2025年中考数学总复习《二次函数中正方形的存在性问题》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《二次函数中正方形的存在性问题》专项

检测卷附答案

学校:姓名：班级：考号：

1.在矩形Q4SC中，以点。为坐标原点，分别以OC,所在直线为X轴、y轴，建立平

面直角坐标系，点E是射线OC上一动点，连接AE,过点。作于点。，交直线BC

于点F.

图1图2图3

(1)如图1,当矩形Q4BC是正方形时，若点E在线段OC上，线段AE与。尸的数量关系是

(填“相等”或“不相等”)；

(2)如图2,当点E在线段OC上，且OE=2EC,以点尸为直角顶点在矩形Q4BC的外部作

s

直角三角形CEE,且FH=OE,连接EH,交BC于点G,求曲的值;

)四边形OEG产

(3)如图3,若点A(O,3),点C(1,O),点E在线段OC的延长线上，点F在线段CB的延长线

上，FH±FC,FB:BC=1:3,连接OH,取OH的中点V,连接,设=",DM2=m,

求俄关于”的函数关系式.

2.如图，抛物线＞=V+6尤+C与X轴交于点A和点8(4,0),与y轴交于点C(0,4),点

备用图

(1)求抛物线的解析式;

⑵点E在第一象限内，过点E作跖〃y轴，交于点尸，作EHX轴，交抛物线于点

点H在点E的左侧，以线段所，硝为邻边作矩形现文汨，当矩形EFGH的周长为11时，

求线段E"的长；

⑶点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐

标.

3.综合与探究

在正方形ABC。中，AB=4,点E是AB边上的动点，连接CE.

（2）【类比探究】如图2,过点B作班'J_CE于点/，连接。尸，当是等腰三角形时,

求此时AE的长度与△CED的面积；

（3）【拓展延伸】如图3,过点B作3尸，CE于点/，连接DF，将△CKD沿CE翻折得到ACFG,

FG交BC于点H,请直接写出线段CH的最小值.

4.如图，E是正方形ABCD边BC上不与8,C重合的一动点，将AE绕点E顺时针旋转90。

得到砂，连接AF交8。于G,交CD于H,连接CP.

图I品用图

【知识技能】（1）找出图中与NEEC相等的角，并证明你的结论：

【数学理解】（2）①若AB=1.求△ECF面积的最大值.

②若BE=1,DH=3,则正方形的边长为.

【拓展探索】（3）求证：BG=DG+CF.

5.在平面直角坐标系xOv中，对于图形G,若存在一个正方形/,这个正方形的某条边与x

轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形/为图形G的

一个正覆盖.很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形G

的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖.如图1,图形G为三条线段和一个圆弧

组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形A3CD就是图形G的

紧覆盖.

(1)对于一个底角在坐标原点(0,0)，斜边长为2的等腰直角三角形，它的紧覆盖的边长为

(2)如图2,点尸为直线y=3x+3上一动点，若线段O尸的紧覆盖的边长为3,求点尸的坐标;

⑶直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A,5.若在抛物线y=ax2+2ax-2{a丰0)上存在点C,

使得△ABC的紧覆盖的边长为3,请求出。的取值范围.

6.如图，正方形ABCO的边长为迷，以。为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半

轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点。顺时针旋转a后得到正方形

AlBlC1O(a<45°),4cl交y轴于点且。为4G的中点，抛物线y=+人尤+£>过点A、

⑴填空：tana=,；抛物线的函数表达式是.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△尸与G为直角三角形？若存在，直接写出所有满

足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由;

(3)若正方形\B{CXO以每秒2垂个单位长度的速度沿射线A0下滑，直至顶点与落在x轴上

时停止.设正方形落在无轴上方部分的面积为S,求S关于滑行时间/的函数关系式，并写

出相应自变量f的取值范围.

7.如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的

交点)上，对角线AC,50相交于点E,二次函数丁二^^小三彳^^的图象经过点人。,？).

(1)求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象；

(2)将正方形ABC。向左平移，当点E落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为.

8.在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是正方形，点AC在坐标轴上，点8(8,8),p是射

线08上一点，将.AOP绕点A顺时针旋转90。后得到ABQ.

