2025年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年4月）

第35页（共35页）2025年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025•利津县校级模拟）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线l1，l2互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线l1，l2的距离分别为h1，h2（h1，h2为定值），入口B，C分别在直线l2，l1上，公园的一边AB与直线l2所成的锐角∠ABD为α，另一边AC与AB垂直设该休闲公园的面积为S（α），当α变化时，下列说法正确的是（）A．函数S（α）的最大值为h1h2 B．函数S（α）的最小值为h1C．若α1，α2∈（0，π2）且α1＜α2，则S（α1）＜S（α2）D．若α1，α2∈（0，π2）且α1+α2=π2，则S（α1）＝S（2．（2024秋•南昌县校级期末）已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1＞k2”是“α1＞α2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024秋•吉安期末）直线3x+2y﹣3＝0与3x+2y＝0之间的距离为（）A．35 B．513 C．79 4．（2024秋•广东校级期末）若直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+m＝0平行，则m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．25．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，当点A、C分别在x、y轴上运动，点B到原点O的最大距离是（）A．1+2 B．6 C．5 D．6．（2024秋•城厢区校级期末）已知点O（0，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），平面上仅在线段OA，AB，BC所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量s→=（1，m）（m＞0）的方向从线段OC上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在BC，AB，OA各反射一次后从线段OC上某点射出，则A．(13，2) B．(12，37．（2024秋•广州期末）已知a，b，c成等差数列，过点P（﹣1，0）作直线l：ax+by+c＝0的垂线，垂足为H，则点Q（2，1）到点H的距离的最大值为（）A．1 B．2 C．22 D．8．（2024秋•嘉定区校级期末）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x﹣y﹣8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为(13C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x﹣6y+6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•城关区校级月考）下列结论正确的是（）A．已知点P（x，y）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，则x+y的最大值是4 B．已知直线kx﹣y﹣1＝0和以M（﹣3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为-2C．已知点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，直线l的方程是ax+by＝r2，则直线l与圆相离 D．已知直线l1：mx﹣y+2＝0，l2：x+my+2＝0，则存在实数m，使得l1和l2关于直线x+y＝0对称（多选）10．（2025春•辽宁月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为平面B1C1CB内一点（含边界），P为平面ABC1D1内一点（含边界），则下列结论正确的是（）A．若A1N=2B．若∠DD1B＝∠DD1N，则点N轨迹为椭圆的一部分 C．若点P到A1D与到AB的距离相等，则点P轨迹为抛物线的一部分 D．若点P到A1A的距离为1，则点P轨迹为双曲线的一部分（多选）11．（2025•宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（x1，y1），B（x2，y2），定义：ABn=(|x1-x2|nA．若A，B关于x轴对称，则ABs＝ABt B．若A，B关于直线y＝x对称，则ABs≥ABt C．若OAs＝2OBs，则OAt＝2OBt D．若P＝{M|||AM||s≤1}，Q＝{M|||AM||t≤1}，则P⊆Q（多选）12．（2025•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（x1，y1），B（x2，y2），定义：||AB||n=(|x1-x2|n+|y1-yA．若A，B关于x轴对称，则||AB||s＝||AB||t B．若A，B关于直线y＝x对称，则||AB||s≥||AB||t C．若||OA||s＝2||OB||s，则||OA||t＝2||OB||t D．若P＝{M|||AM||s≤1}，Q＝{M|||AM||t≤1}，则P⊆Q三．填空题（共4小题）13．（2025春•黄浦区校级月考）已知点A（1，﹣3）、B（5，2），点P在y轴上，则|AP|+|BP|的最小值为．14．（2025春•长宁区校级月考）直线x+2y﹣3＝0与直线x﹣y﹣5＝0的夹角的大小为．15．（2025春•浦东新区校级月考）已知点P，Q分别在直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣3，﹣3），B（3，0），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为．