2025年高考数学复习难题速递之圆与方程（2025年4月）

第31页（共31页）2025年高考数学复习难题速递之圆与方程（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝23，点P在直线3x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025•城区校级开学）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．2 C．π D．4π3．（2025•朝阳区模拟）已知直线x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点，且△OAB为等腰直角三角形，则实数m的值为（）A．±22 B．±1 C．±2 4．（2025春•江阴市校级月考）2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点P（m，n）在圆C上运动时，OP斜率nm的取值范围[-3A．-33 B．﹣1 C．1-35．（2025•乌鲁木齐模拟）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y=33x．直线l与圆C交于A，B两点，点P为圆C上任意一点，O为坐标原点，则A．3+1 B．3+2 C．236．（2024秋•郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（）A．32 B．52 C．62 7．（2025•重庆模拟）已知△ABC的顶点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，5），C（2，0），AD是边BC上的高，则下列结论错误的是（）A．AD所在直线的方程是y＝x B．∠BAC的平分线所在直线的方程是y＝2x+1 C．△ABC外接圆的方程为x2+y2+x﹣5y﹣5＝0 D．△ABC的面积为108．（2024秋•菏泽期末）已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为（）A．2310 B．232 C．235 二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•云南一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2+y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（）A．x+(2-1)y-2C．x-(2+1)y+（多选）10．（2025春•深圳校级月考）已知圆C：x2+y2＝4，P是直线l：x+y﹣6＝0上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（）A．圆C与直线l相离 B．|PA|存在最小值 C．|AB|存在最大值 D．存在点P使得△ABC为直角三角形（多选）11．（2025•咸阳模拟）已知圆C的方程为x2+y2﹣8x+12＝0，点M（x0，y0）是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．圆C的半径为2 B．满足|OM|＝5.5的点M有1个 C．x0+2y0的最大值为4+25D．若点P在x轴上，则满足|OM|＝2|PM|的点P有两个（多选）12．（2025•长沙校级一模）圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，记点P（a，b），下列结论正确的是（）A．点P的轨迹方程为x﹣y﹣3＝0 B．以PM为直径的圆过定点Q（2，﹣1） C．|PM|的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|≥4三．填空题（共4小题）13．（2025•玉溪二模）已知点A（4，0），B（2，2），若直线l过O（0，0）且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为．14．（2024秋•官渡区期末）如果直线l：x+y﹣b＝0与曲线C：y=1-x2有公共点，那么b15．（2025春•浦东新区校级月考）在△A1B1C1中，若M1，N1，P1三点分别在边A1B1，B1C1，C1A1上（均不在端点上），则△A1M1P1，△B1M1N1，△C1N1P1的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），△ABP与△CMP的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为．16．（2024秋•天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为．四．解答题（共4小题）17．（2025•辽宁一模）已知圆C1：x2+y2＝1，C2：x2+y2＝4，O为坐标原点，过圆C1上一动点G作圆C1的切线l1交圆C2于C，D两点，直线OG交圆C2于A，B两点．（1）四边形ACBD的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；（2）对平面上所有点进行如下变换x=3x0y=y0，（即：原坐标（x0，y0）在这个变换下的新坐标为(3x0，y0)，圆C1、圆C2、直线l1分别变换成C3，C4，l2，点A，B，C，D，G变换成①写出C3，C4的方程，l2与C3是否相切，证明你的结论；②四边形A1C1B1D1的面积是否是定值，请说明理由．18．（2025春•黄浦区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-2x-23y-12=0，M1，M（1）求点M的轨迹方程；（2）设点A是直线l：3x-y+43=0上的动点，AP，AQ是（3）若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于点D，E，点N为直线x＝﹣3上的动点，直线ND，NE与M的轨迹的另一个交点分别为F，G（FG与DE不重合），求证：直线FG过定点．19．（2024秋•浦东新区校级期末）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx﹣4．（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|=2320．（2024秋•高州市期末）已知圆C过两点A（3，2），B（1，4），且圆心C在直线2x+y﹣10＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．

