2023-2024学年江苏省无锡市江阴市四校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生注意：1.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分.）1.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B2.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，由图可得，而，故，故选：C.3.已知在上单调递增，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由在上单调递增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上单调递增，即，故，故选：A4.在的展开式中，的系数为（）A. B.21 C. D.15【答案】A【解析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.故选：A.5.将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A.240 B.192 C.120 D.72【答案】A【解析】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类：第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法；第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法；第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法.由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.故选：A.6.展开式中的系数为（）A.60 B. C.30 D.【答案】B【解析】，要找到展开式中含有的项，需从中找到含有的项，即，故的系数为.故选：B.7.在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（）A.420种 B.360种 C.540种 D.300种【答案】A【解析】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.8.若函数有两个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为R，由，得，令函数，依题意，直线与函数的图象有两个公共点，而，显然函数在R上单调递减，当时，，则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，当时，，，而当时，恒成立，于是当且仅当时，直线与函数的图象有两个公共点，所以函数有两个零点，的取值范围为.故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分.）9.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（

）A. B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60 D.所有系数之和为【答案】AC【解析】对于A，由的展开式各项的二项式系数之和为64，得，解得，A正确；对于B，的展开式共7项，则第4项的二项式系数最大，B错误；对于C，展开式的常数项为，C正确；对于D，取，得展开式的所有项系数之和为1，D错误.故选：AC10.甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（

）A.四名同学看电影情况共有种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种C.D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是【答案】ACD【解析】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A正确；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”报名情况共有36种，B错误；对于C，由已知有：，，所以，C正确；对于D，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.在上单调递增B.恰有一个极大值C.当时，无实数解D.当时，有三个实数解【答案】BCD【解析】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；对于B，由以上讨论知是极大值点，B正确；对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）12.已知，则正整数=____.【答案】4【解析】因为，即，解得，满足题意.故答案为：413.已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值____.【答案】4或0【解析】的导数为，曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即，由于切线与曲线只有一个公共点，联立与，得有且只有一解，则，即，解得或.故答案为：或.14.已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若函数有两个极值点，则的取值范围是________．【答案】①②【解析】由可得，则是方程的两个正实数根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，时，，时，，故，即的取值范围为；由可得，则是方程即的两个实数根，因为是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，且，所以，则，所以，又，由对勾函数性质可知在上单调递增，故，即的取值范围为.故答案为：；.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课．（1）如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？（3）如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？解：（1）先排除物理、历史外的将其他5科，有种排法；将物理，历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有种排法，所以物理，历史不能排在一起共有种排法.（2）不考虑条件限制，7节课共有种排法，第一节排体育有种排法；最后一节排数学有种排法，而第一节排体育，且最后一节排数学有种排法，所以第一节不排体育，最后一节不排数学，有种排法.（3）数学、语文、历史视为一个整体，与其它4门课一起排列，有种排法，其中体育排在物理后面的占，数学、语文、历史的排列有种，所以满足条件的排法有种.16.已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．解：（1）依题意，展开式的通项公式显然第三项系数为，第四项系数为，因此，解得，所以的值为6.（2）知，当时，对应的项是有理项，当时，展开式中对应的有理项为：.当时，展开式中对应的有理项为.当时，展开式中对应的有理项为.所以展开式中有理项的系数之和为．17.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：（1）求第次抽到黑球且第次也抽到黑球概率；（2）已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率；（3）判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立．解：（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”，第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为.（2）依题意知，又，则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为（3）第1次抽到黑球的概率，第2次抽到黑球的概率.所以，由（1）知，所以，则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立.18.函数.（1）求的单调区间；（2）求在上最小值.解：（1）由题意可知：的定义域，其导函数，当，则在内恒成立，可知的单调递增区间为，无单调递减区间；当，令，解得；令，解得；则的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；当，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）因为，由（1）可知：当，在上单调递增，则在上最小值为；当，在上单调递减，在上单调递增，所以在上最小值为；当时，在上单调递减，所以在上最小值为.19.已知函数的图象在处的切线经过点.（1）求的值及函数的单调区间；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.解：（1）因为，所以，又，则，又函数的图象在处的切线经过点，所以，解得，所以，函数的定义域为，又，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时恒成立，即恒成立，所以在，上单调递增.即的单调递增区间为，，无单调递减区间.（2）因为不等式在区间上恒成立，因为，则，即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，又，所以，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，由（1）可知上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，所以，即区间上恒成立，所以时在区间上恒成立，即对任意关于的不等式在区间上恒成立.江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题考生注意：1.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分.）1.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B2.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，由图可得，而，故，故选：C.3.已知在上单调递增，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由在上单调递增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上单调递增，即，故，故选：A4.在的展开式中，的系数为（）A. B.21 C. D.15【答案】A【解析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.故选：A.5.将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A.240 B.192 C.120 D.72【答案】A【解析】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类：第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法；第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法；第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法.由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.故选：A.6.展开式中的系数为（）A.60 B. C.30 D.【答案】B【解析】，要找到展开式中含有的项，需从中找到含有的项，即，故的系数为.故选：B.7.在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（）A.420种 B.360种 C.540种 D.300种【答案】A【解析】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.8.若函数有两个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为R，由，得，令函数，依题意，直线与函数的图象有两个公共点，而，显然函数在R上单调递减，当时，，则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，当时，，，而当时，恒成立，于是当且仅当时，直线与函数的图象有两个公共点，所以函数有两个零点，的取值范围为.故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分.）9.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（

