2025年中考数学复习：二次函数平行四边形存在性问题

二次函数平行四边形存在性问题

1如图，抛物线y=—/+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点与y轴交于点C,对称轴1与x轴交

于点F直线1加|2&点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EHLm,垂足为H,交AC于点G,连接AE、

EC、CH、AH.

⑴抛物线的解析式为

(2)当四边形AHCE面积最大时,求点E的坐标；

⑶在(2)的条件下，连接EF,点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，

以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2如图，已知抛物线y=a/过点4(-3，3.

⑴求抛物线的解析式；

(2)已知直线1过点.A,M(|，0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证：MC2=MA-MB;

(3)若点P,D分别是抛物线与直线1上的动点，以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形，

求所有符合条件的P点坐标.

3如图所示抛物线y=ax2+b%+c(aW0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为4(-2,0),

点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线x=1.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(l<m<4),连接A

C,BC,DC,DB.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)当小BCD的面积等于△AOC的面积的|时，求m的值

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点

B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+8都经过A(0,-3)、B(3,

0)两点，该抛物线的顶点为C.

⑴求此抛物线和直线AB的解析式；

⑵设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点

N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P4B面积最大时，求点P的坐标，并求△P4B面积的最

大值

5如图，在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a丰0)与x轴交于A(-学习笔记：1,0),B(3,

0)两点与y轴交于点C,连接BC.

(1).求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

(2).点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若乙DCB=NCBD,求点D的坐标；(3).已知F(l,1),若E(x,

y)是抛物线上一个动点(其中1＜久＜2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.

(4).若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边

形?若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6如图，在平面直角坐标系中，直线丫=-|刀+2与*轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y--^x2+bx

+c经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

(1).求该抛物线的解析式；

(2).若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当UBD=2NB4C时，求点D的坐标；

⑶.已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B,0,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写

出所有符合条件的E点的坐标.

7如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-^x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点，抛物线y

=-%2+bx+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC回久轴于点C,交直线AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点D,使得△BDE和.△4CE相似?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边

形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.

CA

图2

8如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点.4(-4,0)和点B,交y轴于点C(0,4).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若点P在第二象限内的抛物线上，求△PAC面积的最大值和此时点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系内，是否存在点Q,使A,B,C,Q四点构成平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标;

若不存在，说明理由.

9如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当2M回BC时，过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点

A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于.N4CB的2倍时，请直接写出点M的坐标.

10如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a*0)经过点A(3,0),8(—1，0),C(0,—3).

⑴求该抛物线的解析式；

(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；

⑶若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11如图1抛物线yax2+bx+3(a丰0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx

+n过B,C两点

⑴求抛物线和直线BC的表达式；

⑵点P是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点P在第一象限内，连接PA,交直线BC于点D.设△PDC的面积为Si,△ADC的面积为S2,求

金的最大值；

②如图2,抛物线的对称轴1与x轴交于点E,过点E作EF±BC,垂足为F.点Q是对称轴1上的一个动点，

是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P,Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12如图,抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的图象经过A(l,0),B(3,0),C(0,6)三点.

⑴求抛物线的解析式.

(2)抛物线的顶点M与对称轴1上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若直

线BE将小ABD的面积分为1:2两部分，求点E的坐标.

(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形为

平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+b久+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(-

1,0),点C的坐标为(0,5).

⑴求该抛物线的解析式；

(2)如图1.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标；

⑶如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B,C,M,N为顶

点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

14将抛物线y=a/(a丰0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H:y=a(x-h)2+k抛

物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.

(1)求抛物线H的表达式；

⑵如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合)，过点P作PDXAB,垂足为D,PD交A

C于点E.作PFXAC,垂足为F,求4PEF的面积的最大值；

(3攻口图2,点Q是抛物线H的对称轴1上的一个动点，在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A,P,C,Q

为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

1解：((1)y——x2+bx+c与x轴交于(-3,0)、B(l,0),•••{-9—3b+c-0—1+b+c-0,解得：

b=-2

t(c=3，

..•抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.

