《微积分基本定理》教学设计

18/181.6微积分基本定理(名师：朱俊)一、教学目标1．核心素养通过微积分基本定理的学习，提高推理论证、抽象概括能力，体会由局部到整体、具体到一般的数学思想.2．学习目标通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义，体会由局部到整体、具体到一般的思想.3．学习重点通过探究变速直线运动的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确应用基本定理计算简单的定积分.4．学习难点了解微积分基本定理的含义.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读课本1.6节，思考：（1）什么是微积分基本定理？（2）怎样利用微积分基本定理求定积分的值？（3）当曲边梯形的位置位于轴下方时，怎样求定积分的值？2．预习自测1．的值为()A．－2B．0C．5D.eq\f(1,2)答案：C．2．等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2答案：D．3．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案：D．（二）课堂设计1．知识回顾1）定积分的几何意义：如果在区间上连续且恒有，则定积分的几何意义是由与所围成的曲边梯形的面积.2）定积分的性质：（1）(k为常数)（2）；（3）（其中）.2．问题探究活动一：探讨导数与积分的关系我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法.有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即=而.活动二：证明微积分基本定理

对于一般函数，设，是否也有？若上式成立，我们就找到了的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法.设则在上，⊿y=将分成n等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则⊿y=∑⊿yi如下图，因为⊿hi=f(xi-1)⊿x而⊿yi≈⊿hi所以⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x故⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x=即=所以有微积分基本定理：如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果.例1．计算下列定积分：（1）；（2）.解：（1）因为，所以.（2））因为，所以.点拨：准确求出被积函数的原函数是求解本题的关键例2．计算下列定积分：.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.解：因为，所以，，.

可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时（图1.6一4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．

点拨：利用定积分的几何意义是解决本题的关键.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.点拨：可以看出，求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的过程就是求解定积分的过程，所以以后遇到类似的题就可以直接使用定积分来做.3．课堂总结【知识梳理】1.微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.我们常常把定理中的称为的原函数.2．定积分的取值定积分的值可能取正值也可能为负值，还可能是：（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于轴上方的曲边梯形面积等于位于轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为，且等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.【重难点突破】（1）微积分基本定理=1\*GB3①该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与导数互为逆运算.=2\*GB3②微积分基本定理提供了一种有效的求定积分的方法，且这种方法往往比利用定积分的定义求定积分简单.利用微积分基本定理求定积分的关键是找到的函数，即找到的原函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出.=3\*GB3③被积函数的原函数有很多，即若F(x)是被积函数f(x)的一个原函数，那么F(x)＋C(C为常数)也是被积函数f(x)的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或者是忽略C)都没有关系，事实上，以F(x)＋C代替微积分基本定理中的F(x)有eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．（2）利用微积分基本定理计算定积分时：=1\*GB3①常常先对被积函数化简，再求定积分；=2\*GB3②当被积函数为分段函数时，常常分成几段积分的和的形式求解；=3\*GB3③当被积函数含有绝对值符号时，常常先去掉绝对值符号再求定积分.（3）求定积分的主要方法有：=1\*GB3①利用定积分的定义；=2\*GB3②利用定积分的几何意义；=3\*GB3③利用微积分基本定理.4．随堂检测1.eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|eq\o\al(1,0)＝(e1＋1)－e0＝e.2．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,)ex)dx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3＝eq\f(1,3)×23－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnx＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)．ln2＜lne＝1，且eq\f(7,3)＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜eq\f(7,3)＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.3．若eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝0，则k等于()A．0B．1C．0或1D．不确定答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】eq\i\in(0,k,)(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍去)或k＝1.4．eq\i\in(0,2,)|1－x|dx＝()A．0B．1C．2D．－2答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】eq\i\in(0,2,)|1－x|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝(x－eq\f(1,2)x2)＋(eq\f(1,2)x2－x)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)×4－2)－(eq\f(1,2)－1)＝1.5．eq\i\in(-1,1,)(x2＋sinx)dx＝________.答案：eq\f(2,3)解析：【知识点：微积分基本定理】∵(eq\f(1,3)x3－cosx)′＝x2＋sinx，∴eq\i\in(-1,1,)(x2＋sinx)dx＝(eq\f(1,3)x3－cosx)＝eq\f(2,3).（三）课后作业基础型自主突破1．（）A．56B．28C.eq\f(56,3)D．14答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】＝eq\f(1,3)(43－23)＋eq\f(1,4)(44－24)－30(4－2)＝eq\f(56,3).2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是（）A．F(x)＝eq\f(1,3)x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋1D．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋c(c为常数)答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】3．若，则（）A．eq\f(3,2)B．2C．3D．4答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】，解得4．直线过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．答案：C解析：【知识点：定积分求面积】与围成的图形的面积为诶5．计算定积分___________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】6．计算下列定积分：（1）（2）（3）答案：见解析解析：【知识点：定积分的简单应用】（1）（2）（3）能力型师生共研7.若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x＞0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))f(f(1))＝1，则a的值为（）A.1B.2C.－1D.－2答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】f(1)＝lg1＝0，，由f(f(1))＝1，得a3＝1，a＝1.8．若直线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分eq\i\in(－a,a,)(x3＋sinx－5)dx的值为（）A．6＋2sin2B．－6－2cos2C．20D．－20答案：D解析：【知识点：微积分基本定理，两直线垂直】由l1⊥l2，可得a＝2，∴原式＝9．已知f(x)是一次函数且，，则f(x)的解析式为（）A．4x＋3B．3x＋4C．－4x＋3D．－3x＋4答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，①

②，联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b＝5,\f(a,3)＋\f(b,2)＝\f(17,6)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝3))，∴f(x)＝4x＋310.若函数f(x)，g(x)满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号).答案：①③解析：【知识点：微积分基本定理】①中eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,2)xcos\f(1,2)x))dx＝eq\i\in(－1,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))dx＝0；②中eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝－eq\f(4,3)≠0；③中f(x)·g(x)＝x3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件.探究型多维突破11．定义在R上的可导函数y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝eq\f(\i\in(a,b,)f(x)dx,b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】由已知得：f(x0)＝，即xeq\o\al(3,0)－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±eq\r(3)，∴f(x)的平均值点有3个.12．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为___________.答案：解析：【知识点：定积分求面积】当，线段的方程为；当时，线段方程为，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为.自助餐1．定积分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x20≤x<1，,2－x1≤x≤2.))则eq\i\in(0,2,)f(x)dx等于()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,6)D．不存在答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx3．若eq\i\in(1,a,)(2x＋eq\f(1,x))dx＝3＋ln2且a>1，则实数a的值是()A．2B．3C．5D．6答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】4．函数F(x)＝eq\i\in(0,x,)costdt的导数是()A．B．C．D．答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】5．（）A．B．C．D．答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】因为13f(3x)′=f′(3x)，所以取F(x)=13f(3x)，则abf′(3x)dx=F(b)-F(a)[=136．已知分段函数f(x)=1+x2,x≤0,e-x,x>0,则1A．B．C．D．答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】当时，；当时，；于是13f(x-2)dx=12f(x-2)dx+23f(x-2)dx=12[1+(x-2)2]dx+23e2-xdx=12(x7．____________________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝_________.答案：－1或eq\f(1,3)解析：【知识点：微积分基本定理】，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或eq\f(1,3).9．eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx＝_________.答案：2解析：【知识点：微积分基本定理】10．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，则k的值为______．答案：解析：【知识点：定积分求面积】抛物线与轴两交点的横坐标，，所以，抛物线与x轴所围图形的面积，抛物线与轴两交点的横坐标，于是，所以，解得：11．（1）已知函数f(x)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,x,))(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，试求a，b的值．（2）求f(a)＝eq\i\in(0,1,)(6x2＋4ax＋a2)dx的最小值答案：见解析解析：【知识点：微积分基本定理】（1）f(x)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,x,))(at2＋bt＋1)dt＝∵f(x)为奇函数，∴eq\f(b,2)＝0，即b＝0.又∵f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a,3)＋1＋eq\f(a,3)＋1＝eq\f(1,3)，∴a＝－eq\f(5,2).综上：a＝－eq\f(5,2)，b＝0.（2）f(a)＝eq\i\in(0,1,)(6x2＋4ax＋a2)dx＝eq\i\in(0,1,)6x2dx＋eq\i\in(0,1,)4axdx＋eq\i\in(0,1,)a2dx＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2∴当a＝－1时，f(a)的最小值为1.12．设.（1）求F(x)的单调区间；（2）求F(x)在[1,3]上的最值．答案：见解析解析：【知识点：微积分基本定理】，定义域是(0，＋∞)．（1）＝x2＋2x－8＝(x＋4)(x－2)，∵当x<－4或x>2时，F′(x)>0；当－4<x<2时，F′(x)<0.又∵x>0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)．（2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，又F(1)＝－eq\f(20,3)，F(2)＝－eq\f(28,3)，F(3)＝－6，∴F(x)在[1,3]上的最大