16．（2024秋•泗阳县期末）已知点A（﹣1，0），B（1，0），若直线y＝kx+4上存在点M，使MA2+MB2＝10，则实数k的取值范围是．四．解答题（共4小题）17．（2025春•黄浦区校级月考）直线l过点P（3，2），且与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（1）若AP→=2PB（2）求△AOB的面积的最小值．18．（2025•榆次区校级学业考试）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．19．（2024秋•海南校级期末）已知△ABC三个顶点的坐标：A（1，2），B（5，0），C（3，4）．（1）求过点B且与直线AC平行的直线方程；（2）求△ABC中AB边上的高所在的直线方程．20．（2024秋•四川校级期末）已知a＞0，三条直线l1：ax﹣y+a＝0，l2：x+ay﹣a（a+1）＝0，l3：（a+1）x﹣y+a+1＝0两两相交，交点分别为A，B，C．（1）证明：△ABC是直角三角形，且有一个顶点为定点；（2）求△ABC面积的最大值．

2025年高考数学复习难题速递之直线与方程（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDDBACDB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ADACABDABD一．选择题（共8小题）1．（2025•利津县校级模拟）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线l1，l2互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线l1，l2的距离分别为h1，h2（h1，h2为定值），入口B，C分别在直线l2，l1上，公园的一边AB与直线l2所成的锐角∠ABD为α，另一边AC与AB垂直设该休闲公园的面积为S（α），当α变化时，下列说法正确的是（）A．函数S（α）的最大值为h1h2 B．函数S（α）的最小值为h1C．若α1，α2∈（0，π2）且α1＜α2，则S（α1）＜S（α2）D．若α1，α2∈（0，π2）且α1+α2=π2，则S（α1）＝S（【考点】点到直线的距离公式；两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据题意构建三角函数模型，从而利用三角函数的性质，即可求解．【解答】解：根据题意可得AE＝h1，AD＝h2，∠ABD＝∠CAE＝α，所以AC=h1cosα，所以Rt△ABC的面积S（α）=12AC•AB=h1h22所以当sin2α＝1时，S（α）取到最小值h1h2，无最大值，所以A选项，B选项都错误；对C选项，若α1，α2∈（0，π2），且α1＜α2，可得0＜2α1＜2α2＜π但是sin2α1与sin2α2的大小不定，所以S（α1）与S（α2）的大小关系不定，所以C选项错误；对D选项，因为α1，α2∈（0，π2），且α1+α2=所以a2=π2-所以sin2α2＝sin2（π2-α1）＝sin（π﹣2α1）＝sin2α所以S（α1）＝S（α2），所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查直角三角形的运算性质的应用及诱导公式的应用，属于中档题．2．（2024秋•南昌县校级期末）已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1＞k2”是“α1＞α2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率之间的关系，即可求解．【解答】解：直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，“k1＞k2”，例如k1＝1，k2＝﹣1，可得α1=π4，α2反之α1=3π4，α2=π4，满足α1＞α2，可得k2＞k1，即后者推不出前者，所以直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1＞k2”是“α故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于中档题．3．（2024秋•吉安期末）直线3x+2y﹣3＝0与3x+2y＝0之间的距离为（）A．35 B．513 C．79 【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解．【解答】解：由两条平行直线间的距离公式可得d=故选：D．【点评】本题考查的知识点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．4．（2024秋•广东校级期末）若直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+m＝0平行，则m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案．【解答】解：因为直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：2x+（m﹣1）y+m＝0平行，则-m=-2m-1，解得：m当m＝2时，两直线重合，舍去；当m＝﹣1时，验证满足．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，当点A、C分别在x、y轴上运动，点B到原点O的最大距离是（）A．1+2 B．6 C．5 D．【考点】两点间的距离公式．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】取AC的中点D，连接BD，OD，根据数形结合分析可知|BO|≤|BD|+|DO|，根据B，O，D的位置关系即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x、y轴上运动，取AC的中点D，连接BD，OD，∵∠ACB＝90°，∴|OD|=1由图可知，|BO当B，O，D三点共线时，等号成立，所以点B到原点O的最大距离是2+1故选：A．