T,证明:|QS|+|QT|为定值.

模块七平面解析几何（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.圆弓口一2）2+（丁-4）2=9与圆。2：。-5）2+丁=16的位置关系为（）

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【解析】由题意可得G的半径｛=3,C2的半径4=4,

7?

Mzi-/;=l,^+/;=7,|C1C2|=73+4=5e（l,7）,故两圆相交.

故选：A.

2.已知双曲线上-上=1的渐近线方程为1=±9，则实数机=（）

4m2

A.—B.3C.6D.9

9

【答案】D

【解析】••,双曲线方程为土■一匕=1,a=2,b=Vm（m>0）.

4m

22r

,・•双曲线2r=1（。>0/〉0）的渐近线方程为y=±-x,

aba

.•.-=1，即血=3,解得加=9.

a222

故选：D.

22

3.已知双曲线［-斗=l（a>0,b>0）的一条渐近线的斜率为石，一个焦点在抛物线/=16x的准线上，

ab

6/20

则双曲线的顶点到渐近线的距离为()

A.3B.6C.73D.2后

【答案】C

【解析】双曲线渐近线的斜率为括，则2=百，

a

抛物线y2=16x的准线为：尤=-4,.上=4,结合°2=4+及，

:.a=2,b=2y/3,不妨取顶点(2,0),渐近线石x-y=0,

故双曲线顶点到渐近线的距离为1=空=6，

2

故选：C.

4.下列选项中的圆既与x轴相切又与直线=相切的是()

A.(x+后+(,-1)2=3B.(x+V3)2+(y-l)2=l

C.(x+l)2+(y-73)2=3D.(x+l)2+(y-V3)2=1

【答案】C

【解析】对A：圆心为「班』)，半径为6，圆心到直线y=0的距离为1,所以圆不与X轴相切，故A错

误；

对B：圆心为卜6,1),半径为1,圆心到直线后-y=0的距离为：惊曾=2N1,所以圆与直线

/:'=氐不相切，故B错误；

对C：圆心为卜1,6),半径为6，圆心到x轴的距离为到直线后-y=0的距离为：

心一汽一万.所以所给的圆既与x轴相切又与直线=相切，故C正确；

对D：圆心为卜1,月)，半径为1,圆心到直线、自_v=C的距离为卜„、6+1,所以圆与直线

=不相切，故D错误.

故选：C

5.已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=4与直线/：尤-y+m=。交于A，8两点，若NACB=90°,则优的值为()

A.-1B.3C.一1或3D.±3

7/20

【答案】C

【解析】因为圆C：（x-l）2+（y-2）2=4的圆心为C（l,2）,半径为厂=2；

且圆（7:（＞_1）2+（'_2）2=4与直线/：尤―/+机=0交于4,5两点，ZACB=90°,

所以ABC为等腰直角三角形，|C4j=|CB|=r=2,则|AB|=0r=2及，

因此圆心C到直线/：了一丁+m=。的距离为；［4同=0，

故选：C

6.若直线八x+2y-3=0与直线（丘-2y+l=0（笈eR）平行，则这两条直线间的距离为（）

AV5口2#44A/5

5555

【答案】B

【解析】因为直线4：x+2y-3=0与直线3近一2y+l=0（左eR）平行，

所以白，所以左=—1,

12—3

所以直线4：-x-2y+l=0即x+2y-l=0,

所以这两条直线间的距离为d=1］一（引=正

TFTF5

故选：B.

22

7.已知0＞6＞0,双曲线C*告=1的离心率为e,若则点与椭圆

22

E：A+斗=1的位置关系为（）

ab

A.点M在椭圆E内B.点M在椭圆E上

C.点M在椭圆E外D.不确定

【答案】A

【解析】由题意可得e?=5=左卢，因为1_1）（片_1）＞1,

所以［哼々一1，2-1）＞1,所以5（6一1）＞1,

所以/（a2—1）＞片,则片廿＞片+匕2,从而二+层,＜］,故点网在椭圆E内.

