2023-2024学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.10 B.8 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，则.故选：D2.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】函数在区间上的平均变化率等于，由，得，所以，因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，所以，解得.故选：B3.下列导数运算中错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项,对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：C4.若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（）．A. B. C. D.8【答案】C【解析】由题知，，故，解得.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，则，故选：A6.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（）A.事件，，两两互斥 B.C. D.事件，相互独立【答案】C【解析】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，所以，故C错误；对于D，，，，所以事件，相互独立，故D正确；故选：C7.已知，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以在上投影的长度为，所以点到直线的距离为.故选：C8.设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将变形为：，令，则在上至少有2个不等实数使得，所以在上不单调，即可满足“性质”；对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”；对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”；对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”；对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”；故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则直线平面B若，则平面平面C.若，则平面所成锐二面角的大小为D.若，则直线与平面所成角的大小为【答案】BCD【解析】由，则直线平面或，故错误；由，则平面平面，故正确；若，设平面和平面所成角为，且，则，所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；设直线与平面所成角为，则，且，所以直线与平面所成角的大小为，故正确.故选：.10.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.过点可作曲线的一条切线【答案】ACD【解析】因为函数，所以，令，解得：，当或时，，则的单调增区间为，，当时，，则的单调减区间为，故当为函数的极大值点，极大值为，当为函数的极小值点，极小值为，故A正确；当时，，当时，，则的图象如下：所以有2个零点，故B错误；对任意，，所以点是曲线的对称中心，故C正确；因为，，则，所以切线方程为：，即，所以过点可作曲线的一条切线；故选：ACD11.已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（）A.若，则的最大值为B.若，则三棱锥的体积为1C.若，则与平面所成角的最大值为D.若，当最小时，则【答案】BD【解析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：则，，，，，，对于A，当时，，可得，所以，可知当时，的最大值为3，故A错误；对于B，当时，点的坐标为，可知点在正方形内部运动(含边界)，则点到平面的距离等于正方体的棱长，即，结合可得三棱锥的体积，故B正确；对于C，，平面的一个法向量为，设与平面所成夹角为，则若，取，，此时，结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误；对于，当，则，结合，可得，因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，，即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确；故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（第13题第一空2分，第二空3分）12.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则____.【答案】【解析】由，可得，由题意得：，解得：，故答案为：13.已知随机事件，则______.______.【答案】；【解析】由概率的乘法公式得，因为，，则，所以由条件概率公式得，故答案为：；14.等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______.【答案】【解析】取中点，中点，则平面，,所以，，，，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，平面的法向量为，设二面角的平面角为，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点.（1）证明：共面；（2）求直线与平面所成角的大小.解：（1）由题意得：，则由共面向量定理知，共面.（2）方法一：由平面，知为平面的法向量，又平面，所以由（1）知：，，设直线与平面所成角为，所以，直线与平面所成角大小为.方法二：由题平面及为正方形，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系;则，则，由平面知为平面的法向量设直线与平面所成角为，则所以，直线与平面所成角大小为.16.扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为.（1）试把表示为的函数，并写出的取值范围；（2）多大时，圆锥的体积最大？解：（1）设圆锥侧面扇形弧长为，高为，底面圆的半径为，则，则，所以由得，则的取值范围为1,+∞；（2）由（1），令，则，令，则，令，解得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以，当时，取最大值，即时，最大.即当时，圆锥的体积最大.17.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.（1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；（2）求第一次取出的是白球的概率；（3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；解：（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件..所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为.（2）所以第一次取到白球的概率为.（3）所以.所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为.18.图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为.（1）判断直线与直线是否垂直，并说明理由；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.解：（1）连接，交于点，由为正方形知，连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系.则.，.所以不垂直于，所以直线与直线不垂直.