2025年中考第一次模拟考试卷：数学（青岛卷）（解析版）

2025年中考第一次模拟考试

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.随着我国科技事业的不断发展，国产无人机所使用的芯片越来越先进，在芯片上某种电子元件大约只占

0.00000065mm2.将0.00000065用科学记数法表示为（）

A.0.65x10-8B.6.5x107C.6.5xlO^8D.65xl0"6

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1＜同＜10,"为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与

小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数，即可.

【详解】解：0.00000065=6.5xW7

故选：B.

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别

【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，理解轴对称图形和中心对称图形的定义是正确

解决本题的关键.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可.

【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意;

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

3.实数。、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子不成立的是（）

ab

iiii1A

-2-1012

A.a<bB.|«|<|&|C.a+b<0D.a—b<0

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负

【分析】本题考查了数轴上的点与式子符号的确定，掌握数轴的特点是解题的关键.

根据数轴特点可得，a<-l<0<b<l,\a\>l>\b\,由此即可求解.

【详解】解：根据图示可得，a<-l<0<b<l,问>1>同，

:.A、a<b,正确，不符合题意；

B、\a\>\b\,原选项错误,符合题意；

C、a+b<0,正确，不符合题意；

D、a-b<0,正确，不符合题意；

故选：B.

4.如图，已知44BC三个顶点的坐标分别为A（0,4）,,C（-2,2）,将zUBC向右平移3个单位，

得到AA'8'C',点、A,B,C的对应点分别为A,B',C,再将AAEC绕点9顺时针旋转90。，得△A®C»,

点A,B',C的对应点分别为A"、B”、C"则点A'的坐标为（）

A.（3,-2）B.（5,0）C.（6,0）D.（6,1）

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、由平移方式确定点的坐标

【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形.利用平移变换,

旋转变换的性质正确作出图形，可得结论.

【详解】解：如图，4（5,0）.

5.如图，直角三角板的直角顶点A在直线机上，且直线加〃〃，若Nl=25。，则/2的度数是（）

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由4=25。可得N3=65。，进而由平行线的性质得

Z4=Z3=65°,再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：,•,NBACn%。，XI=25°,

：.Z3=90°-N1=90°-25°=65°,

9•m//n,

・・・N4=N3=65。，

"=60°,

?.N2=180°-/4-NC=180°-65°-60°=55°,

C.5和6之间D.6和7之间

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算、不等式的性质

【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到

（3岳-岳）十君=3囱-2,再由无理数估算得到6=庖<屈<风=7,最后由不等式性质即可得到答

案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键.

［详解］解：（3岳_呵用

3岳-屈

-~忑-

_3x^xV573x74

y/3A/3

=3指-2,

3A/5=A/45,>6=V36<A/45<V49=7,

.­.4<3A/5-2<5,即（3岳一至）十退的值应在4和5之间，

故选：B.

7.如图，点E在正方形ABC。的边CD上，将绕点A顺时针旋转90。到Z\A班'的位置，连接砂，过

点A作砂的垂线，垂足为点H,与交于点G,若BG=3,CG=2,则CE的长为（）

44

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三

角形

【分析】连接EG,旋转得到4尸=尸=OE,三线合一得到AG垂直平分砂，得到Gf^EG,设

DE=BF=x,在Rt^GCE中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：连接EG,

FBGC

•正方形ABC。，

AB=BC=CD=AD=BG+CG=5,=NC=AABC=90°,

・・•旋转，

・•.AE=AF,DE=BF,ZABF=ZD=90°,

：.ZABF-^-ZABC=180°f

・・・£5,G三点共线，

•：AH上EF,

・•・FH=EH,

・•・AG垂直平分所，

：.GF=EG,

^DE=BF=x,贝lj：GF=EG=3+x,CE=CD-DE=5-x,

在RtzXGCE中，EG2=CG2+CE2,

/.(3+4=2?+(5-尤y,

解得…

故选C.

【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点,

利用勾股定理构造方程进行求解，是解题的关键.

