2025年北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 章节重点梳理【3大考点14种题型】

第1章三角形的证明［3大考点14种题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【考点1等腰三角形】.........................................................................1

【题型1含30。的直角三角形性质的应用】.......................................................2

【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】......................................................4

【题型3等边三角形的性质与判定】............................................................5

【题型4解决“一线”的最短路径问题】...........................................................6

【题型5解决“两线”的最短路径问题】...........................................................8

【考点2直角三角形】.........................................................................9

【题型6直角三角形全等的判定】..............................................................9

【题型7直角三角形的性质的应用】...........................................................10

【题型8勾股定理及其逆定理】...............................................................12

【题型9命题与定理】........................................................................13

【考点3线段的垂直平分线、角平分线】........................................................13

【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】...............................................14

【题型11段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】...................................15

【题型12角平分线性质的应用】................................................................16

【题型13角平分线判定的应用】................................................................18

【题型14角平分线性质与判定的综合运用】......................................................19

►举一反三

【考点1等腰三角形】

1,等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).

等腰三角形的其他性质：

(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等.

(2)等腰三角形两底角的平分线相等.

(3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

(4)当等腰三角形的顶角为90。时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是

45°.

2.等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

1

(1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

数学语言：在小ABC中，•••,..•AB=AC(等角对等边).

【注意】

(1广等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有判定出

它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.

(2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三

角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

3.等边三角形及其性质

等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

【注意】

(1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.

4.等边三角形的判定

定等边三角形的方法：

(1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.

(3)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

5.含30。角的直角三角形的性质

一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【注意】

(1)该性质是含30。角的特殊直角三角形的性质,一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能

应用.

(2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系.

(3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切.

(4)在有些题目中，若给出的角是15。时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15。的角转

化后，再利用这个性质解决问题.

【题型1含30。的直角三角形性质的应用】

【方法总结】常常利用含30。角的直角三角形的性质“30。角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问

题.

【例1】(23-24八年级•辽宁大连•期末)如图，在等边A2BC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE,

线段BE、CD交于点F,连接AF.

2

A

E

(1)求NCFE的度数；

⑵当乙4FE=30。时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明.

【变式1-1](23-24八年级.上海崇明・期末)如图，△4BC和AZDE中，AB=AD,Z.B=ZD,BC=DE.边

4。与边BC交于点尸(不与点8,C重合)，点2,E在4。异侧.

(1)若乙8=30°,/-APC=70°,求NC4E的度数;

(2)当NB=30。，ABVAC,AB=6时，设力P=x,请用含尤的式子表示PD,并写出PD的最大值.

【变式1-2](23-24八年级•湖南长沙•期末)已知在AABC中，乙4cB的平分线CD交48于点。，DEWBC.

(1)如图1,求证：ACDE是等腰三角形；

(2)如图2,若DE平分N2DC交AC于E,^ABC=30°,在BC边上取点/使BF=DF,若BC=12,求。尸的长.

【变式1-3](23-24八年级•山东济宁・期中)如图，AABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、。同时从A、

B两点出发，分别沿A3、BC方向匀速移动.

3

(1)当点尸的运动速度是lcm/s,点Q的运动速度是2cm/s,当Q到达点C时，P、。两点都停止运动，设运

动时间为f(s),当t=2时，判断ABPQ的形状，并说明理由；

⑵当它们的速度都是lcm/s,当点P到达点8时，尸、。两点停止运动，设点P的运动时间为f(s),则当

f为何值时，APBQ是直角三角形？

【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】

【例2】(23-24八年级.安徽六安.期末)在等腰△ABC中，AB=BC,高A。、BE所在的直线相交于点R将

△ACD沿直线4D翻折，点C的对称点C，落在直线BC上，连接FC，.

(1)如图1,当乙480=45。时，

①求证：BF=AC-,

②求NFC，D的度数.

(2)当乙4BC=135。时，补全图2,并求证：CFWAB.

【变式2-1](23-24八年级•安徽六安・期末)如图，点。、E在AABC的边BC上，AD=AE,BD=CE.

