二次函数难题综合附答案

...wd......wd......wd...庞圣洁〔二次函数难题〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2015•陕西模拟〕二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0〕经过点M〔﹣1，2〕和点N〔1，﹣2〕，交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④假设a=1，则OA•OB=OC2．以上说法正确的有〔〕A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③2．〔2013•泰安模拟〕如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．假设使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为〔〕A． B． C． D．3．〔2015•潍坊模拟〕假设函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是〔〕A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．〔2015•天桥区一模〕如图，直线y=kx+b〔k≠0〕与抛物线y=ax2〔a≠0〕交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y=ax2〔a≠0〕的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y=kx+b〔k≠0〕与抛物线y=ax2〔a≠0〕的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是〔〕A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．〔2013•遵义〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下列图，假设M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有〔〕A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6．〔2015•杭州模拟〕关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则以下结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的顶点在第四象限．其中正确的结论有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．〔2015•无锡校级三模〕抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗〔〕A．始终不相似 B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定8．〔2015•杭州模拟〕以下关于函数y=〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③假设只有两个公共点，则m=3；④假设有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有〔〕个．A．一个 B．两个 C．三个 D．四个9．〔2011•黄石〕设一元二次方程〔x﹣1〕〔x﹣2〕=m〔m＞0〕的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足〔〕A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．〔2013•盐城模拟〕如图，分别过点Pi〔i，0〕〔i=1、2、…、n〕作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为〔〕A． B．2 C． D．11．〔2008•西湖区校级模拟〕二次函数y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕图象上三点A〔﹣1，y1〕，B〔2，y2〕C〔4，y3〕，则y1、y2、y3的大小关系为〔〕A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．〔2008•乐山〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下列图，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则〔〕A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定13．〔2007•包头〕二次函数y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．〔2012•蚌埠自主招生〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下列图，Q〔n，2〕是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为〔〕A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣215．〔2010•秀洲区一模〕点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕均在抛物线y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕上，假设x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则〔〕A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2大小不能确定16．〔2013•天河区一模〕如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为〔1，﹣3〕，〔6，1〕，当y1＞y2时，x的取值范围是〔〕A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的，则a的取值范围〔〕A．a＞ B．a＜0或a＞ C． D．18．〔2012•荣县校级二模〕直线经过点A〔0，2〕，B〔2，0〕，点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有〔〕个．A．4 B．3 C．2 D．119．〔2012•下城区校级模拟〕关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不管m取何值，抛物线总经过点〔1，0〕；③假设m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y=﹣2〔x﹣1〕2图象上．其中正确的序号是〔〕A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④20．〔2002•湖州〕抛物线y=x2+bx+c〔c＜0〕经过点〔c，0〕，以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为〔〕A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c〕 C．〔b+1〕2 D．21．〔2005•茂名〕以下四个函数：①y=kx〔k为常数，k＞0〕②y=kx+b〔k，b为常数，k＞0〕③y=〔k为常数，k＞0，x＞0〕④y=ax2〔a为常数，a＞0〕其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是〔〕A．① B．② C．③ D．④22．〔2013•碑林区校级一模〕函数y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，并且a，b是方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是〔〕A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b二．解答题〔共8小题〕23．〔2014•本溪〕如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．〔1〕求抛物线的解析式及点C的坐标；〔2〕点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；〔3〕点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停顿运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形假设存在，直接写出点D的坐标；假设不存在，说明理由．24．〔2014•黔南州〕如图，在平面直角坐标系中，顶点为〔4，﹣1〕的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点〔点B在点C的左侧〕，A点坐标为〔0，3〕．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有假设何的位置关系，并给出证明；〔3〕点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．25．〔2014•遵义〕如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，与y轴交于点C．假设点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动．