2025年高考数学复习难题速递之圆与方程（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCCDDDCD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDABACABD一．选择题（共8小题）1．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝23，点P在直线3x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点Q的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2y﹣3＝0，所以x2+（y﹣1）2＝4，所以圆心坐标为C（0，1），半径r＝2．因为点Q为线段MN的中点，根据垂径定理可知CQ⊥MN，已知|MN|=23在Rt△CQM中，|CQ所以点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆．已知点P在直线3x-y-5=0上，可得圆心C（0d=因为点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆，所以|PQ|的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1，即3﹣1＝2．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．2．（2025•城区校级开学）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．2 C．π D．4π【考点】过圆外一点的圆的切线方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．【答案】C【分析】先确定直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的形状，就可以求它的面积．【解答】解：由xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）⇒（x﹣1）cos2θ+ysin2θ＝1．根据条件中的定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程，可得：动直线是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的切线．所以动直线围成的封闭图形为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．其面积为：π．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．3．（2025•朝阳区模拟）已知直线x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点，且△OAB为等腰直角三角形，则实数m的值为（）A．±22 B．±1 C．±2 【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】由题意得|OA|=|OB|=2，|AB|=2，从而得圆心O【解答】解：由题意直线x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点，且△OAB为等腰直角三角形，可得|OA所以圆心O到直线x﹣y+m＝0的距离为d=故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．4．（2025春•江阴市校级月考）2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点P（m，n）在圆C上运动时，OP斜率nm的取值范围[-3A．-33 B．﹣1 C．1-3【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】分析可知，直线y=-3x、y=33x为圆C的两条切线，设圆心C（a，b），数形结合可知，直线OC的斜率为负数，利用圆心C到直线y=-3【解答】解：如图所示：kOP∵nm的取值范围[∴直线OP的倾斜角的取值范围是[0，由题意可知，直线y=-3x、y=33即直线3x+y＝0，x-3y由图可知，直线OC的斜率为负数，则ba设圆心C（a，b），则|3整理可得(3即a2可得(b∵ba＜0因此，圆心C一定在直线y=(3即直线OC的斜率为3-2故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．5．（2025•乌鲁木齐模拟）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y=33x．直线l与圆C交于A，B两点，点P为圆C上任意一点，O为坐标原点，则A．3+1 B．3+2 C．23【考点】直线与圆相交的性质．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】建立直线的方程和圆的方程，可得点A，B的坐标，设点P的参数坐标，求出这两个向量的数量积的表达式，由辅助角公式整理可得该数量积的最大值．【解答】解：联立(x-2)2+y设A（32-32，32-1可得AB→=（3，设P（2+2cosα，2sinα），则OP→=（2+2cosα，则OP→•AB→=23+6cosα+2sinα＝23+22sin（α当且仅当α+π3=π2+2kπ，k∈Z，即α=π6即OP→•AB→的最大值为23+故选：D．【点评】本题考查直线与圆的综合应用及向量的运算性质的应用，属于中档题．