8.如图，在ZUBC中，AB=AC,以AC为直径的。。与AB,分别交于点O,E,连接AE,DE,

若NBED=45。,AB=2,则阴影部分的面积为（）

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】求扇形面积、圆周角定理、等腰三角形的定义

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算.连接OE,OD,证明

^^AOD=AAED»可得§阴影=S扇形。4。，求解/AOD=90。，再利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：连接OE,OD,

：AC为。。的直径,

?.ZAEC=90°,

'：AB=AC,

BE=CE,

即点£是BC的中点，

•・•点。是AC的中点，

・•・OE是ZM3C的中位线,

・•・OE//AB,

•v=q

••-LAED，

S阴影=S扇形QAD,

ZAEC=90°,

.・・ZAEB=90°,

*.*/BED=45。，

：.ZAED=45°f

：.ZAOD=90°,

90?ixl2_7i

S扇形QAD

360~4

故选：A.

9.如图，抛物线＞=依2+法+。(。70)与工轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-g,结合图象分析下列结

论：

①abc＞0；

②对于任意实数机，都有工。-工6"“〃》+加；

42

③当尤＜0时，y随尤的增大而增大；

@3a+3b+c=0；

⑤若小马(%＜々)为方程a(x+3)(x-2)=l的两个根，则一3cxi＜马＜2.

其中正确结论的个数有()个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数图象

与各项系数符号、抛物线与X轴的交点问题

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与X轴的交点，

解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线

b1

再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解.

2a2

【详解】解：：抛物线开口向下，

••av0.

又,/抛物线与y轴交于正半轴，

c>0.

又•••对称轴是直线x=-9b=-；1,

2a2

b=a<0.

abc>0,故①正确.

由题意，当％=—万0寸，y取最大值为wQ+'b+c，

・••对于任意实数m，都有am2+bm+c<—a+—b+c.

42

-a--b>am2+bn,故②错误.

42

由题意，：抛物线的对称轴是直线X=且开口向下，

.•.当时，y随x的增大而增大，故③错误.

•••抛物线与x轴交于点(-3,0),

**•9a—3b+c=0.

又•：b=a,

9a-3b+c=9a-3a+c=6a+c=0.

3a+3b+c=3a+3a+c=6a+c=0,故④正确.

由题意，,••抛物线的对称轴是直线无=-;，且与X轴交于点(-3,0),

抛物线与x轴的另一交点为(2,0).

二抛物线为y=a(x+3)(x-2).

方程a(x+3)(x-2)=l的根可以看作直线y=l与抛物线y=a(x+3)(x-2)的交点的横坐标.

y=1在x轴上方,

二若石,%(%<9)为方程a(x+3)(x-2)=l的两个根，则-3cxi〈尤2<2,故⑤正确.

综上，正确的有①④⑤共3个.

故选：C.

第n卷

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

10.(-3/叶+8。％2+(_2叫=.

【答案】5a6b2

【难度】0.65

【知识点】整式四则混合运算

【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可.

【详解】解：(-3°3"+8〃8

^9a6b2-4a6b2

=5器2,

故答案为：5a6b2.

11.《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm,宽为27cm的矩

形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11:20,且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm?设边框的

【难度】0.65

【知识点】列分式方程

【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可.

【详解】解：装裱后的长为(54+2x)cm,宽为(27+2x)cm,根据题意，得

27+2x_11

54+2720

27+2%_11

故答案为:54+27-20

12.如图，是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环,

那么S/（填“<"、"=”或">”）

【答案】<

【难度】0.65

【知识点】由条形统计图推断结论、求方差、求加权平均数

【分析】本题考查了方差，条形统计图，根据条形统计图和题意得出甲、乙的成绩，再分别求出它们的方

差即可判断求解，掌握方差的计算方法是解题的关键.

【详解】解：甲的成绩为：8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,

.——8x4+9x7+10x4八

..踊=---------------=9,

•片_1（8-9）2+（8-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2

-S甲15+©_9）2+©_9）2+（］0_切2+（］0_9）2+（］0_9）2+（］0_男2

乙的成绩为：，8,8,8,9,9,9,9,10,10,10

/.S/1（（8-9）2+（8-9『+（8-9『+（9-9『+（9-9『+（9-9）2+（9-9『+（10-9）2+（10-9『+（10-9）2）=0.6,

<S乙2,

故答案为：<.