〔1〕求该二次函数的解析式及点C的坐标；〔2〕当点P运动到B点时，点Q停顿运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形假设存在，请求出E点坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．26．〔2014•兰州〕如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；〔3〕点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．27．〔2014•义乌市〕如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．〔1〕求该抛物线的函数解析式；〔2〕直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．28．〔2015•黄冈模拟〕：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A〔3，0〕、B〔6，0〕，与y轴的交点是C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕设P〔x，y〕〔0＜x＜6〕是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．29．〔2014•武汉〕如图，直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．〔1〕直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；〔2〕当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；〔3〕假设在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．30．〔2014•六盘水〕如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，A点坐标是〔2，0〕，B点的坐标是〔8，6〕．〔1〕求二次函数的解析式．〔2〕求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．〔3〕该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．〔4〕抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD假设存在，请求出P点的坐标；假设不存在．请说明理由．庞圣洁〔二次函数难题〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2015•陕西模拟〕二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0〕经过点M〔﹣1，2〕和点N〔1，﹣2〕，交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④假设a=1，则OA•OB=OC2．以上说法正确的有〔〕A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】①二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0〕经过点M〔﹣1，2〕和点N〔1，﹣2〕，因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比照，可知当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建设等量关系求证．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0〕经过点M〔﹣1，2〕和点N〔1，﹣2〕，∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M〔﹣1，2〕和点N〔1，﹣2〕，∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴假设a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．应选C．【点评】此题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式确实定．2．〔2013•泰安模拟〕如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．假设使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为〔〕A． B． C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣，∴点A的坐标为〔，﹣〕，点B的坐标为〔1，﹣1〕，∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴〔直线x=〕的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++〔1﹣〕=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．应选A．【点评】此题考察了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．3．〔2015•潍坊模拟〕假设函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是〔〕A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意，得△=〔﹣2〕2﹣4c＜0，解得c＞1．应选C．【点评】此题考察了函数自变量取值范围的求法．要使得此题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．4．〔2015•天桥区一模〕如图，直线y=kx+b〔k≠0〕与抛物线y=ax2〔a≠0〕交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y=ax2〔a≠0〕的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y=kx+b〔k≠0〕与抛物线y=ax2〔a≠0〕的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是〔〕A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】①由顶点坐标公式判断即可；②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与矛盾；④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为〔0，0〕，本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b〔k≠0〕为增函数；抛物线y=ax2〔a≠0〕当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2，3，假设AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；④假设OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如以以下列图：可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤．应选B．【点评】此题考察了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．5．〔2013•遵义〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以以下列图，假设M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有〔〕A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，∴N=4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P=2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．应选：A．【点评】此题主要考察了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．6．〔2015•杭州模拟〕关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则以下结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的顶点在第四象限．其中正确的结论有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8，判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8，b＞8，从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，∴2×4+2a+b=0，∴2a+b=﹣8＜0，故①正确；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根，∴﹣＞2+2，＞2×2，∴a＜﹣8，b＞8，∴ab＜0，故②正确；∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，∴二次函数y=2x2+ax+b顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故③错误；向下平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b﹣2，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；综上所述，正确的结论有①②④共3个．