《导数及其应用》章末提升测评

5/13《导数及其应用》提升测评(满分:84分；时间：70分钟）―、选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(2016山东，10，5分，★★★)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（）A.B.C.D.2.(2015课标全国I，12，5分，★★★)设函数，其中，若存在唯一的整数使得,则的取值范围是（）A.B.C.D.3.(2015福建，10，5分，★★★)若定义在上的函数满足，其导函数满足,则下列结论一定错误的是（）A.B.C.D.4.(2014课标全国I，11，5分，★★★)已知函数，若存在唯一的零点且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3小题，共15分.把答案填在题中横线上）5.(2017江苏，11，5分，★★☆)已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是_____.6.(2016北京，14，5分，★★★)设函数①若，则的最大值为_____；②若无最大值，则实数的取值范围是_____.7.(2015安徽，15，5分，★★★)设，其中均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_____.(写出所有正确条件的编号）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；⑤.三、解答题（本大题共6小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）8.(2017课标全国III,21,12分，★★★)已知函数.(1)若，求的值；(2)设为整数,且对于任意正整数，求的最小值.9.(2017山东，20,13分，★★★)已知函数，其中是自然对数的底数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)令讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.10.(2016课标全国I，21，12分，★★★)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：.11.(2016课标全国II，21，12分，★★★)(1)讨论函数的单调性，并证明当时，；(2)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.

参考答案一、选择题1.答案：A解析：设函数的图象上的两点分别为，且，则由题意知只需函数满足即可.的导函数为，则，故函数具有性质；的导函数为，则，故函数；不具有性质；的导函数为,则，故函数不具有性质；的导函数为，则，故函数不具有性质.故选A.2.答案：D解析：由,即，得.当时，得,显然不成立，所以.若，则.令，则当时，为减函数，当时，为增函数，要满足题意，则，此时需满足，得，与矛盾，所以因为，所以.易知，当时，为增函数，当时，为减函数，要满足题意，则，此时需满足，得(满足).故选D.3.答案：C解析：构造函数则在上为增函数.，则而即所以选项C错误,故选C.4.答案：C解析：(1)当时，显然有两个零点，不符合题意.(2)当时，，令，解得.当时，，所以函数在和上为增函数，在上为减函数，因为存在唯一零点，且，则，即，不成立.当时，，所以函数在和上为减函数，在上为增函数，因为存在唯一零点，且,所以,即，解得或,又，故的取值范围为.综上，的取值范围为.选C.二、填空题5.答案：见解析解析：易知函数的定义域关于原点对称.为奇函数，又（当且仅当时，取“”）从而在上单调递增，所以解得6.答案：见解析解析：①若,则当时，；当时，，当时，是增函数，当时，是减函数，的最大值为2.②在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示，当时，无最大值；当时，；当时，.综上，当时，无最大值.7.答案：见解析解析：设.当时，，令，得或；令，得,故在上为增函数，在上为减函数,在上为增函数，又,故方程只有一个实根，故①正确.当时，,易知在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，又时，,从而方程有两个根，故②错误.当时，，易知的极大值为，极小值为时，，故方程有且仅有一个实根，故③正确.当时，,显然方程有且仅有一个实根，故④正确.当时，，则在上为增函数，易知的值域为,故有且仅有一个实根，故⑤正确.综上，正确条件的编号为①③④⑤.三、解答题8.答案：见解析解析：(1)的定义域为.①若,因为，所以不满足题意；②若,由知，当时，；当时，，所以在上单调递减,在上单调递增，故是在内的唯一最小值点.由于，所以当且仅当时，.综上,.(2)由(1)知当时，.令，得.从而.故.而所以的最小值为3.9.答案：见解析解析：(1)由题意得，又，所以,因此曲线在点处的切线方程为，即.(2)由题意得，所以，令，则,所以在上单调递增.因为,所以当时，；当时，.①当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取极小值，极小值是.②当时，，由得(i)当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值是.(ii)当时，,所以当时，，函数在上单调递增，无极值.(iii)当时，,所以当时，单调递增；当时，单调递减;当时，单调递增.所以当时，取极大值，极大值是；当时，取极小值，极小值是综上所述，当时，在上单调递减,在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是,极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增,在上单调递减，函数有极大值，也有极小值,极大值是,极小值是.10.答案:见解析解析：(l).(i)设，则只有一个零点.(ii)设，则当时，；当时，,所以在上单调递减，在上单调递增.又，设满足且，则，故存在两个零点.(iii)设,由得或.若，则，故当时，因此在上单调递增.又当时，所以不存在两个零点.若,则，故当时，；当时，.因此在上单调递减，在上单调递增.又当时，所以不存在两个零点.综上,的取值范围为.(2)证明:不妨设.由(1)知，上单调递减，所以等价于，即.由于，而,所以设，则.所以当时,,而，故当时,.从而,故.11.答案：见解析解析：(l)的定义域为.当且仅当时，，所以在上单调递增.因此当时，,