）A. B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60 D.所有系数之和为【答案】AC【解析】对于A，由的展开式各项的二项式系数之和为64，得，解得，A正确；对于B，的展开式共7项，则第4项的二项式系数最大，B错误；对于C，展开式的常数项为，C正确；对于D，取，得展开式的所有项系数之和为1，D错误.故选：AC10.甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（

）A.四名同学看电影情况共有种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种C.D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是【答案】ACD【解析】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A正确；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”报名情况共有36种，B错误；对于C，由已知有：，，所以，C正确；对于D，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.在上单调递增B.恰有一个极大值C.当时，无实数解D.当时，有三个实数解【答案】BCD【解析】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；对于B，由以上讨论知是极大值点，B正确；对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）12.已知，则正整数=____.【答案】4【解析】因为，即，解得，满足题意.故答案为：413.已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值____.【答案】4或0【解析】的导数为，曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即，由于切线与曲线只有一个公共点，联立与，得有且只有一解，则，即，解得或.故答案为：或.14.已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若函数有两个极值点，则的取值范围是________．【答案】①②【解析】由可得，则是方程的两个正实数根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，时，，时，，故，即的取值范围为；由可得，则是方程即的两个实数根，因为是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，且，所以，则，所以，又，由对勾函数性质可知在上单调递增，故，即的取值范围为.故答案为：；.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课．（1）如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？（3）如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？解：（1）先排除物理、历史外的将其他5科，有种排法；将物理，历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有种排法，所以物理，历史不能排在一起共有种排法.（2）不考虑条件限制，7节课共有种排法，第一节排体育有种排法；最后一节排数学有种排法，而第一节排体育，且最后一节排数学有种排法，所以第一节不排体育，最后一节不排数学，有种排法.（3）数学、语文、历史视为一个整体，与其它4门课一起排列，有种排法，其中体育排在物理后面的占，数学、语文、历史的排列有种，所以满足条件的排法有种.16.已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．解：（1）依题意，展开式的通项公式显然第三项系数为，第四项系数为，因此，解得，所以的值为6.（2）知，当时，对应的项是有理项，当时，展开式中对应的有理项为：.当时，展开式中对应的有理项为.当时，展开式中对应的有理项为.所以展开式中有理项的系数之和为．17.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：（1）求第次抽到黑球且第次也抽