2025年上海高考数学一轮复习：同角三角函数的基本关系式及诱导公式（5类核心考点）解析版

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年北京卷，第12题，5分诱导公式与三角函数定义、余弦函数结合

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容较少单独考查，主要与三角函数性质及解三角形结合考查.

【备考策略】

1.理解同角三角函数的基本关系式，并应用基本关系式解决相关问题；

2.利用定义推到出诱导公式，能够利用诱导公式解决相关求值、化简与证明问题.

【命题预测】单独考查的可能性不大，题目可能会与三角函数的性质结合进行综合考查.

iflV考点梳理。

平方关系）、

考点一根据基本关系式求解三角函数值

考点三弦切互化的应用

K。知识点一同角三角函数基本关系式）《商数关系）

L（基本关系式的几种变形）,考点三sinacosa.sina士cosa关系应用

同角三角函数的基本关系

及诱导公式

6组诱导公式）］考点四利用诱导公式化简求值

。知识点二诱导公式、＞考点五同角三角函数的基本关系式

奇变偶不变，符号看象限J与诱导公式综合应用

知识讲解

知识点1同角三角函数的基本关系式

1、平方关系：sin2a+cos2a=l.

2、商数关系：9=tanJ喈

cosa

3、基本关系式的几种变形

(1)sin2a=1—cos2(x=(l+cosa)(l-cosa)；cos26x=1—sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)(sinaicosa)2=l±2sinacosa.

[a^kn+-,左ez]

(3)sina=tanacosal2J.

知识点2三角函数的诱导公式

公式—'二三四五六

兀

角2kn-\-a(kE7j)兀+a~aTi-a—a~-\-a

22

正弦sina-sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

，，奇变偶不变，符号看象限，，中的奇、偶是指兀/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

考点一、根据基本关系式求解三角函数值

典例引领

【典例1](22-23高三上•北京•阶段练习)已知cosx=g,xe(0,7t),贝|tanx=()

A.±272B.2V2C.-272D.迪

3

【答案】B

【解析】因为xe(O,7t),cosx=1>0,所以xe[o,3，

所以tanx=s'"=2/.故选:B.

cosx

【典例2](23-24高三上•北京昌平・期末)已知5111^=—|/£]兀,'|兀],则tanx=

3

【答案】-/0.75

4

I---------4

【解析】由题知，cosx=±Vl-si;n2x=±-,

「「3'―4「广…sinx3

又％®兀,不兀，所以cos%=--,所以tanx=------=—.

\2J5cosx4

即时性w

1.（23-24高三上・北京海淀•阶段练习）已知。为第二象限的角，且cosa=-《，贝I」sin（兀-a）的值为（

3

D.

5

【答案】A

3

【解析】因为a为第二象限的角，且cosa=-1,

所以sina=cos2a=一,

所以sin（兀-a）=sina=—.故选:A.

2.⑵-24高三上・北京西城・阶段练习）已知。为第二象限角，sma=万，贝叱*

------------------

56_1

【答案】

N7

【解析】已知a为第二象限角，sina=二，则cose="siMa=一也

1414

所以sin（a+巴］=sinc-cos巴+acos-sin四=与工，逋］双一-

（3）3314214J27

考点二、弦切互化的应用

5典例引领

【典例1］（24-25高三上,广东•开学联考）已知tane=-g,贝！J3sin?a+sinacosa=（）

13

A.——B.0C.-D.1

35

【答案】B

【解析】因为tane=-；,

3sin2a+sincrcoscr

所以Bsin?a+sinacosa=.故选：B.

si•~n2a+cos2a

【典例2］（23-24高三下•陕西西安•模拟预测）已知角a的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（4,-3）,

.a,a

sin——Fzcos——

23

则一-2）

「a.a

5cos—-sin—

22

B.工

16

【答案】B

【解析】由题意，得角。是第四象限角，则丁+2析＜戊＜2兀+2如左12,

2

故…1…Z,则/二、四象限角，则ta吟＜0,

2tan一嗔

又因为tana=---------=――,

戊

1+-tan2一4

2

所以tan4=3（舍去）^tan—=--,

223

.aca,a、

sm——b2cos—tan——b2、

所以—J——i=-J;=2•故选：B.

ea-a-a16

5cOS'—sin—5—tan—

222

cosa

1.（23-24高三上•江苏南京•期中）已知tana=-2,则―[（）

I4j

A.—B.-V2C.V2D.--

33

【答案】A

【解析】因为tana=—2,

cosacosa11

所以兀V2也.£&一36,《一.故选：A.

cos(XH---—cosa------sina-----------tanci-----

422222

sin2a

2.（23・24高三下•河南三门峡•模拟预测）若tana=2,则的值为（）

cos2cr-sin2a*

24

AB.-D.