故答案为：y=-X2-2x+3;

(2)如图1中，连接OE.设.£(m--m2-2m+3).VA(-3,0),C(0,3),.*.OA=OC=3,AC=3VT；AC〃直线m,

当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，；S=SRAEC+S^ACH,

・・・当4AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，

S^AEC=S^AEO+S^ECO-S^AOC

=|x3x(—m2—2m+3)+1x3x(—m)—|x3x3

=_*+l)y,

-1V0,m=—|时,△AEC的面积最大,

二(-1耳;

（3）存在.因为点Q在抛物线上EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为如图

4

2中，有3种情况满足题意：

对于抛物线y=一%2一2%+3,当y=午时,一%2一2%+3=解得%=-1倍去）或%-

当y=—争寸，—/一2%+3=—草解得比=三竺；42（三匣，—?）&（誓^一》综上所述，满足

条件的点Q坐标为（后耳）或（三巫-?或（若"-3

4

2解：⑴把点A(-3，?代入y=a"得到2=9a,G="抛物线的解析式为y=*.

-9-—3k+bk=--1

42

(2)设直线1的解析式为y=kx+b,把A、C点坐标代入，则有｛3解得：｛3^

0=-fc+6b=-

24

12A

y—二1X=1

•••直线I的解析式为y=-六+*令X=0,得到y=|,.•"((),£),由｛:3解得｛y=l或二8

卜=-3y=~2x+474

13),如图1,过点A作AELx轴于E,过B作［=:BFLx轴于F,则BF〃OC〃AE,

.MB_MF_|-1_1r=\rmMC_MO_1

"MC~MO---3/」MA~ME~3

2

：.MB==MCA,JMC2=MAMB.

⑸如图2中，一共有3种情况，符合题意.

VOC为一边且顶点为0,C,P,D的四边形是平行四边形，PD//OC,PD=OC,

・•・设。(吁3+1)•中2),

•♦.PD=|%2_(T+J,又"=|

1=?

整理得：t2+2t-6=0或［2+2t=0,

解得t=-1-V7或-1+V7或-2或0(舍弃)，

P(-1-夕,2+6或(-1+V7-2-y)

或(-2,1).

抛物线的函数表达式为：y=-^2+1%+6;

4N

⑵过点D作DE±x轴于E,交BC于G,过点C作CF±ED交ED的延长线于F,如图1所示

:点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,6),OA=2,。。=6,S^A0C=-OC=|X2X6=6,

S^BCD=]S440c=1X6=5,

当y=0时.-"2+|x+6=o,解得：xi=2,X2=4,.•.点B的坐标为(4,0),设直线BC的函数表达式为：y=

4z

3

kx+n,则｛0飞轨+'懈得：产=二，

直线BC的函数表达式为：y=-1x+6,

••,点D的横坐标为,.点D的坐标为:(m,-|/+|m+6),点G的坐标为：(m，-弧+6),

33(3\37

DG=——7+-m+6———m+6=——+3m

42\274

113n

・•・S^BCD—]DG,OB=-X(--m2+3m)x4

=—3m2+1r6m,•••——3m2+1r6•m=9

2‘22'

解得：nii=1（不合题意舍去），m2=3,，m的值为3;

(3)由(2)得：m=3,-|m2+|m+6=-|x32+jx3+6=5..点D的坐标为：(3，9),因为B,D,M,N四边

满足平行四边形，则N点到x轴的距离为

①当N在x轴上方时，如图2所示眉Mi和M2两种情况：：四边形BDNM是平行四边形，，DN//BM,D

N〃x轴，，点D与点N关于直线x=l对称,

•••N(一I，?)，.•.DN=3-(-1)=4,.-.BM=4/.*B(4,0),.,.Mi(0,0)(与原点重合)，M2(8-0);

②当N在x轴下方时,如上图所示，有M3和用4两种情况：：四边形BDNM是平行四边形，

•••DM=BN,DM\\BN,.-.4DMB=4MBN,

；•点D与点N的纵坐标互为相反数，

•.,点1(3与，二点N的纵坐标为:1号

将y=一引弋入y=-#+|%+6中，得：一步+)+6

=一手，解得：%1=1+V14,X2=1-V14,

当久=1一旧时，则N3(l—E，一?)，

设M3点的坐标为(m,0),又：0(3吟)，

B(4,0):等=山/，解得：m=-V14

M3(-V14-0);

当x=1+时，则N4(1+VH,-?，

同理可得：M4(V14-0);

综上所述，点M的坐标为(8,0)或(0,0)或(旧,0)或(-V14-0).