6．（2024秋•郸城县校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，则sinα+sinβ＝（）A．32 B．52 C．62 【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解．【解答】解：如图，点A（﹣2，0），B（0，﹣2），点P在圆C：（x﹣2）2+y2＝2上运动，∠PAB的最大值为α，最小值为β，过点A向圆引两条切线，切点分别为P1，P2，则∠P1AB与∠P2AB分别为∠PAB的最大、最小角，设∠P1AC＝θ，由|AC|=4，由A（﹣2，0），B（0，﹣2）可知∠BAC＝45°，∴sinα+故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．7．（2025•重庆模拟）已知△ABC的顶点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，5），C（2，0），AD是边BC上的高，则下列结论错误的是（）A．AD所在直线的方程是y＝x B．∠BAC的平分线所在直线的方程是y＝2x+1 C．△ABC外接圆的方程为x2+y2+x﹣5y﹣5＝0 D．△ABC的面积为10【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】利用两点的斜率公式可得BC的斜率，从而可得AD的斜率，利用点斜式可得直线AD的方程，即可判断选项A；求出|AB|，|AC|，设∠BAC平分线与BC交于点E，根据角平分线定理可得|BE|＝2|EC|，再由定比分点公式可得点E的坐标，从而可得直线AE的方程，即可判断选项B；设出△ABC外接圆的一般方程，将点A，B，C的坐标代入，解方程即可得圆的方程，即可判断选项C；求出|BC|及直线BC的方程，利用点到直线的距离公式可得点A到BC的距离，由三角形面积公式可得△ABC的面积，即可判断选项D．【解答】解：对于A，kBC=5-0-3-2=-1，因为所以kBC•kAD＝﹣1，所以kAD＝1，所以AD所在直线的方程为y﹣（﹣1）＝1×（x+1），即y＝x，故A正确；对于B，|AB|=(-1+3)2+(-1-5)2=2设∠BAC平分线与BC交于点E，根据角平分线定理|BE||EC|=|AB|设E（x，y），由定比分点公式x=-3+2×2已知A（﹣1，﹣1），E(13，5所以AE所在直线方程为y+1＝2（x+1），即y＝2x+1，故B正确；对于C，设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A（﹣1，﹣1），B（﹣3，5），C（2，0）代入方程得1+1-解得D＝1，E＝﹣5，F＝﹣6，所以外接圆方程为x2+y2+x﹣5y﹣6＝0，故C错误；对于D，由B（﹣3，5），C（2，0），可得|BC|=(-3-2)2直线BC的方程为y﹣0＝﹣1×（x﹣2），即x+y﹣2＝0，则点A到直线BC的距离d=所以S△ABC=故选：C．【点评】本题主要考查直线方程，圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．8．（2024秋•菏泽期末）已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为（）A．2310 B．232 C．235 【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】先求得弦MN的中点E（x，y）的轨迹方程，则|3x1+4y1+12|5+|3x2+4y2+12|5的几何意义为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点到直线3x+4y+12＝0的距离之和，即点【解答】解：已知直线y＝kx+1（k∈R）与圆O：x2+y2＝4相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，直线l：y＝kx+1与y轴的交点为A（0，1），设弦MN的中点为E（x，y），连接OE，则OE⊥MN，即OE⊥AE，所以OE→即（x，y）•（x，y﹣1）＝x2+y（y﹣1）＝0，所以点E的轨迹方程为x2即E的轨迹是以(0，12设直线l为3x+4y+12＝0，则E到l的最小距离为|2+12|5过M、E、N分别作直线l的垂线，垂足分别为P，R，Q，则四边形MNQP是直角梯形，且R是PQ的中点，则ER是直角梯形的中位线，所以|MP|+|NQ|＝2|ER|，即|3x即|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|＝10|ER|≥23，所以|3x1+4y1+12|+|3x2+4y2+12|的最小值为23．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•云南一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2+y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（）A．x+(2-1)y-2C．x-(2+1)y+【考点】直线和圆的方程的应用；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】设圆x2+y2＝2的一个内接正八边形为ABCDEFGH，圆心为O，分别以OA，OC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标，从而可求AB，BC，CD，DE的直线方程，根据平行关系即可求解．【解答】解：由图可知：A（2，0），B（1，1），C（0，2），D（﹣1，1），E（-2，0所以直线AB，BC，CD，DE的方程分别为y=1-01-2(整理为一般式即x+((1-(2x-前三个分别对应题中的A，B，D选项，而正八边形中，AB与EF，BC与FG，CD与GH，DE与AH所在直线分别平行，由第四个式子可知，正八边形各边所在直线不可能为选项C．故选：ABD．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．（多选）10．