2025年高考数学复习难题速递之两个基本计数原理（2025年4月）

第24页（共24页）2025年高考数学复习难题速递之两个基本计数原理（2025年4月）一．选择题（共10小题）1．（2023春•重庆月考）如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种．A．2016 B．2400 C．1920 D．962．（2023春•运城期末）某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求戏曲与爵士舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目，则不同的演出安排方案共有（）A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种3．（2023•茂南区校级三模）由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（）A．42031 B．42103 C．42130 D．423014．（2024•东湖区校级三模）设（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一个排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0对一切i∈{1，2，3}恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是（）A．8 B．16 C．24 D．325．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160 B．20220 C．20280 D．203406．（2022秋•陈仓区校级月考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36 B．48 C．54 D．727．（2022春•太原期中）某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（）A．18 B．48 C．50 D．548．（2021•未央区校级模拟）用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌（E，A，B，C，D）染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法．A．120 B．180 C．360 D．4209．（2021秋•道里区校级月考）现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（）种．A．552 B．864 C．912 D．100810．（2020春•龙凤区校级期末）由0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A．180 B．196 C．210 D．224二．填空题（共5小题）11．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥S﹣ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为．12．（2024春•河东区校级月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有种不同的选法．13．（2024春•信阳期中）对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整数），若对于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，当p＜q时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2与1”，“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组（2，4，3，1）的“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是．14．（2024春•嘉兴期中）用1﹣9这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数，这样的九位数有个（用数学作答）．15．（2023秋•九江期末）从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有条（用数值表示）三．解答题（共5小题）16．（2023春•招远市校级期中）用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数．（1）把这些自然数从小到大排成一个数列，则1203是这个数列的第几项？（2）求其中的四位数中奇数的个数，并求所有这些奇数各位数位上的数字之和．17．（2023春•莱西市期中）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数为M，能组成的0和l相邻的不同的六位数的个数为N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为E18．（2021秋•奉贤区校级月考）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？（1）偶数；（2）左起第二、四位是奇数的偶数；（3）比21034大的偶数．19．（2022春•嘉定区期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？20．（2022秋•浙江月考）（1）从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？（2）设集合A＝{1，2，3，⋯，13}，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．

2025年高考数学复习难题速递之两个基本计数原理（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDCDADCDCC一．选择题（共10小题）1．（2023春•重庆月考）如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种．A．2016 B．2400 C．1920 D．96【考点】染色问题．【专题】数形结合；定义法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】对8个交点编号，考虑两种情况，利用排列知识及两种计数原理进行求解．【解答】解：如图，将8个交点编号，先考虑A，B，C，D，共有A5再考虑A，F，E，D，若A，F，E，D所用颜色与A，B，C，D的4种颜色相同，则E，F有A22种选择，且G，H必然有一处使用第不妨设G点使用第5种颜色，则H处有2种选择，此时共有A2若A，F，E，D所用颜色与A，B，C，D的4种颜色不同，因为一共有5种颜色，则E，F有一处与B，C所使用的颜色相同，另一处使用第5种颜色，则有2×2种选择，此时G，H不能使用与B，C，E，F相同的颜色，故有2种颜色可供选择，此时共有2×2×2＝8种选择，综上：不同的染色方案共有A5故选：C．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．2．（2023春•运城期末）某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求戏曲与爵士舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目，则不同的演出安排方案共有（）A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据每天演出节目的数目进行分类讨论，而后求出总的方案数．【解答】解：若三天演出节目为2，2，2，则安排方法有（C62C42-3C4若三天演出节目为3，2，1，则安排方法有（C63C3若三天演出节目为4，1，1，则安排方法有（C64-C所以总方案有576+3168+1296＝5040．故选：D．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．3．（2023•茂南区校级三模）由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（）A．42031 B．42103 C．42130 D．42301【考点】数字问题．【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】先讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可．【解答】解：①当万位是1或2时，共有A44=2×24②当万位是3，千位是0，1，2，4时，共有A33=4×6③当万位是4，千位是0，1时，共有2A33=2×6④当万位是4，千位是2，百位为0，1时，共有2A22=2×62∴共有48+24+12+4＝88个数，故第88个数为42130．