天一大联考·天一小高考2024-2025学年（下）高三第四次考试数学试题及答案

绝密★启用前天一小高考2024—2025学年(下)高三第四次考试考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数Z满足Z(1—2i)=3+i,则Z=2.已知集合A={0,1},B={0,a+1,a—1},若A≤B,则a=2+y22x2y+1=0与圆x2+y2+4x+6y+9=0的位置关系是A.相切B.外离C.内含D.相交4.已知两个不相等的向量a=(2,m+1),b=(2—4m,1),若aⅡ(2a—b),则m=A.B.0C.D.5.已知函数f(x)=ax3—2x23x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为C.A.8B.1C.D.7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为\2,2\2,该四棱台的所有顶点都在球O的球面上,且球心O是下底面的中心,则该四棱台的体积为8.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在E上,满足MF1丄MF2,直线MF1与y轴交于点N,且MN=3MFA.2B.\3+1C.3D.2\3二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论正确的是A.BC1丄平面A1B1C1D1B.BC1Ⅱ平面ACD1C.平面A1C1B丄平面B1D1CD.平面A1C1B丄平面B1CD10.已知函数f(x)=|ln(x—1)|—kx+k—2,则下列结论正确的是A.存在负数k,使得f(x)没有零点B.若f(x)恰有2个零点,则—e<k≤0C.若f(x)恰有1个零点,则k=—eD.当0<k<e—3时,f(x)恰有3个零点11.蔓叶线是公元前2世纪古希腊数学家狄奥克勒(Diocle)为了解决倍立方问题发现的曲线,因形似植物藤蔓而得名.按照如下方式可得到一条蔓叶线:在抛物线C:y2=—8x上取一动点,作C在该动点处的切线,过坐标原点O作这条切线的垂线,垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线E.下列结论正确的是A.点(1,1)在E上B.直线x=2是E的渐近线C.点(2,0)到E上的点的距离最小值为8\3—12D.若过点O的直线l与E和抛物线y2=x分别交于点A,B(异于点O),则12.用1,2,3,…,9这9个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数的个数为.13.已知f(x)=3sinx+cos(x+φ)(0<φ<π)是奇函数,则f(x)的最大值为.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角B的平分线与AC交于点D,若AD=BD,则的取值范围是c数学试题第1页(共4页)数学试题第2页(共4页)数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程已知等比数列{an}满足a2=a1+2,且a2是a1+1,a3-3的等差中项.(I)求{an}的通项公式;a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,已知函数f(x)=2\3sinxco(I)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)令函数g(x)=f-若A,B,C(A,B,C≠kπ+,k∈Z)成公差为的等差数列,证明:g(A)g(B)+g(B)g(C)+g(C)g(A)为定值.某商场举办购物抽奖活动,在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球,小球有红和蓝两种颜色,每个小球上都画有符号“O”或“×”,不同颜色和符号的小球个数如红球蓝球画O626(I)求P(A)和P(A|B).(Ⅱ)该商场规定在一次抽奖中,每人有放回地摸两次球,每次只摸出一个球,根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项,等级从高到低依次为:颜色和符号均相同为一等奖;仅颜色相同或仅符号相同为二等奖;颜色和符号均不相同为三等奖.(i)以“结果发生的可能性越小,奖项等级越高”为标准,请你判断该奖项设置是否合理;(i)若按(i)中的标准对上述三种结果重新设置奖项,并且一等奖奖励4a元,二等奖奖励2a元,三等奖奖励a元,要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元,则a的最大值为多少?已知函数f(x)=x3+(2-a)x2-ax+1.(I)若a=3,求f(x)在[-4,4]上的最值.(Ⅱ)若a>1且b>-1,关于x的方程f(x)+xex+b+(a-3)x2=0在(0,+∞)上仅有一个实根x0.(i)证明:a=ex0+x0;(i)求4a-b的最大值.如图,在四面体ABCD中,点B在平面ACD内的射影H恰在棱CD上,M为HC的中点,AB=2,匕BAH=,△ABD和△ABM的面积均为1.(I)若MH=DH,且匕ABD与匕ABM均为锐角,证明:CD丄平面ABH;(Ⅱ)若将A,B,H三点在空间中的位置固定,试分析D点的轨迹是什么曲线;(Ⅲ)求CD的最小值.天一小高考2024—2025学年(下)高三第四次考试数学.答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案A命题透析本题考查复数的运算.解析2.