（2025春•深圳校级月考）已知圆C：x2+y2＝4，P是直线l：x+y﹣6＝0上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（）A．圆C与直线l相离 B．|PA|存在最小值 C．|AB|存在最大值 D．存在点P使得△ABC为直角三角形【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AB【分析】由直线和圆的位置关系可判断A；求得切线长，结合点到直线的距离公式，可判断B；由四边形的面积可得|AB|，结合|PC|的最小值，可判断C；由|AB|的最小值和直角三角形的定义，可判断D．【解答】解：圆C：x2+y2＝4的圆心C（0，0），半径为2，直线l：x+y﹣6＝0，可得C到直线l的距离为d=62=3即直线l与圆C相离，故A正确；由PA⊥AC，可得|PA|=|而|PC|的最小值为d＝32，则|PA|的最小值为18-4=由PC⊥AB，可得四边形PACB的面积为12|PC|•|AB|＝2×12×即有|AB|=4|PA||PC|=41-4要使△ABC为直角三角形，只能是∠ACB为直角，即|AB|＝22，由C可得|AB|≥473＞22，则不存在点P使得△故选：AB．【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）11．（2025•咸阳模拟）已知圆C的方程为x2+y2﹣8x+12＝0，点M（x0，y0）是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．圆C的半径为2 B．满足|OM|＝5.5的点M有1个 C．x0+2y0的最大值为4+25D．若点P在x轴上，则满足|OM|＝2|PM|的点P有两个【考点】直线与圆的位置关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】将圆的方程化为标准方程可判断A；由|OM|d的取值范围结合圆的对称性即可判断B；设M（4+2cosθ，2sinθ），结合三角函数的值域可判断C；设P（t，0），由两点间的距离公式化简可得(6-2t)x0-9+t2=0对任意的x0【解答】解：由题意可得：圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝4，所以圆C的半径为2，故A正确；因为|OC|＝4，所以2≤|OM|≤6，由圆的对称性知，满足|OM|＝5.5的点M有两个，故B错误；设M（4+2cosθ，2sinθ），则x0+2y0所以x0+2y0的最大值为4+25，故C设P（t，0），则x02+又因为(x0-4)因为该式对任意的x0∈[2，6]恒成立，所以6-2t=0t2-9=0，解得故选：AC．【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆的参数方程的应用，属于中档题．（多选）12．（2025•长沙校级一模）圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，记点P（a，b），下列结论正确的是（）A．点P的轨迹方程为x﹣y﹣3＝0 B．以PM为直径的圆过定点Q（2，﹣1） C．|PM|的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|≥4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ABD【分析】圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，点M在直线上，可得a﹣b﹣3＝0，可判断A；以PM为直径的圆N的方程为（x+1）（x﹣a）+（y﹣2）（y﹣b）＝0，把点Q的坐标代入方程可判断B；|PM|的最小值即为点M到直线x﹣y﹣3＝0的距离，求出d可判断C，进而可判断D．【解答】解：由圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0得（x+1）2+（y﹣2）2＝2，所以圆心M（﹣1，2），半径R=2由圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，所以M在直线2ax+by+6＝0上，所以2a（﹣1）+b×2+6＝0所以a﹣b﹣3＝0，所心点P的轨迹方程为x﹣y﹣3＝0，故A正确；以PM为直径的圆N的方程为（x+1）（x﹣a）+（y﹣2）（y﹣b）＝0，把点Q（2，﹣1）代入圆的方程的左边，有3（2﹣a）﹣3（﹣1﹣b）＝9﹣3a+3b＝﹣3（a﹣b﹣3）＝0，所以点Q在圆N上，故B正确；|PM|的最小值为点M到直线x﹣y﹣3＝0的距离，又d=1+1=32，故因为|PA|=2-2≥故选：ABD．【点评】本题考查点的轨迹问题，过定点问题，距离的最小值问题，属中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•玉溪二模）已知点A（4，0），B（2，2），若直线l过O（0，0）且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为6105【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】610【分析】分析可知△OAB外接圆圆心为N（2，0），半径r＝2，直线l过O（0，0），M（3，1），结合垂径定理求弦长．【解答】解：分别取OA，AB的中点N（2，0），M（3，1），则|ON|＝|NA|＝|NB|＝2，可知△OAB外接圆圆心为N（2，0），半径r＝2，直线l过O（0，0）且平分△OAB的面积，则直线l过O（0，0），M（3，1），则直线l：y=13x，即x则圆心N（2，0）到直线l的距离d=所以l被△OAB外接圆截得的弦长为2r故答案为：610【点评】本题主要考查直线与圆相交的弦长，属于中档题．14．（2024秋•官渡区期末）如果直线l：x+y﹣b＝0与曲线C：y=1-x2有公共点，那么b【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π．