4.解：⑴：抛物线y=ax2-2x+c经过A(0,-3)、B(3,0)两点严一6+；=0,...{a=

c=-3c=­J

..•抛物线的解析式为y=x2-2%-3,

:直线y=kx+b经过A(0,-3)、B(3,0)两点，

.{3”U解得：{j=l

・•・直线AB的解析式为y=x-3,

⑵存在，一共分两种情况，如图1,四边形CEMiNi和四边形（CEN2M2就是存在的平行四边形。

y=x2—2x—3—{x—l）2—4,

；•抛物线的顶点C的坐标为（1,-4）,VCE^yffl,

.*.E(1,-2),：.CE=2,

①若点M在x轴下方，四边形CEMiM为平行四边形，则CE=Mi/,设%（a，a-3）,则此。a2-1a-3）,

*，*M[N]=a—3—(a?—2a—3)=—a?+3a,

-a2+3a=2,解得：a=2,a=1(舍)，:M/2,-1),

MxCEN2M2M24,M（a-a-3）23）,

②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则CE=设2厕N2（a-a-2a-

MN=a2—2a—3—(a-3)=a2—3a,二a2-3a=2,

解得：。=亨,。=亨（舍去）,

综合可得M点的坐标为（（2，-1）或（3+^^，

（3）如图2,作PG回x轴交直线AB于点G,

设P(m^m2—2m—3)厕G(jn>m-3),

PG=m—3—(m2—2m—3)=—m2+3m,

11r

•••=-PGxOB=-x(—m2+3m)x3

=—|(m—1)2+・・,・当加=|时，△PAB面积的最大值是?此时P点坐标为(I，-1)

5.解：(1)将点A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+bx+2可得a=一|,力=±二V=—|^2+:%+2;

，对称轴x=l;

2222222

(2).设点D(1,y),VC(0,2),B(3,0),ACD=CG+GD=(2-y)+lfBD=BH+HD=4+y2,

在ABCD中，:NDCB=NCBD,ACD=BD,

ACD2=BD2,A(2-y)2-^-l=4+y2,

・•,y=QD(I《)；

(3)如图：过点E作EQ回y轴于点Q,过点F作直线FR回y轴于R,：SACEF=S横彩。胪E-S^CRF-S^CQE

•••E(x,y),C(0,2),F(l,1),

■■■SXCEF=l(EQ+RF)-QR-^CR•RF-^FR•ER,

SACEF=：(久+l)(y-1)-l^(y-2)-1x1x1=1x+|y-1

2i4inc12I7

，/y—~^X2+]%+2,•••S^CEF—~3X+

当"知,面积有最大值4948,此时E(鸿)；

⑷存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，

设N(l,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)

①四边形CMNB是平行四边形时,CM〃NB,CB〃MN,由平行四边形中心点坐标公式得：等=等

：-x=-2,

②四边形CNBM是平行四边形时,CN〃:BM,CM〃:BN,由平行四边形中心点坐标公式得：等=等；.x=2,；.M

(2,2);

③四边形CNMB是平行四边形时,CB〃MN,NC〃BM,由平行四边形中心点坐标公式得：祟=等久=4,二

M(4，T；

综上所述：M(2,2)或网4,_竽或期-2,-y);

6解：⑴在y=—1+2中.令y=0,得x=4,令x=0,得y=2；.A(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2)，代入y=-j%2+bx+c,

c=2,_3

得：｛-三x16+4b+c=0,解得：｛；

2c=2

..・抛物线的解析式为y=-|x2+|x+2

⑵如图1,过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE的垂线，垂足为F,交AB于点G

；BE〃x轴，NBAC=NABE

ZABD=2ZBAC,ZABD=2ZABE

BPZDBE+ZABE=2ZABE

ZDBE=ZABE,ZDBE=ZBAC

设D点的坐标为(x--|x2+|x+2),G(x--1%+2),易证F是DG的中点，

则F点的坐标是(久，一；/+[%+2),

又点纵坐标和B点纵坐标相同，为2,

一：*2+3乂+2=2,解得xi=0(舍去)，x2=2,

.••点D的坐标为(2,3)