答案C命题透析本题考查集合之间的关系.解析若a+1=1,则a=0,此时B={0,1,-1},符合题意;若a-1=1,则a=2,此时B={0,3,1},符合题意,3.答案B命题透析本题考查圆与圆的位置关系.+y2-2x-2y+1=0即(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1;圆x2+y2+4x+6y+9=0即(x+2)2+(y+3)2=4,圆心为(-2,-3),半径为2,圆心距为因为5>1+2,所以两个圆外离.4.答案C命题透析本题考查平面向量的线性运算. 解析因为aⅡ(2a-b),所以aⅡb,所以2×1-(m+1)(2-4m)=0,解得m=0或-2.当m=0时,a= (2,1),不符合题意;当时符合题意.5.答案D命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性.解析因为f(x)在R上为减函数,所以fI(x)=3ax2-4x-3≤0在R上恒成立,所以3a<0且Δ=16+36a≤0,解得6.答案D命题透析本题考查数列的递推关系.解析令n=1,得(-1)×(-8)+2×(-8)=-1+m,解得m=-7,所以anan+1+2an+1=an-7,所以an≠-2,7.答案B命题透析本题考查多面体与球的关系.解析设正四棱台为ABCD-A1B1C1D1,如图所示为正四棱台过上、下底面相应对角线的截面,由题可知AC=2,A1C1=4,且点。为A1C1的中点,设正四棱台的高为h,则球。的半径R=\1+h2=2,得h=\3,所以正四棱台的体积8.答案B命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系.解析设E的半焦距为c(c>0),如图,设|MN|=X,则|MF1|=3X,|NF1|=2X,由双曲线的定义,得|MF2|=3X-2a,易证△。NF1一△MF2F1,所以即解得则在Rt△F1MF2中,由勾股定理,得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(\3c)2+(\3c-2a)2=(2c)2,化简得c2-2\3ac+二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的9.答案BD命题透析本题考查空间位置关系的判断.解析对于B,BC1ⅡAD1→BC1Ⅱ平面ACD1,故B正确;对于→BC1丄平面B1CD→平面A1C1B丄平面B1CD,故D正确.易知选项A,C错误.10.答案AD命题透析本题考查利用函数图象判断函数零点.解析由题意知f(x)的零点个数即为y=|ln(x-1)|和y=k(x-1)+2的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系内画出y=|ln(x-1)|和y=k(x-1)+2的大致图象.先考虑相切的情形:当y=k(x-1)+2与y=-ln(x-1)的图象相切时,设切点为Q(x0,-ln解得x0=e-1+1,故切线斜率k=-e.当y=k(x-1)+2与y=ln(x-1)的图象相切时,设切点为P(x1,ln(x1-1)),则,解得x1=e3+1,故切线斜率k=e-3.对于A,当k<-e时,两图象没有公共点,故A正确;对于B,当-e<k≤0或k=e-3时,两图象有2个公共点,故B错误;对于C,当k=-e或k>e-3时,两图象仅有1个公共点,故C错误;对于D,当0<k<e-3时,两图象有3个交点,故D正确.11.答案ABD命题透析本题考查曲线与方程,曲线与直线的位置关系.解析设P(x0,y0)为E上与点。不重合的任意一点,则由题意可知,直线与C:y2=-8x相切,二者联立消去x,可得则整理得yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)=,又点P为原点。时,其坐标也符合该方程,故蔓叶线E的方程为对于A,(1,1)符合该方程,故A正确.2-x,,,y2,,,对于B,因为y2=x3≥0所以0≤x2-x,,,y2,,,→0,即2-x→0,从图象上看,当曲线向上或向下无限延伸时,曲线上的点与直线x=2的距离趋向于0,即直线x=2是E的渐近线,故B正确.对于C,设圆(x-2)2+y2=r2与E有公共点,则当二者相切时,r最小,r的最小值就是点(2,0)到E上的点的距离的最小值.联立圆与E的方程,消去y,整理可得6x2+(r2-12)x+8-2r2=0,由Δ=0,得(r2-12)2-24(8-2r2)=0,解得r2=8\3-12,则r≠8\3-12,故C错误.对于D,设l与E的交点为A(x1,y1),与抛物线y2=x的交点为B(x2,y2),则kEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),OA)==,kEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),OB)==,xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),1)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),1)2,得x2=x2(x2+1)= xxxEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),1)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.命题透析本题考查计数原理的应用.