-437

【答案】A

sin2a2sinacosa2tana44

【解析】由题意可得:一厂.故选：A.

cos2a-sin2acos2a-2sin2al-2tan2a1-8

考点三、sinacosa、sina±cosa关系及应用

典例引领

2

【典例1］（23-24高三下・贵州织金•阶段练习）已知。是第四象限角，且sin2a=-葭贝I」cosa-sina=（）

V7

A.叵B.平c.V2D.

73

【答案】B

,225

【解析】丁sin2a=-§,.二(cosa-sinaI2=l-2sinacosa=l-sin2a=1+—=一,

33

Q。是第四象限角，cos6Z>0,sin6Z<0,

/.cosa—sina>0,cosa—sina=.故选：B.

3

【典例2】（23-24高三上•天津河西•阶段练习）已知。£（0,兀），sina+cosa■-，贝！Jcos2a=()

3

7「45

-----D.土与

B-T3一9

【答案】B

…(371)

【解析】因为。£（0,兀），sin。+cos（2=~~~<0,所以兀J,

百、、/1

由sina+cosa=-----两边平方得l+2sinacosa=二

33

.2

即sin2a=2sinacosa=——

3

所以2问当,2兀；cos2a=Vl-sin22a=或•.故选:

B.

3

1.(23-24高三上•辽宁•开学考试)已知cos［：—a］=［^,a,兀)，则sina—cosa=.

【答案】1/1.4

【解析】因为cos［：—a)=5(sina+cosa)=S,所以sina+cosa=；,

J24

则(sina+cosa)2=sin26Z+cos2a+2sinacosa=一,所以2sinacosa=-----,

v72525

/si•ncr-cosa\2=s.in2a.+cos2a-2csi,nacosa=——49,

1725

因为兀］,所以sina>0,cosa<0,所以sina-cosa〉0,

皿.7

故sma-cosa=—o

2.(23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知sina,cos。是关于x的一元二次方程2%2+工_2加=0的两

根.

(1)求加的值；

(2)若0<a<兀,求sina-cosa的值.

【答案】(l)|;(2)g

【解析】(1)由已知得sina+cosa=—；①

sinacosa--m②,

将①两边同时平方得sin2a+cos2a+2sinacosa=~

.33

则sinacosa-——,所以加=一；

88

13

(2)兀，sina+cosa=——,sinacosa=——

28

•••sina〉0,cosa<0,•,•sina-cosa>0,

考点四、利用诱导公式化简求值

典例引领

(7.5兀.(9兀\10兀

【典例1】（23-24高三上・甘肃兰州•阶段练习）计算:cos----sin——sin-----cos----.

16；314；3

【答案】逑

16

.5兀.(c兀、.兀

sin——=sin2K---=-sin—=

3I3~2~

IOTI4兀、4兀(兀)7i1

cos---=COS2兀+——=COS——=COS7l+—=-cos—=——,

33J3[3J32

目xLLL

IF

【典例2]（23-24高三上•北京•期中）已知点尸（6,-8）是角a终边上一点，则sin^+a)

【答案】D

【解析】点尸（6,-8）是角c终边上一点，

.，兀[3_

sin—+a=cosa=—.故选：D

即时校（

1.（23-24高三上•北京•阶段练习）在平面直角坐标系中，角a与角月均以3为始边，它们的终边关于

4

直线〉=%对称，若sina=贝!jcos/?=（）

4433

A.—B.-C.一一D.—

5555

【答案】B

【解析】因为平面直角坐标系xOy中，角。与角夕均以Ox为始边，它们的终边关于直线v=x对称，

所以=:+k%keZ,即a+/=~+2kit,ksZ,所以/?二]一a+2k%keZ,

4(714

因为sina=y,所以cosQ=cos[a—a+2E=sina=-(keZ),故选：B

2

2.（23・24高三上•北京・开学考试）在平面直角坐标系xQy中，角戊以。x为始边，终边与单位圆交于点

V3兀

-T?VJ则cos(§+a)=()

7D-T

【答案】C

【解析】依题意得sina=",

兀所以有cos(-|-+a)=一sina=-^^.故选：C.

