2025年中考数学复习：二次函数平行四边形存在性问题（含解析）

二次函数平行四边形存在性问题

1如图，抛物线y=-产+以+c与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点与y轴交于点C,对称轴1与x轴交

于点F直线1m||4C,点E是直线AC上方抛物线上一动点过点E作EHLm,垂足为H,交AC于点G,连接AE、

EC、CH、AH.

⑴抛物线的解析式为

(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

⑶在(2)的条件下，连接EF,点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得以F、E、P、Q为顶点，

以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2如图，已知抛物线y=a/过点4(-吟).

(1)求抛物线的解析式；

⑵已知直线1过点AM(|，0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证：MC2=MA-MB;

(3)若点P,D分别是抛物线与直线1上的动点，以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形，

求所有符合条件的P点坐标.

3如图所示抛物线y=ax2+/?%4-c(aH0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C且点A的坐标为4(-2,0),

点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线%=1.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(l<m<4),连接A

C,BC,DC,DB.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)当小BCD的面积等于△AOC的面积的汨寸，求m的值

4

(3)在⑵的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点

B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3)、B(3,

0)两点，该抛物线的顶点为C.

⑴求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点

N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在，求点M的坐标；若不存在,请说明理由；

(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P4B面积最大时，求点P的坐标，并求△P4B面积的最

大值

5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a0)与x轴交于A(-学习笔记：1,0),B(3,

0)两点与y轴交于点C,连接BC.

(1).求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

⑵点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD,若ADCB=NCBD,求点D的坐标；(3).已知F(l,1),若E(x,

y)是抛物线上一个动点(其中1＜久＜2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标

(4).若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边

形?若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6如图，在平面直角坐标系中，直线y=--x+2^x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-

+c经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

(1).求该抛物线的解析式；

⑵若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当^ABD=2NB4C时，求点D的坐标；

(3).已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B,0,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写

出所有符合条件的E点的坐标.

7如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点，抛物线y

=-%2+bx+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC阻轴于点C,交直线AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点D,使得△BDE和.A4CE相似?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边

形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.

CA

图2

8如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点.4(-4,0)和点B,交y轴于点C(0,4).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若点P在第二象限内的抛物线上，求△P4C面积的最大值和此时点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系内，是否存在点Q,使A,B,C,Q四点构成平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；

若不存在，说明理由.

9如图，抛物线y=*+6%+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C,直线y=久—5经过点B,C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当2M因BC时，过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点

A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于.乙4cB的2倍时，请直接写出点M的坐标.

10如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)经过点A(3,0),B(—1，0),C(0--3).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；

⑶若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11如图1抛物线y=a/+bx+3(a力0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx

+几过8,C两点.

⑴求抛物线和直线BC的表达式；

⑵点P是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点P在第一象限内，连接PA,交直线BC于点D.设△PDC的面积为Si,△ADC的面积为S2,求

融勺最大值；

②如图2,抛物线的对称轴1与x轴交于点E,过点E作EF±BC,垂足为F.点Q是对称轴1上的一个动点，

是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P,Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12如图，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的图象经过A(l,0),B(3,0),C(0,6)三点.

⑴求抛物线的解析式.

(2)抛物线的顶点M与对称轴1上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若直

线BE将仆ABD的面积分为1:2两部分，求点E的坐标.

(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形为

平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+.+c与x轴交于A,B两点与y轴交于点C.且点A的坐标为(-

1,0)，点C的坐标为(0,5).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

⑶如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B,C,M,N为顶

点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

14将抛物线y=ax2(a丰0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H:y=a(x-h)2+k抛

物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.

⑴求抛物线H的表达式；

⑵如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PDXAB,垂足为D,PD交A

C于点E.作PFLAC,垂足为F,求APEF的面积的最大值；

⑶如图2,点Q是抛物线H的对称轴1上的一个动点，在抛物线H上,是否存在点P，使得以点A,P,C,Q

为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

1解：((1)•••y=-x2+bx+c与x轴交于(-3,0)、B(l,0),•••(—9—3b+c=0—l+b+c=0,解得:

b=-2

・c=3'

；・抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.