因此问题转化为方程cosα+sinα﹣b＝0，在区间[0，α]上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质，即可算出实数b的取值范围．【解答】解：对于曲线C：y=1-x2，设x＝cosα，则y=1-cos因此点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π∵线l：x+y﹣b＝0与曲线C有公共点∴方程cosα+sinα﹣b＝0，在区间[0，α]上有解即b＝cosα+sinα=2sin（α∵α+π4∈[π4，5π4]，可得sin（α∴b=2sin（α+π4）∈[﹣即直线l：x+y﹣b＝0与曲线C：y=1-x2有公共点时，b的取值范围是故答案为：[﹣1，2]【点评】本题给出直线l与曲线C有公共点，求参数b的范围．着重考查了同角三角函数的关系、三角函数的图象与性质与函数的值域求法等知识，属于中档题．15．（2025春•浦东新区校级月考）在△A1B1C1中，若M1，N1，P1三点分别在边A1B1，B1C1，C1A1上（均不在端点上），则△A1M1P1，△B1M1N1，△C1N1P1的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），△ABP与△CMP的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为7-1【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】7-【分析】延长BA，CD交于点E得△EBC为正三角形，且得△ABP、△CMP、△AME的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出△AME是直角三角形，进而得其外接圆半径R＝AD＝1，再在△ABD中由余弦定理求出BD即可得BQ的最小值．【解答】解：由题意在梯形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），△ABP与△CMP的外接圆交于点Q（异于点P），可延长BA，CD交于点E，作出图象：可知△EBC为正三角形，由题设结论△ABP，△CMP，△AME的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在△AME的外接圆上，如上图，又由题AD＝DM＝1，∠BAD＝∠ADM＝180°﹣∠BCD＝180°﹣60°＝120°，所以∠AMD＝30°，故∠EAM＝180°﹣∠AMD﹣∠AED＝180°﹣30°﹣60°＝90°，所以△AME是直角三角形，故其外接圆半径R＝AD＝1，在△ABD中，由余弦定理BD=所以BQ的最小值为7-故答案为：7-【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题．16．（2024秋•天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为x＝4或3x﹣4y＝0．【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】x＝4或3x﹣4y＝0．【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．【解答】解：已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，则圆心坐标为（3，1），半径为1，又直线l过点P（4，3），且与圆C相切，当直线的斜率不存在时，显然x＝4满足题意，当直线的斜率存在时，不妨设直线方程为y﹣3＝k（x﹣4），由题意可得：|-k即k=即直线方程为y﹣3=34（x﹣即3x﹣4y＝0．故答案为：x＝4或3x﹣4y＝0．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•辽宁一模）已知圆C1：x2+y2＝1，C2：x2+y2＝4，O为坐标原点，过圆C1上一动点G作圆C1的切线l1交圆C2于C，D两点，直线OG交圆C2于A，B两点．（1）四边形ACBD的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；（2）对平面上所有点进行如下变换x=3x0y=y0，（即：原坐标（x0，y0）在这个变换下的新坐标为(3x0，y0)，圆C1、圆C2、直线l1分别变换成C3，C4，l2，点A，B，C，D，G变换成①写出C3，C4的方程，l2与C3是否相切，证明你的结论；②四边形A1C1B1D1的面积是否是定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）是，43；（2）①x23+y2=1，x212+y24=1，l【分析】（1）四边形对角线垂直，且对角线长不变；（2）①代入原方程后整理得到C3，C4，讨论直线l1的斜率不存在，得到直线l2方程，证明是否相切；讨论l1的斜率存在时，设直线方程，由切线的性质建立关系，从而得到直线l2方程，联立后由判别式判断是否相切；②讨论直线l1斜率存在时设C1，D1，联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，由韦达定理和交点弦长公式求得|C1D1|，得到O到l2的距离，从而求出S△OD【解答】解：（1）由AB与CD垂直，四边形ACBD的面积S1四边形ACBD对角线互相垂直，且对角线长不变，所以四边形ACBD的面积为定值43（2）①由已知得C3，C4的方程分别为x2证明：若l1的斜率不存在时，l2的方程为x=±3，此时显然l2与若l1的斜率存在时，设l1的方程为y＝kx+m，l1与C1相切得d1即m2＝k2+1，l2的方程为y=kx3得(1+k此时Δ=(2所以只有一个交点，显然l2与C3相切．②设C1（x1，y1），D1（x2，y2），联立y=消y得(1+kΔ＝12（﹣m2+4k2+4）＝36k2+36＞0_，x1+x|C将m2＝k2+1，代入得|CO到l2的距离为d2所以S△显然B1O＝2OG1，OG1＝G1A，所以S△所以四边形A1C1B1D1的面积S=3当直线l1的斜率不存在时，l2的斜率也不存在，此时，A1(23此时四边形A1C1B1D1的面积S＝12，所以四边形A1C1B1D1的面积是定值．【点评】本题考查圆与椭圆方程的应用，属于难题．