(1)求证：AB=AC.

(2)若NB4C=108。,2NDAE+ABAC=180°,直接写出图中除△ABC与△2DE外所有等腰三角形.

【变式2-2](23-24八年级.湖北荆门.期末)如图，在△ABC中，乙ACB=24B,NB4c的平分线4D交BC于

过C作CN14D交4D于〃，交2B于N.

4

A

(1)求证：△⑷VC为等腰三角形；

(2)求证：BN=CD.

【变式2-3X23-24八年级下•四川成都・期末)如图1,在A2BC中,。为边BC上L点,2B=AD=CD,BC=AC.

图1图2

(1)求NC的度数；

(2)如图2,点E在C4延长线上，连接BE,BE||AD,求证：AE=CD；

(3)在(2)的条件下，求证：CE-BD2AB.

【题型3等边三角形的性质与判定】

【例3】(23-24八年级.全国.单元测试)己知：如图，4ABC、△CDE都是等边三角形，AD,BE相交于点。，点

M、N分别是线段4D、BE的中点.

⑵求WOE的度数；

(3)求证：AMNC是等边三角形.

【变式3-1](23-24八年级•湖北咸宁•期末)如图1,△ABC是等边三角形，点E,F分别为边BC,CA

的中点.

5

ccc

图1图2图3

(1)求证：ACFE为等边三角形；

⑵连接CD交EF于点G,如图2,求证：CG1FE；

(3)如图3,已知△ABC的面积为8,求△£>£1/的面积.

【变式3-2](23-24八年级•安徽•期末)如图，在等边三角形48c中，点E在4B上，点。在CB的延长线上,

且ED=EC.

E

图1图2图3

⑴如图1,当E为2B的中点时，贝!MEDB(填或.

(2)如图2,当E为48边上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由.

(3)如图3,当点E在4B的延长线上时，若AABC的边长为2,AE=3,求CD的长.

【变式3-3](23-24八年级・北京・期末)如图，=30。，点8与点C关于射线2H对称，连接4C.。点为

射线力H上任意一点，连接CD.将线段CD绕点C顺时针旋转60。，得到线段CE,连接8E.

(1)求证：直线E8是线段2C的垂直平分线;

(2)点。是射线上一动点，请你直接写出N4DC与NEC4之间的数量关系.

【题型4解决“一线”的最短路径问题】

方法总结：(1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线

6

的交点即为所求的位置.

（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，

连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.

【例4】（23-24八年级广东韶关•期中）如图，等边△力BC中，8。1力。于。，QD=1.5,点P、Q分别为AB、

AD上的两个定点且BP=AQ=2,在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为

【变式4-1］（23-24八年级下•广东清远•期末）如图，在锐角三角形ZBC中，AB=4,△力BC的面积为7,BD

平分NABC,若N分别是8D,BC上的动点，贝"CM+MN的最小值为

【变式4-2］（23-24八年级下•河南郑州.期末）如图，在△4CD中，AB=AC=7,4。=8.3,点E在上，CE=CB,

C/平分/8CE交于点足点P是线段CF上一动点，则EP+AP的最小值为（）

A.6B.7C.7.5D.8.3

【变式4-3］（23-24八年级•陕西西安・期末）如图，在等腰△4BC中，AB=AC=10,BC=16,AABD是

等边三角形，点P是N82C的角平分线上一动点，连接PC、PD,则PC+PD的最小值为.

P

7

【题型5解决“两线”的最短路径问题】

【例5X23-24八年级.新疆乌鲁木齐.期末）如图，已知的大小为a,尸是乙40B内部的一个定点，且0P=5,

点E、尸分别是。4、0B上的动点，若APEF周长的最小值等于5,则戊=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式5-1］（23-24八年级•全国・单元测试）如图所示，在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，

从P村往Q村，要经过两座桥EF,MN.现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大

桥，问：如何设计这两座桥EF,MN的位置，使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的

位置）

【变式5-2］（23-24八年级.湖北武汉.期末）如图，^AOB=20°,M,N分别是边。4,OB上的定点，P,Q分

别是边OB,。4上的动点，记NOPM=a,乙OQN=6,当MP+PQ+QN最小时，则关于a,。的数量关系

正确的是（）

A."a=30°B.p+a=210°C.£-2a=30°D.£+a=200。

【变式5-3］（23-24八年级下•重庆大渡口•期末）在ANBC和AAE尸中，AC=AE,连接CE,CE恰好平分N4CB,

在CE上存在一点使AD4F与N4CB互为补角，连接2D.