故答案为：y=-x2-2x+3;

(2)如图1中,连接OE.设.E(m--m2-2m+3).VA(-3,0),C(0,3),；.OA=OC=3,AC=3V2VAC/7M^m,.\

当直线m的位置确定时，AACH的面积是定值，S=SAAEC+S&ACH，

・・・当4AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大,

1S^AEC=S—EO+S^ECO-S&AOC

=|x3x(―m2—2m+3)+|x3x(―m)—x3x3

|V0,•-m=—|时，△AEC的面积最大,

・••E(十分

⑶存在.因为点Q在抛物线上EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±三如图

2中，有3种情况满足题意：

对于抛物线y=-X2-2x+3,当y=牛时，一/一2%+3=手，解得%=-1（舍去）或x=-

・••Qi（-*）

当y=—f时，—/—2x+3=—章解得％=连思，；.Q2（三匣，—?）43（三回，—?）.综上所述，满足

条件的点Q坐标为（-2）或（三画T或（若雪

4

2解：⑴把点A(-3，£)代入y=a*得到：=9a,；.a=%,.抛物线的解析式为y=^x2.

91

Z=-3fc+bk=--

2

⑵设直线1的解析式为y=kx+b把A、C点坐标代入，则有｛43解得：｛3.

O=-/c+hb=-

24

o/oxy=-%x=1

，直线1的解析式为y=—号尤+1,令x=0,得到3=”/（。|）,由｛；3,解得1=工或

V=——X+-y4

x=-3/24

9，

1，1),如图1,过点A作AELx轴于E,过B作y=~BF_Lx轴于F,则BF〃OC〃AE,

嘿=需=47同理MCMO_1

MAME-3

2

・・.MB=二MCA,，MC2=MAMB.

(5)如图2中，一共有3种情况，符合题意.

VOC为一边且顶点为0,C,P,D的四边形是平行四边形，PD〃OC,PD=OC,

:.设0（t,―2|）,P（t*2）

・•・PD=I3产—（一六+），又：oc=l

.壁-齐+力=3

整理得：t2+2t-6=0或/+2t=0,

解得t=-l-近或-1+上或-2或0（舍弃），

P（-l-V7-2+或（-1+V7-2-y）

或（-2,1）.

.♦・抛物线的函数表达式为：y=—：/+|x+6;

4Z

⑵过点D作DE±x轴于E,交BC于G,过点C作CF±ED交ED的延长线于F,如图1所示

,•1点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,6),OA=2,OC=6,SAA0C=|OX-OC=1x2x6=6,

339

S^BCD=JS^AOC=IX6=亍

当y=0时，-"2+|x+6=o,解得：xi=-2,X2=4,.•.点B的坐标为(4,0),设直线BC的函数表达式为：y=

4Z

3

kx+n,则｛仁轨+"解得：产=在

6=兀n=6

•••直线BC的函数表达式为：y=—|x+6,

,点D的横坐标为•.点D的坐标为:(m,-|m2+|m+6),点G的坐标为：(m，-弧+6),

33/3\3o

・••DG=——7+-m+6———m+6=——+3m

42\2J4

•••S&BCD~.OB=1x(一,TH2_|_3血)x4

=—~m2+6m,•••——m2+6m=

222

解得：mi=1（不合题意舍去），m2=3,；.m的值为3;

(3)由⑵得:m=3,—|疗+|爪+6=—9x32+[x3+6=%•.点D的坐标为:(3,由)，因为B,D,M,N四边

满足平行四边形，则N点到x轴的距离为千

①当N在x轴上方时，如图2所示，有Mi和M2两种情况：：四边形BDNM是平行四边形，，DN〃:BM,；.D

N〃x轴，，点D与点N关于直线x=l对称,

•••N(T耳)，:DN=3-(-1)=4,.-.BM=4,VB(4,0),，Mi(0,0)(与原点重合)，%(8,0);

②当N在x轴下方时，如上图所示，有M3和用4两种情况：：四边形BDNM是平行四边形,

•••DM=BN,DM\\BN,.-.乙DMB=乙MBN,

•••点D与点N的纵坐标互为相反数，

；点。(3由，.•.点N的纵坐标为:-y,

将y=代入y=+|x+6中，得：一：*2+|%+6

=—三解得：%】=1+V14,x2=1—V14,

当比=1—414时,则N3(1—V141—手)，

设M3点的坐标为(m,0),又；D(3，S，

B(4,0):等=若生，解得：m=-V14

M3(-V14-0);

当久=1+旧时，则N4(l+3演一号，

同理可得：M4(V14>0);

综上所述，点M的坐标为(8,0)或(0,0)或”氏0)或(-V14-0).