应选C．【点评】此题考察了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．7．〔2015•无锡校级三模〕抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗〔〕A．始终不相似 B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，从而得到=，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．【解答】解：令x=0，则y=1，∴OP=1，设点A的横坐标为m，则AD=﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=1﹣〔﹣m2+1〕=m2，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=〔m2〕2+m2=m4+m2，在Rt△POD中，PD===，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴=，即=，解得，PE=m2，∴PA2=PD•PE=m4+m2，∴=，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，即，△PAD与△PEA始终相似．应选B．【点评】此题是二次函数综合题，主要考察了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．8．〔2015•杭州模拟〕以下关于函数y=〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③假设只有两个公共点，则m=3；④假设有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有〔〕个．A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0，可得出〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进展判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0，可得出〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2=0，△=〔3m﹣1〕2﹣8〔m2﹣1〕=〔m﹣3〕2，①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；③假设只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；④假设有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故正确；综上可得只有②④正确，共2个．应选B．【点评】此题考察了抛物线与x轴交点的知识，同学们容易忽略m=±1时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方．9．〔2011•黄石〕设一元二次方程〔x﹣1〕〔x﹣2〕=m〔m＞0〕的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足〔〕A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先令m=0求出函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．【解答】解：令m=0，则函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的图象与x轴的交点分别为〔1，0〕，〔2，0〕，故此函数的图象为：∵m＞0，∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，∴α＜1，β＞2．应选D．【点评】此题考察的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．10．〔2013•盐城模拟〕如图，分别过点Pi〔i，0〕〔i=1、2、…、n〕作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为〔〕A． B．2 C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣〔﹣x〕=x〔x+1〕，∴==2〔﹣〕，∴++…+=2〔1﹣+﹣+…+﹣〕=．应选A【点评】此题考察了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解此题的关键．11．〔2008•西湖区校级模拟〕二次函数y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕图象上三点A〔﹣1，y1〕，B〔2，y2〕C〔4，y3〕，则y1、y2、y3的大小关系为〔〕A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕，对称轴是直线x=﹣=1，即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1，即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，A点关于直线x=1的对称点是D〔3，y1〕，∵2＜3＜4，∴y2＞y1＞y3，应选D．【点评】此题考察了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考察学生的观察能力和分析能力，此题比照典型，但是一道比照容易出错的题目．12．〔2008•乐山〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下列图，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则〔〕A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，应选B．【点评】考察二次函数y=ax2+bx+c系数符号确实定．13．〔2007•包头〕二次函数y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】二次函数y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，即抛物线的开口向下，因而a＜0．求抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为〔，〕，对称轴是x=；代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限．【解答】解：顶点横坐标x==，纵坐标y==；∵二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，a＜0，∴，，即：横坐标x＞0，纵坐标y＜0，顶点在第四象限．应选D．【点评】考察求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法：14．〔2012•蚌埠自主招生〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以以下列图，Q〔n，2〕是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为〔〕A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．〔x1﹣n〕2+4+〔x2﹣n〕2+4=〔x1﹣x2〕2，化简得：n2﹣n〔x1+x2〕+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0，∴an2+bn+c=﹣4a．∵〔n，2〕是图象上的一点，∴an2+bn+c=2，∴﹣4a=2，∴a=﹣．应选B．【点评】此题考察了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．15．〔2010•秀洲区一模〕点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕均在抛物线y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕上，假设x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则〔〕A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2大小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】将点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕分别代入y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0，即可得到y1＞y2．【解答】解：将点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕分别代入y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕中，得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①，y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②，②﹣①得：y2﹣y1=〔x2﹣x1〕[a〔3﹣a〕]，因为x1＜x2，3﹣a＞0，则y2﹣y1＞0，即y1＜y2．