8/20

故选：A

22

8.设椭圆C:二+当=1（。＞6＞0）的右焦点为「尸为C上一点,p的半径为|尸尸|,过p作y轴的垂线,

a2b2

交（P于M,N两点，M在N的左侧.记C的离心率为e,点Af轨迹的离心率为，，点N轨迹的离心率为

g，则（）

A.ex<e2B.e2<ex

C.e[<eD.e<e2

【答案】D

=+a2

故，1+e'带入有---------------------1--------=1,

(a+c)2b2

〔为=%

同理得曰+*】'

故答案为：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知分别是双曲线W：当-土=1（。＞0）的上，下焦点，W上的点尸在第一象限内，且w的渐近线

a3

方程为y=±Gv,则（）

A.a=3B.W的虚轴长为2相

C.W的焦距为4忘D.\PFt\-\PF2\=6

【答案】AB

22

【解析】因为W:与-二=1（。＞0）的渐近线方程为y=土氐，

a3

所以得a=3,c=+3=26,A正确；

9/20

贝Ijw的虚轴长为26=26，B正确；焦距为2c=4指，C错误;

因为W上的点尸在第一象限内，

所以忸国—|尸司=2a=6,即|尸£|—|9|=-6,D错误.

故选:AB.

10.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把«0.618称为黄金数.离心率等于黄金数的倒

7

r2

数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线E:1T-y2=ig>0）的左，右顶点分别为A，4，虚轴的上端点

为B,左焦点、为F,离心率为e,则（）

A.a1e=1

B.&BFB=0

C.顶点到渐近线的距离为e

D.4四的外接圆的面积为2±@兀

4

【答案】ABD

由题意知用=…与"”>人正确.

(tz,0),B(0,1),F(―c,0),A^B=(―6Z,1),FB=(c,1),•FB=I2—=0,B正确.

r2

对于C,双曲线3-y2=i的渐近线方程为了土强=0,

a

,aa1

d

所以顶点到渐近线距离=/2+12=c错误.

对于D,因为4"q=0,所以4尸，必，所以一4蝴为直角三角形，且尸=90,4/=〃+。,

10/20

所以一为四的外接圆半径为专，故外接球面积5=兀（专［=：（/+C2+2改）=^^兀，D正

确.

故选：ABD.

11.如图，经过坐标原点。且互相垂直的两条直线AC和BD与圆（了-1）2+。-1）2=4相交于4C,B,D

四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（

A.A。长度的最大值为20B.线段8。长度的最小值为2万

C.点/的轨迹是一个圆D.四边形ABC。面积的取值范围为［4&,6］

【答案】BCD

【解析】由已知可得圆心为（1,1）,半径厂=2,

由圆的性质知：圆心与直线8。距离最大为V2,

线段AO长度最大，则圆心与4。共线且在它们中间，

此时|AO|=r+忘=2+&，故A错误；

由圆的性质知：当圆心与直线8。距离最大为/时弦8。的长度最小,

此时忸=2J4-2=2近，故B正确；

若M,H,G,尸分别是ASBC,CD,的中点，

则MF〃//G/ABD目JMF|=|HG|=||BD|,MH//FG//ACti.\MH\=\FG\=||AC|,

又ACLBD,易知：四边形MWGF为矩形，而|切|2^\MF\2+\MH\2=1(|BD|2+\AC\2),

11/20

若圆心（1,1）到直线AC,3。的距离4&e[。,垃]且力+〃；=2，

2

所以^\BD\+力+送+||AC|2=2X4=8,

则|（|BD|2+\AC\2）=6,故归引="，

所以点M在以|尸网="为直径，HF,MG的交点为圆心的圆上，故C正确；

由以上分析：|AC|=2正后，忸9=2产至，

而SABCD=^\AC\\BD\,

2

所以SABCD=2J16-4（d；+"；）+（442）=258+（42）2，

令t=d；=2-dyG[0,2],则SABCD=2j8+f（2-/）,

当f=1,即4=“2=1时，（SABC£!）max=6,

当仁。或2,即4=0,4=0或4=夜,4=0时，（5谢。焉=40，

所以与BCDe[4点,6],故D正确.