4.解：⑴•.•抛物线y=ax2-2x+c经过A(0,-3)、B(3,0)两点，严一6+;=0,...{a=

•••抛物线的解析式为y=/—2久-3,

•••直线y=kx+b经过A(0,-3)、B(3,0)两点,

3\+”0解得：k=l

b=-3b=—3

，直线AB的解析式为y=x-3,

（2）存在，一共分两种情况，如图1,四边形CEMiM和四边形（CEN2M2就是存在的平行四边形。

■：y=X2—2x—3=（x—I）2—4,

抛物线的顶点C的坐标为（1,-4）,；CE〃y轴，

-2）,；.CE=2,

①若点M在x轴下方，四边形CEMiM为平行四边形，则CE=%Ni，设%(a，a-3),则N[(a，a2-2a-3),

*'-M[N]=CL—3—(a?—2a—3)=—a?+3a,

-a2+3a=2,解得：a=2,a=1(舍)，”式2,-1),

②若点M在x轴上方，四边形CEN2M2为平行四边形，则CE=%必设时2（。a-3）,则a2-2a-3）,

**.MN=小—2a—3—(a—3)=a?—3a,小—3a=2,

解得：。=—,。=手（舍去）,

综合可得M点的坐标为（（2,-1）或（3+},3；g）

⑶如图2,作PG团x轴交直线AB于点G,

设P(mfm2—2m—3)^(]G(jn/m—3),

PG=m—3—(m2—2m—3)=—m2+3m,

••・S^PAB—^PGxOB=jx(—m2+3m)x3

=—|(m—1)2+・・•・当根=|时，△PAB面积的最大值是学此时P点坐标为(|一号).

5.解：(1)将点A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+bx+2可得a=—^,b=y=~|%2++2;

，对称轴x=l;

2222222

(2).设点D(1,y),VC(0,2),B(3,0),ACD=CG+GD=(2-y)+lfBD=BH+HD=4+y2,

在ABCD中，YNDCB二NCBD,・・・CD二BD,

ACD2=BD2,A(2-y)2+l=4+y1

y=3,c(吗；

⑶.如图：过点E作.EQ团y轴于点Q,过点F作直线FR回y轴于R,：SACEF=S横彩。胪E-S^CRF-S&TQE

；E(x,y),C(0,2),F(l,1),

111

S.EF=~(EQ+RF)-QR--CR•RF--FR•ER,

11111

••SMEF=5。+DO-1)-5%(y-2)--xlxl=-x+-y-l

22I4IOc12I7

y=——xz+—%+2,SA=——心+-x,

/33CEF36

.♦.当久=泄,面积有最大值4948,此时E©II);

(4)存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，

设N(l,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)

①四边形CMNB是平行四边形时,CM〃NB,CB〃MN,由平行四边形中心点坐标公式得：等=等

x=—2,M(-2,—蓝)；

②四边形CNBM是平行四边形时CN〃BM,CM〃BN,由平行四边形中心点坐标公式得：詈=等，x=2,；.M

(2,2);

③四边形CNMB是平行四边形时,CB〃MN,NC〃BM,由平行四边形中心点坐标公式得：詈=等；.％=4,

M(4，T；

综上所述：M(2,2)或“(4，-争或M(-2,-y);

6解：⑴在y=-1+2中，令y=0,得x=4,令x=0,得y=2；.A(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2)，代入y=-j%2+bx+c,

c=2h=l

得：｛_"16+4b+c=0,解得：｛；

2c=2

•••抛物线的解析式为y=-|%2+|%+2

(2)如图1,过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE的垂线，垂足为F,交AB于点G

：BE〃x轴，.•.NBAC=NABE

ZABD=2ZBAC,/.ZABD=2ZABE

SPZDBE+ZABE=2ZABE

；./DBE=/ABE,；./DBE=/BAC

设D点的坐标为(%--|x2+|x+2),G(x--jx+2),易证F是DG的中点，

则F点的坐标是(x'-^x2+|x+2)