又因为cos(—+a)=-sina

考点五、同角三角函数的基本关系式与诱导公式综合应用

中典例引领

【典例1］（22-23高三下•北京门头沟•一模）在平面直角坐标系中，角。与£的顶点在原点，始边与x轴正

半轴重合，终边构成一条直线，且sina=",贝|cos（a+0=（）

3

A.1B.-C.—D.—1

33

【答案】C

【解析】由题意，角a与£的顶点在原点，终边构成一条直线，所以，=。+兀+2加，（左EZ）,

所以cos（a+〃）=cos（2a+兀+2hi）=cos（2a+7i）=—cos2a=-（1-2sin2or）=2sin2a-1,

又sina=^^,所以cos（a+尸）=2sin2a-l=2x（^^2一i二一g.故选：c.

【典例2］（23-24高三上•北京・开学考试）已知sina=拽

5

【答案】-j/-2.5

【解析】因为sine=U>0旦且a为第二象限角,

「Lt、1/7A/S—r/口sincc

所以cosa=-Jl-siYa=----，可得tana=------

cosa

cosa5

又由tan(a-=~24

sma2

即时检测

1.（23-24高三上•青海西宁•阶段练习）设函数〃x）=、仁恒+tanx,x为第四象限角.

V1+sinx

⑴化简了⑴;

TT5

(2)若/(x)+/(--x)=—,求sin尤+cosx的值.

【答案】(l)〃x)=L；(2)-：

cosx5

【解析】⑴由小片后黑+taz(l-sinx)(l-sinx)1-sinxsinx1-sinxsinx

7----;---ry----;---r+tanX—

(l+sinx)(l-sinx)

因为X为第四象限角，所以cos尤>0,所以〃力=口吐+里”=」一

COSXCOSXCOSX

1

(2)由(1)知：/(%)=

COSX

sinx+cosx5

所以/⑴+/

COSXcosxsinxsinxcosx12,

令sinx+cosx=t,所以，=V2sinL+^j,因为X为第四象限角，所以才£（-1,1）,

/_[_=_21_=9

所以sinxcosx=---2-，所以『。一1r_]I2,

所以5产-241-5=0,所以/=-2或/=5(舍)

所以sin%+cosx=--.

711ITI

sin(2兀一a)cos(兀+a))cos|三+a|cos----cc

22

2.(23-24高三上•河南•阶段练习)已知/(a)=——

cos(兀-a)sin(3兀-a)sin(-7i—a

71

⑴求了的值;

(2)已知/(。)=一1,求sin26.

3

【答案】(1)一1;(2)]

(-sin6z)(-cos6z)(-sincir)cos5i

【解析](1)原式:----------------------------

(一cosa)sin(兀-a)[—sin(?i+°]sin

一sin?。cosa

sina

-------=-tana,

cosa

(-cos6Z)sincif[-(-sin6z)]sinl—+a

tana=-1

(2)由/(。)=一；可知一tan6=1即tan9二；；

3

2sm/cos。2ta“_2x|

3

sin2。=

222T-5~-

cos0+sin01+tan0I

1+

Il好题冲关

A基础过关

1.(2023高三•北京•学业考试)已知sina=g,则sin(-a)=(

)

11D.f

A.——B.一L•------

222

【答案】A

【解析】由诱导公式得sin(-a)=-sina,

因为sina=；,所以sin(-a)=-

sina=--,故选：A.

2

4

2.（22・23高三上•北京昌平,期末）若sin（兀-a）=-1,cosa>0,则tana=（）

【答案】D

一4

【解析】sin（7i-6Z）=sina=~—,cosa>0,

▼…匚3sina4_

所以85。=，1一5111。=一，所以tana=-------=——.故选：D

5cosa3

3

3.（23・24高三下•四川乐山•三模）已知tana=-：,且a为第二象限角，则cosa=

44八_33

A.——B.—C.D.-

5555

【答案】A

_33

【解析】因为tana=所以sina=——cosa,

44

316

又siYa+cos2a=1,所以（一:cosa）?+cos2a=1,所以cos2a=K，

425

4

又。为第二象限角，所以cosa=-1.故选：A.

