2019全国i卷文综数学试卷及答案

2019全国i卷文综数学试卷及答案一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x＜0或x＞2}，B={x|4x-1＜0}，则A∩B为A.{x|x＜0}B.{x|x＜0或x＞2}C.{x|0＜x＜1/4}D.{x|1/4＜x＜2}2.函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为A.1B.3C.1或3D.23.已知向量a=(3,2)，b=(1,-1)，则向量a+2b为A.(5,0)B.(5,4)C.(1,4)D.(1,0)4.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，则x的值为A.0B.±√3C.1D.-15.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=(√2/2)x，则A.a=bB.a=2bC.b=2aD.a=√2b6.已知等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则该数列的前n项和Sn为A.2^n-1B.2^nC.2^(n+1)-2D.2^(n+1)-17.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，则x的值为A.1B.2C.1或2D.08.已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若椭圆E的离心率为√3/3，则A.a=3bB.a=2bC.a=√3bD.a=√2b9.已知向量a=(1,-1)，b=(2,1)，则向量a·b为A.0B.1C.-1D.210.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0，则x的值为A.1B.3C.1或3D.211.已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则该数列的前n项和Sn为A.3n+n(n-1)/2B.3n+3n(n-1)/2C.3n+3n(n+1)/2D.3n+n(n-1)/212.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，则x的值为A.1B.2C.1或2D.0二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。13.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为1或3。14.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=(√2/2)x，则a=√2b。15.已知等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则该数列的前n项和Sn为2^(n+1)-2。16.已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若椭圆E的离心率为√3/3，则a=2b。三、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分12分）设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。当x＜0时，f'(x)＞0，说明f(x)在(-∞，0)上单调递增；当0＜x＜1时，f'(x)＜0，说明f(x)在(0，1)上单调递减；当1＜x＜2时，f'(x)＞0，说明f(x)在(1，2)上单调递增；当x＞2时，f'(x)＜0，说明f(x)在(2，+∞)上单调递减。综上，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。18.（本题满分12分）已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），若椭圆E的离心率为√3/3，求椭圆E的方程。解：由题意可知，离心率e=c/a=√3/3，其中c为焦距，a为长半轴，b为短半轴。根据椭圆的性质，有a^2=b^2+c^2，代入e=√3/3，可得a=2b。将a=2b代入椭圆方程，得到x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1，即x^2/4+y^2=1。19.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。解：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。当x＜0时，f'(x)＞0，说明f(x)在(-∞，0)上单调递增；当0＜x＜2时，f'(x)＜0，说明f(x)在(0，2)上单调递减；当x＞2时，f'(x)＞0，说明f(x)在(2，+∞)上单调递增。综上，f(x)的极大值为f(0)=2，极小值为f(2)=-2。20.（本题满分12分）已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，求该数列的前n项和Sn。解：根据等差数列的求和公式，Sn=n(a1+an)/2，其中an为第n项。由题意可知，an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。代入求和公式，得到Sn=n(2+3n-1)/2=3n^2/2+n/2。21.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。当x＜0时，f'(x)＞0，说明f(x)在(-∞，0)上单调递增；当0＜x＜1时，f'(x)＜0，说明f(x)在(0，1)上单调递减；当1＜x＜2时，f'(x)＞0，说明f(x)在(1，2)上单调递增；当x＞2时，f'(x)＜0，说明f(x)在(2，+∞)上单调递减。综上，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。22.（本题满分12分）已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0），若双曲线C的一条渐近线方程为y=(√2/2)x，求双曲线C的方程。解：由题意可知，双曲线C的渐近