又点纵坐标和B点纵坐标相同，为2,

二一：/+Jx+2=2,解得xi=0(舍去)，%2=2,

，点D的坐标为(2,3)

(3)当BO为边时，OB//EF,OB=EF,如图2所示，有3种情况设E(m--|m+2),F(m--|m2+|m+2)EF

2

—|m+2^—|m+|zn+2)|=2解得mt=2,m2=2—2A/2,m3=2+2V2

•••曷(2,1),£2(2-2V2-1+V2),£3(2+2V2-1-V2)

当BO为对角线时，OB与EF互相平分，如图3,有2种情况，符合题意：

过点O作OF〃AB,直线OF:y=-1交抛物线于点F5(2+2加，-1-夜)和F4(2-2&，-1+迎)

取BO的中点M,则M(0,1)由题意得，M是的中点，也是E5F5的中点，由中点坐标公式可以求出：

&(2&-2,3—V2),£5(-2>/2—2,3+a).,.E点的坐标为(2,1)或(2—2近，1+/)或(2+2&,1-a)或

(2&—2,3-夜)，或(-2a-2,3+仞

7.解：(1)在y=-1+3中”令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,；.A(4,0),B(0,3)，将A(4,0),B(0,3)分别代入抛

物线.y=-％2+5％+。中，得：｛—42+4b+c=0c=3,解得：｛4,

c=3

・•・抛物线的函数表达式为：y=-/+?%+3.

4

(2)存在.「△BDE和AACE相似，ZBED=ZAEC.\ABDE^AACEftgADBE^AACE

①当△BDEs/iACE时，如图l,NBDE=NACE=90。,此时BD〃ACjk匕时D点纵坐标为3，代入二次函数解析式，

可得。(子3).

②当△DBES/XACE时,NBDE=NCAE,如图2所示，过点B作BH±CD于HAZBHD=90°,

・•・—=tanZ-BDE=tanZ,CAE=―,

DHAC

tD(%，一/+/%+3),H(%，3),E卜，一1%+3)

：.BH=x,DH=-x2+—x+3-3=-x2+—x,CE=--x+3

444

端亚=:受解得：Xi=0倍),x2=4(舍),£=H，•••D偿怖)；

4

综上所述，点D的坐标为件3)或偌，第；

(3)如图2,•・•四边形DEGF是平行四边形

・•・DE\\FGfDE=FG

设D(m>—m2+Y771+3),£*(加一]TH+3)(n,—n2+^-n+3),G(n>—^n+3)贝!]：DE=-m2+4m,FG=

—n2+4n,••・—m2+4m=—n2+4n,

即：(m-n)(m+n-4)=0,*.*m-n^0

m+n-4=0,即：m+n=4,­•-n=4—m

过点G作GKEICD于K,则GK〃AC,；.ZEGK=ZBAO—=cos乙EGK=cos^BAO=—,

EGAB

即：GKAB=AOEG,.\5(n-m)MEG,

即：EG=、(7i_7n)=q(4_7n_7n)=5一|7n

•'.DEGF周长=2(DE+EG)=2|^(—m2+4m)+5—|mj=-2(m—+?

,.・-2<0,・,•当m=|时,・•.©DEG尸周长最大值=.此时n=4-|=.则G(子劫,

当E,G互换时，结论也成立，此时G(亍高,综上所述.G(子意或([*)•

8.解：(1)・・,二次函数y=-/+故+。的图象交*轴于点4(—4,0)和点B,交y轴于点C(0,4).

—16—4b+c=0b=-3

,•{rc=4i4(=4，

二次函数的表达式为y=-x2-3x+4,

⑵如图1,连接AC,AP,PC,过点P作PE团久轴，

交AC于点E,由点A(-4,0)，点C(0,4),

可得直线AC的解析式为：y=x+4,

设尸3—3%+4),£*(%，%+4)

贝!]PE=—X2—3%+4—%—4=—X2—4x

•••SNAC=^PE-AO=^(-X2-4x)-4=-2(%+2)2+8

当x=-2时，4c面积最大值是8,

此时P点的坐标是(-2,6).

