不等式选讲导学案

选修4-5§1.1不等式基本性质【自主学习】学习目标理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质掌握比较两个实数大小的一般步骤二、知识梳理1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．（2）如果a－b＞0，则；如果a－b＝0，则；如果a－b＜0，则.（3）比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即.（2）如果a＞b，b＞c，那么.即a＞b，b＞c⇒.（3）如果a＞b，那么a＋c>.（4）如果a＞b，c>0，那么acbc；如果a>b，c<0，那么acbc.（5）如果a＞b，，那么（6）如果，那么（7）如果a>b>0，那么anbn(n∈N，n≥2)．（8）如果a>b>0，那么eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得不等式；②c＝0时得；③c<0时得不等式．（2）a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n＝2k＋1，k∈N＋)．【课堂检测】[例1]比较QUOTE[例2]已知a>b>0，c>d>0，求证：.[例3]已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．【拓展探究】1.已知x，y均为正数，设m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，试比较m和n的大小．2．判断下列命题的真假，并简述理由．（1）若a>b，c>d，则ac>bd；（2）若a>b，c<d，则a－c>b－d；3．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．【当堂训练】1．设，且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．2．下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log323．已知，则的取值范围是.【学习小结】比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．求代数式的取值范围要严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和【课外拓展】1．设,若，则下列不等式正确的是()A．B．C．D．2．若，则下列各式中恒成立的是()A．B．C．D．3．设，则下列不等式中恒成立的是()A．B．C．D．4．已知且,比较与的大小.5．已知且，求的取值范围.选修4-5§1.2基本不等式【自主学习】学习目标掌握基本不等式并会用基本不等式求最值掌握基本不等式的应用条件，体会用基本不等式求最值的过程知识梳理定理1如果a、b都为实数，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立定理2（基本不等式）如果a、b都为正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a=b时等号成立1．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，成立的条件是不同的．前者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的，如a＝0，b≥0仍然能使eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a2＋b2≥；（2）ab≤eq\f(a2＋b2,2)；（3）ab≤(eq\f(a＋b,2))2；（4）(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)；（5）(a＋b)2≥4ab.【课堂检测】[例1]已知a、b∈R＋，且a＋b＝3.求ab的最大值。[例2]求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。[例3]围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．（1）将y表示为x的函数；（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【拓展探究】1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5 D．62．已知x>0，y>0且x＋2y＝3，求xy的最大值．3．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，（1）求ab的取值范围；（2）求a＋b的取值范围．【当堂训练】1．设，且满足，则的最大值为()A．40B．10C．4D．22．设且，则的最小值为()A．10B．6QUOTEC．4QUOTED．18QUOTE3．若正数满足，则的取值范围是.4．已知都是正数,且，求证:【学习小结】在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：1.首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；2.其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；3.利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．【课外拓展】1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均eq\f(x,2)件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？选修4-5§1.3三个正数的算术-几何平均不等式【自主学习】学习目标1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题2.了解基本不等式的推广形式二、知识梳理1．定理3如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的不小于它们的．（1）不等式eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)成立的条件是：，而等号成立的条件是：当且仅当.（2）定理3可变形为：①abc≤(eq\f(a＋b＋c,3))3；②a3＋b3＋c3≥3abc.（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．【课堂检测】[例1]已知x、y、z∈R＋，求证：QUOTE≥27xyz.[例2]如图，把一块边长是ａ的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？【拓展探究】1．已知a，b，c∈R＋，求证：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.2．求函数y＝(x－1)2(3－2x)(1<x<eq\f(3,2))的最大值．3．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．【当堂训练】1．设且，则lgx+lgy+lgz的取值范围是()A．(,lg6]B．(,3lg2]C．[lg6,+∞)D．[3lg2,+∞)2．若为正数，且，则的最小值为()A．9B．8C．3D．3．已知，则的最小值为()A．3QUOTE B．2QUOTEC．12D．12QUOTE4．若且，则的最小值为.【学习小结】1.不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．2.运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．【课外拓展】1.设a、b、c∈R＋，求证：(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥9.2．已知都是正数，且，求证：3．设x>0，则f(x)＝4－x－eq\f(1,2x2)的最大值为()A．4－eq\f(\r(2),2)B．4－eq\r(2)C．不存在D．eq\f(5,2)选修4-5§2.1绝对值三角不等式【自主学习】学习目标1．了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。2．充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。二、知识梳理绝对值三角不等式（1）定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：．②若a，b共线，当a与b时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b时，|a＋b|<|a|＋|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.（2）定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c||a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c||a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c||a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．