4.（22-23高三上•北京朝阳•阶段练习）若tan（兀一x）=g,则cos,+x=（）

B-±卡12

c飞D

鼠4-忑

【答案】A

【解析】因tan（兀一%）=；,贝！jtanx=

即cosx=-2sinx,

2

1

Wsin2x+cos2x=l,于是得sin%=不

所以cos（^+x）=-sinx=±^^.故选：A

5.（23-24高三上•湖南常德•阶段练习）已知tana=2,则一"cose

sma+cosa

【答案】I

_s_m__a__1

■一「0sma-cosacosatanar-12-1_1

［解析］----------

sina+cosasine।］tana+12+13

cosa

6.（23-24高三上•北京•阶段练习）已知sine=；4i]cos[a+1^=

【答案】--

3

【解析】由诱导公式可得：cosfa+y^=-sina=-1.

7.（23-24高三上・北京•阶段练习）已知角。的顶点在坐标原点，始边在无轴的正半轴上，终边与单位圆交

于第二象限的点P,且点P的纵坐标为;，贝ijtan（兀-a）=.

【答案】叵

3

【解析】因为角2的顶点在坐标原点，始边在无轴的正半轴上，

终边与单位圆交于第二象限的点尸，且点P的纵坐标为!，

2

所以设尸口,£]（x<0）,则有X?+gj=1=x=，

r-（反J

因为x<0,所以尤=一9,即P,

2（22）

J.

所以tan（兀一a）=_tana==4^,

A/33

能力提升

1.（23-24高三上,北京顺义•阶段练习）已知6为第一象限角,sin0-cos0=——，则tan2e=)

5

A,迪B,C.D,正

3345

【答案】B

【解析】由sinO-cosO=@平方可得l-2sinecose=1=>sin(9cose=-,

555

ll…sin6cos62tan。2八或

所以------厂=一二-5——二一ntand=2tan6=g,

sin20+cos265tan20+15

由于sin。-cos。=——>0,且。为第一象限角，

5

故sin。〉cos夕>0,因止匕tan。〉1,故tan0=2,

3八2tan。4_

所以tan20=------y-,故选：B

1—tai?。3

2.（22-23高三下•北京•模拟预测）若角。的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（）

A.sin（兀+a）B.cos（兀一a）C.cos^+6/^D.sin[]—a）

【答案】D

【解析】因为角a的终边在第三象限，所以sina<0,cosa<0

对于A,sin（n+«）=-sina>0;

对于B,cos（兀-a）=lcosa>0;

侵+

对于cosa=-sina>0；

C,12

对于D,=COS6Z<0；故选:D

3.（22-23高三上•北京海淀•阶段练习）已知角。的终边在第三象限，且tana=2,贝！Jsina-cosa=（）

A.-1B.1C.--D.旦

55

【答案】C

【解析】由角。的终边在第三象限，则sina<0,cosa<0

sin<7._

-2/c

由题设知<cosa----------------,解得cosa=,sina=

.7215

sina+cosa=\

所以sina-cosa=一故选：C

555

4.（23-24高三下•浙江杭州•模拟预测）已知s*2cos?=?,则sin%+cos?

Sine+cos92sin。+cos0

【答案】言47

.,sin。一2cos0__.八._八，

【解1析T】l由「---------=2可r得ZPs1m。=-4cos。，即arltan6=-4；

sin。+cos。

si/e+cos。_(一4cos+cos。_-64cos3^+cos0_-64cos2^+l

所以

2sin0+cos302x(-4cos0)+cos30-8cos6+cos30-8+cos20

-64cos2^+sin20+cos2^_-63cos2^+sin20_-63+tan20

-8(sin20+cos?。)+cos?。-8sin20-7cos2^-8tan29-7

-63+tan20-63+16_47

将tan。=-4代入计算可得

-8tan26>-7-8xl6-7-l35

sin*+cos。47

即nn---------「二——.

2sin0+cos30135

5.（22-23高三上•北京•阶段练习）已知角。的终边经过点（3,4）,将角a的终边绕原点。顺时针旋转擀得到

角，的终边，贝！Jtan£=.

3

【答案】-:/-0.75

4

【解析】因为角a的终边经过点（3,4）,

_____y4X3

所以^='32+42=5，则sina=_=_,cosa=_=-,

r5r5

77TT

又因为角a的终边绕原点。顺时针旋转T得到角夕的终边，故…-,

所以sin尸=sin

5I2j5

3

,,csin£3

故tan/?=——-5

cosp44

5

6.（23-24高三上•广东•阶段练习）已知角。的终边上一点尸（1,田