2025年中考数学复习：一线三等角模型 （三垂直模型）

一线三等角模型(三垂直模型)

1如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，乙40B=NB=3(T,OA=2.将△AOB

绕点O逆时针旋转90。,，点B的对应点B，的坐标是()

4(一百，3)B.(-3-V3)C.(-V3-2+V3)D.(-l-2+V3)

2在平面直角坐标系xOy中矩形OABC的顶点A在函数y=)力。)的图象上，顶点C在函数y=-^(x<0

)的图象上，若顶点B的横坐标为-5则点A的坐标为()

3如图，点A,B,C在同一条直线上，点B在点A,C之间，点D,E在直线AC同侧，AB<BC,ZA=ZC=9

0°,AEAB^ABCD,连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论：①a+b<c;(@a+b>Va2+b2-,③

V2(a+6)>c.

上述结论中，所有正确结论的序号是()

C.②③D.①②③

4如图在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,l),AC由AB绕点A顺时针旋学习笔记:转90。而得，则AC所在直

线的解析式是.

5如图，正方形ABCD和IRtAAEF.AB=5,4E=4F=4„连接BF,DE,若△绕点A旋转，当^ABF

最大时，SAADE==_.

6如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4低D为边AB上一动点（B点除外）,以CD为一边作正方形CD

EF,连接BE,则4BDE面积的最大值为.

7如图,已知点A（4,3）,点B为直线y=-2上的一动1l点，点C（0,n）,-2<n<3,TlCElBC于点C,连接AB.右

直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为a,那么当sina的值最大时，n的值为.

8如图，在R3ABC中,CA=CB,M是AB的中点点D在BM上,.4E回回CD,垂足分别为E,F,连接EM.则

下列结论中:①BF=CE;②/AEM=NDEM;③AE-CE=V2ME;④DE2+DR=2DM2;⑤若AE平分/BAC,贝！1EF:BF=

V2:1;⑥CF.DM=BMQE,正确的有.（只填序号）

9如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且（CE=44E,点F在DC的延长线上，连接EF,过点E作

EGLEF,交CB的延长线于点G,连接GF并延长，交AC的延长线于点P.若AB=5,CF=2,则线段EP的长是____

D

10如图，点A是双曲线y=：上的一个动点，连接AO并延长交双曲线于点B,将线段AB绕点B逆时针旋

转60。得到线段BC,若点C在双曲线y=40,久＜0)上运动，则k=.

11如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为(0,4),点B在x轴上，点C在反比例函数y=竽的图

象上，则点B的坐标为

12已知点A是双曲线y=:在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为一边作等边

三角形ABC,点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这

个函数的解析式为.

13问题1:如图①，在四边形ABCD中，NB=NC=90。,，P是BC上一点，PA=PD,乙4PD=90。.求证：AB+

CD=BC.

问题2:如图②，在四边形ABCD中，NB="=45°,P是BC上一点，PA=PD,AAPD=90。,求空冲的值.

DD

A

图2

14如图，RtAAOB中，。为坐标原点，AAOB=90。,NB=30。,如果点A在反比例函数y=《(久》0)的图象上

运动，那么点B在函数.(填函数解析式)的图象上运动.

15如图，在平面直角坐标系中，直线y=-为+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),

四边形ABCD是正方形.

(1)填空：b=_;

(2)求点D的坐标；

(3)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外),试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以0、B、M、

N为顶点的四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标.

17以RM28C的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AMLBC于

M,延长MA交EG于点N.

(1)如图①，若ABAC=90°,AB=4C,求证:EN=GN;

(2)如图②，NB4C=90。;如图③，乙BAC丰90。，⑴中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若

不成立，写出你的结论，并说明理由.

18(1)如图1,已知：在A4BC中,ABAC=90。,4用=4C,直线1经过点A,BD1,CE团1,CE团1,垂足分别为点

D、E.证明：®ZCAE=ZABD;②DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在4ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在1上，并且有乙BDA=^AEC=/.BAC

=a,,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交E

G于点I,求证：I是EG的中点.

19如图，在正方形ABCD中，AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<乔。),连接AM,过点M作

MN±AM交BC于点N.

⑴如图①，求证：MA=MN;

(2)如图②，连接AN,0为AN的中点，M0的延长线交边AB于点P,当?出空=葛时，求AN和PM的长;

'△BCD

⑶如图③，过点N作NHLBD于H,当AM=2有时，求4HMN的面积.