【课堂检测】[例1]已知ℰ>0，|x－a|<ℰ，|y－b|<ℰ，求证：|2x+3y-2a-3b|<5ℰ.[例2]求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．【拓展探究】1．已知|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3).求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s..2．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是()A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|3．设ε>0，|x－a|<eq\f(ε,4)，|y－a|<eq\f(ε,6).求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.【当堂训练】1．已知实数满足，下列不等式成立的是()A．B．C．D．2．若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为()A．(,1]B．(,1)C．(,5]D．(,5)3．不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为()A．[,4]B．(,]∪[4,+∞)C．(,]∪[5,+∞)D．[,5]4．若不等式对于一切实数均成立,则实数的最大值是()A．7B．9C．5D．11【学习小结】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－|b||a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明选修4-5§2.1绝对值三角不等式【课外拓展】1．设，则与2的大小关系是()A．B．C．D．不能比较大小2．若关于的不等式存在实数解,则实数的取值范围是.3．两个加油站位于某城市东和处(),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?选修4-5§2.2绝对值不等式的解法【自主学习】学习目标1．理解并掌握和型不等式的解法。2．充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。二、知识梳理1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为 或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．【课堂检测】[例1]解下列不等式：（1）|3x－1|≤2；（2）|2-3x|≥7.[例2]解不等式|x－1|+|x＋2|≥5.【拓展探究】1．解下列不等式：（1）|3－2x|<9；（2）|x－－2|>－3x－4；（3）|－3x－4|>x＋1（4）（5）（6）.2．已知，≤，且，求实数的范围3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.（1）若不等式有解；（2）若不等式解集为R；（3）若不等式解集为，分别求出m的范围．【当堂训练】1．2．3．.4．.5．6．.7．8．9．10．【学习小结】1.|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为∅.③当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.2.|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况【课外拓展】1．若，则实数的取值范围是()A．(,0)B．[,0]C．(,)∪(0,)D．(]∪[0,2．若，则不等式的解集是()A．B．C．D．3．已知集合，则等于()A．B．C．D．4．已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是_________.选修4-5§2.1比较法【自主学习】一、学习目标1.了解用作差比较法证明不等式2.了解用作商比较法证明式不等3.提高综合应用知识解决问题的能力二、知识梳理1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a－b>0⇔，a－b<0⇔，a－b＝0⇔.（2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b>0，若，则a>b；若则a<b；②b<0，若则a<b；若则a>b.（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定；⑤得出结论．【课堂检测】[例1]设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：[例2]设a>0，b>0，求证：[例3]甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？．【拓展探究】1.求证：2．设，求证：.3．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？【当堂训练】1．设都是正数,且,则下列不等式中恒成立的是()A．B．CQUOTEQUOTE．D．2．“”是“”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知，则其中最大的是.4．若是正数，且，则与的大小关系为.【学习小结】１.作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．２.变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．３.因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果进行比较应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．选修4-5§2.1比较法【课外拓展】1．设，则的大小关系是()A．B．C．D．2．已知下列不等式：①;②;③.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．33．设，下列不等式中不正确的是()A．BQUOTEQUOTE．C．DQUOTEQUOTE．4．在等比数列和等差数列中，则与的大小关系为()A．B．C．D．不确定5．设则的大小关系为.6．已知，求证：7．若都为正实数，且求证：8．已知函数，当满足时,证明：对于任意实数都成立的充要条件是.选修4-5§2.2综合法与分析法【自主学习】一、学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法二、知识梳理1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或法，是由和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推出所要证明的结论成立．（2）证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→……→eq\x(Qn⇒Q)2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止．（2）证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P1⇐P3)→……→eq\x(得到一个明显成立的条件)【课堂检测】[例1]已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9[例2]已知x>0，y>0，求证[例2]设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)≤eq\r(6)【拓展探究】1.已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，当且仅当a＝b＝c时取等号．2求证：eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)3．已知a，b，c都是正数，求证：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc)))【当堂训练】1．设且，则()A．B．C．D．2．若，下面不等式中正确的是()A．B．C．D．3．下列三个不等式中:①；②；③，其中能使立的充分条件有()A．①②B．①③C．②③D．①②③4．等式“QUOTE”的证明过程:“等式两边同时乘以QUOTE得,左边，右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)5．设为正实数,满足，则的最小值是.【学习小结】1.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．２.当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．３.有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法．选修4-5§2.2综合法与分析法【课外拓展】1．要证，只要证()A．2B．C．D．2．已知为三角形的三边且，则()A．B．C．D．3．