【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．（2024秋•城厢区校级期末）已知点O（0，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），平面上仅在线段OA，AB，BC所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量s→=（1，m）（m＞0）的方向从线段OC上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在BC，AB，OA各反射一次后从线段OC上某点射出，则A．(13，2) B．(12，3【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面中直线的方向向量和法向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】直接结合对称问题的求解方法求解即可．【解答】解：假设光线从P射入，依次经过Q，R，S反射，最终从T射出，设∠QPC＝α，设PC＝n，0＜n＜1，kPQ＝m＝tanα，所以CQ＝mn，所以BQ＝1﹣mn，所以BR=1-mnm，所以AR＝1-1m+n，AS＝m（1-1m所以OS＝2﹣m﹣mn，OT=2-且0＜mn＜1⇒m＜即23＜m＜所以m的取值范围是（23，2故选：C．【点评】本题考查了直线的方程，对称问题的求解，是中档题．7．（2024秋•广州期末）已知a，b，c成等差数列，过点P（﹣1，0）作直线l：ax+by+c＝0的垂线，垂足为H，则点Q（2，1）到点H的距离的最大值为（）A．1 B．2 C．22 D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】首先根据a，b，c成等差数列得出直线l过定点，再求出点H的轨迹方程，根据平面几何知识得出最值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴a+c＝2b，∴直线l：ax+by+c＝0恒过定点A（1，﹣2），过点P（﹣1，0）作直线l：ax+by+c＝0的垂线，垂足为H，则点H的轨迹是以AP为直径的圆，AP的中点B坐标为（0，﹣1），|AP∴点H的轨迹方程为x2+（y+1）2＝2，∴点Q到点H的最大值为|QB故选：D．【点评】本题考查等差数列、点的轨迹、圆的方程、两点间距离的最大值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（2024秋•嘉定区校级期末）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x﹣y﹣8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为(13C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x﹣6y+6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，A，C，B1三点共线满足题意，其中点B1为点B关于直线的对称点，对于A，由根据BB1被x+y﹣3＝0垂直平分求出B1的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可．【解答】解：由题意可知A，B在x+y﹣3＝0的同侧，设点B关于直线x+y﹣3＝0的对称点为B1（a，b），A，C，B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则a+6解得a=1即B1（1，﹣3），对于A，直线AB1的斜率为k=以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y+3＝7（x﹣1），即7x﹣y﹣10＝0，故A错误；对于B，联立7x解得x=即将军在河边饮马的地点的坐标为(13故B正确；对于C，由C选项分析可知点C(直线CB的斜率为k=所以直线CB的方程为y-即x﹣7y+8＝0，故C错误；对于D，|AC即“将军饮马”走过的总路程为52故D错误．故选：B．【点评】本题考查了直线的方程，重点考查了对称问题，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•城关区校级月考）下列结论正确的是（）A．已知点P（x，y）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，则x+y的最大值是4 B．已知直线kx﹣y﹣1＝0和以M（﹣3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为-2C．已知点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，直线l的方程是ax+by＝r2，则直线l与圆相离 D．已知直线l1：mx﹣y+2＝0，l2：x+my+2＝0，则存在实数m，使得l1和l2关于直线x+y＝0对称【考点】直线的一般式方程与直线的性质；过圆上一点的圆的切线方程；由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；圆上的点到直线的距离及其最值．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】AD【分析】由点到直线的距离公式，结合直线的斜率及直线与圆的位置关系求解．【解答】解：A选项，因为点P（x，y）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上，则x=1+2cosα，y=1+2sinα，其中α∈所以x+当α=π4时，x+y故A正确；B选项，由k（x﹣0）﹣（y+1）＝0，令x-所以x=0即直线kx﹣y﹣1＝0过点P（0，﹣1），又kPN=2+1则实数k的取值范围为k≤-23或k即B错误；对于C，已知点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，则a2+b2＞r2，则圆心（0，0）到直线ax+by＝r2的距离r2则直线l与圆相交，即C错误；对于D，已知直线l1：mx﹣y+2＝0，l2：x+my+2＝0，因为m×1+（﹣1）×m＝0，即l1⊥l2，显然，当m＝0时，直线l1：y＝2和直线l2：x＝﹣2关于直线x+y＝0对称，即D正确．