应选B．【点评】此题难度较大，要充分利用数据特点，进展计算．16．〔2013•天河区一模〕如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为〔1，﹣3〕，〔6，1〕，当y1＞y2时，x的取值范围是〔〕A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的局部的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，当x＜1或x＞6时，抛物线在直线的上方，所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6．应选B．【点评】此题考察了二次函数的图象，利用数形结合的思想解答即可，比照简单．17．关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的，则a的取值范围〔〕A．a＞ B．a＜0或a＞ C． D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可．【解答】解：当a＞0时，图象开口向上，顶点纵坐标为=6a﹣3，当6a﹣3＞0，即a＞时，y＞0；当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可，此时y=25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，不符合题意，舍去．应选A．【点评】此题考察了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考察了分类讨论的数学思想．18．〔2012•荣县校级二模〕直线经过点A〔0，2〕，B〔2，0〕，点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有〔〕个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】解：通过计算发现，当O与C重合时，S△ABC=2，据此推断出以AB为底边的三角形的高，从图上找到点C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3与C到AB的距离相等，假设求出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2，可见，当O与C重合时，S△ABC=2，作CD⊥AB，∵AO=BO=2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD=2×cos45°=2×=．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y=﹣x，将y=﹣x和y=x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为〔﹣1，1〕，可见，有四个点，使得S△ABC=2．应选A．【点评】此题考察了二次函数的性质，知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．19．〔2012•下城区校级模拟〕关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不管m取何值，抛物线总经过点〔1，0〕；③假设m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y=﹣2〔x﹣1〕2图象上．其中正确的序号是〔〕A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数的解析式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入b2﹣4ac，利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0，可得出b2﹣4ac大于等于0，进而确定出该抛物线与x轴有交点，故①正确；将x=1代入抛物线解析式，求出y=0，可得出此抛物线恒过〔1，0〕，故②正确；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，设方程的两个解分别为x1，x2，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，AB的长可以用|x1﹣x2|表示，利用二次根式的化简根式=|a|变形后，再利用完全平方公式化简，将表示出的x1+x2及x1x2代入，化简后根据m大于6，可得出AB的长大于1，故③正确；利用顶点坐标公式表示出抛物线的顶点坐标，代入y=﹣2〔x﹣1〕2中经历，可得出抛物线的顶点在y=﹣2〔x﹣1〕2图象上，故④正确，综上，得到正确的序号．【解答】解：二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，∵a=2，b=﹣m，c=m﹣2，∴b2﹣4ac=〔﹣m〕2﹣8〔m﹣2〕=〔m﹣4〕2≥0，则抛物线与x轴有交点，故①正确；∵当x=1时，y=2﹣m+m﹣2=0，∴不管m取何值，抛物线总经过点〔1，0〕，故②正确；设A的坐标为〔x1，0〕，B〔x2，0〕，令y=0，得到2x2﹣mx+m﹣2=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴AB=|x1﹣x2|===||，当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，∴AB＞1，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为〔，〕，∴将x=代入得：y=﹣2〔﹣1〕2=﹣2〔﹣+1〕=，∴抛物线的顶点坐标在y=﹣2〔x﹣1〕2图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④．应选A【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法，根与系数的关系，顶点坐标公式，以及判断一个点是否在抛物线上，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．20．〔2002•湖州〕抛物线y=x2+bx+c〔c＜0〕经过点〔c，0〕，以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为〔〕A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c〕 C．〔b+1〕2 D．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】把点〔c，0〕代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c〔c＜0〕经过点〔c，0〕，∴c2+bc+c=0；∴c〔c+b+1〕=0；∵c＜0，∴c=﹣b﹣1；设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，∴S可表示为|2+b||b+1|．应选A．【点评】此题考察了点与函数的关系，还考察了二次函数与一元二次方程的关系，要注意根与系数的关系；此题考察了学生的分析能力，属于难度较大的题目．21．〔2005•茂名〕以下四个函数：①y=kx〔k为常数，k＞0〕②y=kx+b〔k，b为常数，k＞0〕③y=〔k为常数，k＞0，x＞0〕④y=ax2〔a为常数，a＞0〕其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是〔〕A．① B．② C．③ D．④【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：①y=kx〔k为常数，k＞0〕，正比例函数，故y随着x增大而增大，错误；②y=kx+b〔k，b为常数，k＞0〕，一次函数，故y随着x增大而增大，错误；③y=〔k为常数，k＞0〕，反比例函数，在每个象限里，y随x的增大而减小，正确；④y=ax2〔a为常数，a＞0〕当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，错误．应选C．【点评】此题综合考察二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性〔单调性〕，是一道难度中等的题目．22．〔2013•碑林区校级一模〕函数y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，并且a，b是方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是〔〕A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题；压轴题．【分析】令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向下得到a＜x＜b时y大于0，得到x=m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系．【解答】解：函数y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，令y=0，根据题意得到方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的两个根为a，b，∵当x=m或n时，y=3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．应选D．【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解此题的关键．二．解答题〔共8小题〕23．