2025年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年4月）

第34页（共34页）2025年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025春•六安月考）受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：时刻t0：003：006：009：0012：00水深f（t）5.07.55.02.55.0若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．B＝3 B．ω=C．13：00时的水深约为6.25m D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时2．（2025春•六安月考）在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（）A．[22+2，35C．[2+1，33．（2025•承德模拟）已知函数f(x)=|cosωx|+A．f（x）的值域为[﹣1，2] B．f（x）在[-πC．f（x）在[0，πD．(5π8，0)4．（2025•潮阳区校级模拟）已知函数f(x)=sin(A．(23，83] B．[165．（2025•金凤区校级一模）将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12A．(0，12] B．(0，13]6．（2025春•江阴市校级月考）将函数y=sin(3x+πA．f(x)=sin(C．f(x)=sin7．（2025春•南京月考）已知α，β∈(0，π2)，且sinβ＝2cos（α+A．最大值3 B．最小值3 C．取不到最大值和最小值 D．以上均不正确8．（2025春•青羊区校级月考）若α，β∈(-π2，π2)，“sinA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•耒阳市月考）已知函数f（x）＝|sinωx|+|cosωx|（ω＞0）的最小正周期为π4A．ω＝2 B．f（x）的图象关于直线x=πC．f（x）的值域为[0，D．f（x）在[π（多选）10．（2025春•东昌府区校级月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．若规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与t的关系为h(A．A=2.4B．点P第一次到达最高点需要的时间为103C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是203D．若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是[（多选）11．（2025春•海门区校级月考）已知α，β∈（0，π2），α+β＞A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．cos（α+β）＜cosα+cosβ C．sinα+sinβ＞1 D．cosα+cosβ＜（多选）12．（2025•烟台一模）已知函数f(A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于直线x=-C．f（x）在区间[-π4，π6]D．f（x）的图象可由y=2cos(2x-π三．填空题（共4小题）13．（2025•辽宁二模）已知α，β均为锐角，sin（α﹣β）=53，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝，cos（2α+2β）＝14．（2025春•常州校级月考）已知x∈(-π6，π315．（2025春•上海校级月考）设函数y＝f（x）＝cos（ωx+φ）（是常数，ω＞0，0＜φ＜π2），若f（x）在区间[-π24，5π24]上具有单调性，且16．（2025春•沙坪坝区校级月考）式子4﹣8sin225°﹣tan40°的值为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•北京校级月考）已知函数f(x)=（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[π3，5π18．（2025春•南阳月考）将函数y＝cosx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π6个单位长度，得到函数f（x）的（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2π3]时，方程f（x）＝（3）若方程f(x)=43在(0，π2)上的解为x1，x219．（2025春•六安月考）化简下列各式：（1）cos（2）1-20．（2025春•新北区校级月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设∠MOB（1）当θ=π3时，求△（2）求三角形区域PMN面积的最大值．

2025年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CACABADA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDBCDABD一．选择题（共8小题）1．（2025春•六安月考）受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：时刻t0：003：006：009：0012：00水深f（t）5.07.55.02.55.0若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．B＝3 B．ω=C．13：00时的水深约为6.25m D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时【考点】三角函数应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】由f（t）的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由f（3）的值可得φ，代入计算，即可判断C，求解不等式f（t）＜3.75，即可判断D．【解答】解：根据题目：若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π由数据知f（t）max＝A+B＝7.5，f（t）min＝﹣A+B＝2.5，所以A＝2.5，B＝5，A错误；T=2π由f（3）＝7.5，得φ=0，f由f（t）＜3.75，得sinπ6t＜-12，7＜t＜11故选：C．【点评】本题考查三角函数应用，属于中档题．2．