13.如图，正八边形的边长为2,对角线A3、CD相交于点E.则线段的长为

D

【答案】2+20

【难度】0.65

【知识点】正多边形的内角问题、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查正多边形的性质，矩形的性质，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确

解答的前提.

根据正八边形的性质得出四边形DEGP是矩形，AAFG、VBDE是等腰直角三角形，AF=DF=BD=GE=2,

再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AG,GE,跖即可.

360°

根据正八边形可得ZAFD=ZFDB=180°--------=135°,AF=DF=BD,

8

由题意可知，四边形。EG尸是矩形，AAFG、V3DE是等腰直角三角形，

AF=DF=BD=GE=2,

在RMACE中，AF=2,AG=FG,

：.AG2+FG2=2AG2=2FG2=AF2,

AG=FG=—AF=y/2,

2

同理=,

:.AB=AG+GE+BE=s/2+2+y/2=2+2y/2，

故答案为：2+2丘.

14.如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点RG,OC=6,OE=4,9G的

面积为9,则该反比例函数解析式为.

【难度】0.65

【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式）

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是

解题的关键.

由反比例函数k的几何意义得到AOCG的面积=AOE尸的面积,根据△。尸G的面积=矩形的面积-aCG的

面积-△。麻的面积尸G的面积可求出左，即可求出答案.

【详解】解：设反比例函数解析式为＞=8,

X

•••矩形OCDE分别交某反比例函数于点RG,OC=6,OE=4,

/.尸,4）,G[6,,A℃G的面积=AOEF的面积=1,

△（?尸G的面积=矩形的面积-AOCG的面积-AOEF的面积-ADFG的面积=9,矩形的面积=4x6=24,

解得上=12（负值已舍去），

12

反比例函数解析式为y=一.

12

故答案为：y=-.

15.如图，AC±CB,AC=CB,以BC为直径作半圆O,P为弧BC上一点,且NC4P最大，延长AP、CB,

交于点D则sinD的值为.

3

【答案】-/0.6

【难度】0.65

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定

理求证

【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定

得到NACB=90。=NOPD,利用切线长定理得到AC=AP,证明AOPDSAACB,设OC=OB=OP=x,

35

BD=m,则AC=AP=2x,利用相似的性质得到x=m，进而得到。。=彳相，再根据正弦的定义求解，

22

即可解题.

【详解】解：连接。尸，,

A

VP为弧BC上一点，且/C4P最大，

:.OPLAD,ZOPD=90°,

ACLCB,

AP与圆。相切于点P,AC与圆。相切于点C,

:.ZACB=9(r=/OPD,AC=AP,

■.■ZD=ZD,

「.△OPDSAACB,

OPPDOP

'AD-CD-AC?

•・•AC=CB9

设OC=OB=OP=x,BD=m,贝”AC=AP=2x,

.x+mPD1

AD2x+m2’

AD=2x+2m,PD=x+—m,

2

•/AD—AP=PD,

/.2m=x+—mf

3

/.x=—m,

2

/.OD=x+m=—m,

2

三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

16.如图，已知线段。和/a,求作ZABC,使AB=a,ZA=yZa,/8=/a（使用直尺和圆规，并保留

作图痕迹）.

【答案】见解析

【难度】0.65

【知识点】作线段（尺规作图）、尺规作一个角等于已知角、作角平分线（尺规作图）

【分析】先作线段=再作NZMB=Nna4=cr,再作的角平分线AC,AC与£）3的交点为C,

则/ABC即为所求作的三角形

【详解】如图，先作线段AB=a,再作==再作—DR的角平分线AC,AC与的交点

为C,则ZM2C即为所求作的三角形

【点睛】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角平分线，掌握基本作图

是解题的关键.

四、解答题（本大题共9个小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

2x+1<3

17.（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）解不等式组：工1-3%

-+-----<11；

124

（2）化简:

x2-lxx2-4x+4

【答案】（1）-3<x<l；（2）---y

（尤-2）

【难度】0.65

【知识点】分式加减乘除混合运算、求不等式组的解集

【分析】本题考查的是分式的混合运算及解一元一次不等式组.

（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果.

