知识诊断：导数概念与运算

PAGE1/11导数知识诊断之概念与运算问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？知识诊断：导数的定义：一般的设函数在区间上有定义，，当时，比值趋近于常数，则在点处可导，并称常数为函数在点处的导数，记作。导函数：函数在区间上任一点都可导，则在各点的导数称为导函数简记为.典例分析;例题1：设函数在处可导，则等于A．B．C．D．【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算[解析].故选【技巧指引】求解本题的关键是变换出定义式导数的几何意义：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0，y0)的切线的斜率，对应的切线方程为。物理意义：若物体运动方程是s=s(t)，在点P(i0，s(t0))处导数的意义是t=t0处的瞬时速度。注意：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。而且应明确点(x0，y0)不一定是切点。典例分析：例题1：如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则=.【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上.解析:观察图形,设,过P点的切线方程为即它与重合,比较系数知:故=2.例题2：求在点和处的切线方程。【解题思路】：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：【技巧指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．例题3：一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.:解析：加速度v=(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【技巧指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是1.计算2.计算变式练习：1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为 ()A．－1 B．－3 C．7 D．13解:B点拨:计算即可3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.问题3：导数运算的基本法则是什么？知识诊断;1、几种常见函数的导数(为常数)；()；；；；；；.2、导数的运算法则：1、；；.2、复合函数的求导法则：或典例分析：例题1：求下列函数的导数：(1)(2)(3)【解题思路】按运算法则进行[解析](1)(2)(3)例题2：.已知,则.【解题思路】复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.设,,则.【技巧指引】注意复合函数的求导方法(分解求导回代)；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.例题3：已知函数(1)若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】求导运算后求切线方程：先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：(1)设切线的斜率为k，则 又，所以所求切线的方程为：即 【技巧指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.例题4：某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为()A.B.C.D.【解题思路】求导运算后的小应用题：先对的求导,再代的数值.解析:选D【技巧指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.变式练习：1.设函数，且，则A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.解:先求导再将0代入故又,故2.设函数，(、、是两两不等的常数)，则．解析:代入即得0..3.质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解.演练广场：基础巩固训练1.是的导函数，则的值是．解析:故=32.在处的导数值是___________.解析：故填3.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为.解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P(x,y).由图可知，点P在x轴下方的图象上，∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4.∴P(4,－4)4.已知，()，直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由，得(不合题意，舍去)；5.已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由，故直线l的斜率为1，切点为即(1，0)∴①又∵∴即②比较①和②的系数得综合拔高训练6.对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:(1)求函数的“拐点”A的坐标;(2)求证的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明).[解析](1)，.令得，.拐点(2)设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。(1)若，求的值；(2)用表示，并求的最大值。解：(1)设与在公共点处的切线相同由题意知 ，∴由得，，或(舍去)即有(2)设与在公共点处的切线相同由题意知 ，∴由得，，或(舍去)即有令，则，于是当，即时，；当，即时， 故在的最大值为，故的最大值为8.设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；解：(Ⅰ)方法一、.由题设，得①②∵，∴，∴。由①代入②得，∴，得∴或③将代入中，得④由③、④得；方法二、同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，所以，则方法三：同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，显然，所以因为图象的开口向下，且有一根为x1=1由韦达定理得,,所以，即，则，由得：所以：高考真题再现1、(2010全国卷2理数)若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(A)64(B)32(C)16(D)8【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.2、(2010辽宁文数)已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是(A)[0,)(B)(C)(D)【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。解析：选D.，，即，3、(2010全国卷2文数)若曲线在点处的切线方程是，则(A)(B)(C)(D)【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线