（2），设平面的一个法向量为，则，取，得.平面的一个法向量为.设二面角平面角为，则.由图知，所以二面角的大小为.（3），由（2）平面的一个法向量为，所以，点到平面的距离.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点.①求的取值范围；②若函数有两个极值点，求的取值范围.解：（1），（ⅰ）当时，在上单调递减.（ⅱ）当时，时，,时，.综上，时，在上单调递减，时，上单调递减，在上单调递增.（2）①由（1）当时，在上单调递减，不符合题意当时，在上单调递减，在单调递增.则.令，由知，在上单调递增.又，当时，，不满足有两个零点.当时，，又，则在有一个零点.又，令，可得，所以，则，则在有一个零点.综上，在上有两个零点，的取值范围是②，.令，则.由①知，则在上单调递减，在上单调递增.所以，.由题有两个极值点，则在上有两个零点，又，当时，.则，又.所以，的取值范围是.江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.10 B.8 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，则.故选：D2.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】函数在区间上的平均变化率等于，由，得，所以，因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，所以，解得.故选：B3.下列导数运算中错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项,对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：C4.若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（）．A. B. C. D.8【答案】C【解析】由题知，，故，解得.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，则，故选：A6.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（）A.事件，，两两互斥 B.C. D.事件，相互独立【答案】C【解析】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，所以，故C错误；对于D，，，，所以事件，相互独立，故D正确；故选：C7.已知，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以在上投影的长度为，所以点到直线的距离为.故选：C8.设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将变形为：，令，则在上至少有2个不等实数使得，所以在上不单调，即可满足“性质”；对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”；对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”；对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”；对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”；故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则直线平面B若，则平面平面C.若，则平面所成锐二面角的大小为D.若，则直线与平面所成角的大小为【答案】BCD【解析】由，则直线平面或，故错误；由，则平面平面，故正确；若，设平面和平面所成角为，且，则，所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；设直线与平面所成角为，则，且，所以直线与平面所成角的大小为，故正确.故选：.10.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.过点可作曲线的一条切线【答案】ACD【解析】因为函数，所以，令，解得：，当或时，，则的单调增区间为，，当时，，则的单调减区间为，故当为函数的极大值点，极大值为，当为函数的极小值点，极小值为，故A正确；当时，，当时，，则的图象如下：所以有2个零点，故B错误；对任意，，所以点是曲线的对称中心，故C正确；因为，，则，所以切线方程为：，即，所以过点可作曲线的一条切线；故选：ACD11.已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（）A.若，则的最大值为B.若，则三棱锥的体积为1C.若，则与平面所成角的最大值为D.若，当最小时，则【答案】BD【解析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：则，，，，，，对于A，当时，，可得，所以，可知当时，的最大值为3，故A错误；对于B，当时，点的坐标为，可知点在正方形内部运动(含边界)，则点到平面的距离等于正方体的棱长，即，结合可得三棱锥的体积，故B正确；对于C，，平面的一个法向量为，设与平面所成夹角为，则若，取，，此时，结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误；对于，当，则，结合，可得，因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，，即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确；故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（第13题第一空2分，第二空3分）12.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则____.【答案】【解析】由，可得，由题意得：，解得：，故答案为：13.已知随机事件，则______.______.【答案】；【解析】由概率的乘法公式得，因为，，则，所以由条件概率公式得，故答案为：；14.等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为______.【答案】【解析】取中点，中点，则平面，,所以，，，，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，平面的法向量为，设二面角的平面角为，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点.（1）证明：共面；（2）求直线与平面所成角的大小.解：（1）由题意得：，则由共面向量定理知，共面.（2）方法一：由平面，知为平面的法向量，又平面，所以由（1）知：，，设直线与平面所成角为，所以，直线与平面所成角大小为.方法二：由题平面及为正方形，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系;则，则，由平面知为平面的法向量设直线与平面所成角为，则所以，直线与平面所成角大小为.16.扇形的面积公式为为扇形的弧长，为扇形的半径）.已知某扇形的面积为，半径为，将此扇形卷成一个圆锥侧面，得到的圆锥的体积为.（1）试把表示为的函数，并写出的取值范围；（2）多大时，圆锥的体积最大？解：（1）设圆锥侧面扇形弧长为，高为，底面圆的半径为，则，则，所以由得，则的取值范围为1,+∞；（2）由（1），令，则，令，则，令，解得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以，当时，取最大值，即时，最大.即当时，圆锥的体积最大.17.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.（1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；（2）求第一次取出的是白球的概率；（3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；解：（1）