2尤+1<3①

【详解】解：⑴\x1-3无，台，

-+----<1®

124

由①得，x<l,

由②得，x——3,

故不等式组的解集为：-3<x<l；

尤+2x-1）x

2

21x?-2尤x-4x+4）x-4

x+2x-1X

x(x—2)d)2_x-4

/尤2—4尤2—尤)尤

2

、元(x—2)2x(x—2)Jx-4

-4—x~+xx

x(^x—2)~x—4

x-4x

尤(x—2)~x—4

(%-2)2,

18.（本小题满分6分）3月14日是国际数学日，也称“万日”.2024年3月14日某校七年级300名学生参

加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛.比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，

达到90分及90分以上的学生可获得“万日”徽章.学校为了解学生的积分情况，随机抽取了机名学生，并对

他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20Vx<40,40Vx<60,60Vx<80,

80Vx<100,100<x<120)；

七年级优名学生积分频数分布直方图七年级优名学生积分扇形统计图

徽章

(1)下列抽取样本的方式中，最合理的是(填写序号)；

①从七年级的学生中抽取优名男生；

②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生；

③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取M名学生.

(2)求加的值，并补全频数分布直方图；

⑶求100这一组对应的扇形的圆心角度数.

【答案】⑴③(2)m=40,图见解析(3)81°

【难度】0.65

【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、调查收集数据的过程与方法

【分析】本题考频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、抽样调查的可靠性，能够读懂统计图表，

掌握抽样调查的可靠性是解答本题的关键.

(1)根据抽样调查的可靠性可得答案.

(2)用20Wx<40的频数除以扇形统计图中204x<40的百分比，可得加的值；用加的值分别减去其他各

组的频数，可得积分为100VxW120的频数，补全频数分布直方图即可.

(3)用360。乘以积分为100W120的人数所占的百分比，即可得出答案.

【详解】(1)解：由题意知，抽取样本的方式最合理的是③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取加

名学生.故选：③.

(2)解：由题意得，m=410%=40.

积分为100〈x〈120的人数为40-4-11-7-9=9(人).

补全频数分布直方图如图所示.

七年级优名学生积分频数分布直方图

Q

(3)解：100〈xW120这一组对应的扇形的圆心角度数是360。又一=81。.

40

19.(本小题满分6分)庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版

“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”

的寓意.小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A.“福星蛇墩墩”，8.“禄星蛇墩墩”，C.“寿

星蛇墩墩”，。.“喜星蛇墩墩”，E.“财星蛇墩墩”(除正面内容不同外，其余均相同)，现将五张卡片背面

朝上，洗匀放好.

ABCDE

(1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是;

(2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随

机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福

星蛇墩墩”的概率.

【答案】(呜(2)|

【难度】0.65

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结

果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：：一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概

率相同,

.••小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为%

（2）解：画树状图下:

开始

BCDEACDEABDEABCEABCD

由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种,

123

则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为

20.（本小题满分6分）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装

要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意

图，已知试管AB=27cm,=试管倾斜角为ZABG为12。（参考数据：sin12。=0.21；cos12。。0.98）

（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离3G的长度;

（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN,延长8”交CN的延长线于点E且于点N（点C,D,N,F

在一条直线上），经测得：OE=29cm,MN=9cm,NABM=147。，求线段ON的长度.

【答案】（1）8.82cm⑵26.93cm

【难度】0.65

【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解

题的关键；

（1）由题意可求得助的长，再由余弦函数定义即可求得3G的长；

（2）由正弦函数求得EG；延长GB,NM交于点H,则得四边形DA归G是矩形，求得NH,MH,再由条

件得BH=HM,最后由DNuGHuBG+B”即可求解.

【详解】（1）解：•.•AB=27cm,BE=-AB,

BE=—x27=9cm,

3

/.BG=9cosl2°=9x0.98=8.82(cm)；

FG

(2)W：vsinl20=—,

BE

EG=9sinl2°(cm),

延长GB,M0交于点H,

NH=DG=DE—EG=Q9—9sinl2°）cm,DN=GH,

:.HM=NH-MN=（20-9sinl20）cm,

Q/ABG=12。，/ABM=147。，

.\^FBG=135°,

..NMBH=45。,

NMBH=ZBMH=45°,

/.BH=HM=（20-9sinl20）cm,

:.DN=GH=BG+BH

=9cosl2°+20-9sinl2°

=9x0.98+20-9x0.21

=26.93（cm）；

答：线段。N的长度为26.93cm.