8

CA

图3

(1)如图1,当乙4cB=60。时，求NC4E的度数;

(2)如图2,当NACB=120。，AD=4F时，试说明EF与AC的位置关系；

(3)在(2)间的条件下，如图3连接FD并延长，分别交BC,2E于点M,N,若MN=4,AC=BC,P,Q

分别为力B和4E上的动点，请直接写出△DPQ周长的最小值.

【考点2直角三角形】

1.直角三角形全等的判定

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.

2.直角三角形性质

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

3.直角三角形判定

有两个角互余的三角形是直角三角形.

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

【题型6直角三角形全等的判定】

[例6](24-25八年级•黑龙江齐齐哈尔•期末)如图，在RtA4BC中，N2CB=90。，。是4B上的一点,8。=BC,

过点。作4B的垂线交力C于点E,连接CD,BE,相交于点F.

⑴求证：BE1CD.

(2)若ABAC=30。，试判断ACBD的形状，并说明理由.

【变式6-1](23-24八年级・云南曲靖・期中)如图，在△力BC和△AB匕，中，ZC=乙C'=90°,AB=A'B',AD

与4。'分别为BC,B'C'边上的中线，且CD=C'O',求证：4ABe三XA'B'C.

9

AA'

【变式6-2](24-25・重庆江北•开学考试)如图，△NBC中，AB=AC,2。，BC于点D

(1)求证：△4CD三△4BD；

(2)过点C作CE14B于点E,CE交4。于点R若CE=AE.求证：AF=2CD.

【变式6-3](24-25八年级•贵州遵义・期末)如图①，四边形4BCD中,48=90。,连接2C,且47=2,

点E在边BC上，连接DE,过点力作4FIDE,垂足为F,^AB=AF.

图①图②

⑴求证：^DAF=乙CAB；

(2)如图②，连接力E,且AE是NB4F的角平分线，求证：DF=EF+CE.

【题型7直角三角形的性质的应用】

【例7】(23-24八年级.辽宁盘锦•期末)如图，在A/IBC中，乙4cB=90。，点。为4C上一点，过点4作ZE18。

于点E.

B

E

(1)当BD平分N4BC,且A4BC=60°时，求NR4E的度数；

(2)当点。是AC中点，DB=3,且△BCD的面积为：，求4E的长.

4

10

【变式7-1]（23-24八年级.贵州贵阳.期末）如图,直线a||b,CD14B于点D,若N1=130。，则乙2等于（）

C.40°D.30°

【变式7-2]（23-24八年级•浙江温州•期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示

意图，/.CEO=90°,杠杆8c与上臂OC重合；使用时，8刚好至9点，当4次||OE时，恰好CB”平分/OCE,

【变式7-3]（23-24八年级•辽宁盘锦・期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊

线段”为主题开展数学活动.

图1图3

（1）【初步探究】在△ABC中，NB=42。,4。=70。，作ZBAC的平分线力。交BC于点Z）.在图1中，作4E，BC

于E,求ND4E的度数；

（2）【迁移探究】在△力BC中，ZB=42°,ZC=70°,作NBAC的平分线2D交BC于点D.如图2,在4D上任

取点R作FE1BC,垂足为点E,直接写出NDFE的度数；

（3）【拓展应用】如图③，在AaBC中，NC>NB,4D平分NB4C,点尸在。力的延长线上，FE1BC于E,求

出NDFE与NC、之间的数量关系.