20【感知】如图①，在四边形ABCD中，ZC=ZD=90。点E在边CD上，AAEB=90。，求证：=第

EBCB

【探究】如图②在四边形ABCD中，NC=乙4DC=90°„点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，乙FEG

=4AEB=90。,且—=空连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

EGEB

【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，AAEB+乙DEC=180。,且黑=暮，过E作EF交AD于点F,若/

EBEC

EFA=ZAEB,延长FE交BC于点G,求证：BG=CG.

21如图△4BC为等边三角形，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,延长AB分别交CE、DE的延长线于

点F,N,CHLAF于点H,EMLAF于点M,连接AE.

⑴判断ACHB和ABME是否全等.并说明理由;

（2）求证：AE2=AC-AF-,

⑶若力B=若点P是直线AF上的动点，直接写出4CEP周长的最小值.

1解：如图，过点B，作B，D，x轴于D.过点B作BELx轴于E点.先证△BDO0AOEB

；.BD=OE,DO=EB,VZAOB=ZB=30°,OA=2.\AB=OA=2,ZOBE=60°,ZABE=30°

AE=1,BE=V3,.-.OEOA+AE=3,B'D=OE=3,DO=EB=陋：.3）,故选：A.

155.解：如图，作AD_Lx轴于点D,CELx轴于点E,

:四边形OABC是矩形，，ZAOC=90°,

/.ZAOD+ZCOE=90°,VZAOD+ZOAD=90°,

ZCOE=ZOAD,VZCEO=ZODA,

ACOE^AOAD,

・・S”。。―'AD-OD~OAr

111

S^COE=-x|-4|=2,S〉AOD=3X1=3,

,,1lo//**OA>

2

.•.黑=需=*=2,OE=2AD,CE=2。。,设A（m，£）（㈤0）,；.C（-、,2m）,OE=0-（一frac2m）=*

:点B的横坐标为—：,AB间的水平宽度=EO间的水平宽度；.=:整理得2机2+7爪-4=0,=

2\2/m

j,m2=-4（不符合题意，舍去），经检验，m=:是方程的解，:A62）,故选：A.

2.解：①过点D作DF〃AC,交AE于点F;过点B作BGLFD,交FD于点G.

VDF/7AC,ACXAE,/.DF±AE.

又；BGJ_FD,；.BG〃AE,

.••四边形ABGF为矩形.

同理可得，四边形BCDG也为矩形.

/.FD=FG+GD=a+b.

.•.在RSEFD中，斜边DE>直角边FD.即c>a+b.故①正确.

②•.•△EABHBCD,；.AE=BC=b,

...在RtAEAB中，BE=VXB2+AE2=<a2+b2.

AB+AE>BE,a+b>Ma2+b2.故②正确.

©VAEAB^ABCD,ZAEB=ZCBD,XVZAEB+ZABE=90°,

AZCBD+ZABE=90°,ZEBD=90°.

VBE=BD,ZBED=ZBDE=45°,

••.△EDB是等腰直角三角形

BE=Va2+b2.c=42BE=V2Va2+b2.

a+b>Va2+b2,V2(a+b)>V2Vci2+b2

■-V2(a+b)>c.故③正确.故选：D.

3.解：：A(2,0),B(0,1),'.OA=2,OB=1

过点C作CDLx轴于点D,则易知△ACD丝△BAO(AAS),；.AD=OB=1,CD=OA=2；.C(3,2)设直线AC的解

析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入，得方程组,并解得：k=2,b=-4,.•.直线AC的解析式为y=2x-4.故答

案为：y=2x-4.

4.解：如图，过点D作DGLAE于G,

AF=4,^AAEF绕点A旋转时点F在以A为圆心,4为半径的圆上，；.当BF为此圆的切线时，/ABF最大

即BF_LAF,在R3ABF中，BF=V52-42=3,VZEAF=90°,AZBAF+ZBAG=90°,

VZDAG+ZBAG=90°,.\ZDAG=ZBAF,i^AADGABF中：先证△ADG丝△ABF(AAS),；.DG=BF=3,；.

SMDE=XDW=iX3X4=6.故答案为6.