21.（本小题满分8分）阳光玫瑰葡萄鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元/千

克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元/千克，试销期间发现，该

种阳光玫瑰葡萄每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价X（元/千克）222426

销售量y（千克）200180160

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？

(3)当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润w(元)最大？最大利润是多少元？

【答案】(l)y=T0x+420(16WxW28)；

(2)当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元；

(3)当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元.

【难度】0.65

【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数实际应用)

【分析】(1)设y与尤之间的函数关系式为了=履+。，将x=22,y=200和》=24,y=18。分另I]代入y=Zx+6

即可求解；

(2)根据题意得(x-16)(-l0x+420)=1600,然后解方程并检验即可；

(3)由题意得川=-10/+580%一6720=-10(%一29)2+169。，根据二次函数的性质即可求解；

本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：设y与X之间的函数关系式为丫=区+6,

将x=22,y=200和x=24,y=180分另j代i入y=爪+6,

[200=22k

得q

180=2必+。'

・・・y与%之间的函数关系式为y=-10^+420(16<x<28)；

(2)解:根据题意得(x—16)(—10x+420)=1600,

解得占=26,%=32(舍)，

答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元;

(3)解：由题意得W=(X-16)(-10X+420)=-10X2+580X—6720,

W=-10(X-29)2+1690,

V-10<0,

二当29时，w随X的增大而增大，

V16<x<28,

二当x=28时，w最大为1680,

答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元.

22.（本小题满分8分）【实例】求值:1+2+22+23+24……+210

解:^P=l+2+22+23+24……+210®

将等式两边同时乘2,得:2P=2+22+23+24+25……+2”②

将②式减去①式，得：2尸_尸=2“_1，

2341011

即P=l+2+2+2+2……+2=2-1

【运用】（1）1+2+22+23+24......+220=；

【拓展】⑵计算：1+3+32+33+34+……+3%

【迁移】（3）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操作：分别取线段4〃和AN的

中点N、；第二次操作：分别取线段4%和AM的中点M?、N2；第三次操作：分别取线段AM?和A%

的中点M3、N,；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和

MN+M2N2+M3N3+……MWNW的值为多少?

A-N3M3N2M2ANM

【答案】（1）221-1;（2）（3）20-20xW或T

2256

【难度】0.65

【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算、图形类规律探索

【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，线段的中点的性质，发现图形和数字得变化规律是解题的

关键.

（1）仿照阅读材料求解即可；

（2）仿照阅读材料求解即可；

（3）根据线段中点的性质得出M1M+M2N2+M3N3+……MioNo=gx20+1g]x20+…+x20,进而

仿照阅读材料求解即可.

【详解】解：（1）TSP=1+2+22+23+24……+220①

将等式①的两边同时乘以2得：2F=2+22+23+24……+221②

将②式减去①式，得：P=221-l，

1+2+22+23+24…+220=221-1.

故答案为：2"-l.

(2)设5=1+3+32+33+34+……+310®

将等式两边同时乘3,得:3S=3+32+33+34+……+3”②

将②式减去①式，得2s=3"-1

A"—1Q11_1

=即1+3+32+33+34+……+310=2_zl

22

(3)-：MN=20,叫、M是线段和AN的中点，

MXNX=AM{-ANi=^[AM-AN)=-MN=\O,

同理可得MzN?=g/|N|=5

iyiiy

MioNio=—2M9/NY9

/.MiNi+M2N2+M3N3+……MloA^lo=1x2O+[|jx20+---+||jx20

设。=20x①

将①式减去②式，得g0=20x

10

1205115

:・Q=20x1—=20-20x=20-

21024256

23.（本小题满分8分）如图，在菱形A5C。中，E、F、G、H分别是边"、BC、CD、OA的中点，连

接石尸，FG,GH,HE.

⑴求证：四边形石FGH是矩形;

(2)若EF=4,ZFGC=30°,求菱形ABCD的面积.

