2025年广东省深圳市某中学3月模拟考试（一模）数学试题（学生版+解析版）

2025年广东省深圳市南山外国语学校（集团）3月模拟考试

数学试题

（试卷总分：100分考试时间：90分钟）

第一部分选择题

一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数

工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为

（+1）+（—1）=°,由此可推算图2中计算所得的结果为（）

D.-7

2.把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看.下列方法得到的平面图形是长方

3.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识

和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样

的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为尤，则x满足方程（）

A.(1+0.5%)2=0.5B.(l-0.5x)2=0.5

C.(1+尤)2=0.5D.(1-X)2=0.5

4.如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯

片筒的底部中央打上一个小圆孔0,再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火

焰位似，其位似中心为0,其中薯片筒的长度为16cm.蜡烛火焰AB高为6cm,若像高CD为3cm,则

蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（）

A.一cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

5.如图，已知NAO3,以点。为圆心，以任意长为半径画弧，与。4,03分别交于点C,D,再分别

以点C,。为圆心，以大于工8长为半径画弧，两弧相交于点E过射线0尸上一点M作上W/Q4,

2

与05相交于点N,ZMNB=50°,则（）

A.15°B.25°C.30°D.50°

6.根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是（）

X00.511.522.533.54

2

X-

20.250.252

4x+211.7521.751

A.0<x<0.5,或3.5<x<4B.0.5Vxe1,或3Vx<3.5

C.0.5<x<L或2Vx<2.5D.0<x<0.5,或3vx<05

7.在边长为3的正六边形ABCDEE中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'户'处，如

图，此时边A。'与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是（)

C.2TI+2D.2百+2兀

8.如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为

△PDE,尸为的中点，AC=2.8m,PD=2m,CF=\m,ZDPE=15°.根据生活经验，当太阳光线与PE

垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65。，若要遮阳效果最佳AP的长约

为（）

(参考数据:sin65°^0.91,cos65°^0.42,sin50°20.77,cos50°g0.64)

A1.2mB.1.3mC.1.5mD.2.0m

第二部分非选择题

二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.如果单项式一盯“与;是同类项.则㈤:+〃=。的解为

10.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成

正方形A5CD,其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形.如图，其中一块等腰直角

三角形（阴影图形）的直角边为5cm,则正方形A3CD的边长为cm.

11.某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计

图.根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是.

12.如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点民实验过程中在。点正下方P处

有一个钉子.已知在。点测得起始位置A的俯角是45°,8点的俯角是60°,8点测得钉子尸的仰角是45°,

且OP长为4,则摆绳Q4长为.

EOF

13.如图，抛物线、=-/+2尤+3经过矩形。45。的两顶点4B,与x轴交于点，E,抛物线对称轴与

x轴交于点丘点P,。分别为A3、BC边上一点，当四边形OPQ尸周长最短时，P0与。尸的数量关系

三.解答题（本大题共7小题，共61分）

afa>0fa<0

14.根据有理数乘法（除法）法则可知：①若">。（或/。），则|或/<0；②若（或

a>0\a<0

<0),则…或根据上述知识，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集

x-2>0x-2<0

解：原不等式可化为：（1）<_八或（2）〈c八.由（1）得，X>2,由（2）得，x<—3,・・・

%+3>0[%+3<0

原不等式的解集为：x<-3或%>2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：

⑴求不等式（X—3）（x+l）<0的解集；

x+4

（2）求不等式^一<0的解集.

1-X

15.某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作.现制作背面完全相同4张卡片，正面分别写有《九

章算术》《周髀算经》《五经算术》《数#f记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代

表从中依次抽取一张卡片.

（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是.

（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正

面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率.

16.模具长计划生产面积为9,周长为机的矩形模具，对于机的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法

解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

9

设矩形相邻两边的长分别为羽y.由矩形的面积为9,得盯=9.即y=—；由周长为加，得

x

rri

2（x+y）=m,即丁=—%+—,满足要求的（羽y）.应是两个函数图像在第象限内交点的坐标.

2

（2）画出函数图像

9m

函数y=一的图像如图所示，而函数y=-x+—的图像可由直线丁=一兀平移得到.请在同一直角坐标系

x2

中直接画出直线丁=一兀.