11

【题型8勾股定理及其逆定理】

【例8】(2024八年级•全国•专题练习)葛藤是一种"刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常

常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数

(1)想一想怎样找出最短路径；

(2)如图，若树干周长为3m,葛藤绕一圈升高4m,则它爬行一周的路程是多少米？

【变式8-1](24-25八年级•全国,期末)在AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D,E分别是斜边力B和

直角边CB上的点，把ADEB沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是夕.

(1)如图①，如果点次和顶点4重合，求CE的长；

⑵如图②，如果点次落在4；的中点处，求CE的长.

【变式8-2](23-24八年级•湖南娄底•阶段练习)如图，已知A/IBC中，乙4cB=90。，CDLAB,垂足为点

D,CE是4B边上的中线.

(2)若4B=10,BC=6,求DE的长.

【变式8-3](23-24八年级•四川广元•期末)已知在7X7的网格中，每个小正方形的边长为1,在下列正方

12

形网格中用无刻度的直尺按要求作图:

图1图2

⑴如图1,48与CD交于点M；

①找格点E,使DEIMB且DE=AB-.

②直接写出乙4MC的度数.

（2）如图2,点2、B、C均在格点上，依照（1）中方法在2B上作点M,使/CMA=45。.

【题型9命题与定理】

［例9］（23-24八年级•河南郑州•期末）定理"三角形的任意两边之和大于第三边"可以由你学过的哪一条基

本事实推理证明得到？.

【变式9-1］（2024八年级•全国•专题练习）下面定理中，没有逆定理的是（）

A.同位角相等，两直线平行B.对顶角相等

C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，内错角相等

【变式9-2］（24-25八年级•上海杨浦•阶段练习）将命题"等腰三角形中两腰上的中线相等"的逆命题改写成

”如果...，那么..."的形式.

【变式9-3］（2024八年级上•全国•专题练习）下列命题可以作定理的有个.

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程;久+7=芽的根；④三角形的内角

和是180。；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.

【考点3线段的垂直平分线、角平分线】

1.线段垂直平分线的定义及其性质

（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.书写格式：如图所示，点P在线段AB

的垂直平分线上，则PA=PB.

13

(3)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.书写格式：如图所示，若PA=PB,则点P

在线段AB的垂直平分线上.

2.角的平分线的性质

内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【提示】

(1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；

(2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；

(3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；

(4)运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其

他结论.

4.角的平分线的判定

(1)内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

(2)角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角

的外部的点不会在角的平分线上.

【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】

【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.

【例10](23-24八年级•江苏南通・期末)如图，在AABC中，E是BC上一点=AB,EF垂直平分力C,力D1BC

于点。，AaBC的周长为18cm,AC=7cm,则DC的长为.

【变式10-11(23-24八年级下•河南周口•期末)如图，。为BC上一点，CE垂直平分力。交力D于点E,已知AC=5,

BC=8,贝1JBD的长为()

14

A.3B.5C.8D.18

【变式10-2](23-24八年级•宁夏石嘴山・期末)如图，在AdBC中，AB=AC=10cm,DE垂直平分力B,垂

足为E,交4C于D,若ADBC的周长为18cm,贝。BC的长为.

【变式10-3](23-24八年级•广西贵港•期末)如图，在AABC中，DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交

边4B于"、N两点，DM与EN相交于点F.

(1)若4B=3cm,求4CMN的周长.

(2)若NMFN=80°,求乙MCN的度数.

【题型U段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】

【例11】(23-24八年级•湖南株洲.期末)如图，在四边形力BCD中，ADWBC,E为CD的中点，连接4E、BE,

BE1AE,延长4E交BC的延长线于点F.

(2)求证：AB=BC+AD：

(3)若四边形4BCD的面积为32,AB=8,求点E到BC边的距离.

【变式11-1](23-24八年级.河北沧州•阶段练习)如图，AABC中，^ACB=90°,80平分乙4BC交AC于点

D,过点C作CE1BD于点。，交48于点E.

15

(1)求证：BD是线段CE的垂直平分线；

(2)若NCBD=20°,求NADE的度数.