〔2014•本溪〕如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．〔1〕求抛物线的解析式及点C的坐标；〔2〕点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；〔3〕点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停顿运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形假设存在，直接写出点D的坐标；假设不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题；菱形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】〔1〕首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；〔2〕满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．〔3〕△CPQ的三边均可能成为菱形的对角线，以此为根基进展分类讨论：①假设以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ=t，菱形边长=t；②假设以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ=t，菱形边长=t；③假设以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ=t，菱形边长=5﹣t．【解答】解：〔1〕直线解析式y=x﹣4，令x=0，得y=﹣4；令y=0，得x=4．∴A〔4，0〕、B〔0，﹣4〕．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣4．令y=x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或x=4，∴C〔﹣3，0〕．〔2〕∠MBA+∠CBO=45°，设M〔x，y〕，①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．∵∠ABO=45°，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=﹣y，∴BE=4+y．∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴，∴直线BM1的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4，得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=，∴y1=﹣4，y2=﹣，∴M1〔，﹣〕；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M2作M2E⊥y轴于点E，则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y．∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴，∴直线BM2的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=5，∴y1=﹣4，y2=，∴M2〔5，〕．综上所述，满足条件的点M的坐标为：〔，﹣〕或〔5，〕．〔3〕设∠BCO=θ，则tanθ=，sinθ=，cosθ=．假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．①假设以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ=t，菱形边长=t．∴CE=CQ=〔5﹣t〕．在Rt△PCE中，cosθ===，解得t=．∴CQ=5﹣t=．过点Q作QF⊥x轴于点F，则QF=CQ•sinθ=，CF=CQ•cosθ=，∴OF=3﹣CF=．∴Q〔﹣，﹣〕．∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，∴D1〔﹣，﹣〕；②假设以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ=t，菱形边长=t．∵BQ=CQ=t，∴t=，点Q为BC中点，∴Q〔﹣，﹣2〕．∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，∴D2〔1，﹣2〕；③假设以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ=t，菱形边长=5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ===，解得t=．∴OE=3﹣CE=3﹣t=，D3E=QE=CQ•sinθ=〔5﹣〕×=．∴D3〔﹣，〕．综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：〔﹣，﹣〕或〔1，﹣2〕或〔﹣，〕．【点评】此题是二次函数压轴题，着重考察了分类讨论的数学思想，考察了二次函数的图象与性质、解直角三角形〔或相似〕、菱形、一次函数、解方程等知识点，难度较大．第〔3〕问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，注意按照菱形对角线进展分类讨论，做到条理清晰、不重不漏．24．〔2014•黔南州〕如图，在平面直角坐标系中，顶点为〔4，﹣1〕的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点〔点B在点C的左侧〕，A点坐标为〔0，3〕．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有假设何的位置关系，并给出证明；〔3〕点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】〔1〕抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；〔2〕根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比照即可；〔3〕过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：〔1〕设抛物线为y=a〔x﹣4〕2﹣1，∵抛物线经过点A〔0，3〕，∴3=a〔0﹣4〕2﹣1，；∴抛物线为；〔2〕相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A〔0，3〕，B〔2，0〕，C〔6，0〕，对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．〔3〕如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为〔m，〕，则Q点的坐标为〔m，〕；∴PQ=﹣m+3﹣〔m2﹣2m+3〕=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×〔﹣m2+m〕×6=﹣〔m﹣3〕2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为〔3，〕．【点评】此题考察了二次函数解析式确实定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．25．〔2014•遵义〕如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，与y轴交于点C．假设点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动．〔1〕求该二次函数的解析式及点C的坐标；〔2〕当点P运动到B点时，点Q停顿运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形假设存在，请求出E点坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】〔1〕将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．〔2〕等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．〔3〕注意到P，Q运动速度一样，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．【解答】解：〔1〕∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣4．∴C〔0，﹣4〕．〔2〕存在．如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣4〕，O〔0，0〕，∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，∵当点P运动到B点时，点Q停顿运动，AB=4，∴AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，∴在Rt△EDQ中，〔﹣x〕2+〔〕2=x2，解得x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E〔﹣，0〕，说明点E在x轴的负半轴上；②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E〔﹣，0〕．③当AE=AQ=4时，1．当E在A点左边时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E〔﹣1，0〕．2．当E在A点右边时，∵OA+AE=3+4=7，∴E〔7，0〕．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为〔﹣，0〕或〔﹣，0〕或〔﹣1，0〕或〔7，0〕．