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线/:x—2y+3=0平分圆Cif+V—6+（4—4。）、=0,贝i]a=.

【答案】2

【解析】C:*+y2_tzx+（4-4a）y=0化为：

卜一鼻+（y+2-2I）2一8〃+4,

所以c的圆心为"T，

因为直线/：尤一2>+3=0平分圆C:f+y2—办+（4—4a）y=0,

所以/经过C的圆心

则_|_4°+4+3=0,解得a=2,经检验符合题意.

故答案为：2.

12/20

13.一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为45,则水面椭圆的离

心率为.

【答案】交

2

【解析】如图，AC为椭圆长轴，石为椭圆短轴，

因水面与底面所成的二面角为45,贝=则空=cos：=",

4AC42

则竺=2=在"=£=""交.

24G2aa\a22

14.已知在棱长为3的正方体ABC。-中，点M是底面ABC。内的动点，点N为棱BC上的动

点，且tan/A%=2tan/BMB],则肋V+ND的最小值为.

【答案】V58-2

【解析】如图(一)，tan/AMA=空=/-,tanZBMB.=—.

MAMAMBMB

又tan=2tanZBMBt,,-.MB=2MA.

如图(二)，建立平面直角坐标系，则40,0),8(3,0),£>(0,3),设点M(x,y).

J(尤-3>+y2=2j尤?+y2,化简得：(x+l)2+y2=4(x>0,y>0).

则圆心为尸(TO),厂=2,点。(0,3)关于BC的对称点D(6,3).

(MN+ND'*=J(6+iy+32-2=758-2.

13/20

故答案为：5/58-2.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

在平面直角坐标系xQy中，已知圆/：/+丫2_2尤+2ay+3=0,M上存在两点关于直线x+y+l=。对

称.

⑴求M的半径；

（2）过坐标原点0的直线/被M截得的弦长为2,求/的方程.

【解析】（1）0M:x2+y2-2JC+2ay+3=0,即（无一1）~+（y+a『=a?-2,

则圆心为"（1,-。），半径,=后工，

因为〃上存在两点关于直线x+y+l=0对称，所以点在直线无+y+l=0上，

所以1-。+1=0,解得a—2,

所以M的半径厂=应；（6分）

（2）由（1）可得（x-l『+（y+2）2=2,圆心为“（1,—2）,

因为过坐标原点0的直线I被M截得的弦长为2,所以圆心V（1,-2）到直线的距离d=后=F=1，

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为尤=0,此时圆心加（1,-2）到直线的距离d=l,符合题意；

%+2|□

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=笈，则-=#+（_][1,解得上=-:，

3

所以直线/的方程为y=-=x,即3x+4y=0；

4

综上可得直线/的方程为x=0或3x+4y=0.（13分）

16.（15分）

14/20

222

已知双曲线及十%=1（°>0,6>0）与Y=i有相同的渐近线,

⑴求E的方程;

（2）已知O为坐标原点，直线彳-'+m=。与£交于巴。两点，且。尸・。。=4,求机的值.

2

【解析】（1）由题意，设E的方程为］一丁=4。#0）,又£过点加（2,-0卜

所以卜④）227,解得几=—3,

2

22

所以E的方程为土-工=1.（7分）

36

'《上=1

22

（2）设P（%i，yi）,Q（x2,y2）,由<36'^x—2JWC—m—6=0,

x—y+m=0

因为八二（一2机/+4（机2+6）>0,

2

所以玉+%2=2机，xix2=-6-m,（9分）

+m）（％222

所以=（菁+根）=玉%+根（菁+x2）+m

=-6—m2+2m2+m2=2m2—6,

222

所以OP-OQ=x^x2+yxy2=-6-m+2m-6=m-12=4,

解得m=4或相=-4.（15分）

17.（15分）

在平面内，动点M到点（1,0）的距离和它到直线X+1=O的距离相等，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程，并判断其形状；

⑵若点4（苔,乂）,3（%，%）在曲线C上,且=-4-

（i）证明：直线AB过定点:

15/20

（ii）记（i）中的直线AB过的定点为P,且过尸作垂直于AB的直线/交曲线C于。、E两点，求四

边形的面积的最小值.