【变式11-2](23-24八年级下.重庆沙坪坝•期末)如图，在AaBC中，ZXCB=90°,AC=BC,£为AC边的

中点，过点A作/W14B交BE的延长线于点。，CG平分N4CB交BD于点G,在边上取一点F,使乙4CF=

MBG,连接CF.

⑴求证：4F=CG；

(2)试探究线段CF与DE长的数量关系，并对结论给予证明.

【变式11-3](23-24八年级下•山东烟台・期末)如图，DALAB,垂足为4CB14B,垂足为B,E为2B的

中点，AB=BC,CE±BD.

(1)求证：BE=AD.

(2)有同学认为4C是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；

(3)若乙4BD=25。，求NBDC的度数.

【题型12角平分线性质的应用】

【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段彳导到两条垂线段的

16

长度相等.

【例12】（23-24八年级下.山东青岛.期末）如图1,在AABC中，4D是△力BC的角平分线.

（1）若48=6,AC=3,BC=5,可得到结论：器=；

（2）若=AC=n,BC=t,可得到结论：,=；

（3）图2中，AB=m,AC^n,BC=t,若CE是NBC4的外角平分线，与的延长线交于点E,可得到结论:

BE

族二----------.

【变式12-1］（23-24八年级下.湖南张家界.期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的

周长为18cm,面积为27cm2,则点尸到边BC的距离是（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

【变式12-2］（23-24八年级•湖北武汉・期末）如图，在△力BC中，AD是它的角平分线，点P是线段力D上的

任一点（不与A、。重合），PE||AB,交BC于点E,PF||AC,交BC于点、F,若点。至ijPE的距离为3,PF=6,

贝USAPOF=-

【变式12-3］（23-24八年级•云南红河・期末）如图所示，在A/IBC中，4D平分ABAC,NB=50。，过点。作

AC的垂线，交4C于点E,乙CDE=32°.

17

A

⑴求乙4DE的度数；

（2）若AC=6,2匹=三，求4B的长.

S&ABD4

【题型13角平分线判定的应用】

【方法总结】证明一条射线（或线段）是角平分线，有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两边

距离相等的点在角的平分线上.

【例13】（23-24八年级•重庆渝北•期末）已知，AABC和AECD都是等边三角形，且点8、C、。在一条直

线上.

（2）若AD,BE交于。点，连接。C,求证：0c平分NBOD.

【变式13-1］（23-24八年级.海南省直辖县级单位•期中）如图，已知点E、尸分别是△ABC的三边上的点,

CE=BF,SXDCE=S^DBF，且NBA。=42°,贝I］N84c的值是.

【变式13-2］（23-24八年级.河南新乡•期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个

商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处?（阴影部分不能修建超市）

18

A

【变式13-3]（23-24八年级.湖南衡阳•期中）如图，AB=4C,BEUC于点及C4148于点尸,BE、CF相交

于点。，则①△28E三AACF；®ABDF=ACDE；③点。在乙8江的平分线上，以上结论正确的是.（填

序号）

【题型14角平分线性质与判定的综合运用】

【方法总结】当遇到角平分线问题时，除了常见的作垂线的方法，还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助线

方法：

①作垂线:已知AP平分/BAC,过点P作PD_LAB,PE_LAC,得PD=PE且，可△ADP^AAEP;

②截长:已知AP平分/BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP^AAEP.

,C

K

AEB

【例14】（23-24八年级•江苏泰州•期中）如图，在△ABC中，点。是BC边上一点，已知NDAC=a,=

90。一三（6平分〃。8交48于点£,连接DE,贝UNDEC的度数为（）

A-IB-?C-300-ID.45。-a

19

【变式14-1](23-24八年级下•山东威海・期末)如图，△ABC的内角N4BC和外角NACD的角平分线BE,CE交

于点E,且NBEC=26°,贝ikCAE=.

【变式14-2](23-24八年级•湖南长沙•阶段练习)如图，AABC中，点。在BC边上，ZFXD=100°,乙4BC的

平分线交4C于点E，过点E作垂足为F,且乙4EF=50。，连接DE.