故选：C．【点评】本题考查了排列、组合的运用，考查了分类讨论思想的运用，是中档题．4．（2024•东湖区校级三模）设（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一个排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0对一切i∈{1，2，3}恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是（）A．8 B．16 C．24 D．32【考点】分类加法计数原理．【专题】综合题；规律型；分类讨论；分类法；排列组合；数据分析．【答案】D【分析】由已知可得：xi﹣xi+1与xi+1﹣xi+2异号，有两种情况：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0；（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，分别讨论可以求得结果，也可以列举得解．【解答】解：由已知可得：xi﹣xi+1与xi+1﹣xi+2异号，有两种情况：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0，此时①当第二和第四位是1或2时，有A33②当第一位是2，第二位是1，第四位是3时有A22②当第一位是2，第二位是1，第四位是5时有A22共计12+2+2＝16种．（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，此时①当第二位和第四位是4或5时，有A33②当第一位是2，第二位和第四位是3或4时，有A22共计12+4＝16种．综上可得，一共有16+16＝32种．故选：D．【点评】本题考查分类计数原理，属于难度较大题目．5．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】A【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案．【解答】解：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z，若是“8＝4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8＝3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有C4小计：1+12+12＝25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型，若是“10＝4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10＝4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，若是“10＝3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有C3若是“10＝3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+C若是“10＝2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：C4（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型，若是“12＝4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12＝4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12＝4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），有C2若是“12＝4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），若是“12﹣3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12＝3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能．小计C4诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型若是“14＝4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14＝4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；若是“14＝4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有C32=3若是“14＝3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；小计3C（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z“只有“16＝4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；综上：共有25+76+54+12+1＝168个分堆可能，故不同的方案数为168A故选：A．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意分情况讨论，是难题．6．（2022秋•陈仓区校级月考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36 B．48 C．54 D．72【考点】染色问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】依题意可以利用3或4种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计算可得涂色方案的种数．【解答】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有C43先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，故一共有C43×3×2×1×1×1若利用4种不同的颜色涂色，根据题意，分2步进行涂色：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有A43当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有2A43=2×4×3×2综上可得一共有24+48＝72种涂法；故选：D．【点评】本题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于中档题．7．（2022春•太原期中）某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（）A．18 B．48 C．50 D．54【考点】分类加法计数原理．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】分类讨论结合计数原理可得结果．【解答】解：第一类，前两节安排语文、数学，第四节排体育，排法种数为A2第二类，前两节安排语文、数学，第四节不排体育，排法种数为A2第三类，前两节安排英语、数学，第四节排体育，排法种数为A2第四类，前两节安排英语、数学，第四节不排体育，排法种数为A2第五类，前两节安排语文、英语，第四节排体育，排法种数为A2第六类，前两节安排语文、英语，第四节不排体育，排法种数为A2根据分类加法计数原理，前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为6+12+6+12+6+8＝50，故选：C．【点评】本题考查了有限制条件的排列问题，属于中档题．8．（2021•未央区校级模拟）用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌（E，A，B，C，D）染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法．A．120 B．180 C．360 D．420【考点】染色问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．【答案】D【分析】根据题意，分4步依次分析E、A、B和DC的染色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4步进行分析：①，对于E，有5种颜色可选，即有5种情况，②，对于A，与E相邻，有4种颜色可选，即有4种情况，③，对于B，与A、E相邻，有3种颜色可选，即有3种情况，④，对于D、C，若D与B颜色相同，则C有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则D有2种颜色可选，C有2种颜色可选，则D、C共有（1×3+2×2）＝7种情况，则一共有5×4×3×7＝420种情况，故选：D．