【解析】（1）因为动点M到点（1,。）的距离和它到直线x=T的距离相等

所以动点”的轨迹是以点（1,0）为焦点，直线x=-l为准线的抛物线.

设C的方程为y2=2px,贝=即p=2.

所以C的轨迹方程为丁=4尤，抛物线开口向右(4分)

>

(2)(i)^AB:x=imy+n,A(xl,yl),B(x2,y2),

[x=my+n_

联立方程组21，整理得丁―4冲—4几=0,

[y=4x

可得A=16m2+16〃>0,必+%=4m,%•必=~^n，

因为必必二-4，所以-4〃=-4,得几=1,

因此直线AB:x=my+\,故直线AB上经过定点P(l,0),(8分)

(ii)由(i)可知|AB|=%+%2+2=m(X+%)+4=4m2+4,

同理设。£：%=-2丁+1,。(工3，%)，石(%4，%)，

m

11

JQ-.......Y+]A

联立方程组~加，整理得丁+―y-4=0,

2彳m

y=4x

164

可得△=-2+16>0,%+”=--,%,”二-4,

mm

I4

可知IDE\=x+x+2=(%+%)+4=-2+4，

34mm

所以为8"扣训叶g(4疗+4$+“=8“+病+[+1>8]2+2q千j=32,

当且仅当m2=」y,即机=±1时，四边形ADBE1的面积的最小值为32.(15分)

m

16/20

18.(17分)

已知椭圆C:^+，=l(a>b>0)的左顶点为A,焦距为26，且离心率为内.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/与椭圆C交于M,N两点，点尸为，AMN的外心.

(i)若.4WN为等边三角形，求点P的坐标；

(ii)若点尸在直线x=-；上，求点A到直线/的距离的取值范围.

【解析】(1)因为椭圆的焦距为2c=2君=>c=百，

又因为离心率为e=£=也，所以。=2,

a2

由得6=1,

所以椭圆C的方程为三+丁=1;(4分)

4

(2)(i)因为-4WN为等边三角形，所以|AMRZWk

由对称性可知N关于x轴对称，

可设直线/的方程为：x=t,当x=f时，匚+>2=1=土正乙，

4--2

(,____

所以点Mr，匕一，点Nt,-——,A(-2,0),\MN\=4^e

\J\7

因为|AW|=|肱V],所以F^=](t+2)2+亚丁一。，

2

化简整理有：7r+16/+4=0,解得7=-亍或-2(舍去)，

又因为点尸为一AMV的外心，即为14VW的重心，

设尸(无。,0),则有一一2-2、7_6,所以尸J。。]；(9分)

%=—3—=~7I77

17/20

(ii)当直线/的斜率为0时，线段"N的中垂线为丁轴，不满足题意.

+4）/+2mny+n2-4=0,

设加(不，乂)，"(九2，%),则有：%+%=一一]=，

m+4m+4

设E、P为线段A",AN的中点，则,"看)，”上一，方)

可得线段AM的中垂线方程为,_?=_t2]苫_与2],即y=一±±2x-萼①，(12分)

同理可得线段AN的中垂线方程为>=-土券x-券②，

联立①②解得

r=3%%(弘一％)=3________%%(必-%)________=321)1=3n-2

2?

2y1(%2+2)—%(玉+2)2yx(my2+n+2)-y2(my1+n+2)2n+22m+4

由3与2r=一2，可得2〃/+9〃-10=0,即加2=5-2"，代入不等式〃，一川+4>0,

2根2+432

a

解得一6</且…2,则/e[0,14)3(14,32],

I2+77I?(m2-14)7-

所以点A到直线/的距离为d=/丝=4，=^，〃/+1+一30,

4^197^7719V/+1

设函数〃X)=X+子-30,xe[1,15)0(15,33],则〃x)在(1,15)为减函数，

在(15,33)为增函数，可得0</(%)<196,进而得de(0,1.

OQ

综上，点A到直线/的距离的取值范围为(0,1].(17分)

19.（17分）