⑴求证：DE平分Z71DC；

(2)若4B=7,AD=4,CD=8,ShACD=15,求△ABE的面积.

【变式14-3](23-24八年级下.黑龙江哈尔滨.期末)在△ABC中，/.BAC=60°,线段BF、CE分别平分N2BC、

乙4cB交于点G.

⑴如图1,求NBGC的度数；

(2)如图2,求证：EG=FG-,

(3)如图3,过点C作CD1EC交BF延长线于点。，连接2D,点N在B4延长线上，连接NG交4C于点M,使

ADAC=Z.NGD,若EB:FC=1:2,CG=10,求线段MN的长.

20

第1章三角形的证明［3大考点14种题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【考点1等腰三角形】.........................................................................1

【题型1含30。的直角三角形性质的应用】.......................................................2

【题型2等腰三角形的性质与判定的综合】......................................................4

【题型3等边三角形的性质与判定】............................................................5

【题型4解决“一线”的最短路径问题】...........................................................6

【题型5解决“两线”的最短路径问题】...........................................................8

【考点2直角三角形】.........................................................................9

【题型6直角三角形全等的判定】..............................................................9

【题型7直角三角形的性质的应用】...........................................................10

【题型8勾股定理及其逆定理】................................................................12

【题型9命题与定理】........................................................................13

【考点3线段的垂直平分线、角平分线】........................................................13

【题型10利用线段垂直平分线的性质求线段的长】...............................................14

【题型11段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】...................................15

【题型12角平分线性质的应用】...............................................................16

【题型13角平分线判定的应用】................................................................18

【题型14角平分线性质与判定的综合运用】......................................................19

►举一反三

【考点1等腰三角形】

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角“).

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).

等腰三角形的其他性质：

(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等.

(2)等腰三角形两底角的平分线相等.

(3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

(4)当等腰三角形的顶角为90。时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是

45°.

2.等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

(1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；

21

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边“).

数学语言：在仆ABC中，VZB=ZC,：.AB=AC(等角对等边).

【注意】

(1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有判定出

它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.

(2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三

角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

3.等边三角形及其性质

等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形.

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

【注意】

(1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.

4.等边三角形的判定

定等边三角形的方法：

(1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.

(3)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

5.含30。角的直角三角形的性质

一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【注意】

(1)该性质是含30。角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能

应用.

(2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系.

(3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切.

(4)在有些题目中，若给出的角是15。时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15。的角转

化后，再利用这个性质解决问题.

【题型1含30。的直角三角形性质的应用】

【方法总结】常常利用含30。角的直角三角形的性质“30。角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问

题.

【例1】(23-24八年级•辽宁大连•期末)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE,

线段BE、CD交于点F,连接4F.

22

A

E

(1)求NCFE的度数；

⑵当乙4FE=30。时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明.

【答案】(l)NCFE=60°；

(2)CF=2BF,证明见解析.

【分析】(1)通过SAS证明ADBC三△瓦4B得出Z.BE=/.BCD,再由乙4BE+Z.CBE=60。即可推出结果；

(2)过点C作CH1BE,垂足为H,通过AAS证明△4FC三△CHB得出CF=BH,再根据含30。的直角三角形

性质推出CF=2FH即可得出结论；

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含30。角的直角三角形

的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)证明：•••△ABC是等边三角形，

：.^CAB=ABCA=60°,AC=CB,

在△力。。和八CEB中，

-AD=CE

乙CAB=/.BCA

.AC=CB

：.AADCCEB(SAS),

:.乙CBE=AACD,

."CFE=UBE+乙BCD="CD+4BCD=乙BCA=60°,

(2)证明：过点C作CHIBE,垂足为H,

:.乙CHB=90°.

23

9：^AFC=^AFE+乙CFE=30°+60°=90°,

：.^AFC=乙CHB,

在△4CF和△C8H中，

NAFC=（CHB

Z.ACD=乙CBE

、AC=CB

：.△ACF=△CBH（AAS）,

:・CF=BH,

■:乙FCH=180°-乙CHB-Z.CFE=180°-90°-60°=30°,

CF=2FH,

：.BH=2FH,

即BF+F”=2FH,

：.BF=FH,

：.CF=2BF.