设和是方程的两个不相等的实数根,则()A．且B．C．D．且4．设都是正实数，，则的最大值为.5．用分析法证明:当时,.6．已知均为正数,求证：7．在某两个正数之间,若插入一个数，使成等差数列，若插入两个数，使成等比数列,求证：选修4-5§2.3反证法和放缩法【自主学习】一、学习目标1.了解用反正法证明不等式2.了解用放缩法证明式不等3.提高综合应用知识解决问题的能力二、知识梳理1．不等式的证明方法——反证法（1）反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明不成立，从而证明原命题成立．（2）反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的．3．放缩法的理论依据主要有（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为；（3）同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．【课堂检测】[例1]已知f(x)＝x2＋px＋q求证：（1）f(1)＋f(3)－2f(2)＝2（2）|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).[例2]已知实数x、y、z不全为零．求证：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)>eq\f(3,2)(x＋y＋z)．【拓展探究】1.实数a，b，c不全为0的等价条件为 ()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为02．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．3．设n是正整数，求证：eq\f(1,2)≤eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜1.【当堂训练】1．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是()A．任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面B．任意多面体没有一个是三角形的面C．任意多面体没有一个是四边形的面D．任意多面体没有一个是五边形的面2．设都是正实数，，则三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于23．设，则的大小关系是()A．B．C．D．不确定4．用反证法证明命题“若,则且”时应假设.【学习小结】１.反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．（注意：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用）．２.利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．（一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的）．选修4-5§2.3反证法和放缩法【课外拓展】1．不全为零等价为()A．均不为0B．中至多有一个为0C．中至少有一个为0D．中至少有一个不为02．设是正数，，则“”是“”同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若，且，则的取值范围是()A．B．C．D．4．在中,若是内一点，,求证:,用反证法证明时应分:假设和两类.5．log23与log34的大小关系是.6．关于复数的方程，证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚根.7．若是大于1的自然数,求证：8．设是正数，求证：选修4-5§2.1比较法【自主学习】一、学习目标1.了解用作差比较法证明不等式2.了解用作商比较法证明式不等3.提高综合应用知识解决问题的能力二、知识梳理1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a－b>0⇔，a－b<0⇔，a－b＝0⇔.（2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b>0，若，则a>b；若则a<b；②b<0，若则a<b；若则a>b.（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定；⑤得出结论．【课堂检测】[例1]设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：[例2]设a>0，b>0，求证：[例3]甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？．【拓展探究】1.求证：2．设，求证：.3．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？【当堂训练】1．设都是正数,且,则下列不等式中恒成立的是()A．B．CQUOTEQUOTE．D．2．“”是“”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知，则其中最大的是.4．若是正数，且，则与的大小关系为.【学习小结】１.作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．２.变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．３.因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果进行比较应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．选修4-5§2.1比较法【课外拓展】1．设，则的大小关系是()A．B．C．D．2．已知下列不等式：①;②;③.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．33．设，下列不等式中不正确的是()A．BQUOTEQUOTE．C．DQUOTEQUOTE．4．在等比数列和等差数列中，则与的大小关系为()A．B．C．D．不确定5．设则的大小关系为.6．已知，求证：7．若都为正实数，且求证：8．已知函数，当满足时,证明：对于任意实数都成立的充要条件是.选修4-5§2.2综合法与分析法【自主学习】一、学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法二、知识梳理1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或法，是由和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推出所要证明的结论成立．（2）证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→……→eq\x(Qn⇒Q)2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止．（2）证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P1⇐P3)→……→eq\x(得到一个明显成立的条件)【课堂检测】[例1]已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9[例2]已知x>0，y>0，求证[例2]设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)≤eq\r(6)【拓展探究】1.已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，当且仅当a＝b＝c时取等号．2求证：eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)3．已知a，b，c都是正数，求证：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc)))【当堂训练】1．设且，则()A．B．C．D．2．若，下面不等式中正确的是()A．B．C．D．3．下列三个不等式中:①；②；③，其中能使立的充分条件有()A．①②B．①③C．②③D．①②③4．等式“QUOTE”的证明过程:“等式两边同时乘以QUOTE得,左边，右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)5．设为正实数,满足，则的最小值是.【学习小结】1.综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．２.当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．３.有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法．选修4-5§2.2综合法与分析法【课外拓展】1．要证，只要证()A．2B．C．D．2．已知为三角形的三边且，则()A．B．C．D．3．设和是方程的两个不相等的实数根,则()A．且B．C．D．且4．设都是正实数，，则的最大值为.5．用分析法证明:当时,.6．已知均为正数,求证：7．在某两个正数之间,若插入一个数，使成等差数列，若插入两个数，使成等比数列,求证：选修4-5§2.3反证法和放缩法【自主学习】一、学习目标