（3）平移直线丁=一兀，观察函数图像

9

①当直线平移到与函数_y=一的图像有唯一交点（3,3）,周长，"的值为

x

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长机的取值范围；

（4）得出结论

若能生产出面积为9的矩形模具，则周长机的取值范围为

17.近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动

汽车的部分相关信息对比：

燃油车纯电动汽车

油箱容积：40升电池容量：80千瓦时

油价：7.5元/升电价：0.55元/千瓦时

续航里程：加千米续航里程：加千米

每千米行驶费用：坐堂元每千米行驶费用：--------元

m

(1)用含机的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；

(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元.

①分别求出这两款车每千米行驶费用；

②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元.小明家要购置新车，他们家每年行驶里

程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)

18.如图，BE是的直径，点C为外一点，过点C作CD,雇于点。，交于点F,连接BC,

与。。相交于点4点尸为线段PC上一点，且AP=CP

(1)求证：AP为的切线;

(2)若点尸为孙£的中点，。。的半径为5,AB=6,求的长.

19.综合与实践

问题提出】

如图(1)在VA3C中，ZA=90°,。为A3边上一点，点尸沿折线。—A—C运动(运动到点C停

止)，以。尸为边在上方作正方形DPEF.设点P运动的路程为x,正方形DREF的面积为y.

(1)当点2在A。上运动时，

①若x=6，贝gy=:

②y关于尤的函数关系式为；

(2)当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图(2)所示的函数图

象，直线x=2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于尤的函数关系式(写出自变量的取值范围).

【延伸探究】

(3)连接正方形DPEF的对角线QE,PF,两对角线的交点为M，在(2)的情况下，求点A在

QFM内部时x和y的取值范围.

20.在平行四边形A3CD中，ZABC=60°,AB=4,点E为平面内一点，且8E=1.

图1图2

(1)若AB=BC,

①如图1,当点E在5C上时，连接AE，作NE4F=60。交于点/，连接AC、EF，求证：△胡万

为等边三角形；

②如图2,连接AE，作NE4歹=30°,作所，A尸于点/，连接CF,当点歹在线段5c上时，求CF

的长度；

(2)如图3,连接AC,若NH4C=90°,尸为A3边上一点(不与A、8重合)，连接尸E，以PE为边

作RtZkEPE,且NEP尸=90°,ZPEF=60°,作NPEF的角平分线EG,与PE交于点G,连接

OG,点E在运动的过程中，OG的最大值与最小值的差为.

2025年广东省深圳市南山外国语学校（集团）3月模拟考试

数学试题

（试卷总分：100分考试时间：90分钟）

请将答案写在答题卷上

第一部分选择题

一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数

工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为

（+1）+（—1）=°,由此可推算图2中计算所得的结果为（）

图1图2

A.+1B.+7C.-1D.-7

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答

案.

【详解】解：由题意得：（+3）+（T）=—1,

故选：C.

2.把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看.下列方法得到的平面图形是长方

形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键.根据

圆柱、圆锥的特征解答即可.

【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意；

选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意；

选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意；

选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意.

故选：C.

3.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识

和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样

的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,则x满足方程()

A(l+0.5x)2=0.5B.(l-0.5x)2=0.5

C.(1+X)2=0.5D.(1-X)2=0.5

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键.设

每天遗忘的百分比为x,根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可.

【详解】解：设每天遗忘的百分比为了,

则根据题意可得：(1-X)2=0.5,

故选：D.

4.如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯

片筒的底部中央打上一个小圆孔。，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火

焰位似，其位似中心为。，其中薯片筒的长度为16cm.蜡烛火焰A3高为6cm,若像高CD为3cm,则

蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为()

为屏小孔A

Cui_______/，

A.—cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.连接A3,CD,过点。

作OELAB于点E,OFLCD于点F,先判定,即可得对应高比之比等于相似比，即可

OF1

得——=一,即可求解.

OE2

过点。作0ELA5于点E，。/，。。于点/，

由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为。,

:.ACOD^ABOA，

CD31

••.相似比为：-=-=

AB62

_OF1

，对应（W）的比为：—=一，

0E2

...OE=2OF=2xl6=32（cm）,

...蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为32cm,

故选：C.