(3)当BO为边时，OB〃EF,OB=EF,如图2所示，有3种情况设E(m--|m+2),F(m--|m2+|m+2)EF

2

—|m+2)—|m+jm+2)|=2解得m1=2,m2=2—242,m3=2+2V2

%(2,1),E2(2-2V2-1+72),£3(2+2V2-1-V2)

当BO为对角线时，OB与EF互相平分，如图3,有2种情况，符合题意：

过点O作OF〃AB,直线OF:y=—打交抛物线于点F5(2+2/，-1—a)和F4(2-2V2--1+V2)

取BO的中点M,则M(0,1)由题意得，M是F’的中点，也是E5Fs的中点，由中点坐标公式可以求出：

&(2夜-2-3-V2),%(-2&-2-3+V2)/.E点的坐标为(2,1)或(2—2或，1+企)或(2+2企，1-夜)或

(2V2—2,3-a),或(一2五-2-3+V2)

7.解：⑴在y=-|%+3中，令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,；.A(4,0),B(0,3)，将A(4,0),B(0,3)分别代入抛

h—至

物线.y=-/+法+c中，得：｛-42+4b+c=0c=3解得：｛4,

c=3

..•抛物线的函数表达式为：y=—/+六+3.

(2)存在.「△BDE和AACE相似，ZBED=ZAEC.\ABDE^AACEngADBE^AACE

①当△BDES/\ACE时，如图l,NBDE=NACE=90。,此时BD〃AC此时D点纵坐标为3代入二次函数解析式，

可得D(y，3)-

②当△DBEs^ACE时,NBDE=NCAE,如图2所示，过点B作BH±CD于H.，.ZBHD=90°,

—=tanZ.BDE=tanZ.CAE=―,

DHAC

tD(^xf—x2+?%+3),”33),E[，一[%+3)

o13133

BH=x,DH=-x2+—x+3-3=-xQ2+—x,CE=--x+3

444

,1,曰=q答解得：Xi=0(舍)，无2=4(舍),尤3=H，二D(H曰；

4

综上所述，点D的坐标为序3)或偌噂)；

(3)如图2,•・.四边形DEGF是平行四边形

・•.DE\\FGfDE=FG

设D(mf—m2+早m+3),E|m+3),(n,—n2+芳n+3),G(rp—，+3)厕：DE=-m2+4m,FG=

—n2+4n,:.—m2+4m=—n2+4n,

即：(m-n)(m+n-4)=0,*.*m-n^0

m+n-4=0,即：m+n=4,••n=4-m

过点G作GKEICD于K,则GK〃AC,；.ZEGK=ZBAO—=COSNEGK=cos^BAO=

EGAB

即：GKAB=AOEG,.*.5(n-m)=4EG,

即：EG=|(n—m)=|(4—m—m)=5—jm

；.DEGF周长=2(DE+FG)=2[(-m2+4m)+5-jm]=-2(m-1)2+

：-2<0,.,.当m=|时，；.EIDEGF周长最大值=，，此时n=4一|=?，则G(子卷),

当E,G互换时，结论也成立，此时G©粉综上所述G仔*)或%).

8.解：⑴；二次函数y=—/+6久+c的图象交x轴于点4(—4,0)和点B,交y轴于点C(0,4).

16—4b+c=0rb=-3

-c=41c=4/

.,.二次函数的表达式为y=-X2-3x+4,

⑵如图1,连接AC,AP,PC,过点P作PE回x轴，

交AC于点E由点A(-4,0)，点C(0,4),

可得直线AC的解析式为：y=%+4,

设P(x>—x2—3%+4),+4)

贝!]PE=—X2—3久+4—第一4=—X2—4x

•••SAPAC=逆.4。=?(r2-4x)-4=-2(x+2)2+8

当x=-2时，SAP4c面积最大值是8,

此时P点的坐标是(-2,6).