（2025春•六安月考）在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为（）A．[22+2，35C．[2+1，3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】设∠AGE＝α，进而得到△EFG的周长L=sinα+cosα+1【解答】解：在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，设∠AGE＝α，由题意可得55所以GE=则EF=可得△EFG的周长L=注意0＜αmin令t=则sinαcosα=所以L=又35解得22即△EFG周长的取值范围为[22故选：A．【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．3．（2025•承德模拟）已知函数f(x)=|cosωx|+A．f（x）的值域为[﹣1，2] B．f（x）在[-πC．f（x）在[0，πD．(5π8，0)【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】C【分析】由已知可得ω＝2，进而分类去绝对值，作出函数f（x）的图象，进而求得值域，单调区间，极值，判断对称中心可得结论．【解答】解：函数f(x)=|cosωx|+3sinωx的最小正所以f（x）＝|cos2x|+3sin2=2作出f（x）的图象如图所示．由图可知f（x）的值域为[-3，f（x）在[-π4，πf（x）在x∈[0，π2]上有两个极大值点，分别是函数f（x）没有对称中心，故D错误．故选：C．【点评】本题考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．4．（2025•潮阳区校级模拟）已知函数f(x)=sin(A．(23，83] B．[16【考点】三角函数的最值．【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可．【解答】解：因为ω＞0，所以当0＜则有π6因为f（x）在区间(0，结合函数图象，得π2解得23故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．5．（2025•金凤区校级一模）将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12A．(0，12] B．(0，13]【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据平移规则可得g（x）的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果．【解答】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)的图象向右平移π6由题可得g(因为ω＞0，所以当0＜x＜π3因为g（x）在(0，π3又ω＞0，解得0＜故选：B．【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2025春•江阴市校级月考）将函数y=sin(3x+πA．f(x)=sin(C．f(x)=sin【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据三角函数的平移变换和伸缩变换即可求解．【解答】解：将函数y=sin(3x+π根据题意：将函数y=sin(3x+π将y=sin(3x-故选：A．【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2025春•南京月考）已知α，β∈(0，π2)，且sinβ＝2cos（α+A．最大值3 B．最小值3 C．取不到最大值和最小值 D．以上均不正确【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】注意到β＝（α+β）﹣α，将等式化成sin[（α+β）﹣α]＝2cos（α+β）sinα，展开整理得到sin（α+β）cosα＝3cos（α+β）sinα，利用角的范围，将其简化为tan（α+β）＝3tanα，代入tanβ＝tan[（α+β）﹣α]中整理可得tanβ=23【解答】解：由sinβ＝2cos（α+β）sinα可得：sin[（α+β）﹣α]＝2cos（α+β）sinα，展开得sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝2cos（α+β）sinα，即sin（α+β）cosα＝3cos（α+β）sinα（*），因为α，β∈(0，π2)且故(α+β)∈(0，π2)，由（*由tanβ=因为α∈(0，π2)，则tan可得：0＜tanβ=即tanα=33时，α=π6时，等号成立，故α故选：D．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．8．（2025春•青羊区校级月考）若α，β∈(-π2，π2)，“sinA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【考点】余弦函数的图象；充分条件必要条件的判断；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据正余弦函数的图像性质，结合充分，必要条件概念判定．【解答】解：因α，β∈(-π2，π2)，由sinα＝sinβ而由cosα＝cosβ，得α＝β或α＝﹣β，此时sinA＝sinB或sinA＝﹣sinB．因此若α，β∈(-π2，π2)，“sin故选：A．【点评】本题考查的知识点：函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•耒阳市月考）已知函数f（x）＝|sinωx|+|cosωx|（ω＞0）的最小正周期为π4A．ω＝2 B．f（x）的图象关于直线x=πC．f（x）的值域为[0，D．f（x）在[π【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】ABD【分析】首先得到f(x)=1+|sin2ωx|，即可求出函数的最小正周期，求出ω，即可判断A，再由f(【解答】解：对于A：因为f因为函数y＝sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π2ω=πω，则函数y＝|sin2ωx所以f（x）＝|sinωx|+|cosωx|（ω＞0）的最小正周期为π2ω，所以π2ω=此时f（x）＝|sin2x|+|cos2x|，则f=|sin(2x对于B：由A选项分析，f（x）＝|sin2x|+|cos2x|，若f（x）的图象关于直线x=π4对称，则f（π2-x因为f(所以f（x）的图象关于直线x=π4对于C：由A选项分析，f（x）的最小正周期为π4，所以只需研究函数在[0当x∈[0，π4则2x+π4∈[即f（x）的值域为[1，2]对于D：当x∈[π8，π4因为y＝sinx在[π2，3π4]上单调递减，所以f故选：ABD．