5.解过点C作CG_LBA于点G,作EH_LAB于点H,作AM_LBC于点M.：AB=AC=5,BC=4V5

；.BM=CM=2V5,.".△AMB^ACGB,

BMAB□[-]2V55rJ-.c

•••—=—,即一=—EGB=8,

GBCBGB4V5

设BD=x,贝！]DG=8-x,

VED=DC,ZEHD=ZDGC,NHED=NGDC,

AAEDH^ADCG(AAS),EH=DG=8-x,

・•・SWE=3xBD义EH=|%(8-x)=-|(x-4)2+8,当x=4时，△BDE面积的最大值为8.故答案为8.

6.解：过点A作AMJ_y轴于点M,作AN±BN交于点N,:直线y=-2与x轴平行，，ZABN=a,

当sina的值最大时,则tana=黑=白值最大，故BN最小，即BG最大时，tana最大，即当BG最大时，则s

ina的值最大，设86=丫厕AM=4,GC=n+2,CM=3-n,

VZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZBCG=90°,

・•・ZCAM=ZBCG,tanZCAM=tanZBCG,

••费谭即―=急，--2-3)

2

(n+2)=-l(n-|)+||,v-i<0,

:•当践=泄，y取得最大值，故n=点故答案为：!

7.解：VZACB=90°,.,.ZBCF+ZACE=90°,VZBCF+ZCBF=90°，，/ACE=/CBF,又：/BFD=90。=

ZAEC,AC=BC,

/.ABCF^ACAE(AAS),.\BF=CE,故①正确;由全等可得：AE=CF,BF=CE,AE-CE=CF-CE=EF.连接F

M,CM,；点M是AB中点

CM=|XF=BM=AM,CM1AB,^ABDF^ACDM中，ZBFD=ZCMD,ZBDF=ZCDM,NDBF=ND

CM,又BM=CM,BF=CE,/.ABFM^ACEM(SAS),

；.FM=EM,ZBMF=ZCME,VZBMC=90°,

/.ZEMF=90°,即4EMF为等腰直角三角形，

EF=近EM=AE-CE,,故③正确，

ZAEC=90°,ZDEM=ZAEM=45°,故②正确

如图，连接CM,设AE与CM交于点N,连接DN,；/DMF=NNME,FM=EM,NDFM=/DEM=NAEM=45。，

.'.△DFM^ANEM(ASA),

.*.DF=EN,DM=MN,.♦.△DMN为等腰直角三角形，DN=/DM,而/DEA=90。，

DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正确;

VAC=BC,ZACB=90°,AZCAB=45°,

：AE平分NBAC,，NDAE=/CAE=22.5°,ZADE=67.5°,VZDEM=45°,ZEMD=67.5°,即DE=EM,

:AE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

.,.△ADE^AACE(ASA)，,DE=CE,

AMEF为等腰直角三角形，；.EF=五EM,

VZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=90°,

-nn/ACLCDCMDM

CDM〜△ADE,・.•一=—=—,

ADAEDE

•・•BM=CM,AE=CF,..・—=—,

CFDE

CF-DM=BM-DE,故⑥正确;

故答案为：①②③④⑤⑥.

8.解如图，作FH_LPE于H.

'•,四边形ABCD是正方形，AB=5,

AC=5V2,/-ACD=Z.FCH=45°,

VZFHC=90°,CF=2,；.CH=HF=V2

22

•••CE=44E,EC=442,AE=VXEH=5V2,RtAEFH中，EF2=EH2+FH2=(5&)+(V2)=52,VZ

GEF=ZGCF=90°,GE,G,F,C四点共圆,

/.ZEFG=ZECG=45°,AZECF=ZEFP=135°,

VZCEF=ZFEP,.•.△CEF^AFEP,

EFEC2T?rcn

・•・一=—,1E7rl*=EC•EP,

EPEF

52=4V2xEP.EP=等，故答案为竽

10.解：连接OC、AC,设A(a,b),：点A是双曲线y=j±..-.ab=5,VAB=BC,ZAOB=60°

.♦.△ABC为等边三角形，•.,点A与点B关于原点对称，.•.OA=OB,••.ABLOC,过点C作CD，x轴于点

D,AE_Lx轴于点E,：/COD+/AOE=/OCD+/COD=90°,ZAOE=ZOCD,AAAOE^AOCD,

OD*=雷=信,・°°=闻E=图,

AE

CD=V3OF=Ba,设点C的坐标为(x,y),

CD-OD=—x-y=V3a-y[3b=3ab=15,

:.k=xy=-3ab=-15.古故答案为-15.