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意没有要求5种颜色都用到．9．（2021秋•道里区校级月考）现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（）种．A．552 B．864 C．912 D．1008【考点】计数原理的应用；排列组合的综合应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；排列组合；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】用AA表示两名学生位置，BB表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，然后先排两名学生，然后再排教师，按教师的位置分类，最后将家长排入，主要是利用插空法解决问题．【解答】解：由题意，设AA表示两名学生位置，BB表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，第一步：先排学生有A22第二步：再排两名教师，有①ABAB与BABA，②AABB与BBAA，③ABBA与BAAB三种情况，对于①，教师有2A22=4种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有对于②，教师有2A22=4种排法，然后家长先在A与A之间和B与对于③，教师有2A22=4综上，共有A22故选：C．【点评】本题考查排列组合问题的基本思路以及分类讨论思想的应用，属于中档题．10．（2020春•龙凤区校级期末）由0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A．180 B．196 C．210 D．224【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【答案】C【分析】由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案．【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8，1与9；分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0，8时，有A8②当个位与百位为1，9时，有A7共A82故选：C．【点评】本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差8时的所有情况，本题是一个易错题．二．填空题（共5小题）11．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥S﹣ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为72．【考点】染色问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】72．【分析】首先给顶点S选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．【解答】解：设四棱锥为S﹣ABCD．下面分两种情况即C与A同色与C与A不同色来讨论，（1）S的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，C与A同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C2（2）S的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，C与A不同色时C的着色方法种数为C11，D的着色方法种数为综上两类共有C41•C31•C21•C21故答案为：72．【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．12．（2024春•河东区校级月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有24种不同的选法．【考点】分类加法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】24．【分析】利用分类加法计算原理即可得解．【解答】解：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法；由分类加法计数原理可得，共有N＝8+10+6＝24种不同的选法．故答案为：24．【点评】本题考查分类加法计数原理的应用，是中档题．13．（2024春•信阳期中）对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整数），若对于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，当p＜q时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2与1”，“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组（2，4，3，1）的“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是13．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；新定义．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，可用6个数字中选出2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，从6个数字中任选2个共有15种组合，∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是所有组合数减去2，共有15﹣2＝13种结果，故答案为：13【点评】本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目，难点是理解“逆序”14．（2024春•嘉兴期中）用1﹣9这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是3的倍数的九位数，这样的九位数有1296个（用数学作答）．【考点】数字问题．【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】1296．【分析】分析题意，列出每种情况，利用排列数知识求解即可．【解答】解：若任意相邻的三个数字之和是3的倍数，因此第a个数与第3+a个数的余数也必然相同，故第一，四，七个数和第二，五，八个数，第三，六，九个数必为（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），因此有A33故答案为：1296．【点评】本题主要考察排列组合的应用，属于中档题．15．（2023秋•九江期末）从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有30条（用数值表示）【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【答案】见试题解答内容【分析】先根据条件知道C＝0，再根据计算原理计算即可．【解答】解：若直线方程Ax+By+C＝0经过坐标原点，则C＝0，那么A，B任意取两个即可，有A62故答案为：30．【点评】本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．三．解答题（共5小题）16．（2023春•招远市校级期中）用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数．（1）把这些自然数从小到大排成一个数列，则1203是这个数列的第几项？（2）求其中的四位数中奇数的个数，并求所有这些奇数各位数位上的数字之和．【考点】数字问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】（1）第34项；（2）8个，48．【分析】（1）利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理讨论1位自然数、2位自然数、3位自然数、4位自然数的情况即可．（2）利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可．【解答】解：（1）一位的自然数有C41=4个，两位的自然数有三位的自然数有C31C31C21=18个所以1203是这个数列的第4+9+18+2+1＝34项．（2）四位数为奇数的有两种情况：1和3是个位数，当1为个位数时，共有C21A22=4个，当3为个位数时，共有C21这些奇数各位数位上的数字之和为8×（0+1+2+3）＝48．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．17．