故选：AD．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了直线的斜率及直线与圆的位置关系，属中档题．（多选）10．（2025春•辽宁月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为平面B1C1CB内一点（含边界），P为平面ABC1D1内一点（含边界），则下列结论正确的是（）A．若A1N=2B．若∠DD1B＝∠DD1N，则点N轨迹为椭圆的一部分 C．若点P到A1D与到AB的距离相等，则点P轨迹为抛物线的一部分 D．若点P到A1A的距离为1，则点P轨迹为双曲线的一部分【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解；新定义类．【答案】AC【分析】根据各个选项的条件，结合圆，椭圆，抛物线，双曲线的定义逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，若A1则点N轨迹为平面B1C1CB内以B1为圆心，以1为半径的14圆，故A对于B，若∠DD1B＝∠DD1N，根据题目在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为平面B1C1CB内一点（含边界），P为平面ABC1D1内一点（含边界），则点N为平面B1C1CB与以DD1为轴、BD为底面半径的圆锥面的公共点，轨迹为双曲线的一部分，故B项错误；对于C，设A1D与AD1交于点O，点P到A1D的距离等于PO，若点P到A1D与到AB的距离相等，即点P到点O的距离与到AB的距离相等，则轨迹为抛物线的一部分，故C项正确；对于D，若点P到A1A的距离为1，则点P为平面ABC1D1与以AA1为轴、AB为底面半径的圆柱面的公共点，轨迹为椭圆的一部分，故D项错误．故选：AC．【点评】本题考查与直线有关的动点轨迹方程，涉及理解圆，椭圆，抛物线，双曲线的定义，属于中等题．（多选）11．（2025•宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（x1，y1），B（x2，y2），定义：ABn=(|x1-x2|nA．若A，B关于x轴对称，则ABs＝ABt B．若A，B关于直线y＝x对称，则ABs≥ABt C．若OAs＝2OBs，则OAt＝2OBt D．若P＝{M|||AM||s≤1}，Q＝{M|||AM||t≤1}，则P⊆Q【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．【答案】ABD【分析】利用给定定义结合函数对称性求解A，B，举反例判断C，利用子集的性质结合给定条件判断D即可．【解答】解：对于选项A，因为A，B关于x轴对称，且A（x1，y1），B（x2，y2），所以B（x1，﹣y1），结合新定义：A（x1，y1），B（x2，y2），定义：AB得到AB同理AB即此时满足ABs＝ABt，故选项A正确；对于选项B，因为A，B关于直线y＝x对称，且A（x1，y1），B（x2，y2），所以B（y1，x1），则ABAB构造f（x）＝2x，由指数函数性质得f（x）在R上单调递增，ABs≥ABt，因为s，t∈N*，且s＜t，所以1s＞1则21s＞21t，得到21则ABs≥ABt，故选项B正确；对于选项C，由题意得OAs=因为OAs＝2OBs，得到|x令x1此时OA而OBt=由已知得21s＞21t，则2OBt对于选项D，设M（x，y）∈P，A（x0，y0），则AM则|x-x得到|x-x得到1≥|x-x0|s+|即此时满足题意，则Q（x，y）∈P，得到P⊆Q，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了新定义问题，是中档题．（多选）12．（2025•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，设A（x1，y1），B（x2，y2），定义：||AB||n=(|x1-x2|n+|y1-yA．若A，B关于x轴对称，则||AB||s＝||AB||t B．若A，B关于直线y＝x对称，则||AB||s≥||AB||t C．若||OA||s＝2||OB||s，则||OA||t＝2||OB||t D．若P＝{M|||AM||s≤1}，Q＝{M|||AM||t≤1}，则P⊆Q【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】利用给定定义结合函数对称性的是求解A，B，举反例判断C，利用子集的性质结合给定条件判断D即可．【解答】解：对于A，因为A，B关于x轴对称，且A（x1，y1），B（x2，y2），所以B（x1，﹣y1），而||AB得到||AB同理||AB即此时满足||AB||s＝||AB||t，故A正确；对于B，因为A，B关于直线y＝x对称，且A（x1，y1），B（x2，y2），所以B（y1，x1），则||AB||AB构造f（x）＝2x，由指数函数性质得f（x）在R上单调递增，||AB||s≥||AB||t，因为s，t∈N*，且s＜t，所以1s＞1则21s＞21t，得到21s|x1则||AB||s≥||AB||t，故B正确；对于C，由题意得OAs=(|因为||OA||s＝2||OB||s，所以(|x得到|x令x1此时||OA而||OB||由已知得21s＞21t，则2||OB||t＞||对于D，设M（x，y）P，A（x0，y0），则||AM则|x-x得到|x而|x得到1≥|x-x0|s+|y即此时满足题意，则Q（x，y）∈P，得到P⊆Q，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查集合与函数的应用，属于难题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•黄浦区校级月考）已知点A（1，﹣3）、B（5，2），点P在y轴上，则|AP|+|BP|的最小值为61．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】61．