11.解：如图，作CDXABTD,CGLx轴于G,过D点作EF〃OB,交y轴于E,交CG于F,

：AABC是等边三角形，CDJ_BC,；.BD=AD,设点C的坐标为(%，竽)，点B的坐标为(a,0),

VA(0,4),；.AB的中点D的坐标为g-2);VCD±AB.AZADE+ZCDF=90°,VZADE+ZDAE=90°,A

x_a15V32

ZDAE=ZCDF,VZAED=ZCFD=90°,AAAED^ADFC,=*,艮?=不二=?整理，可得x-|ct

2

2

=2百①,2遍+|a=§②由①②整理得，|ct+4V3ct-33=0,解得ar=2V3,a2=一等(舍去)，B

(2V3<0).

故答案为(2V3,0).

12.解：过点B作BD±x轴于点D,过点C作CE±x轴于点E，由一线三等角模型，可以得到△BOE-AOCD,

££=则SABOE3

则相似比，AJ3S^BOE

ocV3S&OCD2’

•*.k=-9,y=一沁)0).

13证明：(1)VZB=ZAPD=90°,

/.ZBAP+ZAPB=90°,ZAPB+ZDPC=90°,

/.ZBAP=ZDPC,又PA=PD,ZB=ZC=90°,

/.ABAP^ACPD(AAS),；.BP=CD,AB=PC,

；.BC=BP+PC=AB+CD;

⑵如图2,过点A作AE±BC于E,过点D作DF±BC于F,由⑴可知，EF=AE+DF,

ZB=ZC=45°,AE±BC,DF±BC,/B=NBAE=45。，ZC=ZCDF=45°,

•••BE=AE,CF=DF,AB=匝AE,CD=V2OF,

；.BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),

.AB+CD_V2(_AE+DF)_>J2

"BC-2Q4E+Z)尸)-2'

D

14.解:分别过A、B作AC，y轴于C,BD，y轴于D.设A(a,b)•点A在反比例函数y=其比)0)的图象上,

.•.ab=l,在AOAC与ABOD中，ZAOC=90°-ZBOD=ZOBD,ZOCA=ZBDO=90°,

AAOAC^ABOD,AOC:BD=AC:OD=OA:OB,在RSAOB中，ZAOB=90°,ZB=30°,

OA-.OB=1：V3,.-.b:BD=a:OD=1：V3BD=y/3b,OD=y/3a,■.BD-OD=3ab=3,又：点B在第四象

限，，点B在函数y=-2>0)的图象上运动.故答案为：y=-|(x)0).

15解⑴把(4,0)代入y=一3+仇得：-3+b=0,解得：b=3,故答案是：3;

⑵如图1,过点D作DE，x轴于点E,：正方形ABCD中，ZBAD=90°,/.ZDAE+ZOAB=90°,又；直角△

OAB中，ZOAB+ZABO=90°,

ZDAE=ZABO,

SAOAB和△EDA中，易证△OABgZkEDA(AAS)，,AE=OB=3,DE=OA=4,

；.OE=4+3=7,.,.点D的坐标为(7,4);

(3)存在.①如图1,当OM=MB=BN=NM时，四边形OMBN为菱形.则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标

是|,把y=|代入y=-江+3中狷x=2,即M的坐标是(2,|)厕点N的坐标为(-2,|②如图3,当OB=BN=NM=

MO=3时,四边形BOMN为菱形.♦rONLBM,，ON的解析式是y=卜

__3^+3X=—

根据题意联立得：｛,—，解得：｛久二意则ON与BM的交点坐标是(||，^，则点N的坐标为

综上所述，满足条件的点N的坐标为(-2，|)或(If嚼).

16.解：(1)证明:：/BAC=90°,AB=AC,AZACB=45°,AM±BC,/.ZMAC=45°,AZEAN=ZMAC=45°

,同理/NAG=45°,；.NEAN=NNAG,；四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，；.AE=AB=AC=AG,；.EN=G

N.

(2)如图2,NBAC=90。时,(1)中结论成立.

理曲过点E作EPLAN交AN的延长线于P过点G作GQLAM于Q,；四边形ABDE是正方形，.,.AB=A

E,ZBAE=90°,.,.ZEAP+ZBAM=180°-90°=90°,VAM±BC,AZABM+ZBAM=90°,ZABM=ZEAP,

LABM=^EAP

在^ABM和仆EAP中，｛Z.AMB=zP

AB=AE

：.AABM^AEAP(AAS),；.EP=AM,

同理可得：GQ=AM,；.EP=GQ,

乙P=NNQG

在小EPN和4GQN中，｛NENP=乙GNQ

EP=GQ

：.AEPN^AGQN(AAS),.\EN=NG.