18．（2025春•黄浦区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-2x-23y-12=0，M1，M（1）求点M的轨迹方程；（2）设点A是直线l：3x-y+43=0上的动点，AP，AQ是（3）若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于点D，E，点N为直线x＝﹣3上的动点，直线ND，NE与M的轨迹的另一个交点分别为F，G（FG与DE不重合），求证：直线FG过定点．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）(x（2）42（3）证明见详解．【分析】（1）根据弦长关系可得|CM|＝2，可知点M的轨迹是以C(1，3)为圆心，半径为（2）根据切线性质可得SAPCQ（3）先进行图形平移，将圆心C平行至原点，可得kP0R=3kP0【解答】解：（1）∵圆C：x2转化为圆的标准方程得(x∴圆C的圆心为C(1，3)，半径M1，M2是圆C上的动点，且|M1M2|=43，M∴由题意可得|CM∴点M的轨迹是以C(1，3)为圆心，半径为∴点M的轨迹方程为(x（2）∵四边形APCQ面积为：S四边形∴当AC⊥l时，|PC|取到最小值为|PC∴四边形APCQ面积的最小值为2(2（3）证明：垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于点D，E，点N为直线x＝﹣3上的动点，直线ND，NE与M的轨迹的另一个交点分别为F，G（FG与DE不重合），由题意可知：直线l1：y=先说明如下问题：若点P0（﹣4，y0）为直线x＝﹣4上的动点，直线P0A1，P0A2（A1（﹣2，0），A2（2，0））与圆O：x2+y2＝4的另一个交点分别为：R（x1，y1），T（x2，y2），（RT与A1A2不重合）下面证明直线RT过定点．∵kP∴kP0R=3k∵x1∴y1∴(2+x1)(2-整理可得2x1x2+5（x1+x2）+8＝0，若直线RT的斜率存在，设为y＝kx+b，联立方程y=kx+bx2+y2=4，消去y可得（k2+1）x2则Δ＞0，且x1则2(b2-4)k2+1-10kbk2+1+8=0，整理可得b2﹣5kb+4若b＝k，则直线RT：y＝k（x+1）过定点（﹣1，0）；若b＝4k，则直线RT：y＝k（x+4）过定点（﹣4，0），且RT与A1A2不重合，不合题意；∴直线RT过定点（﹣1，0）；若直线RT的斜率不存在，则x1＝x2，可得2x即x12+5x1+4=0，解得x1＝﹣1此时直线RT过点（﹣1，0），符合题意；且（﹣1，0）在圆O内部，直线RT与圆O必相交，综上所述：直线RT过定点（﹣1，0）．将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移3个单位，结合图形平移可知：直线FG过定点(0，【点评】本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．19．（2024秋•浦东新区校级期末）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx﹣4．（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|=23【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由圆心（0，0）到已知直线l的距离等于半径2，得k的值，由此能求出直线l的方程．（2）利用垂径定理结合点到直线的距离公式求得直线的斜率，可得直线l的方程．【解答】解：（1）由直线l：y＝kx﹣4，整理得kx﹣y﹣4＝0．因为直线l与圆C相切，所以|-4|k2解得k=±所以此时直线l的方程为3x﹣y﹣4＝0或3x+y+4＝0．（2）由直线l与圆C相交时．因为|AB|＝23，结合相交弦弦长公式|AB|＝2r2可得d＝1，因为圆心到直线l的距离d=|-4|k解得k＝±15．所以直线l的方程为15x﹣y﹣4＝0或15x+y+4＝0．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．20．（2024秋•高州市期末）已知圆C过两点A（3，2），B（1，4），且圆心C在直线2x+y﹣10＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质；根据圆的几何属性求圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4；（2）4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可；（2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解．【解答】解：（1）因为A（3，2），B（1，4），所以线段AB的中点M（2，3），且kAB所以线段AB的中垂线方程为y＝x+1，由y=x+12x+y-10=0得x=3y=4，所以C（得圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4；（2）由（1）知，点C（3，4），①当直线l过原点时，直线l的方程为y=②当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa则3a+4a=1，解得a＝7，方程为x所以直线l的方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．【点评】本题考查利用待定系数法求直线的方程、圆的方程，属于基础题．

考点卡片1．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．2．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模A24．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．3．根据圆的几何属性求圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的