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．（多选）10．（2025春•东昌府区校级月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．若规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与t的关系为h(A．A=2.4B．点P第一次到达最高点需要的时间为103C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是203D．若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是[【考点】三角函数应用；正弦函数的单调性．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】ACD【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图象，结合整体代换的方法即可判断D．【解答】解：由题：h与t的关系为h(对于A，因为筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，所以点P距离水面的高度h的最值为hmax=1.2+2.4=3.6=A因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以T=因为h（t）＝2.4sinφ+1.2＝0，所以sinφ=又因为-π2＜φ＜对于B，由已知得，OP0与x轴正方向的夹角为π6所以点P第一次到达最高点需要转动π6+π2=对于C，在转动的一个周期内，点P在水中转动2×(π2-对于D，若h(t)=2.4sin(π10t-π则y=sin(π10t-π6)在[0，a]上的值域为[所以π2≤π10a故选：ACD．【点评】本题考查三角函数应用，属于中档题．（多选）11．（2025春•海门区校级月考）已知α，β∈（0，π2），α+β＞A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．cos（α+β）＜cosα+cosβ C．sinα+sinβ＞1 D．cosα+cosβ＜【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BCD【分析】利用两角和的正弦公式结合作差法可判断A选项；求出α+β的取值范围，根据cos（α+β）＜0可判断B选项；利用正弦函数的单调性推导出sinα＞cosβ，利用辅助角公式结合正弦型函数值域可判断D选项．【解答】解：对于A，令α=β=π3sinα+sinβ=32+32=3，故sin（α对于B，因为α∈(0，π2)，所以cosα＞0，因为β因为π2＜α+β＜π，所以cos（α+β）＜0，所以cos（α+β）＜对于C选项，α、β∈(0，π2且函数y＝sinx在(0，π2故sinα+sinβ＞则π4＜β+π4＜对于D选项，cosα+因为0＜α＜π2故cosα+cosβ＜2sin故选：BCD．【点评】本题考查求两角和与差的三角函数值，属于中档题．（多选）12．（2025•烟台一模）已知函数f(A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于直线x=-C．f（x）在区间[-π4，π6]D．f（x）的图象可由y=2cos(2x-π【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D．【解答】解：由f(得其最小正周期T=2π又f(-π6)=2sin(-π3-π6)=-2，为f由x∈[-π4，π6]⇒2x-π6∈[-2πy=2cos(2x-π3)故选：ABD．【点评】本题考查三角恒等变换及正弦函数的性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•辽宁二模）已知α，β均为锐角，sin（α﹣β）=53，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝23，cos（2α+2β）＝-【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】23，-【分析】先确定cos（α﹣β）由于α，β为锐角，在应用余弦加法公式联立tanαtanβ＝2，在计算cos（α+β），cos（2α+2β）．【解答】解：因为α，β均为锐角，所以α﹣β∈(-π2得cos(α-β)=23，则cosαcos又tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=2，所以sinαsinβ＝2cos则cosαcosβ+2cosαcosβ解得cosαcosβ=29，则sinαsinβ所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=2故cos(2【点评】本题考查求两角和与差的三角函数值，属于中档题．14．（2025春•常州校级月考）已知x∈(-π6，π3【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】3．【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，结合所给定义域计算即可得．【解答】解：由于函数f(由x∈(-则当2x+π6=π2故答案为：3．【点评】本题考查的知识点：函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．15．（2025春•上海校级月考）设函数y＝f（x）＝cos（ωx+φ）（是常数，ω＞0，0＜φ＜π2），若f（x）在区间[-π24，5π24]上具有单调性，且【考点】余弦函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】π．【分析】根据单调性可求出0＜ω≤4，再根据题意得函数关于点(π12，0)对称，关于直线x=π3对称，得到关于ω，φ【解答】解：∵y＝f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2则12T=12⋅2∵f(则f（x）的图象关于点(π12，∴ω×π12两式相减，可得ω＝4（n﹣k）﹣2，又因为0＜ω≤4，故ω＝2，当ω＝2时，由2×π12又0＜φ＜故f(x)=cos(2故答案为：π．【点评】本题考查余弦函数的单调性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题．16．（2025春•沙坪坝区校级月考）式子4﹣8sin225°﹣tan40°的值为3．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】3．