5.如图，已知NAO3,以点。为圆心，以任意长为半径画弧，与04,05分别交于点C,D,再分别

以点C,。为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点R过射线0尸上一点M作上W〃Q4,

2

与05相交于点N,ZMNB=50°,则（）

A.15°B,25°C.30°D,50°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质.通过两直线平行，同位角

相等，再利用角平分线定义求解即可.

【详解】解：•：MN〃0A,

.■.ZAOB=ZMNB=50°,

由题意可知：平分NAO3,

ZAOM=ZMOB=-ZAOB=25°.

2

故选：B.

6.根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是（）

X00.511.522.533.54

X2-

20.250.252

4x+211.7521.751

A.0<x<0.5,或3.5VxV4B.0.5<x<l,或3Vx<3.5

C.0.5<x<l,或2Vx<2.5D.0<x<0.5,或3Vx<3.5

【答案】B

【解析】

【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可.

【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25,x=1.5时，x2-4x+2=-l；x=3时，x2-4x+2=-

1,x=3.5时,x2-4x+2=0.25,

判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5<x<l,或3Vx<3.5,

故选B.

【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键.

7.在边长为3的正六边形A5CDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'户'处，如

图，此时边A。'与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是（）

C.271+2D.273+271

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算.根据正六边形的性质和旋转的性质

以及扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•••在边长为3的正六边形ABCDEF中，ZZMC=3O°,ZB=ZBCD=120°,

AB=BC=CD=3,

ZBAC=ZBCA=30°,

：.NACD=90。，

CD=3,

AD=2CD=6，

...图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DA"—S四边形AF,ED，

•••将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形2EF处,

S四边形4OEF=S四边形AD'E'F，，

...图中阴影部分的面积扇不相=万

=S厩Tf^DA7Dy360=3

故选：B.

8.如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为

△PDE,尸为的中点，AC=2.8m,PD=2m,CF=\m,ZDPE=15°.根据生活经验，当太阳光线与PE

垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°,若要遮阳效果最佳AP的长约

为()

(参考数据：sin65°"0.91,cos65°仁0.42,sin50°20.77,cos50°g0.64)

A.1.2/wB.13mC.1.5mD.2.0m

【答案】C

【解析】

【分析】过点F作FGLAC于点G,根据题意可得，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，即

ZBEP=90°,再根据四边形内角和定理可得/CPF的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP的长，进而

可得遮阳效果最佳时AP的长.

【详解】如图，过点尸作尸GUC于点G,

根据题意可知：

当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，

:./BEP=90°.

VZA=90°,ZB=65°,

AZEPA=360°-90°-90°-65°=115°.

•：NDPE=15°,

AZAPD=130°,

/.ZCPF=50°.

・・,/为PO的中点，

：.DF=PF=-PD=l

2f

：.CF=PF=1,

：.CP=2PG=2XPF・cos50°^2X1X0.64^1.28,

：.AP=AC-PC=2.S-1.28仁1.5(m).

所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米.

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义.

第二部分非选择题

二.填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.如果单项式一盯与;£+2,3是同类项.则依+〃=0的解为

【答案】x=2

【解析】

【分析】根据同类项的定义，分别得到关于“和关于人的一元一次方程，解得a和6的后代入方程

ax+b^Q,再解关于x的一元一次方程，即可得到答案.

【详解】解：\•单项式-盯与;产2y3是同类项，

<7+2=1,Z?+l=3,

解得：a=—1,b=2,

才巴a=—1,匕=2代入方程＜2x+Z?=0,

得：—x+2=0,

解得：x=2.

故答案为：x=2.

【点睛】本题考查解一元一次方程和同类项.正确掌握同类项的定义和解一元一次方程的方法是解题的关

键.

10.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成

正方形A3CD,其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形.如图，其中一块等腰直角

三角形（阴影图形）的直角边为5cm,则正方形A3CD的边长为cm.

【答案】1072

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，

灵活运用所学知识解决问题.根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】•••等腰直角二角形（阴影图形）的直角边为5cm,

等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为5技m，

•••平行四边形的边长为5J5cm，

正方形ABCD的边长为2义5缶m=10缶m，

故答案为：100

11.某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计

图.根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是.

【答案】6000

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图，根据自驾车人数除以百分比，可得答案.