(3)存在点Q,使A,B,C,Q四点构成平行四边形，如下三种情况，理由：

①以AB为边时，有Q1和Q2两种情况：

VCQ//AB,CQ=AB=5

••,C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),

②以AB为对角线时，有Q3一种情况：

CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，：A(-4,0),B(1,0),

.,•线段AB中点坐标为(-1，0)设Q(a,b)

由平行四边形中心点坐标公式可得：

等=/解得:a=-3,

等=0,解得:b=-4,/.Q(-3,-4),

综上所述,满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

当AB为对角线时，解法二：过点Q作QM±x轴于点M,贝必AQM^ABCO,则AM=BO=1,QM=CO=4,；.O

M=OA-AM=3,AAQ(-3,-4),

综上所述，满足条件的点Q的坐标为Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

9.解：⑴当x=0时，y=x-5=-5,则C(0,-5),当y=0时,x-5=0,解得x=5,则B(5,0)把B(5,0),C(0,-5)代入

丫=5+6%+鸿：｛25。+子+/=。解得：｛。：二

c=_5c=-5

...抛物线解析式为y=-x2+6x-5;

⑵①令y=0,解方程—/+6x—5=。得X1=1,X2=5,则A(l,0),VB(5,0),C(0,-5),

/.△OCB为等腰直角三角形,；./08©=/(^8=45。「1乂，8。；./\人^^为等腰直角三角形,

AM=—AB=—X4=2V2,

22

•.•以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM\\PQ,PQ=AM=2&,PQ1BC,

作PD_Lx轴交直线BC于D,贝！］Z.PDQ=45",

PD=&PQ=V2x2V2=4,

设P(m>—m2+6m—5),则D(m,m-5),

①.当P点在直线BC上方时，Pl符合题意

PD=­m2+6m—5—(m—5)=-m2+5m=4,

解得mi=1(舍去)，m2=4,

②.当P点在直线BC下方时,P2和P3符合题意，

PD=m—5—(―m2+6m—5)=m2—5m=4

解彳曰m—升同rn-'-房

综上所述，P点的横坐标为4或手或三卢；

②.如图2,作ANLBC于N,NHLx轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E,

VMiA=MiC,AZACMi=ZCAMt,

AZAMtB=2ZACB,VAANB为等腰直角三角形，

；.AH=BH=NH=2,.\N(3,-2),

易得AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为©，-|),设直线EMt的解析式为y=-1x+b,

把E&-|)代入得一套+匕=，解得仁一5,直线EM】的解析式为丫=一如一蓑，解方程组：

%=12y=x-5

得：{彳7厕%(£，一勺；L=

尸一至55

在直线BC上作点Ml关于N点的对称点M2,则ZXM2C=4AM/=2/.ACB,设M?(x,x-5),•••N

(3,-2),%-菖);由中点坐标公式得，3=专,.••久=学%信，-，综上所述，点M的坐标为(£，-勺或

仔-a

9a+3b+c=0a=1

10.解：(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得:{a-b+c=0解得：［b=-2则该抛物

c=—3c=—3

线解析式为y=/-2%-3；

(2)设直线BC解析式为y=kx-3把B(-l,0)代入得：-k-3=0,即k=-3,

直线BC解析式为y=-3x-3,

:以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M.1.AMXBC

设直线AM解析式为y=|x+m,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-l,

3

1y—-3x=--/Q小

•••直线AM解析式为y=?—1,联立得：一解得：｛"则M(—|，—|);如图1：

3V=-X-1___\55/

3y-5

⑶以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形时，只有BC为边一种情况，易知P到x轴的距离和CO

的值相等，等于3,则分两种情况讨论，如下图2:

①当P在x轴的下方,则P点的纵坐标为-3,则./-2%-3=-3,解得：箕=0(舍去)，x2=2,此时P(2,-3)②.当

P在x轴的上方,则P点的纵坐标为3,则./-2*3=3,解得：/=1+b,尤2=1-夕，此时(1+夕,3)或

(1-V7,3)

综上所述，存在以点B,c,Q,p为顶点的四边形是平行四边形，且P的坐标为：(1+77,3)或(1-77,3)

或(2,-3).

11.解：⑴把A(-l,0),B(3,0)代入y^ax2+bx+3得：(a二)解得：｛"广

9a+3。+3=0b=Z

..•抛物线的表达式为y=—/+2X+3,.,.点C坐标为(0,3〉把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得：^k+n=°

n=3

解得：•直线BC的表达式为y=-x+3.

