河北省定州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷（含答案）

第第页河北省定州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1．复数5−iiA．−1+5i B．−1−5i C．1+5i D．1−5i2．某工厂生产甲､乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件.为检验产品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为（）A．20 B．30 C．40 D．603．如图所示，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O'A'B'A．12 B．42 C．5 第3题图 第7题图4．已知单位向量a，b满足(aA．12 B．13 C．145．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是（）A．“都是红球”与“都是黑球" B．“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“都是红球”与“至少有一个黑球”6．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．22 B．24 C．2 7．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（）A．102海里 B．156海里 C．1068．在△ABC中AB=AC=35，BC=6，且存在D，E满足ADA．-21 B．-20 C．-18 D．-16二、多选题9．已知复数z=(1−i)(a+i)(a∈R)，则（）A．若a=2，则z=3−i B．若a=2，则|z|=10C．若z为纯虚数，则a=−1 D．若z+|z|=x+5i(x∈R)，则a=410．近年，随着人工智能，AIoT，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司IDC统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（）A．2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加B．2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降C．2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7D．2015年，全球产生的数据量超过15ZB11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为A．b=2asinB B．sinB=bsinAC．△ABC周长的最大值为3 D．AB⋅AC12．在矩形ABCD中，AB=2BC=2，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折，直至点C落在边AB上.当△BCE翻折到△PBE的位置时，连接A．四棱锥P−ABED体积的最大值为2B．设AB的中点为F，当PF=12时，二面角P−BE−DC．不存在某一翻折位置，使得PA⊥PED．M是PB的中点，无论翻折到什么位置，都有EM∥平面PAD三、填空题13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a14．袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黃球1个，从袋中任意取出2个球，则取出的2个球都是红球的概率为.15．已知某圆锥的母线长为5，其侧面展开图的面积为15π，则该圆锥外接球的表面积为.16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE=2EB，M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=λME−四、解答题17．已知向量a=(2（1）若a⊥b，求（2）若a∥b，向量c=(1，1)18．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，在矩形ABCD中，AB=3AD=6，四边形ABEF为菱形，G为线段BE的中点，（1）证明：AG⊥平面ADF.（2）求三棱锥E−ACG的体积.19．某校在某次学业水平测试后，随机抽取了若干份数学试卷，并对其得分（满分100分）进行统计，根据所得数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（分组区间为[50，60)，成绩等级DCBA得分范围[50[x[y[z占比20%30%30%20%（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）试确定成绩等级为B的得分范围（结果保留一位小数）.20．如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=（1）若cos∠BAC=328（2）求四边形ABCD面积的最大值.21．为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为35，3（1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？（2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率.22．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，F是PC的中点，G，E分别是棱PB上靠近点（1）证明：GA∥平面DEF.（2）求点G到平面DEF的距离.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为5−ii=−1−5i，所以复数5−ii故答案为：A

【分析】根据复数的乘除运算化简z，再根据共轭复数的定义可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】从甲种型号的产品中抽取的产品数量为100×2000故答案为：C

【分析】利用分层抽样的性质直接计算可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长AB=4，宽OA=1.故该平面图形的周长为2(OA+AB)=10.故答案为：D

【分析】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，根据已知条件求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】由题知|a因为(a+b故答案为：B

【分析】由题意利用单位向量的定义，两个向量的数量积的定义进行计算，可得答案。5．【答案】A【解析】【解答】解：A.“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，所以是互斥事件，但是不是必然有一个发生，所以不是对立事件，A符合题意；B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”不是互斥事件，B不符合题意；C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”不是互斥事件，C不符合题意；D.“都是红球”与“至少有一个黑球”是互斥事件，也是对立事件，D不符合题意.故答案为：A

【分析】利用互斥事件，对立事件的定义逐项进行判断，可得答案.6．【答案】B【解析】【解答】如图所示，连接AD在正方体ABCD−A1B则∠AD1E为异面直线D不妨设该正方体的棱长为2，在Rt△AEDAE=1，故答案为：B

【分析】根据异面直线所成角的定义，结合BC1∥AD1，就得到∠AD1E为异面直线7．【答案】B【解析】【解答】由题意可知，∠C=45∘，∠A=60故答案为：B

【分析】根据正弦定理求解可得答案.8．【答案】A【解析】【解答】记BC的中点为O，因为AB=AC，所以AO⊥BC.因为AB=35，BC=6因为AD=−2BD，CE=−2AE，所以D为线段AB上靠近点B的三等分点，建立如图所示的直角坐标系，由题意可得B(−3，则DE=(3，2)故答案为：A

【分析】由题意，建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用向量的坐标运算可求解出答案.9．【答案】A,C【解析】【解答】若a=2，则z=3−i，|z|=10z=(1−i)(a+i)=1+a+(1−a)i，若z为纯虚数，则1+a=0，解得a=−1，z+|z|=1+a+(1−a)i+(1+a)2+故答案为：AC

【分析】把a=2代入z=(1−i)(a+i)(a∈R)，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求模，利用复数代数形式的乘除运算化简z，结合复数相等的条件求解a，进而得出答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，由图可得2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加，A符合题意.对于B，2016~2017年，全球数据量的年平均增长率由16.13%增长到了对于C，2016∼2020年，全球每年产生的数据量的平均数为15对于D，设2015年全球产生的数据量为xZB，则18−xx=16.故答案为：ACD

【分析】根据统计图分析数据，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A，因为A=π3，所以由正弦定理得asin对于B，因为a=1，所以由正弦定理得1sinA=对于C，根据余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=b2+对于D，由C可知b2+c2−bc=1，所以b2+故答案为：BCD

【分析】由正弦定理得asinπ3=bsinB，得b=233asinB可判断A；由正弦定理得112．【答案】A,B【解析】【解答】对于A，当平面PBE⊥平面ABED时，四棱锥P−ABED的体积最大，此时四棱锥P−ABED的高为点C到BE的距离.直角梯形ABED的面积为12(AB+DE)×AD=32，四棱锥对于B，取BE的中点G，连接PG，FG，EF，则FG⊥BE，PG⊥BE，所以PF=1对于C，设PA⊥PE，在△PAE中，PE=1，AE=2，PA=AE对于D，当P与AB的中点重合时，EM⊂平面PAD，故答案为：AB

【分析】当平面PBE⊥平面ABED时，计算得四棱锥P−ABED体积的最大值，可判断A；取BE的中点G，连接PG，FG，EF，求得∠PGF为二面角P−BE−D的平面角，求出二面角P−BE−D的余弦值，可判断B；设PA⊥PE，存在某一翻折位置，使得PA⊥PE，可判断C；当P与AB13．【答案】1【解析】【解答】由已知，2a2+2故答案为：14

【分析】利用余弦定理即可求出答案.14．【答案】1【解析】【解答】将3个红球分别标记为a、b、c，1个黑球记为A，从这4个球中任取2个球，所有的基本事件有：ab、ac、aA、bc、bA、cA，共6种，其中，事件“取出的2个球都是红球”所包含的基本事件有：ab、ac、bc，共3种，故所求概率为P=3故答案为：12

【分析】将3个红球分别标记为a、b、c，1个黑球记为A，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典型的概率公式即可求出答案.15．【答案】625π【解析】【解答】作出如图所示的圆锥，其侧面展开图的面积为π⋅OA⋅SA=15π，解得OA=3.由圆锥的性质知其外接球的球心B在SO上，连接AB.设圆锥外接球的半径为R，则AB=R.AB2=OA2所以该圆锥外接球的表面积为4π⋅(故答案为：625π16

【分析】设圆锥外接球的半径为R，利用勾股定理求出R=2516．【答案】（2，4）【解析】【解答】过点A作AK∥ME，分别交EH，EF于点过点N作NQ∥AB，交ME的延长线于点Q，过点K作KL∥AB，交ME的延长线于点L，如图，由MP可知，点P在线段NK上运动（不含端点）.当点P与点N重合时，MP=MQ+当点P与点K重合时，MP=ML+故λ的取值范围为（2，4）.故答案为：（2，4）

【分析】由题意MP=λME−17．【答案】（1）解：因为a⊥b，所以即2×1+2x=0，解得x=−1，所以a+故|（2）解：因为a∥b，所以2×2−x=0，解得x=4，则因为a⋅所以cos⟨即a与c夹角的余弦值为3【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积求出x的值，再计算|a+b|的值；

（2）由a∥b，得18．【答案】（1）证明：因为面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，AB⊥AD，AD⊂面所以AD⊥平面ABEF，AG⊂平面ABEF，则AD⊥AG.在菱形ABEF中，G为线段BE的中点，∠ABE=60∘，易证：因为AF//BE，所以因为AD∩AF=A，AD，AF⊂面ADF，所以AG⊥面（2）解：由ABCD是矩形，即AB//CD，AB⊂面ABEF，CD⊄面所以CD//面ABEF，故C，D由（1）知：AD⊥平面ABEF，故D到面ABEF的距离为AD=23又S△AGE=【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得AD⊥平面ABEF，再根据线面垂直、菱形及等边三角形性质可得AG⊥BE，进而得AG⊥AF，最后由线面垂直的判定定理证得AG⊥平面ADF；

（2）由线面平行判定定理得CD//面ABEF，故C，D到面ABEF的距离相等，根据线面垂直得D到面ABEF的距离为AD=23，最后由19．【答案】（1）解：根据题意可得(2a+0.02+0.该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分为0（2）解：由频率分布直方图可得，最后一组的频率为0.后两组的频率之和为(0.后三组的频率之和为(0.则y∈[70，0.02×(90−z)+0.0.03×(80−y)+0.故成绩等级为B的得分范围为[71【解析】【分析】（1）根据频率和为1求得a的值，代入平均数公式可求出该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分；

（2）由频率分布直方图进行数据分析分析，列方程求解可得B的得分范围.20．【答案】（1）解：在△ABC中，BC2=AB2+AC2（2）解：在△ABC中，AC又△ACD的面积为12△ABC的面积为12所以四边形ABCD的面积为52−6故四边形ABCD面积的最大值为5【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解出AC的值；

（2）利用余弦定理可得AC2=5−26cos∠ABC21．【答案】（1）解：设A1=“甲在第一轮测试中的成绩合格”，B1=“乙在第一轮测试中的成绩合格”，则A1A2B1B2因为25（2）解：设C=“甲在本次测试中成绩合格”，D=“乙在本次测试中成