【分析】依题意作点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′（﹣1，﹣3），连接A′B，交y轴于点P，连接AP，则|AP|＝|A′P|，计算即得|AP|+|BP|的最小值．【解答】解：由题意点A（1，﹣3）、B（5，2），点P在y轴上，作出图象；可得点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′（﹣1，﹣3），连接A′B，交y轴于点P，连接AP，则|AP|＝|A′P|，此时|AP理由：在y轴上任取点P′，连接A′P′，AP′，BP′，易得|AP′|＝|A′P′|，则|AP′|+BP′|＝|A′P′|+BP′|≥|A′B|＝|AP|+|BP|，故上述点P即是使|AP|+|BP|取得最小值的点．故答案为：61．【点评】本题考查了对称问题的应用，是中档题．14．（2025春•长宁区校级月考）直线x+2y﹣3＝0与直线x﹣y﹣5＝0的夹角的大小为arctan3．【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】arctan3．【分析】根据直线方程得到直线倾斜角的正切值，由此可得结果．【解答】解：由题意直线x+2y﹣3＝0与直线x﹣y﹣5＝0可化为y=-12x+32和y可得，直线x+2y﹣3＝0的斜率为-12，直线x﹣y﹣5＝0的斜率为设直线x+2y﹣3＝0的倾斜角为α，直线x﹣y﹣5＝0的倾斜角为β，则tanα=-12，tan∴tan(设直线x+2y﹣3＝0与直线x﹣y﹣5＝0的夹角为θ，则tanθ＝|tan（α﹣β）|＝3，由θ∈[0，π2故答案为：arctan3．【点评】本题考查了两直线的夹角，是中档题．15．（2025春•浦东新区校级月考）已知点P，Q分别在直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣3，﹣3），B（3，0），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为310+32【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】310【分析】由已知作出图象，可知l1∥l2，当AP∥BQ时，可过B作直线l与l1垂直，求得l的方程，然后在l上，直线l1，l2之间找点C，使得C到l1的距离等于B点到l2的距离，此时最小距离和即为|AC|+|PQ|，由此求解．【解答】解：由已知直线方程知l1∥l2，作出图象如下，过B点作直线l⊥l1，则PQ∥l，可得直线l：y＝x﹣3，过P作直线PC∥QB，与直线l交于点C，可知四边形PCBQ为平行四边形，故PC＝QB，且B到直线l2的距离等于C到l1的距离，设C（t，t﹣3），则|t+t-3+2|2=而|AP|+|PQ|+|QB|＝|AP|+|PQ|+|PC|，且|PQ而|AP|+|PC|≥|AC故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为310故答案为：310【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16．（2024秋•泗阳县期末）已知点A（﹣1，0），B（1，0），若直线y＝kx+4上存在点M，使MA2+MB2＝10，则实数k的取值范围是（﹣∞，-3]∪[3，+∞）【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（﹣∞，-3]∪[3，+【分析】根据题干条件先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果．【解答】解：设点M（x，y），由|MA|2+|MB|2＝10，则（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝10，整理得x2+y2＝4，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，若直线y＝kx+4上存在点M，使|MA|2+|MB|2＝10，则直线与圆有交点，故圆心（0，0）到直线y＝kx+4的距离小于等于半径；即41+解得：k≤-3或即实数k的取值范围是（﹣∞，-3]∪[3，+故答案为：（﹣∞，-3]∪[3，+【点评】本题考查了点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，是中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•黄浦区校级月考）直线l过点P（3，2），且与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（1）若AP→=2PB（2）求△AOB的面积的最小值．【考点】直线的截距式方程；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）x+3y﹣9＝0；（2）12．【分析】（1）设直线截距式为xa+yb=1(a，b＞0)，可得A（a，（2）设直线截距式为xa+yb=1(【解答】解：直线l过点P（3，2），且与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（1）设直线l的方程为xa+yb=1(a，b＞0)，则A（所以AP→由AP→=2PB→，得3-a=-6所以直线l的方程为x9+y3=1，即x+3y（2）将点（3，2）代入xa得3a+2b=1≥2当且仅当3a=2b，即a＝6，所以S△所以△AOB的面积最小值为12．【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查基本不等式的应用，属于中档题．18．（2025•榆次区校级学业考试）如图，已知椭圆C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上顶点为A，离心率为63，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．