解析偶数的个数为CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(1),4)AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),8)=224.命题透析本题考查三角函数的奇偶性与最值.解析因为f(x)是奇函数,y=3s,nx也是奇函数,所以cos(x+φ)=f(x)-3s,nx是奇函数,又因为0<φ<π, 所以φ=2,所以f(x)=3s,nx-s,nx=2s,nx,最大值为 命题透析本题考查正弦定理与三角恒等变换的综合应用.解析若AD=BD,则匕A=匕ABD,所以匕ABC=2匕A,即2A=B,又A+B=3A∈(0,π),所以A∈(0,.由正四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查等比数列的基本性质与运算.解析(I)设{an}的公比为q,………………(2分)1+2,所以解得………………………(7分)2,23,24,25,26,27,,(Ⅱ)由(I2,23,24,25,26,27,,1………………(13分)16.命题透析本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用.解析(I)f(x)=\3s,n2x+cos2x=2s,n(2x+,……………………(2分)最小正周期T=π.……………(4分)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.因此f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+,k∈Z.…………………(7分)(Ⅱ)由题意可得g(x)=tanx,因为A,B,C成公差为π所以A=B-,C=B+.…………………(8分)由此可得2B,故g(A)g(B)+g(B)g(C)+g(C)g(A)=9tan2B-3=-2B,17.命题透析本题考查概率的计算及随机变量期望的应用. 解析( P(A|B)=n(AB)=6(Ⅱ)(i)在一次摸球的结果中,………………(6分)所以两次摸球的结果中,………………(7分)××2=,…………(8分)……(9分)P3<P1<P2,不符合“结果发生的可能性越小,奖项等级越高”的标准,故该奖项设置不合理.………(10分)(i)设一次抽奖的奖金为X元,由题意知X=4a,2a,a.按照题意,奖金越高,概率越小,结合(i),可知X的分布列为XaP 2………………(12分)…………(14分)令a≤340,得a≤180,即a的最大值为180.……………(15分)18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.解析(I)若a=3,则f(x)=x3-x2-3x+1,所以f/(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),…………………(1分)令f/(x)<0,得-1<x<3,令f/(x)>0,得x<-1或x>3,故f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,…………………(3分)所以f(x)极小值=f(3)=-8,f(x)极大值=f(-1)=,……………………(4分)又因为f(-4)=-<-8,f(4)=-<,……………(5分)所以f(x)在[-4,4]上的最小值为f(-4)=-,最大值为f(-1)=.……………(6分)(Ⅱ)(i)令g(x)=f(x)+xex+b+(a-3)x2=x3+(1-a)x2-ax+xex+b+1,则g/(x)=x2+(1-a)x-a+(x+1)ex=(x+1)(x-a)+(x+1)ex=(x+1)(ex+x-a),…………(8分)令h(x)=ex+x-a,显然h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(0)=1-a<0,h(a)=ea>0,所以存在唯一的m∈(0,a),满足h(m)=0,即a=em+m,………………(9分)且当0<x<m时,h(x)<0,即g/(x)<0,当x>m时,h(x)>0,即g/(x)>0,故g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,g(m)是g(x)在(0,+∞)上的极小值,也是最小值,………………(10分)又因为g(0)=b+1>0,要使g(x)=0在(0,+∞)上仅有一个实根x0,必需x0=m,所以a=ex0+x0.………………(11分)(i)由(i)知g(x0)=xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)+(1-a)xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)-ax0+x0ex0+b+1=0,EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)x0-1.………………………(13分)0-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),0)-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)ex0+1,………………(15分)令Ul(x)>0,得0<x<2,令Ul(x)<0,得x>2,所以U(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以U(x)max=U(2)=2e2+17………………………(17分)19.命题透析本题考查空间几何体的结构特征.解析(I)因为点B在平面ACD内的射影H在棱CD上,所以BH丄CD,