【详解】解：由题意，得,4800—40%=12000,

公交：12000x50%=6000,

故答案为：6000.

12.如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点&实验过程中在。点正下方的尸处

有一个钉子.已知在。点测得起始位置A的俯角是45°,8点的俯角是60°,8点测得钉子尸的仰角是45°,

且OP长为4,则摆绳Q4长为.

【答案】2指+2行+4

【解析】

【分析】如图，过A作ACLOP于C,过加乍班)，。75与。，由题意知NQ4C=45°,

ZDBO=6Q°,ZDBP=45°,OP+BP^OA,tanZDBP=—=l,tanZDBO=—=yf3,解

DBDB

得DP=DB，OZ>=®)3，根据=+即限>8=4+05，求解£)3的值，根据

DB

BP=求解8尸的值，进而可得04的值.

cosZDBP

【详解】解：如图，过A作ACLOP于C,过2作与。,

EO

由题意知NQ4C=45°,ZDBO=60°,ZDBP=45°,OP+BP=OA,

：.tanZDBP=—-1,tanZDBO=—=yf3,

DBDB

:.DP=DB，OD=«DB，

'：OD=OP+PD,

：,6DB=4+DB,

解得D3=2（6+1）,

/.BP=———=276+272,

cosZDBP

AOA=276+272+4,

故答案为：2太+20+4.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.解题的关键在于明确线段之间的数量关系.

13.如图，抛物线、=-9+2苫+3经过矩形。43。的两顶点4B,与x轴交于点。，E,抛物线对称轴与

x轴交于点E点P,。分别为A3、5c边上一点，当四边形OPQb周长最短时，P0与。尸的数量关系

【解析】

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，两点之间线段最短最短，轴对称的性质，掌握知识点的

应用是解题的关键.作点。关于直线A3的对称点河，先求出A（0,3）,E（3,0）,对称轴为直线x=l,

连接ME，交A3于点P,交BC与Q,QF=QE,OP=MP,此时四边形OPQ/周长为

OF+OP+PQ+QF=OF+MP+PQ+QE=OF+ME,周长最短，即点Af、P、Q、E共线时，周

，)

长最短，然后求出直线ME解析式为y=-2%+6,从而可求出产:2(2,2,然后用两点间的距

离即可求解.

【详解】解：如图，作点。关于直线的对称点M，

由y=~x2+2x+3得：当y=。时，一%?+2,x+3=0，解得：%=—1,%=3,

."（3,0）,

当x=0时，y=3,

A（0,3）,

•••四边形A5C0是矩形，

.-.AB±OA,BC±OC,

・•・A、8关于抛物线对称轴对称；

•••抛物线对称轴为直线1=1,

.-.F（0,l）,5（2,3）,

.-.C（2,0）,

.■.E,歹关于直线5C对称；

连接ME，交AB于点P,交BC与Q,

••.QF=QE,OP=MP,

...此时四边形OPQ/周长为。尸+OP+PQ+Q/=。/+MP+PQ+QE=O厂+〃石，周长最短,

即点“、尸、Q、E共线时，周长最短,

:点0关于直线AB的对称点为M，

.•.”（0,6）,

设直线M石解析式为y=^+b,

'3k+b=0k=-2

解得

b=6b=6

・•・直线ME解析式为y=—2%+6,

3

当y=3时，一2兄+6=3,解得：x=一,

2

当x=2时，y=-2x2+6=2,

A2（2,2）,

22

：.OP=J^-0^+（3—0）2=亭,QF=^2-l）+（2-0）=75-

3

：.OP=-QF,

3

故答案为：OP=3QF.

三.解答题（本大题共7小题，共61分）

a>0〃<0

14.根据有理数乘法（除法）法则可知：①若而>0（或幺〉0）,则一7人或<；②若（或

bb>0b<0

a>0a<0

—<0）,则v7C或<.根据上述知识，求不等式（龙-2）（x+3）>0的解集

bb<0b>Q

x-2>0x-2<0

解：原不等式可化为：（1）《或（2）《.由（1）得，x>2,由（2）得，x<—3，.二

x+3>0x+3<0

原不等式的解集为：xv-3或X>2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题:

（1）求不等式（x—3）（x+l）v0的解集;

x+4

（2）求不等式——<0的解集.