(3)存在点Q,使A,B,C,Q四点构成平行四边形，如下三种情况，理由：

①以AB为边时，有Q1和Q2两种情况：

VCQ/7AB,CQ=AB=5

••,C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),

②以AB为对角线时，有Q3一种情况：

CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，YA(-4,0),B(1,0),

；•线段AB中点坐标为(-1，0),设Q(a,b)

由平行四边形中心点坐标公式可得：

等=一幸解得：a=3

誓=0,解得:b=-4,.\Q(-3,-4),

综上所述,满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

当AB为对角线时，解法二：过点Q作QM±x轴于点M,贝必AQM2△BCO,则AM=BO=1,QM=CO=4,.\O

M=OA-AM=3,；.Q(-3,-4),

综上所述，满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

9.解：(1)当x=0时，y=x-5=-5,则C(0,-5),当y=0时,x-5=0,解得x=5,则B(5,0)把B(5,0),C(0,-5)代入

y=a/+6x+c得：｛25a+30+c=°解得：产;二

C—bC—b

，抛物线解析式为y=-/+6%-5；

⑵①令y=0,解方程—/+6x—5=0得xi=1,X2=5,则A(l,0),VB(5,0),C(0,-5),

AOCB为等腰直角三角形,NOBC=/OCB=45。,AM±BC,AAAMB为等腰直角三角形,

AM=—AB=—x4=2V2,

22

•••以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，AM\\PQ,.-.PQ=AM=2&,PQ1BC,

作PD_Lx轴交直线BC于D,则4PDQ=45",

PD=V2PQ=V2X2V2=4,

设P(m>—m2+6m—5),则D(m,m-5),

①.当P点在直线BC上方时，Pl符合题意

PD=­m2+6m—5—(m—5)=—m2+5m=4,

解得nil=1(舍去),m2=4,

②.当P点在直线BC下方时,P2和P3符合题意,

PD=m—5—(―m2+6m—5)=m2—5m=4

解得=土/,Tn25-V41

2

综上所述，P点的横坐标为4或手或号空

②如图2,作ANLBC于N,NHLx轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E,

VMiA=MiC,/ACM】=ZCAMr,

•••ZAMiB=2/ACB,•••△ANB为等腰直角三角形,

.*.AH=BH=NH=2,；.N(3,-2),

易得AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为U，—5设直线EM】的解析式为y=—9％+仇

把EG，-0代入得—E+b=-*解得匕=一去..直线EM1的解析式为丫=一如一卷解方程组:

_13y=x-5

得：仁，，则

112，

y=—x-----

55

在直线BC上作点Mi关于N点的对称点M2,则ZXM2C=^AMrB=2^ACB,设M2(x,x-5),vN

13

(31-2),Mi,-?);由中点坐标公式得，3=吃―,••.%=学，M2偿，-)综上所述，点M的坐标为(*-芝)或

管V)

9a+3b+c=0a=1

10.解：(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得：｛a—b+c=0解得：伯=—2则该抛物

c=-3c=—3

线解析式为y=x2-2x-3；

⑵设直线BC解析式为丫=kx-3把B(-l,0)代入得：-k-3=0,即k=-3,

J直线BC解析式为y=-3x-3,

・・,以点A为圆心的圆与直线BC相切于点MAAM1BC

**•设直线AM解析式为y=：%+TH,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-l,

1y=-3%-3x=--/qA、

••・直线AM解析式为y=，—1,联立得：-解得：｛飘］M(-|，一乡;如图1：

3J5

⑶以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形时，只有BC为边一种情况，易知P到x轴的距离和CO

的值相等，等于3,则分两种情况讨论，如下图2:

①当P在x轴的下方,则P点的纵坐标为-3,则./_2X-3=-3,解得：%=0(舍去),x2=2,此时P(2,-3)②.当

P在x轴的上方，则P点的纵坐标为3,则./-2%-3=3,解得：石=1+夕,犯=1—夕,此时(1+夕,3)或

(1-V7-3)

综上所述，存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形，且P的坐标为：(1+夕，3)或(1-V7,3)

或(2,-3).

11.解：⑴把A(-l,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：｛。；°八解得：产「二

9a+3b+3=0b=Z

.♦•抛物线的表达式为y=—x2+2x+3,.^.点C坐标为(0,3),把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得：1卜十“；°

解得：｛)；［•••直线BC的表达式为y=-x+3.