(2)①YPA交直线BC于点D,・♦・设点D的坐标为(m,-m+3),设直线AD的表达式为y=k]x+bi,

・,.直线AD的表达式，y=N詈％+可，

/m+lm+1

.•.联立得：藁X+需=_/+2x+3,整理得，[—瞿)(*+1)=0

解得与二含或犯=-K不合题意，舍去)，，点D的横坐标为m,点P的横坐标为悬，分别过点D、P

作x轴的垂线，垂足分别为M、N,如图1：

・•.DM\\PNfOM=m,ON=-^fOA=lf

4m

..S\一S.PDC_PD_MN一后-m

S2SjADCD4AMm+1

22

-m+3m设金=t,则-m+3m

(m+1)2J(m+1)2

整理得，Q+l)m2+(2t-3)m+t=0,

VA>0,(2t-3)2-4t(t+l)>0,

解得t<三有最大值，最大值为高

lolo

②存在，理由如下：如图2,过点F作FGXOB于G,：y=-x2+2x+3的对称轴为x=l,；.OE=1,：B(3,0),C(0,

3)；.OC=OB=3,又；/COB=90。，...△OCB是等腰直角三角形,

,/ZEFB=90°,BE=OB-OE=2,

/•△EFB是等腰直角三角形，；.FG=GB=EG=1,

点F的坐标为(2,1),

第一种情况：当EF为边时，：四边形EFPQ为平行四边形，，QE=PF,QE〃PF〃y轴,

.••点P的横坐标与点F的横坐标同为2,

当x=2时,.y=—22+2x2+3=3,

.••点P的坐标为(2,3),

；.QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,2)根据对称性当P(0,3)时,Q(l,4)时，四边形EFQP也是平行四边形.

第二种情况：当EF为对角线时，如图2中的PiEQ3F，:四边形PEQF为平行四边形，，QE=PF,QE〃PF〃y

轴,同理求得:点P的坐标为(2,3),...QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,-2);综上，点P的坐标为(2,3)时，点Q的坐

标为(1,2)或(1,-2),P(0,3)时,Q(1,4).

12.解：(1):抛物线y=ax2+bx+c(a*0)的图象经过A(l,0),B(3,0),

•••设抛物线解析式为：y=a(x-D(x-3),

:抛物线y=a(x-l)(x-3)(a#))的图象经过点C(0,6),.,.6=a(0-l)(0-3),.\a=2,

抛物线解析式为：y=2(x-1)(久-3)=2/-8x+6;(2)y=2/—8x+6=2(x—2)2-2,

顶点M的坐标为(2,-2),

:抛物线的顶点M与对称轴1上的点N关于x轴对称，

.,.点N(2,2),设直线AN解析式为：y=kx+b,

由题意可得：｛：=以北,解得：｛2=2

.•・直线AN解析式为：y=2x-2,

联立方程组得：｛，右：广丁+6解得：｛»；受，

♦•点D(4,6),SA4BO=3x2x6=6,

设点E(m,2m-2),

•.•直线BE将小ABD的面积分为1：2两部分，

SMBE-「SAABD=2或ABE=§SAAB。=4，

Ix2x(2m—2)=2或|x2x(2m—2)—4,

；.m=2或3,.•.点E(2,2)或(3,4);

(3)存在，分两种情况讨论：

①.若AD为平行四边形的边，

••.以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AD=PQ,xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,

；.xp=4-l+2=5或xp=2-4+l=-l,

点P坐标为(5,16)或(-1,16);

②.若AD为平行四边形的对角线，

••.以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AD与PQ互相平分，中=野，

；.xp=3,...点P坐标为(3,0),

综上所述：当点P坐标为(5,16)或(-1/6)或(3,0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.

13解：⑴将A的坐标(-1,0),点C的坐(0,5)代入y=--+法+°得：｛°=一匕+°解得©=之；.抛物线

的解析式为y=-X2+4x+5;

(2)过P作PDLx轴于D,交BC于Q,过P作PHXBCTH,如图1:

在y=—x2+4%+5中,令y=0得一/+4x+5=0,解得x=5或x