【答案】⑴证明见详解⑵32后

【难度】0.65

【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、解直角三角形的

相关计算

【分析】(1)连接AC,BD,根据E、/、G、X分别是边AB、BC、CD、加的中点得到M=HG=JAC,

EH=FG=；BD,EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,从而得到四边形EFGH是平行四边形，再根据菱

形ABC。得到AC23少，即可得至UNAO3=90。，从而得到/EEH=90。，即可得到证明；

(2)根据所=4得到AC=2£F=8,结合菱形性质得到OC=4,根据NFGC=30。得到

NODG=NFGC=30。,即可得到OD,即可得到答案；

【详解】(1)证明：连接AC,BD,

YE、F、G、H分别是边A3、BC、CD、ZM的中点，

/.EF=HG=-AC,EH=FG=-BD,EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,

22

.•.四边形EFGH是平行四边形,

•..四边形ABCD是菱形，

ACJ.BD,

ZAO8=90°,

'：EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,

：.NFEH=90°,

；•四边形跳GH是矩形;

⑵解：；£F=4,

AC=2EF=8,

.四边形9CD是菱形,

OC=-AC=4,

2

ZFGC=30°,

/ODG=/FGC=34°,

BD=2OD=8A/3,

/.S=-AC-BD=-X8X8A/3=325/3.

22

【点睛】本题考查菱形的性质及矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解直角三角形，解题的关键是根

据中位线得到线段的关系.

24.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ar2+bx+c的图像与x轴交于A（_l,0）,

3（3,0）两点，与y轴交于点。（0,-3）,“是抛物线上的一个动点.

（1）求该二次函数的解析式.

（2）若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，/WBC的面积最大？并求出&WBC的面积的

最大值.

（3）若N是x轴上的一动点，是否存在点使以8,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求

出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=/-2x-3

（2）当，〃=：时，△MBC有面积最大值?，此时点M的坐标为M•

⑶存在，点M的坐标为（2.-3）或0+3）或（1-6,3）

【难度】0.4

【知识点】面积问题（二次函数综合）、特殊四边形（二次函数综合）、待定系数法求二次函数解析式、利用平

行四边形的性质求解

【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；

（2）过点M作y轴得平行线交直线BC于点P,连接MC、MB,再求得直线BC得解析式为y=x-3,设

M,则PM=m-3-^m2-2m-3^--m2+3m,进而用m表示出Z\MBC的面积，

最后运用二次函数的性质即可解答；

（3）由题意可得：3（3,0）,C（0,-3）,设“（加，疗-2m-3）,N（〃,O）,然后分3C、BM、M为对角线，分

别根据平行四边形对角线相互平分解答即可.

【详解】（1）解：将点4B,C代入二次函数解析式，

a-b+c=0ci—\

可得9〃+3Z?+c=0,解得<b=-2,

c=—3c=-3

•••二次函数表达式为y=V-2x-3；

（2）如图，过点M作y轴得平行线交直线BC于点尸，连接MC、MB,

设直线BC得解析式为y="+，，将5,。坐标代入,

0=3k+tk=l

可得°，解得

t=-5

所以直线BC得解析式为y=x-3,

设疗—2m—3),则PM=m—3—{ni1-2m—3)=—M+3m,

•0ABMC~"BMP丁Q&CMP

=^XMPX(^XB-XC)

3

——<0,

2

...当…*,5c有面积最大值可，此时点〃的坐标为网丁工

（3）解：存在,

由题意可得：8（3,0）,C（0,-3）,

设疗-2利-3）,N（〃,0）以对角线分类，

当BC为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分,

fx+x=x+xIm+n=3

BcMN即42

由中点坐标公式可得:\y+y=yM+y

BcNnr-2m—3=—3

[m=0\m=2

解得：.（舍弃）或1，

[〃=3[n=1

所以点M的坐标为（2,-3）；

当为对角线时，同理可得：

\xB+xM=xc+xN\m+3=n

1^+^+[m-2m-3=-3

m=0\m=2

解得:（舍弃）或〃=5

〃=3

所以点”的坐标为（2,-3）；

当3N为对角线时，同理可得：

XX=X+X

[BNCMAnf3+«=W

〈，即〈7

++m

[yByN=ycyM[-2m-3-3=o

m=l+y/lm=1-^7

解得:或，

n=—2+币n=-2-币

所以点M的坐标为0+五,3）或（1-"3）.

综上，点M的坐标为（2,-3）或（1+万,3）或（1-4,3"

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数