图1图2图3

(1)如图1,当。尸=30时，求点。的坐标；

(2)如图2,设点P(x,y)(0<x<8),/XAP。的面积为S,求S与x的函数关系式，并求出S取

得最小值时无的值；

(3汝口图3,若点尸在的延长线上，当8尸+8。=10匹时，求点。的坐标.

9.如图，点A、B、M、E、尸依次在直线/上，点A、8固定不动，且AB=2,分别以AB、EF

为边在直线/同侧作正方形ABC。、正方形EFGH,ZPMN=90P,直角边MP恒过点C,直

角边"N恒过点H.

(1汝口图1,若班=10,EF=12,求点M与点2之间的距离；

(2)如图1,若3E=10,当点M在点8、E之间运动时，求“E的最大值；

(3汝口图2,若3尸=22,当点£在点3、尸之间运动时，点M随之运动，连接C”，点。是C"

的中点，连接"B、MO,则2OM+HB的最小值为.

10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点43在x轴上，抛物线

>=/+法+。经过点3,£>(T,5)两点，且与直线。C交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式;

(2)f为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F,E,B为

顶点的四边形是以BE、B尸或E&EF边的菱形.若存在，请求出点厂的坐标；若不存在，

请说明理由；

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为连接ME,BP,探究

EM+MP+P3是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

11.如图1,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,3c=8cm,。为48的中点，连接

CD,动点P从点A出发，以女m/s的速度沿AB向点8运动(点尸与点A、8不重合)，过

点P作尸。工A6,交折线AC-C3于点。，以R2为边向右作正方形PQWN,设点尸的运动

时间为《s)

(1)用含t的代数式表示线段PQ的长.

⑵求当点〃在边CD上时t的值.

(3)设正方形尸QMN与ACD重叠部分面积为S,当重叠部分图形是四边形时，求S与/的函

数关系式.

(4)如图2,点P在运动过程中，点C关于Q"的对称点为E,点。关于"N的对称点为「

连接所，当线段砂与VA5c的某一边垂直时，直接写出f的值.

12.如图，在正方形ABCD中，AB=8cm,点。是对角线AC的中点，动点尸、Q分别从

点A、3同时出发，点尸以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以4cm/s的

速度沿折线3C-CD向终点D匀速运动，联结P。并延长交边CD于点M,联结Q。

并延长交折线以-于点N,联结尸。、QM,MN、NP,得到四边形PQMN.设点

尸的运动时间为x(s)(0<x<4),四边形尸QVW的面积为yen?.

(l)fiP的长为_cm,CM的长为_cm,(用含x的代数式表示)

(2)求》关于尤的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当四边形PQMN是轴对称图形时，请直接写出x的值.

13.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=OB=3.经

过点。，A的抛物线L>=冰2+"交于点。，点c的横坐标为1.点尸在线段上,

当点尸与点C不重合时，过点尸作PQ〃y轴，与抛物线交于点。.以P。为边向右侧作矩形

PQMN,且PN=1.设点尸的横坐标为加时，解答下列问题.

(1)求此抛物线L的解析式；

⑵当抛物线的顶点落在边PN上时，求相的值;

⑶矩形PQMN为正方形时，直接写出机的值.

14.如图，直线y=x-4与y轴交于点A,与X轴交于点B,抛物线y=/+bx+c经过A,B

两点，与x轴负半轴交于点C,长度为2夜的线段。尸在直线上滑动，以D尸为对角线

作正方形。EPG.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当正方形DEPG与抛物线有公共点时，求。点横坐标的取值范围;

⑶连接CE,OD,直接写出CE+OD的最小值.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=--4尤+°与，轴相交于点4(0,2),点3为,轴

上一点，其纵坐标为〃?(机工2),连接A8,以AB为边向右作正方形ABCZX

备用图

⑴求C的值；

(2)设抛物线的顶点为P,当点尸在2C上时，求机的值；

(3)当点C在抛物线上时，求机的值；

(4)当抛物线与正方形ABCZ)有两个交点时，直接写出加的取值范围.

参考答案

1.⑴相等

小、12749

(3)m=—n-----n-\-----

43468

【分析】(1)根据得到NAC©+NQ4Z)=NAOr>+N£C©=90。，从而得到

ZOAD=ZEOD根据角边角判定即可得到证明；

(2)先证，CGEs.cFO,再证CGE^,FGH,结合相似三角形面积比等于相似比直接求

解即可得到答案；

(3)取。/中点N,连接MN,过点。作垂足为T,先证OCF,再

证,"TVsaFcO,利用相似三角形及勾股定理，表示相应边的长度即可得到答案.

【详解】(1)解：相等，理由如下，

'：OFLAE,

：.ZAOD+ZOAD=ZAOD+ZEOD=90°,

ZOAD=ZEOD,

,矩形Q4BC是正方形，

:.ZAOE=NOCF=90°,AO=OC,

在ZkAOE与中，

ZAOE=ZOCF

<AO=0C

ZOAD=ZEOD

：.AOE^OCF(ASA),

；・AE=OF,

故答案为：相等；

(2)解：CFH是直角三角形

:.ZHFC=ZOCB=90

:.FH//OE

又FH=OE

・・・四边形FOEH是平行四边形

.\EG//OF,

:.ZGEC=ZFOCfZCGE=ZCFO,

/.CGEsCFO,

0E=2EC,

CE1

•.•—-―，

CO3

.S^ECG_j_

°SOCF-9y，

设SECG=k,贝！JSOCF=9k,

••S四边形OEGF=8k,

FH//OE,

:,ZCEG=ZFHGfNECG=NHFG,

/.CGEs,FGH,

OE=2EC,FH=OE,

.CE_1

••=一,

FH2

.uqECG_1i

0SHFG—4，

=

..S.HFG4kf

.SHFG_4k_1

S四边形OEGr8k2

(3)解：OA//FC,

:.ZAOD=ZOFCf

0F1AE,

/.ZADO=ZOCF=90°,

/.ADO^OCF,

AOADOP

一而一女-7E'

FB:BC=l：3fOA=BC=3,

:.BF=1,FC=4,OF=历，

3ADOP

历—14

Uyfn

醇.喘17

取。/中点N,连接MN,过点。作OTLMN,垂足为T,

,,FH=n,

2

cn1“12屈Vn7后

..NAzDn=OD——OF=-----------------=--------,

217234

.DT//FC,

:.ZNDT=ZOFCf

又./DTN=/FCO=900,

DTNs；FCO,

DTNDTN

FC-OF-CO

7A/17

DT__TN,

4-V17-1

714n7

:.TN=—,DT=—，TM=MN-TN=--------,

3417234

n714

..m=DM2=TM2+DT2=

2-3417

【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，三角形相似的性质与判定，三角形中位线定理,

矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形.

5+7573屈-17、-17-3历

(3)点N坐标

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)先求得直线的解析式为、=一》+4,设£、,-]2+犬+4),则77(x「x+4),利用

对称性质求得8(2-工一(/+了+4),推出G8=EF=f+2x,GF=EH=2x-2,利用

矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；

(3)先求得直线AC的解析式为y=2x+4,分别过点加、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q,

证明△OEP/△MO0,推出PE=。。,尸。=MQ,设根，一3苏+m+4),则

由点Af在直线AC上，列式计算，可求得优的值，利用平移的性质即

可求解.当加沿着点。逆时针旋转90。得到OE,设M(a,6),则点E(b,-“)，然后表示出

M.E的坐标，再代入一次函数即可解答.

【详解】(1)解：：抛物线y=-；Y+bx+c经过点3(4,0)和C(0,4),

19

——x4+4Z?+c=0

：.\2

解得

c=4

，抛物线的解析式为y=尤?+x+4；

（2）解：•.•点3（4,0）和C（0,4）,

设直线8C的解析式为，=依+4,则0=4左+4,

解得k=-lf

直线BC的解析式为y=-%+4,

设“S-3②+工+力，且0<x<4,贝ijF（x,—x+4）,

GH=EF=——x2+x+4-（-%+4）=——x2+2%,

Y---------1----二|1

•••抛物线的对称轴为直线2x,1，

H[2—x,——+x+4）,

・・・GF=EH=x-（2-x）=2x-2f

依题意得21一#+2工+2尸2）=11,

解得x=5>4（舍去）或九=3,

・,.EW=2x—2=2x3—2=4；

（3）解：令y=0,贝|」一；尤2+X+4=O,

解得彳=一2或尤=4,

4（-2,0）,

设直线AC的解析式为y=/+4（pw0）,将A（-2,0）,C（0,4）代入，-2。+4=0

解得,P=2,

直线AC的解析式为y=2x+4,

:四边形是正方形，

：.OE=OM,AEOM=90°,分别过点M、E作V轴的垂线，垂足分别为尸、Q,如图,

.・.40PM=ZEQO=90°,ZOMP=90°-/MOP=ZEOQ

：.OMP^AEOQ(AAS),

・•.PM=OQ,PO=EQ

设+根+4],

当点E在,轴左侧，工轴下方时，

1o

则PO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

2

A/m2+m+4,,

・・,点M在直线AC±,

-m=加之+根+41+4.

解得机=土亘或”=1±2巨（舍去），

22

当砂手时，E[产,

点。向左平移”一扃个单位,再向下平移叵9个单位，得到点加，

42

则点E向左平移I1一反个单位,再向下平移巨过个单位，得到点N,

42

当点石在y轴左侧，n轴上方时，如图，分别过点〃、石作,轴的垂线，垂足分别为P、Q,

贝IPO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

••,点M在直线AC上，

根=2[g根?一根_41+4,

解得：叫=4（舍去），饵=-1,

同理可得：

当点E在y轴右侧，X轴下方时，作EGLx轴，MHLx轴，如图:

设M（加2加+4）,则点E（-2m-4,m）,则点N^-m-4,3m+4）,

12

——（―2m—4y—2m—4+4=m,

解得M=TI士炳,

4

.—ii—Vs7—（仝土、

••n\=-------,m2=-------（告去3

--，…f-17-35/57-5+历）

点N的坐标为---------,

I44J

当点E在〉轴右侧，x轴上方时，作£Cx轴，MH_Lx轴，如图:

-m2+m+4

2

：.M-m2m-4,m

2

:点M在直线AC上，

=21gI??一机—41+4,

解得：叫=4,7%=一1(舍去),

E（4,0）,Af（0,4）,

...点N的坐标为(4,4)；

5+屈3屈-17)/73、J-17-3后

综上,点N坐标或〔一5句叫—4—

【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式,

一次函数解析式，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的关

系，数形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键.

3.⑴见解析

32

(2)当CF=D9时，AE=O,S^CDF=4；当DF=CD时，A£=2,SACDF=-

(3)y

【分析】(i)利用正方形的性质，结合相似三角形的判定即可证明；

(2)由正方形和直角三角形的性质得到CD>CF,再根据△CTO是等腰三角形得出

CF=DF或DF=CD,则分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质、等腰三角

形三线合一性质以及三角形的面积公式分别求解即可；

(3)连接DG交EC于点K,交于点L由翻折的性质得，CD=CG,FD=FG,得出CP

是DG的垂直平分线，同理(2)的方法证出CDKABCF,CDL咨3CE,得到DK=CF,

CK=BF,DL=CE,CL=BE,设CL=BE=x,利用相似三角形的性质表示出的长，

64

进而得出CH=BC-BH=结合龙的范围即可求出线段的最小值.

20-（x-2）2CH

【详解】（1）证明：四边形A5CD是正方形，

;.ZABC=/DCB=900,

ZDCF-^-ZECB=90°,

DF工CE,

:./DFC=9b0,

/DCF+/CDF=90°,

/.ZDCF+ZCDF=/DCF+ZECB,

ZCDF=ZECBf

又Z£）FC=ZB=90°,

:.CFDsEBC.

（2）解：四边形A5CD是正方形，

:.CD=BC=AB=4fZBCD=90°,ZDCA=45°,

BFVCE,

.•.ZBFC=90。,

厂.在RtBCF中,BC>CF,

:.CD>CF,

.△ca为等腰三角形，

:.CF=DF或DF=CD；

①当CF=O尸时，如图，作出，8于点儿

:.DH=CH=-CD=2,"HC=90。，

2

BF1CE,

ZCFB=90°,

:.ZFCB+ZCBF=90°f

/FCB+/FCH=/BCD=90°,

/.ZFCB+ZFCH=ZFCB-^-ZCBF,即NFCH=NCBF,

又ZFHC=ZCFB=90°9

CFHsBCF,

.HF_CF

,#一法’

,\CF2=BCHF=4HF,

设HF=a,贝!JCF2=4a,

在RtZXCF”中，HF2+CH2=CF2,

.Q2+22=4〃，

解得：a=2,即HF=2,

/.HF=CH=2,SCFD=；C。=；x4x2=4,

/.CFH是等腰直角三角形，

AZHCF=45°,

/.ZHCF=ZDCA=45°,

二•AEC三点共线，

•••点A和点E重合，

AE=0；

②当。尸=CD时，如图，作DHLCE于点凡

DF=DC,DHLCE,

:.FH=CH,NDHC=90。,

ZDHC=ZCFB=90°,

由①中的结论得，NDCF=NCBF,

又・CD=BC,

CDHm-BCF,

:.CH=BF,DH=CF,

设CH—BF—a,贝IFH=a,

:.CF=CH+FH=2a,

在Rt^CFB中，CF2+BF2=BC2,

:.（2a）2+a2=42,

4A/5

解得:d---

5

"2=竽

18小85/532

•q=-CFDH—X---------X----------=——

•,2.CDF22555

ZCFB=ZCBE=90°,/BCF=/ECB,

...CFBs,CBE,

4758>/5

BFCF

•即MM，

BEBC

BE4

解得：BE=2,

.\AE=AB-BE=2;

32

，综上所述，当CF=O/时，AE=O,SACDF=4；当上=CD时，AE=2,SACDF=y.

（3）解：如图，连接DG交EC于点K,交3C于点L

由翻折的性质得，CD=CG,FD=FG,

.•.CF是DG的垂直平分线，

:.DK=KG,CFIDG,

:./DKC=90°,

同理（2）的方法可得，CDK&BCF,CDLWBCE,

:.DK=CF,CK=BF,DL=CE,CL=BE,

设CL=BE=x,则=CE=JBE?+BC，=&+16，BL=4-x,

由（2）得，CFBs,CBE,

CF_BF_BC_4

FF，一6+16，

164x

:.CF=BF=

+16，

32

DG=2DK=2CF=

+16'

16-x2

...LG=DG—DL

Vx2+16，

CF1BF,CFIDG,

BF//DG,

BFHs.LGH,

BH_BF_4x

"LH~LG~16-x2，

BH_BH__4x

"BL~BH+LH-4x+l6-x2

又［BL=4-x,

.加工64

4x+16-x20-(x-2)2，

CH=BC-BH=---------------7

20-（尤-2），

又Q0W4,

.•.当x=2时，20-（x-2）2有最大值20,此时CH有最小值=],

.••线段CH的最小值为

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾

股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学

会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键.本题属于几何综

合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生.

4.（1）NEAB=NFEC,NFEH=NFEC,证明见详解；（2）①面积的最大值是。；

8

②正方形ABC£）的边长为2+V7；（3）见详解

【分析】（1）由正方形的性质得AD=AB，ZABC=ZADC=ZBAD=90°,由旋转得

ZAEF=90°,则N£AH=/EE4=45°,ZEAB+ZAEB^90°,NFEC+ZAEB=90。,所以

ZEAB=ZFEC；W皿/绕点A顺时针旋转90。得到△ABL,可证明，皿也得

ZAEB=ZAEH,则/FEC+ZA£B=90。，NFEH+ZAEH=90°,所以/FEH=NFEC；

（2）①作FK_L3C交BC的延长线于点K,可证明FEK^EAB,得KF=BE,则

SECF=gcE.KF=gcE.BE,设CE=x,则郎=1一%,所以

S.EB='x（l一x）=_：（x_g）2+：,当尤=!时，SEB最大=所以△EC尸面积的最大值是

222X2o

]_

8；

②设正方形ABCD的边长为机，则2C=OC=m，而6E=1,SL==3,所以CE=〃7-1,

CH=m-3,EL=EH=4,由勾股定理得（m-lf+（m-3子=42,求得符合题意的加值为

2+用,于是得到问题的答案；

（3）作FP〃BC交BD于点P,作正KL3C交8C的延长线于点K,则KF=3E,

EK=AB=BC,推导出KC=3E,所以KF=KC,则NKCF=NKFC=45。，所以

NKCF=/CBP,则CF〃族，所以四边形PBCr是平行四边形，则3P=B,再证明

GFP^GAD,得PG=DG,所以BG=PG+BP=DG+CF.

【详解】（1）解：ZEAB=ZFEC,NFEH=NFEC,

证明：四边形ABC。是正方形，

:.AD=AB,ZABCZADCZBAD9Q0,

,将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,

:.FE=AE,ZAEF=90°,

：.ZEAH=ZEFA=45°,ZEAB+ZAEB=90°,ZFEC+ZAEB=90°,

:.NEAB=NFEC；

如图1,将ADH绕点A顺时针旋转90。得到八ABL,则AL=AH,NBAL=ADAH,

:.ZEAL=ZBAE+ZBAL=ZBAE+ZDAH=45°,

:.ZEAL=ZEAH,

ZABL^ZADH=90°,ZABE=90°,

:.ZABL+ZABE=18Q°,

:.L、B、E三点在同一条直线上，

在/E4L和，胡”中，

AL=AH

-ZEAL=NEAH,

AE=AE

EAL^EAH（SAS）,

:.ZAEB=ZAEH,

NFEC+ZAEB=90。,ZFEH+ZAEH=90°,

NFEH=ZFEC.

（2）解：①如图1,作产KLBC交BC的延长线于点K,则/K=9（r=/ABE,

图1

在4庄长和一中,

NK=NABE

<ZFEK=ZEAB,

EF=AE

/.一FEK=EAB（AAS）,

:.KF=BE,

S=-CEKF=-CEBE,

EFCF22

设CE=x,

BC=AB=1,

BE=l—x,

-SECF=；%（1一%）二一；（%—；）2+：，

,--<0,

2

11

.•.当x=3时，sm最大=d，

Zo

△ECF面积的最大值是。.

o

②如图1,设正方形ABCD的边长为根，则3C=OC=

BE=1,BL=DH=3,

:.CE=m-l,CH=m—3,EL=EH=BE+BL=l+3=4,

ZECH=90。,

:.CE2+CH2=EH2,

(m-l)2+(m-3)2=42,

解得仍=2+J7,=2—5/7(不符合题意，舍去)，

「•正方形ABCD的边长为2+币,

故答案为：2+77.

(3)证明：如图2,作EP〃3。交于点P，作尸KL3C交的延长线于点K,则NK=90。,

由(2)得”EK空EAB,

:.KF=BE,EK=AB,

BC=AB,

:.EK=BC,

:.EK-CE=BC-CEf

;.KC=BE,

/.KF=KC,

,\ZKCF=ZKFC=45°,

./CBP=NCDB=45。,

.\ZKCF=ZCBP,

CF//BP,

••・四边形MCE是平行四边形，

:.BP=CF,FP=BC,

AD\BC,AD=BC,

:.FP//AD.FP=AD,

,\ZGFP=ZGAD,

在方P和.G4D中，

ZGFP=ZGAD

</FGP=/AGD,

FP=AD

：.GFP^GAD(AAS),

:.PG=DG,

BG=PG+BP,S.PG+BP=DG+CF,

:.BG=DG+CF.

图2

【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的

判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确

地作出辅助线是解题的关键.

5.⑴立

（2）（-2,-3）或（0,3）

（3）a2：或aV-2

【分析】（1）由题意得，斜边长为2的等腰直角三角形，它的紧覆盖正方形邻边恰好与等腰

直角三角形的两腰重合，一条对角线为等腰直角三角形的斜边，由勾股定理求解即可；

（2）由题意当点尸到坐标轴的距离等于3时，线段。尸的紧覆盖的正方形的边长为3.分三

种情形分别求解即可；

（3）如图2中，由题意当抛物线与图中矩形EFG〃区域有交点时，在抛物线

、="2+26-2（。*0）上存在点C,使得VABC的紧覆盖的边长为3.

【详解】（1）解：由题意得，斜边长为2的等腰直角三角形，它的紧覆盖正方形邻边恰好与

等腰直角三角形的两腰重合，一条对角线为等腰直角三角形的斜边，

...设边长为x,

由勾股定理得，尤2+炉=22,

解得：x=®（舍负），

故答案为：72;

（2）解：当点尸在第一象限时，OP>3,故不符合题意；

当点尸在第二象限包括坐标轴时，过点尸作PZ）_Lx轴于点D,

，当y=3时，3x+3=3

解得：x=0,

•••尸（0,3）；

当点尸在第三象限时，尸时,

y=-9+3=-6,不符合题意;

当。P>DO时，把y=-3%=—3代入y=3x+3得，3x+3=-3,

解得：x=-2,

•••尸(-2,-3),

综上所述：若线段OP的紧覆盖的边长为3,求点尸的坐标为（-2,-3）或（0,3）；

（3）解：如图2中，如图由题意当抛物线与图中矩形EFG〃区域有交点时，在抛物线

）=g2+2依—2（。工0）上存在点C,使得VABC的紧覆盖的边长为3.

由题意E（—3,3）/（—3,0）,G（2,0）,H（2,3）.

当抛物线经过点G时，4〃+4〃一2=0,

1

Q=—,

4

:抛物线的对称轴x=-l,经过（0,-2）,

观察图象可知，当时，在抛物线＞=1+2依-2（aw0）上存在点C,使得VABC的紧

覆盖的边长为3.

当。＜0时，抛物线经过点A时，解析式为y=-2（x+l『，

观察图象可知，当时，在抛物线丁=加+26-2（"0）上存在点C,使得VA2C的紧

覆盖的边长为3.

综上所述，满足条件的。的值为a2：或。＜-2.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合题，正方形的性质，勾股定理，图形G的紧

覆盖的定义等知识，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.

6.（1）@|;②,=-|工2-9+：

/623

⑵存在点尸，使△股G为直角三角形.满足条件的点尸共有4个：4Hml，心D

（325+2回）（325-25'

写「仿，1。J'勺一历，io:

3+”1

⑶s='—<t<1

42

5/一15.+?[1</<3

【分析】（1）由正方形的性质得出0G=4G，NOC4=90。.由旋转的性质得出

ZCiOD=ZAOAl=a,再根据正切的定义求解即可.过点A作人石上彳轴，垂足为点已过

点耳作与尸轴，垂足为点凡设4石=左，则0E=23在RtAE。中，利用勾股定理

求得A£和OE,即可求得点4的坐标,进一步证明“AEO乌BFA，有AE=B,F,EO=FAl,

即可求得点4和点G的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；

3

（2）将（1）的抛物线解析式配方得对称轴％=-而.根据题意分三种情况：①以点司为直

角顶点，利用待定系数法求得直线4月的解析式，即可求得点A；②以点C1为直角顶点，

同理求得点八；③以点P为直角顶点，分别过点耳、G作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、

H,设点+1yj,进一步分点P在直线8G上方和点尸在直线下方，利用相似三角

形求解即可；

（3）分三种情况：①当点A，运动到x轴上时，求得。0，=2后，0E'=g00'=族，利用

三角形的面积即可；②当点C'运动到无轴上时，则OO',OA,A'F=-OA',O'E^-OO',

22

B'F=AB'-AF,C'E=OIC-OE,利用三角形的面积即可；③当点笈运动到x轴上时，

同②可得：B'F^AB'-AF,BrE=2B'F,利用三角形的面积即可.

【详解】（1）解：①：四边形4BC0为正方形，

OCX=4G,NOC[B尸90°.

又•.•。是BG的中点，

：.CiD=^BlCl=^OCl

:由旋转性质可知，/CQD=ZAOA=a,

C1

.,.在RtCQD中,GD2°

tana=——=------

2

OGocx

tanor的值是g.

过点A作轴，垂足为点及过点用作AE，3/轴，垂足为点凡如图,

设AE=左，则0E=2左，在Rt4E。中，4。=逐

222

根据勾股定理，n\E+OE=AxO.

即r+（2笈y=（占『

解得勺=T（舍），左2=1.

/.A£=1，OE=2.

又..•点A在第二象限,

...点4的坐标为

o

ZOAiE+ZAiOE=ZOAlE+ZB1AlF=90,

：.NAQE=NB&F,

：/4£0=/瓦%=90。，A,O=A,B,

：.\EO^t^^(AAS),

A£=B[F,EO=FA^,

则点区的坐标为(-1,3),同理点G的坐标为(1,2).

；p=以2+灰+。过点A、耳、Cx.

l=4a-2b+c

v3=a—Z?+c

2=a+b+c

5

a=——

6

解得＜b=一;

10

T

・••抛物线的函数表达式为y=.

623

(2)解：将(1)的抛物线解析式配方，得丁=_91%+上］+—.

6110J120

3

抛物线的对称轴是直线％

假设存在符合条;件的点P，分三种情况：

8J

①以点修为直角顶点;

由(1)知点点A的坐标为(-2,1),点耳的坐标为(-1,3),

设直线A耳的解析式：，=履+可上力0),则

l=-2k+bk=2

3i+b，解得

b=5

则直线A片的解析式：y=2x+5,

3+5=2

当％=——时，y=2x

105

则点

②以点G为直角顶点;

同理可得直线0C1的解析式：y=2x,

③以点尸为直角顶点;

分别过点与、G作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H；

设点d，4

当点尸在直线gG上方时,

37313

B.G=l--=—.PG=y-3C,H=l+—=—PH=y-2

11010>11010

・.,/B、PG=90°-ZC.PH=NPC[H,ABfiP=ZPHQ=90°,

.・・B[GPsPHC],

.BfiGP

**PH-HQJ

7

则圣=导，解得：产”+2月,25-2729(舍).

y-2131010

10

当点尸在直线4G下方时，同上，可求得y=竺看叵；

综上，存在点尸，使△P&G为直角三角形.满足条件的点尸共有4个：Px

f_3_(_3_25+2屈］(_3_25-25、

2，，-,

Cio-5j\10~10y4［一元，"10J

(3)解：设运动后的正方形为O'AEC,分三种情况:

①当点A运动到x轴上时，

・・・正方形A［B{C{0以每秒2非个单位长度的速度沿射线4。下滑,

._行_1

一塞-法一于

当时，如图①,

2

OO'=2s[5t,OE=；O(y=底,

**•S-S正方形_Soo,E=5—~x2^/5^xy/5t——5产+5•

②当点C'运动到无轴上时，"岑=芈=1；

2V52V5

贝U00'=2后，OA'=2y/5t-y[5,NF=goAJ#；下,O'E=^OO'=45t,

B'F=A'B'-A'F=3痒2后,c，£=o，c'-O'E=占一百，

2

1/,,\,,1(3\/5—2^/5zqrz/r25-20z

S=—(BF+CE)xBC=-x---------------卜N5-Y5tx>/5=-----------；

2Ag+A0，3

③当点?运动到x轴上时，t=---韭---=-;

3

当IV"；；■时，如图③，

2

:.S=gB'FxB'E=g义3君;2后卜卜七_2.)=5产-151+?

综上,

5r2-15f+y^l<z<|^|

【点睛】本题主要考查二次函数的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的

性质、相似三角形的判定和性质、平移的性质和三角函数的定义，解题的关键是熟悉旋转的

性质和正方形的性质，以及熟练应用分类讨论思想.

7.(1)二次函数的解析式为y函数图象如图所示

(2)4-271

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及平移的性质，熟练掌握二次函数的图象

和性质是解题关键.

(1)将A点坐标代入即可求解；

(2)根据(1)中解析式，令丁=4,解方程求出x的值，即可求平移距离.

【详解】(1)解：：二次函数丁="2的图象经过点4(2,2),

/.4。=2,

解得：a=g，

•••二次函数的解析式为y=g/；

画出二次函数的图象如图所示:

解得：x=2&或x=-2&（舍去），

，当点E落在这个二次函数的图象上时，正方形ABCD向左平移了4-2应个单位,

故答案为：4-272.

8.⑴点。的坐标为。1,5）；

（2）S与尤的函数关系式为S=f-8x