1-x

【答案】（1）-l<x<3；（2）%>1或x<—4

【解析】

【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别

求解可得.

（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可

得.

【详解】解：（1）原不等式可化为：①〈，c或②1,

%+1<0[%+1>0

由①得，空集，由②得，一l<x<3,

•••原不等式的解集为：—l<x<3,

x+4x+4>0光+4<0

(2)由<0知①<或<

1-xl-x<01-%>0

解不等式组①，得：%>1；

解不等式组②，得：x<-4；

所以不等式—<0的解集为》>1或x<-4.

1-x

【点睛】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键.

15.某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作.现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九

章算术》《周髀算经》《五经算术》《数#J记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代

表从中依次抽取一张卡片.

（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是.

（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正

面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率.

【答案】（1）!；

4

（2）两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；

（2）画出树状图，利用概率公式计算即可；

本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

【小问1详解】

解：：共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

...第一学习小组抽到《五经算术》的概率是工，

4

故答案为：—;

4

【小问2详解】

解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数街记遗》的卡片分别用A、B、C、D

表示,

画树状图,

一共有12种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有2种，

两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是2

126

16.模具长计划生产面积为9,周长为加的矩形模具，对于机的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法

解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下:

0

9

设矩形相邻两边的长分别为冗，儿由矩形的面积为9,得盯=9.即y=—；由周长为相，得

x

m

2(x+y)=m,即丁=—x+5，满足要求的应是两个函数图像在第象限内交点的坐标.

(2)画出函数图像

9m

函数y=二的图像如图所示，而函数y=-x+—的图像可由直线丁=一兀平移得到.请在同一直角坐标系

x2

中直接画出直线丁=一兀.

（3）平移直线丁=-兀，观察函数图像

9

①当直线平移到与函数丁=—的图像有唯一交点（3,3）,周长，”的值为

x

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长机的取值范围；

（4）得出结论

若能生产出面积为9的矩形模具，则周长机的取值范围为

【答案】（1）一；（2）画图见解析；

（3）①12,②相＜12时，没有交点；机＞12时，有2个交点；

（4）m＞12

【解析】

【分析】（1）根据反比例的图象在第一象限即可得出；

（2）过原点及（1,-1）即可得直线y=—x,

（3）①把点（3,3）代入y=—x+—即可求解；

2

Qm

②在直线平移过程中，交点个数有：。个、1个、2个三种情况，联立y=—和y=-尤+一,并整理得：

x2

,1

%2——mx+9=0即可求解；

2

（4）由（3）可得.

【小问1详解】

9

=—的图象位于第一象限，

两个函数图像的交点在第一象限内，

故填：一；

【小问2详解】

【小问3详解】

myn

①把点（3,3）代入y=—兀+5得：3=-3+—,

解得：机=12,

故答案为：12.

②由①知：0个交点时，0<m<12；2个交点时，机>12；1个交点时，相=12；

【小问4详解】

91

联立y二一和y二一XH——,并整理得：%2——mx+9-Q,

JC22

△=工加2-4义9三0时，两个函数有交点，

4

解得：m^l2.

故答案：mN12.

【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究

题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大.

17.近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动

汽车的部分相关信息对比：

燃油车纯电动汽车

油箱容积：40升电池容量：80千瓦时

油价：7.5元/升电价：0.55元/千瓦时

续航里程：加千米续航里程：加千米

4f）x75

每千米行驶费用：-----二元每千米行驶费用：_______元

m

（1）用含机的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用;

（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元.

①分别求出这两款车的每千米行驶费用;

②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元.小明家要购置新车，他们家每年行驶里

程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

80x0.55

【答案】（1）一（或）；

mm

（2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的

年费用更低.

【解析】

【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用;

（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后

求解即可，注意分式方程要检验;

②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答.

本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式.

【小问1详解】

80x05544

解：新能源车的每千米行驶费用为：吐》=竺（元）；

mm

4480义0.55

故答案为：—（或--------）.

mm

【小问2详解】

40x7.544

解:——=0.64

mm

解得m=400，

经检验，"z=400是原分式方程的解,

40x7-5=0.75（元），-^=0.11（元）,

400400

答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元;

②购买燃油车的年费：0.75x6000+3600=8100（元）

购买纯电动汽车的年费：0.11x6000+6800=7460（元）

V8100>7460

...他们购买纯电动汽车的年费用更低.