(2)①；PA交直线BC于点D,.•.设点D的坐标为(m,-m+3),设直线AD的表达式为y=kx+4，

・•・直线AD的表达式，y=需x+霁，ffl+1

联立得：募+费苧=一％?+2%+3,整理得，(%-怒■)(x+1)=0

解得/=熟或%2=-1(不合题意，舍去)，，点D的横坐标为m,点P的横坐标为含，分别过点D、P

作x轴的垂线，垂足分别为M、N,如图1：

・•.DM\\PNfOM=m,ON=^fOA=l,

4m

..S\一S.PDC_PD_MN一后-m

S2SjADCD4AMm+1

22

-m+3m设金=t,则-m+3m

(m+1)2J(m+1)2

整理得，(t+l)/7l2+(2t—3)77l+1=0,

VA>0,A(2t-3)2-4t(t+l)>0,

解得142宗有最大值，最大值为2

loIo

②存在，理由如下：如图2,过点F作FGXOB于G,：y=-x2+2x+3的对称轴为x=l,.,.OE=1,VB(3,0),C(0,

3)OC=OB=3,又,,,ZCOB=90°,AOCB是等腰直角三角形,

,/ZEFB=90°,BE=OB-OE=2,

AAEFB是等腰直角三角形，；.FG=GB=EG=1,

.••点F的坐标为(2,1),

第一种情况：当EF为边时，•.•四边形EFPQ为平行四边形，，QE=PF,QE〃PF〃y轴，

.♦.点P的横坐标与点F的横坐标同为2,

当x=2时,.y=-22+2x2+3=3,

.••点P的坐标为(2,3),

.•.QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,2)根据对称性当P(0,3)时,Q(1,4)时，四边形EFQP也是平行四边形.

第二种情况：当EF为对角线时，如图2中的PiEQ3F，:四边形PEQF为平行四边形.；.QE=PF,QE〃PF〃y

轴,同理求得:点P的坐标为(2,3),...QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(2-2);综上，点P的坐标为(2,3)时，点Q的坐

标为(1,2)或(1,-2),P(0,3)时,Q(1,4).

12.解⑴...抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的图象经过A(l,0),B(3,0),

二设抛物线解析式为：y=a(x-l)(x-3),

•••抛物线y=a(x-l)(x-3)(a#))的图象经过点C(0,6),A6=a(0-l)(0-3),.\a=2,

，抛物线解析式为：y=2(%-1)(%—3)=2/-8%+6;(2)y-2/-8x+6=2(x-2)2-2,

二顶点M的坐标为(2,-2),

,/抛物线的顶点M与对称轴1上的点N关于x轴对称，

，点N(2,2),设直线AN解析式为：y=kx+b,

由题意可得：｛：=以工＞解得：｛『=2

二直线AN解析式为：y=2x-2,

联立方程组得：％j2m6,解得：｛＞算要

..点D(4,6),SAAB。=-X2X6=6,

设点E(m,2m-2),

•..直线BE将4ABD的面积分为1：2两部分，

S—BE=.SAAB。=2或S&ABE==4，

•••|x2X(2m—2)=2或|X2X(2m-2)=4,

，m=2或3,.•.点E(2,2)或(3,4);

(3)存在，分两种情况讨论：

①.若AD为平行四边形的边，

•••以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

/.AD=PQ,xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,

，xp=4-l+2=5或xp=2-4+l=-l,

•••点P坐标为(5,16)或(-1,16);

②若AD为平行四边形的对角线，

•••以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AD与PQ互相平分，中=至孕，

，xp=3,二点P坐标为(3,0),

综上所述：当点P坐标为(5,16)或(-1,16)或(3,0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.

13解：(1)将A的坐标(-1,0),点C的坐(0,5)代入y=-/+法+c得：｛°=F一+°解得(b=[•.抛物线

的解析式为y=-X2+4%+5;

(2)过P作PDLx轴于D,交BC于Q,过P作PHLBC于H,如图1：

在y=-x2+4x+5中，令y=0得—x2+4%+5=0,解得x=5或x=-l,/.B(5,0),

.".OB=OC,ABOC是等腰直角三角形,...NCBO=45。