【分析】先应用二倍角余弦公式，正弦公式及切化弦化简求出2sin【解答】解：4=4=2=2=3=3故答案为：3．【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•北京校级月考）已知函数f(x)=（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[π3，5π【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）ω＝1，[-（2）x=π3，f(x)max=32；【分析】（1）由三角函数恒等式化简函数解析式，根据周期可得参数值，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性与最值，可得答案．【解答】解：（1）f(由于函数的最小正周期为π，所以ω＝1，故f(令-π2+2故函数的单调递增区间为[-（2）由x∈[π3，所以当2x+π6=所以当2x+π6=3π2，即x=2π【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．18．（2025春•南阳月考）将函数y＝cosx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π6个单位长度，得到函数f（x）的（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2π3]时，方程f（x）＝（3）若方程f(x)=43在(0，π2)上的解为x1，x2【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）f(（2）[2，52（3）23【分析】（1）根据三角函数的变换规则求出f（x）解析式；（2）首先判断f（x）的单调性，求出端点处的函数值，依题意y＝f（x）与y＝2a﹣3在x∈（3）依题意x1、x2关于x=π6对称且2【解答】解：（1）由题意可得将y＝cosx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到y＝cos2x纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2cos2x，向右平移π6个单位长度得到f（2）由x∈[0，令-π3≤2x-π3≤0，解得0≤x≤π6，可得f令0≤2x-π3≤π，解得π6由题意可得y＝f（x）与y＝2a﹣3在x∈可得1≤2a﹣3＜2，解得2≤a＜52（3）由（2）可得f（x）在[0，π6由已知可得x1、x2关于x=则x1+x所以x2=π所以cos(【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．19．（2025春•六安月考）化简下列各式：（1）cos（2）1-【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）﹣1；（2）0．【分析】（1）结合诱导公式求解即可；（2）结合诱导公式求解即可．【解答】解：（1）co＝﹣1；（2）1＝|sin200°﹣cos200°|+cos160°﹣sin340°＝cos20°﹣sin20°﹣cos20°+sin20°＝0．【点评】本题考查了诱导公式，属中档题．20．（2025春•新北区校级月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设∠MOB（1）当θ=π3时，求△（2）求三角形区域PMN面积的最大值．【考点】三角函数应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）12（2）(1875+12502【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出MN、AE的长，然后根据面积公式算出△PMN的面积；（2）根据题意，用关于θ的三角函数式表示出三角形区域PMN的面积S，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域PMN面积的最大值．【解答】解：（1）根据题目：长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，设MN与AB相交于点E，则ME=可得MN=ME+因为AE等于P到MN的距离，所以S△即当θ=π3时，△PMN的面积为（2）过点P作PF⊥MN于点F，则PF＝AE＝50+50cosθ，且MN＝ME+EN＝50+50sinθ，三角形区域PMN面积为S=＝1250（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），设sinθ+cosθ＝t，由θ∈(0所以t=结合sinθcosθ=t2当t=2时，S取得最大值，即PMN面积的最大值为(1875+12502【点评】本题考查三角函数应用，属于中档题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．4．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ5．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．6．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ2解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．7．余弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ8．余弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．9．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T42．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|10．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M-m2，k=M+m2，ω11．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案为：32+22cos（这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=1而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．12．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα13．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαs