《导数在研究函数中的应用（第2课时）》教学设计

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用第二课时（税长江）一、教学目标1.核心素养通过学习导数在研究函数中的应用，提升运算求解、推理论证能力、体会丰富的数学思想.2.学习目标结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.（1）探索函数极值的定义和求法（2）运用极值，逆向思考求参数（3）极值和最值的关系，求函数的最值3.学习重点利用导数求函数的极大值、极小值，以及函数在给定区间上的最大值与最小值.4.学习难点函数在某点取得极值的必要条件与充分条件以及利用导数研究函数的综合应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务 任务1 阅读教材P26－P31，思考：极值的概念是什么？极值在图象上有什么特征？极值与最值是什么关系？ 任务2 整理求函数极值的一般步骤任务3 思考：导数值为是函数在这点取极值的什么条件？2.预习自测1.设函数，则（）A.为的极大值点 B.为的极小值点C.为的极大值点 D.为的极小值点解：D2.函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数为（）A.2B.1C.0D.由a确定解：C3.函数f(x)＝x＋2cosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最小值是（）A.－eq\f(π,2)B.2C.eq\f(π,6)＋eq\r(3)D.eq\f(π,3)＋1解：A（二）课堂设计1.知识回顾（1）函数f(x)在点x0处的导数的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的切线的斜率.相应的，切线方程为.（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是什么？1.确定函数的定义域；2.求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根.3.把函数的间断点（即的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间.4.确定在各小开区间内的符号，根据的正负判定函数在各个相应小区间的增减性.2.问题探究问题探究一极值与导数有什么关系？重点、难点知识★▲●活动一数形结合，探寻定义请运用导数研究的单调性，并作出其图象.观察图象上和这两个特殊的位置，思考它们具有什么特征？★▲若函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都小，我们就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都大，我们就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 需要注意的是：极值点是函数取得极值时自变量的值，是一个实数，不是一个点.从导数的角度看，如果是极小值点，则，而且在附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0；类似地，如果是极大值点，则，而且在点附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，极值点在导数上有明显的特征，我们可以借助这一点来寻找函数的极值点.例1.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点【知识点：极值的定义】详解：A通过观察，左侧导数为正，右侧为负，，所以为的极大值点.点拨：极值点在导数图象上具体表现为“变号零点”，判断极值点时一定要高度关注左右两边的符号.●活动二归纳总结，探寻方法例2.设，其中为正实数.（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.【知识点：极值的定义和求法，二次不等式恒成立问题】详解：（1）当时，，由得解得由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：x+0-0+↗极大值↘极小值↗所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点.（2）因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数，恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得.点拨：依据极值的概念可知：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在的左侧与右侧，的符号不同，所以需要对两边的符号加以说明，而列表是最清晰的表达方式.●活动三总结提升求函数极值的一般步骤是什么？（1）求函数的定义域；（2）求导函数，并求出在定义域内的全部实根；（3）判断的每一个实根左、右两侧的导函数符号：=1\*GB3①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数这个实根处取得极大值；=2\*GB3②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数在这个实根处取得极小值.问题探究二已知极值求参数.重点、难点知识★▲●活动一抓住特征，逆向思考例3.若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】详解：3，，回代检验，x＝1处导数两端异号，所以在x＝1处取得极值，点拨：函数在极值点处的导数为，但导数值为的点不一定是函数的极值点.也就是说，函数在某点的导数值为是函数在这点取极值的必要而不充分条件，通过将求出的值作回代检验是必须的.例4.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.【知识点：函数在某点取得极值的条件】详解：（1）f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝a＋2b＋1＝0,f′2＝\f(a,2)＋4b＋1＝0)).解得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，回代检验，符合要求，所以a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6)，(2)f′(x)＝－eq\f(2,3x)＋(－eq\f(x,3))＋1＝－eq\f(x－1x－2,3x).函数定义域为(0，＋∞)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴x＝1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点.点拨：答题时注意区分是“极值点”还是“极值”，极值意指函数值，极值点意指的值.问题探究三利用极值求最值重点、难点知识★▲●活动一结合图象，辨清原理结合的图象，试求其在上的最小值，你发现什么结论？1.函数在闭区间上的最值有什么结论？般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.此时，函数的最大值和最小值必在极值处或区间的端点处取得.2.求函数在上的最大值与最小值的步骤是什么？（1）求函数在区间内的极值；（2）将函数各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例5.函数y＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是（）A.－eq\f(17,3)B.－eq\f(10,3)C.－4D.－eq\f(64,3)【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】详解：A点拨：极值是一个局部概念，是比较极值点附近的函数值得出的，因此端点绝对不是极值点，但最值是一个整体概念，是比较某个区间内的所有函数值得出的；在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.例6.已知函数.（1）当时，求函数f(x)在上的最大、最小值；（2）当时，求证：时，.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）当时，，于是，令，可得：当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，于是，又，，所以.（2）当时，设F(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnxeq\f(2,3)x3，则F′(x)＝x＋eq\f(1,x)－2x2.因为x＞1，所以F′(x)＜0.所以函数F(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝eq\f(1,6)＜0，所以，在区间(1，＋∞)上F(x)＜0，即.点拨：若连续函数在开区间内只有唯一一个极值点，则这个极值点一定就是最值点.3.课堂总结【知识梳理】1.极值点和极值的概念：设函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都小，我们就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都大，我们就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.2.求函数极值的一般步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导函数，并求出在定义域内的全部实根；（3）判断的每一个实根左、右两侧的导函数符号：=1\*GB3①如果在一个实根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数这个实根处取得极大值；=2\*GB3②如果在一个实根的左侧为负，右侧为正，那么函数在这个实根处取得极小值3.求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在区间内的极值；（2）将函数各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【重难点突破】（1）可导函数在极值点处的导数为，但导数值为的点不一定是函数的极值点.也就是说，函数在某点的导数值为是函数在这点取极值的必要而不充分条件.（2）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在的左侧与右侧，的符号异号.因此，若函数在某个区间内有极值，则在这个区间内一定不是单调函数.也就是说在某个区间内的单调函数没有极值.（2）在函数的定义域内可以有许多个极大值和极小值，但若有最大值与最小值，则最大值与最小值具有唯一性；函数的极小值不一定小于极大值，但最大值一定比最小值大.4.随堂检测1.函数的极大值为__________________.【知识点：利用导数研究函数的极值】解：2.当函数y＝x·2x取极小值时，x＝（）A.eq\f(1,ln2)B.－eq\f(1,ln2)C.－ln2D.ln2【知识点：利用导数研究函数的极值】解：B由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.3.若f(x)＝2x3－6x2＋m在[－2,2]上有最大值3，则f(x)在[－2,2]上的最小值为______________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：－374.已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题】解：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2，又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3，答案：[3，＋∞)5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A.－13 B.－15C.10 D.15【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.（三）课后作业基础型自主突破1.函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是（）A.0B.eq\f(1,e)C.eq\f(4,e4) D.eq\f(2,e2)【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：Bf′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝eq\f(4,e4)，f(1)＝e－1＝eq\f(1,e)，∴f(1)为最大值.2.已知f(x)＝eq\f(1,2)x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值，又有最小值的奇函数【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：Df′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx.当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值.所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.3.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为（）A.0≤a<1 B.0<a<1C.－1<a<1 D.0<a<eq\f(1,2)【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：B∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A.－1＜a＜2B.－3＜a＜0C.a＜－1或a＞2D.a＜－3或a＞6【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：D5.若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，f(2)的大小关系为______________.【知识点：利用导数研究函数的单调性】解：6.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：－37能力型师生共研7.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A.(0,1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(0，eq\f(1,2))【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：Df′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,\r(2b)<1，))∴0<b<eq\f(1,2).8.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|取到最小时t的值为________.【知识点：利用导数求函数的最值】解：eq\f(\r(2),2)当x＝t时，f(t)＝t2，g(t)＝lnt，∴y＝|MN|＝t2－lnt(t＞0).所以y′＝2t－eq\f(1,t)＝eq\f(2t2－1,t).当0＜t＜eq\f(\r(2),2)时，y′＜0；当t＞eq\f(\r(2),2)时，y′＞0.∴y＝|MN|＝t2－lnt在t＝eq\f(\r(2),2)时有最小值.9.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A.B.C.D.【知识点：构造新函数，数学思想：数形结合】解：D∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴当x<0时，[f(x)g(x)]′>0，∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数.又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称.∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0，当x>0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.10.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线.（1）求的值；（2）若函数，讨论的单调性.【知识点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）因，又在x=0处取得极限值，故从而.由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即.（2）由（1）知，，则，令=1\*GB3①当；=2\*GB3②当，故K=1时，g（x）在R上为增函数；=3\*GB3③方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数.探究型多维突破11.设函数f(x)＝ex－eq\f(k,2)x2－x.（1）若k＝0，求f(x)的最小值；（2）若k＝1，讨论函数f(x)的单调性.【知识点：利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性】解：（1）k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.故f(x)的最小值为f(0)＝1.（2）若k＝1，则f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x，定义域为R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减.∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上单调递增.12.设函数.（1）求的单调性；（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围(其中e为自然对数的底数).【知识点：零点个数的判定，利用导数研究函数的单调性】解：（1）由题知：的定义域为，且令，得，解得：或（舍），于是.当时，；时，.所以的单调递减区间为，的单调递增区间为.（2）由于函数在上有两个零点，故在上有两个不同的根，由（1）知：在上单调递减，上单调递增，于是时，，又，当，且时，，故.即实数的取值范围为.自助餐1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：A2.函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（）A.－2 B.0 C.2 D.4【知识点：利用导数求函数的最值】解：C3.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为（）A.0B.－eq\f(4,27)C.－eq\f(5,27)D.1【知识点：利用导数研究函数的极值】解：Af′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝eq\f(1,3).经检验知x＝1是函数的极小值点.∴f(x)极小值＝f(1)＝0.4.设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则（）A.a>－3B.a<－3C.a>－eq\f(1,3)D.a<－eq\f(1,3)【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：By′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－eq\f(3,a)<1，∴a<－3.5.已知a≤eq\f(1－x,x)＋lnx对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，则a的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【知识点：利用导数求函数的最值】解：A6.设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数，若函数，恒有，则（）A.K的最大值为eq\f(1,e)B.K的最小值为eq\f(1,e)C.K的最大值为2D.K的最小值为2【知识点：利用导数求函数的最值】解：B由f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，令f′(x)＝，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)在x＝1时取得最大值eq\f(1,e)，而f(x)≤K恒成立，所以eq\f(1,e)≤K，故K的最小值为eq\f(1,e)，选B.7.设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：68.函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则a的取值范围为____________.【知识点：函数在某点取得极值的条件，根分布问题】解：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝2x＋eq\f(a,1＋x)＝eq\f(2x2＋2x＋a,1＋x)(x＞－1)，由题意知2x2＋2x＋a＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x1，x2且x1＜x2，令g(x)＝2x2＋2x＋a(x＞－1)，利用根的分布可解得9.已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m.若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_____.【知识点：利用导数求函数的最值】解：[－eq\f(5,2)，＋∞)要使∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]，使f(x1)≥g(x2)，只需f(x)＝x2＋eq\f(2,x)在[1,2]上的最小值大于等于g(x)＝(eq\f(1,2))x－m在[－1,1]上的最小值.10.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).（1）若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.【知识点：函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：（1）由已知可得f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y所以，即，解得a＝4，b＝24.（2）f′(x)＝3(x2－a)(a≠0).当时，f′(x)0，故函数f(x)在上单调递增，此时f(x)没有极值点.当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±eq\r(a).当x∈(－∞，－eq\r(a))时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－eq\r(a)，eq\r(a))时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(eq\r(a)，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.此时x＝－eq\r(a)是f(x)的极大值点，x＝eq\r(a)是f(x)的极小值点.11