【考点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b＝1，再利用椭圆的性质a2+b2＝c2列出关系式，与e=ca=63（Ⅱ）由AP→•AQ→=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y＝kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1表示出直线AQ的方程，将y＝kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0【解答】解（Ⅰ）依题意有：e=ca=63①，a2﹣c2＝b联立①②解得：a=3，c=则椭圆C的方程为x23+y2（Ⅱ）证明：由AP→•AQ→=0，得到AP⊥AQ由A（0，1）可设直线AP的方程为y＝kx+1，得到直线AQ的方程为y=-1kx+1（k将y＝kx+1代入椭圆C的方程x23+y2＝1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx解得：x＝0或x=-∴P的坐标为（-6k1+3k2，-6将上式中的k换成-1k，同理可得Q（6k∴直线l的方程为y=k2-3k2整理得：直线l的方程为y=k2-则直线l过定点N（0，-1【点评】此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题．19．（2024秋•海南校级期末）已知△ABC三个顶点的坐标：A（1，2），B（5，0），C（3，4）．（1）求过点B且与直线AC平行的直线方程；（2）求△ABC中AB边上的高所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）y＝x﹣5；（2）2x﹣y﹣2＝0．【分析】（1）利用两直线平行与斜率的关系以及点斜式方程求解；（2）利用两直线垂直与斜率的关系以及点斜式方程求解．【解答】解：（1）由题可得，kAC所以过点B且与直线AC平行的直线方程为y＝x﹣5．（2）因为kAB所以△ABC中AB边上的高所在的直线斜率为-1又因为△ABC中AB边上的高所在的直线经过点C（3，4），所以由点斜式可得，y﹣4＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．20．（2024秋•四川校级期末）已知a＞0，三条直线l1：ax﹣y+a＝0，l2：x+ay﹣a（a+1）＝0，l3：（a+1）x﹣y+a+1＝0两两相交，交点分别为A，B，C．（1）证明：△ABC是直角三角形，且有一个顶点为定点；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）34【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可．【解答】证明：（1）记l1，l2的交点为A，记l1，l3的交点为B，记l2，l3的交点为C，∵l1：ax﹣y+a＝0的斜率为k1＝a，l2：x+ay﹣a（a+1）＝0的斜率为k2又∵k1k2＝﹣1，∴l1⊥l2，即△ABC是直角三角形，其中A＝90°，又∵l1：ax﹣y+a＝0⇒y＝a（x+1），∴过定点（﹣1，0），l3：（a+1）x﹣y+a+1＝0⇒y＝（a+1）（x+1），∴过定点（﹣1，0），△ABC有一个顶点B为定点（﹣1，0）；（2）解：△ABC的面积为S=其中AB为B（﹣1，0）到直线l2的距离，即|AB又l2，l3的交点为C（0，a+1）到直线l1的距离，即|AC|=1当且仅当a=∴a＝1时，△ABC面积取得最大值34【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，属于中档题．

考点卡片1．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．2．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．4．平面中直线的方向向量和法向量【知识点的认识】﹣方向向量：平面中的直线可以由方向向量d→﹣法向量：平面上的法向量是平面中垂直于直线的向量，若直线方程为Ax+By+C＝0，则法向量为（A，B）．【解题方法点拨】﹣识别向量：确定直线的方向向量和直线的法向量．【命题方向】﹣向量识别：考查如何识别平面中直线的方向向量和直线的法向量．5．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：y-0b#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．6．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l27．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l28．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l29．恒过定点的直线【知识点的认识】﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直线的方向向量分量．【解题方法点拨】﹣求方程：1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．3．标准方程：得到直线方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命题方向】﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．10．与直线关于点、直线对称的直线方程【知识点的认识】﹣对称直线：﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为：y-﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．【解题方法点拨】﹣求对称直线方程：1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程．2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程．【命题方向】﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程．11．两