【变式1-1］（23-24八年级•上海崇明・期末）如图，△ZBC和△ZDE中，AB=AD,乙B=^D,BC=DE.边

与边交于点尸（不与点3,C重合），点8,E在ZO异侧.

D

⑴若匕B=30°,乙4PC=70°,求心CAE的度数；

(2)当=30。，AB1AC,ZB=6时，设/尸=%,请用含x的式子表示尸D,并写出PO的最大值.

【答案】(1)40。；

(2)尸。=6-%,3；

【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键.

(1)证明△4BC三△40E,进而解答即可.

(2)根据当401BC时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可.

【详解】(1)解：在和△40E中，

24

AB=AD

乙B—Z-Df

、BC=DE

A^BC-AA^DE,

Z.BAC=Z.DAE,

Z-BAC-Z-DAC=Z-DAE—Z-DAC,

•••乙BAD=Z-CAE,

•・•乙B=30°,^APC=70°,

・•・/.CAE=乙BAD=乙APC-Z.B=70°-30°=40°.

(2)解•・・AB1AC,

・••/.BAC=90°,

vAB=6,AP=x,△ABC=△ADE,

•••AB=AD=6,

・•・当4。IBC时，x最小，尸0最大，PD=6-x,

v=30°,40IBC,

・•・乙APB=90°,

AP=-AB=3,

2

&p=x=3时，PD有最大值，即PD=aD-4P=6-3=3.

【变式1-2](23-24八年级•湖南长沙•期末)已知在AABC中，乙4cB的平分线CD交4B于点。，DEWBC.

(1)如图1,求证：ACDE是等腰三角形；

(2)如图2,若DE平分N4DC交4C于E,乙ABC=30°,在BC边上取点尸使BF=DF,若BC=12,求。尸的长.

【答案】(1)见解析

(2)4

25

【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性

质是解决问题的关键.

（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；

（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可.

【详解】（1）证明：:CD是乙4cB的平分线，

•••乙BCD=Z.ACD,

•・•DEWBC,

•••乙BCD=Z.EDC,

•••Z-EDC=Z-ACD,

.・.ED=EC；

即△CDE是等腰三角形；

（2）解:（DEIIBC,乙4BC=30。,

AAADE=乙ABC=30°,

又•・•OE平分乙4DC,

・•・/,ADE=乙CDE=30°,

由（1）可知，乙ACD=乙BCD=Z.CDE=30°,

BF=DF,

・•・乙B=乙BDF=30°,

・•・乙DFC=30°+30°=60°,

在△。户C中，^FDC=90°,ZFCD=30°,

i

AZ）F=-FC,

2

又,：DF=BF,BC=12,

・•・DF=-BC=ix12=4.

33

【变式1-3］（23-24八年级•山东济宁.期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、。同时从4、

B两点出发，分别沿A3、BC方向匀速移动.

26

(1)当点尸的运动速度是lcm/s,点Q的运动速度是2cm/s,当Q到达点C时，P、。两点都停止运动，设运

动时间为f(s),当t=2时，判断ABPQ的形状，并说明理由；

⑵当它们的速度都是lcm/s,当点P到达点8时，尸、。两点停止运动，设点P的运动时间为f(s),则当

f为何值时，aPeQ是直角三角形？

【答案】(1)△BPQ是等边三角形，理由见解析

(2)当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形

【分析】(1)分别求出BP、BQ的长可知BP=BQ,再由等边三角形的性质得到NB=60。，即可证明ABPQ是

等边三角形；

(2)分当4PQB=90°时和当NBPQ=90。时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，

本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30

度角的性质是关键.

【详解】(1)解：ABPQ是等边三角形，理由如下；

由题意得，当t=2时，AP=2cm,BQ=4cm,

/.BP=AB-AP=4cm,

：.BP=BQ,

'''△HBC是等边三角形，

."B=60°,

.•.△8PQ是等边三角形；

(2)解；•.•运动时间为ts,

.'