18.如图，BE是的直径，点C为。。外一点，过点C作于点。，交。。于点F,连接BC,

与。。相交于点A,点尸为线段PC上一点，且AP=CP

（1）求证：AP为的切线；

（2）若点P为势后的中点，。。的半径为5,AB=6,求£>E的长.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】（1）连接Q4,AE，根据垂直可以得到NACP=NAEB,由AP=CP可得NACP=NB4C,

最后根据ZABE+ZAEB=90°得到ZOAB+ZPAC=90°,即可得到/田为。。的切线；

（2）由CDL5E可得，点、E为GF的中点，再由点尸为外后的中点，可得AE=Gb，可得AE=GF=8,

进而得到DF=-GF=4,最后根据勾股定理求出OD的长即可.

2

【小问1详解】

BE是QO的直径，

ZABE+ZAEB=9Q)°,

•••CDLBE,

■■.ZABE+ZACP=90°,

：.ZACP=ZAEB,

"：AP=CP,

：.ZACP=ZPAC,

：.ZACP=ZAEB=APAC

OA=OB，

.■.ZOAB=ZABE

：.ZOAB+ZPAC=90°,

.-.ZOAP=90°

・•.AP为0。的切线；

【小问2详解】

连接。尸，

•・•。。的半径为5,AB=6,

AE=8，OF=OE=5，

-.-CD±BE,

:•EF=GE，DF=^GF,

•・•点F为我E的中点，

,,EF=AF,

AE=GF，

.-.AE=GF=S,

.-.DF=-GF=4,

2

OD=y]OF2-DF2=3，

：.DE=OE—OD=2

【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确作

出辅助线是解题的关键.

19.综合与实践

【问题提出】

如图(1)在VA3C中，ZA=90°,。为AB边上一点，点尸沿折线。—A—C运动(运动到点C停

止），以£）尸为边在£>P上方作正方形DPEF.设点尸运动的路程为x,正方形DPEF的面积为y.

（1）当点P在AD上运动时,

①若x=5贝1丁=;

②y关于x的函数关系式为；

（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图

象，直线x=2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于尤的函数关系式（写出自变量的取值范围）.

【延伸探究】

（3）连接正方形。PEF的对角线DE,PF,两对角线的交点为在（2）的情况下，求点A在

△DFM内部时尤和y的取值范围.

【答案】（1）①3；@y=x2-,（2）y=f—4x+8（2WxW6）；（3）点A在△£>而内部时x的取值范围为

4<x<6,y的取值范围为8<y〈20.

【解析】

【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；

（2）当x=2时，点尸与点A重合，求得AD=2，由题图（2）可知点尸与点。重合时，y=20,即32=2。,

在Rt^ACD中，利用勾股定理即可求解；

（3）取AC的中点N,连接。N,分析点P的运动规律可求得，点A在△£>版内部时x的取值范围为

4cx<6,y的取值范围为8<y<20.

【详解】解：（1）①若x=JL则>=（出『=3；

②y关于尤的函数关系式为y=d；

故答案为：3；y=x2；

（2）由题意可知，当光=2时，点P与点A重合,

AAD=2,止匕时>=22=4,

连接CD,

由题图（2）可知点P与点。重合时，y=20,即CC>2=20,

在Rtz\ACD中，AD2+AC2=CD2-即22+4。2=20，

.•.AC=4(负值已舍)，

当点尸在AC上运动时，x=AD+AP=2+AP,

AP=%—2,

••.在Rt^ADP中，£>P2=AD2+AP2=22+(X-2)2=X2-4X+8,

y=x~—4x+8，

即当点「在4。上运动时，y关于尤的函数关系式为y=V—4x+8（2WxW6）；

（3）由（2）知，AD=2,AC=4,

又：。为AB的中点，

AB=4=AC，

取AC的中点N,连接ON,

■.AN=-AC=2=AD,DN是VABC的中位线，

2

DN//BC,

又,:ZA=90°,

/XADN是等腰直角三角形，

•/四边形DPEF是正方形，

•••尸是等腰直角三角形，

分析点尸的运动规律可知，当点尸运动到。P