2023-2024学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1安徽省合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分别作出函数在的切线，则则有.故选：B2.已知函数的图象上任意一点，在点处切线与轴分别相交于两点，则的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，则，，所以在点处的切线方程为，整理为，在x、y轴上的截距分别为，，所以的面积为.故选：C.3.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函数在上单调递减，则，当时，，所以函数在上单调递增，则，所以.故选：C4.以“奔跑合肥，科创未来”为主题的2023合肥马拉松，于11月19日开跑，共有3万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（约8公里）等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（）A.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案B.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法【答案】D【解析】对于AB，不同的分配方案有种，故AB错误；对于CD，不同的站法有种，故C错误，D正确.故选：D.5.已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为.故选：D6.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，函数既有极大值，也有极小值，等价于一元二次方程在上有2个不同实根，则，解得，即实数a的取值范围为.故选：B7.已知，，，那么的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，则，所以函数在上单调递减，则，即，由，得，即，所以，即；令，则，所以函数在上单调递减，则，即，又当时，，所以，所以，即，所以，所以.故选：A8.已知函数，，若，则的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】设，则有，解之得，，解之得，则有令，则令，则恒成立，则时，单调递减，又，则时，，，单调递增，时，，，单调递减，则，则的最大值为0.故的最大值是0.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列求导运算正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】A：若，则，故A错误；B：若，则，故B正确；C：若，则，故C正确；D：若，则，故D错误.故选：BC10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为【答案】ACD【解析】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B．若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法，若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D．由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确．故选：ACD．11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列【答案】ABD【解析】对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于有，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，且，所以选项C错误，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，为了迎接五一国际劳动节，某学校安排同学们在A，B，C，D四块区域植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有______（结果用数字作答）【答案】72【解析】区域有4种选择，区域有3种选择，A区域有3种选择，B区域有2种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的植入方法共有种.故答案为：7213.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.①；②当时，；③是奇函数.【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即满足；②对于，在上要使导函数恒成立，故，所以；③由②知：，注意定义域要关于原点对称，满足是奇函数；综上，且，满足上述要求.故答案为：（答案不唯一）14.设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________．【答案】【解析】由，构造函数，在为增函数，则即对不等式恒成立，则，构造函数令，得；令，得；在上单调递增，在上单调递减，，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值.（1）求的解析式；（2）求函数极值.解：（1）由题意可得，．由，解之得经检验得时，有极大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值随的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值8由表可知的极大值为8，极小值为．16.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务.（1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）（2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）解：（1）由题意，分成3种情况讨论：只有1名女性，共有种选法，有2名女性，共有种选法，有3名女性，共有种选法，所以共有种选法，即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法；（2）由题意，先选3名航天员，然后分为的两组，然后分配到实验室，共有种方法.所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式.17.设为实数，已知，.（1）求在区间的值域；（2）对于，，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）由，得，当时，，则时，；时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上的最小值为．又所以函数值域为（2），，使得成立，又在上单调递增，函数在区间上的最小值为，又函数在区间上的最小值为，，解之得.故实数的取值范围是．18已知，.（1）讨论的单调性；（2）若对于定义域内任意恒成立，求取值范围.解：（1），；当时，，故在上单调递增；当时，令，则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意知，即令，，则，，令，，则则在上单调递增，由于，.所以存在，使得故在上单调递减，在上单调递增最小值为，由于满足，则，两边取对数，又在上单调递增，则有，则故，故．则19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；（3）设，证明：.解：（1）令，则，，，，故，，，，，由麦克劳林公式可得，故．（2）结论：，证明如下：令，，则令，则，故在上单调递增，，则故在上单调递增，，即证得，故．（3）由（2）可得当时，，且由得，当且仅当时取等号，故当时，，，，而，即有，故而，即证得．安徽省合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分别作出函数在的切线，则则有.故选：B2.已知函数的图象上任意一点，在点处切线与轴分别相交于两点，则的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】，则，，所以在点处的切线方程为，整理为，在x、y轴上的截距分别为，，所以的面积为.故选：C.3.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（）A.0 B.3 C. D.【答案】C【解析】，令，得，令，若函数在上单调递减，则，当时，，所以函数在上单调递增，则，所以.故选：C4.以“奔跑合肥，科创未来”为主题的2023合肥马拉松，于11月19日开跑，共有3万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（约8公里）等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（）A.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案B.若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法【答案】D【解析】对于AB，不同的分配方案有种，故AB错误；对于CD，不同的站法有种，故C错误，D正确.故选：D.5.已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递增，又，所以，故不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为.故选：D6.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则，函数既有极大值，也有极小值，等价于一元二次方程在上有2个不同实根，则，解得，即实数a的取值范围为.故选：B7.已知，，，那么的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，则，所以函数在上单调递减，则，即，由，得，即，所以，即；令，则，所以函数在上单调递减，则，即，又当时，，所以，所以，即，所以，所以.故选：A8.已知函数，，若，则的最大值是（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】设，则有，解之得，，解之得，则有令，则令，则恒成立，则时，单调递减，又，则时，，，单调递增，时，，，单调递减，则，则的最大值为0.故的最大值是0.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列求导运算正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】A：若，则，故A错误；B：若，则，故B正确；C：若，则，故C正确；D：若，则，故D错误.故选：BC10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为【答案】ACD【解析】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B．若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法，若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D．由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确．故选：ACD．11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列【答案】ABD【解析】对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于有，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，且，所以选项C错误，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，为了迎接五一国际劳动节，某学校安排同学们在A，B，C，D四块区域植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有______（结果用数字作答）【答案】72【解析】区域有4种选择，区域有3种选择，A区域有3种选择，B区域有2种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的植入方法共有种.故答案为：7213.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.①；②当时，；③是奇函数.【答案】（答案不唯一）【解析】①由，即满足；②对于，在上要使导函数恒成立，故，所以；③由②知：，注意定义域要关于原点对称，满足是奇函数；综上，且，满足上述要求.故答案为：（答案不唯一）14.设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________．【答案】【解析】由，构造函数，在为增函数，则即对不等式恒成立，则，构造函数令，得；令，得；在上单调递增，在上单调递减，，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值.（1）求的解析式；（2）求函数极值.解：（1）由题意可得，．由，解之得经检验得时，有极大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，的值随的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值8由表可知的极大值为8，极小值为．16.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务.（1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）（2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答）解：（1）由题意，分成3种情况讨论：只有1名女性，共有种选法