〔3〕四边形APDQ为菱形，D点坐标为〔﹣，﹣〕．理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形，∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=，FQ=，∴Q〔3﹣，﹣〕，∵DQ=AP=t，∴D〔3﹣﹣t，﹣〕，∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上，∴﹣=〔3﹣t〕2﹣〔3﹣t〕﹣4，∴t=，或t=0〔与A重合，舍去〕，∴D〔﹣，﹣〕．【点评】此题考察了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很根基，是一道值得练习的题目．26．〔2014•兰州〕如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；〔3〕点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】〔1〕由待定系数法建设二元一次方程组求出求出m、n的值即可；〔2〕由〔1〕的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；〔3〕先求出BC的解析式，设出E点的坐标为〔a，﹣a+2〕，就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；〔2〕∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣〔x﹣〕2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C〔0，2〕，∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．作CM⊥x对称轴于M，∴MP1=MD=2，∴DP1=4．∴P1〔，4〕，P2〔，〕，P3〔，﹣〕；〔3〕当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B〔4，0〕．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E〔a，﹣a+2〕，F〔a，﹣a2+a+2〕，∴EF=﹣a2+a+2﹣〔﹣a+2〕=﹣a2+2a〔0≤a≤4〕．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a〔﹣a2+2a〕+〔4﹣a〕〔﹣a2+2a〕，=﹣a2+4a+〔0≤a≤4〕．=﹣〔a﹣2〕2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E〔2，1〕．【点评】此题考察了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．27．〔2014•义乌市〕如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．〔1〕求该抛物线的函数解析式；〔2〕直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】〔1〕利用待定系数法求出抛物线的解析式；〔2〕①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解；②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比照复杂，需要耐心细致、考虑全面．【解答】解：〔1〕由题意得：A〔4，0〕，C〔0，4〕，对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．〔2〕①当m=0时，直线l：y=x．∵抛物线对称轴为x=1，∴CP=1．如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=〔OM〕2﹣OM•CP=×〔×5〕2﹣×5×1=﹣=，∴S△OPH=．②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G〔3，0〕，D〔0，﹣3〕．假设存在满足条件的点P．a〕当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a〔0＜a≤4〕，则PD=3+a，PF=PD=〔3+a〕．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．假设PE=PF，则：a=〔3+a〕，解得a=3〔+1〕＞4，故此种情形不存在；假设PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；假设PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即〔3+a〕=a，解得a=3．∴P1〔0，3〕．b〕当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．假设PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，∴P2〔7﹣4，4〕c〕∵A〔4，0〕，B〔2，4〕，∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K〔，〕．当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P〔a，8﹣2a〕〔2≤a≤〕，则Q〔a，a﹣3〕，∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=〔11﹣3a〕．与a〕同理，可求得：EF=．假设PE=PF，则8﹣2a=〔11﹣3a〕，解得a=1﹣2＜0，故此种情形不存在；假设PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=•〔11﹣3a〕，解得a=3，符合条件，此时P3〔3，2〕；假设PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即〔11﹣3a〕=〔8﹣2a〕，解得a=5＞，故此种情形不存在．d〕当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PE、PF夹角为135°，∴只可能是PE=PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M〔0，3﹣3〕．又因为G〔3，0〕，可求得直线MG的解析式为：y=〔﹣1〕x+3﹣3．联立直线MG：y=〔﹣1〕x+3﹣3与直线AB：y=﹣2x+8，可求得：P4〔1+2，6﹣4〕．e〕当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：〔0，3〕、〔3，2〕、〔7﹣4，4〕、〔1+2，6﹣4〕．【点评】此题是二次函数压轴题，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考察了分类讨论的数学思想．第〔2〕②问中涉及复杂的分类讨论，使得试题的难度较大．28．〔2015•黄冈模拟〕：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A〔3，0〕、B〔6，0〕，与y轴的交点是C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕设P〔x，y〕〔0＜x＜6〕是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型；开放型．【分析】〔1〕了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．〔2〕①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在〔1〕中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．〔3〕分三种情况进展讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．【解答】解：〔1〕∵抛物线过A〔3，0〕，B〔6，0〕，∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．〔2〕①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为〔0，2〕．设直线BC的函数表达式是y=kx+h．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标一样，∴PQ=yQ﹣yP=〔﹣x+2〕﹣〔x2﹣x+2〕=﹣x2+x=﹣〔x﹣3〕2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ′=90°时，点P与点A重合，∴P〔3，0〕当∠Q′OA=90°时，点P与点C重合，∴x=0〔不合题意〕当∠OQ′A=90°时，设PQ′与x轴交于点D．∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，∴∠OQ′D=∠Q′AD．又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，∴△ODQ′∽△Q′DA．∴，即DQ′2=OD•DA．∴〔﹣x+2〕2=x〔3﹣x〕，10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×〔〕2﹣+2=；y2=×〔〕2﹣+2=；∴P〔，〕或P〔，〕．∴所求的点P的坐标是P〔3，0〕或P〔，〕或P〔，〕．【点评】此题主要考察了二次函数的综合应用，用数形结合的思想来求解是解题的根本思路．29．〔2014•武汉〕如图，直线AB：y=kx+2k+4与抛物线