（2023春•莱西市期中）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数为M，能组成的0和l相邻的不同的六位数的个数为N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二项展开式中，记各项的二项式系数之和为E【考点】数字问题．【专题】计算题；对应思想；分析法；排列组合；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）348；（Ⅱ）T1=C80【分析】（Ⅰ）直接利用分类法和排列组合知识求出M的值，再利用分类法和捆绑法及排列组合知识求出N的值，最后求出M+N的值；（Ⅱ）利用二项展开式和二项式系数及项的系数求出n的值，再利用二项展开式的通项和有理项的求法求出结果．【解答】解：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的自然数，记能组成的不同的四位偶数的个数为M，分两类：①0为尾数，故C53⋅A33=60，②2故M＝60+96＝156．能组成的0和l相邻的不同的六位数的个数为N，分两类：①1和0为前两位，故A4②1和0不为前两位数，故C4故N＝24+192＝216，所以M+N＝348．（Ⅱ）在(2x2-13x)n各项的系数之和为G，当x＝1时，G＝1，由于E＝G+255，整理得2n＝256＝28，解得n＝8．故(2x2-由于0≤r≤8，且r∈N+，当r＝0，3，6时，展开式为有理项，即T1=C80【点评】本题考查的知识要点：排列组合关系式，二项式定理和展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．18．（2021秋•奉贤区校级月考）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？（1）偶数；（2）左起第二、四位是奇数的偶数；（3）比21034大的偶数．【考点】数字问题．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）60个，（2）8个，（3）39个．【分析】（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算．（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算．（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算．【解答】解：（1）末位是0，有A44末位是2或4，有C21故满足条件的五位数共有24+36＝60个．（2）左起第二、四位从奇数1，3中取，有A2首位从2，4中取，有A21个：余下的排在剩下的两位，有A故共有A22（3）可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A21当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A21当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A21当末位数字是4，而首位数字是2时，有A22当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33故有(A2【点评】本题考查分类计数原理的运用以及排列知识的应用，属于中档题．19．（2022春•嘉定区期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？【考点】数字问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】（1）625；（2）156个．【分析】（1）根据排列组合计算即可．（2）偶数先确定个位数字为0或2或4，再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果．【解答】解：（1）用1、2、3、4、5可以组成54＝625（个）四位数，（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4，①个位是0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，有C51②个位是2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分别放在百位、十位，有C41⋅C31=4×3=12个，所以个位是2③个位是4的，也有48个；综上所述，用0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有60+48+48＝156个．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．20．（2022秋•浙江月考）（1）从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？（2）设集合A＝{1，2，3，⋯，13}，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．【考点】代数与函数中的计数问题．【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．【答案】（1）32；（2）6个，理由见解析．【分析】（1）先找出和为11的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案；（2）构造A的差为6或7的13个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7，不成立，再举例说明B中可以有6个元素即可．【解答】解：（1）将和为11的数分组：（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有25＝32个子集；（2）构造A的下列13个子集：{1，7}，{2，8}，{3，9}，{4，10}，{5，11}，{6，12}，{7，13}，{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5，12}，{6，13}，A中每一个数恰好属于2个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7，因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素，又B＝{1，2，3，4，5，6}中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求，∴集合B中最多有6个元素．【点评】本题主要考查计数原理的应用，属于中档题．

考点卡片1．分类加法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．3．特点：（1）完成一件事的n类方案相互独立；（2）同一类方案中的各种方法相对独立．（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；4．注意：与分步乘法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．实现步骤：（1）分类；（2）对每一类方法进行计数；（3）用分类加法计数原理求和；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35种C.42种D.48种分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．解答：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C3②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C3∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C4故选A．点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C732．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）3．代数与函数中的计数问题【知识点的认识】﹣代数与函数中的计数问题通常涉及函数的不同组合情况、代数表达式的多种排列方法．例如：构造满足特定条件的多项式、确定多项式的根与系数的关系等．﹣在某些情况下，需要计算多项式在不同取值下可能的表达式数量，或者函数图像的不同形态．【解题方法点拨】﹣通过分析每个代数项或函数的取值范围，合理应用加法和乘法计数原理．﹣当涉及到多个变量时，首先固定部分变量，然后对其余变量进行计数，最后进行组合．﹣在复杂情况下，可能需要引入分类讨论或递推关系来进行处理．【命题方向】﹣常见的命题方向包括计算多项式的不同表达形式数量，确定满足特定条件的函数或方程数量，或者对某些代数式的排列组合进行分析．﹣可能涉及多项式的系数选择、不同根的排列组合，以及函数图像的变换等问题．4．数字问题【知识点的认识】﹣数字问题涉及数字的排