如图2,/BAC力90。时，⑴中结论成立.理由：

过点E作EPLAN交AN的延长线于P.过点G作GQLAM于Q,：四边形ABDE是正方形，

；.AB=AE,ZBAE=90°,AZEAP+ZBAM=180°-90°=90°,VAM±BC,AZABM+ZBAM=90°,.\ZAB

M=NEAP,

^ABM=/.EAP

在小ABM和4EAP中，｛AAMB=NP,

AB=AE

：.AABM^AEAP(AAS),；.EP=AM,同理可得：GQ).=AM,.\EP=GQ,

乙P=NNQG

在△EPN和△GQN中，｛NENP=NGNQ.,.△EPN0AGC^N(AAS),.\EN=NG.

EP=GQ

17(1)证明：①：BD_L直线1,CE±1,ZBDA=ZCEA=90°,VZBAC=90°,ZBAD+ZCAE=90°,

VZBAD+ZABD=90°,ZCAE=ZABD;

②在△ADB和△CEA中，｛空用ADB注△CEA(AAS),/.AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+

CE;

(2)解：成立：DE=BD+CE.证明如下:,.,NBDA=NBAC=a,「.NDBA+NBAD=NBAD+NCAE=180。-a,AZ

DBA=ZCAE,iSAADB和△CEA中,CEA(AAS),AAE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;

BHC

图3

(3)解：如图3,过E作EMLHI于M,GNLHI的延长线于N,工NEMI=GNI=90。，由⑴和⑵的结论可知E

M=AH=GN,AEM=GN,

(G1H=乙EIM

*

在^EMI和^GNI中，｛EM=GN/..AEMI^AGNI(AAS),JEI=GI,二.I是EG的中点

乙GHI=乙EMI

18(1)证明：过点M作MFXAB于F,作MG_LBC于G,如图①所示：,NAFM=NMFB=NBGM=NNGM=

90。，・・•四边形ABCD是正方形，

AZABC=ZDAB=90°,AD二AB,ZABD=ZDBC=45°,VMF±AB,MG±BC,.\MF=MG,

・・・NABC=90。，・•・四边形FBGM是正方形，

ZFMG=90°,：.ZFMN+ZNMG=90°,

VMN±AM,ZAMF+ZFMN=90°,

・•・ZAMF=ZNMG,

^AFM=乙NGM

在^AMF和^NMG中，｛MF=MG,

Z.AMF=乙NMG

.,.△AMF^ANMG(ASA),AMA=MN;

ADAD

图1

(2)解：在R3AMN中,由(1)知：MA=MN,.\ZMAN=45°,VZDBC=45°,AZMAN=ZDBC,/.RtAAM

N^RtABCD,ASAANV=(4NB)2,在RtAABD中，AB=AD=6,ABD=6V2.•・==解得：AN=2^13,

•(6V2)18

.•.在RtAABN中，勾股定理得BN=4,

;在RtAAMN中，MA=MN,O是AN的中点,

{/吗=f•••△ADB=A.-.OM=OA=ON-AN=V13,OM1AN

VZ.BDA=Z.CEA2

VZPAO=ZNAB,.".△PAO^ANAB,

...”=生即•"=退解得•op=空亘

BNAB'46'用牛守1.3'

・・.PM=OM+OP=g+^=^

(3)解：过点A作AFLBD于F,如图③所示:

ZAFM=90°,AZFAM+ZAMF=90°,VMN±AM,

JZAMN=90°,AZAMF+ZHMN=90°,

・•・ZFAM=ZHMN,

/.FAM=乙HMN

VNH±BD,・•・ZAFM=ZMHN=90°，在△AFM和^MHN中，{NA尸M=乙MHN,

AM=MN

AAFM^AMHN(AAS),・・.AF=MH,在等腰直角^ABD中，・.・AF_LBD,

AF=-BD=-x6A/2=3企，

22

MH=3V2,­••AM=2V5,MN=2V5,

HN=y/MN2-MH2=V2,

SAHMN=|MW--Ix3V2xV2=3,

AHMN的面积为3.

19.【感知】证明：•.,ZC=ZD=ZAEB=90°,.\ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,ZBEC=ZEAD,.'.Rt

△AEDsRtAEBC,；.AEEB=DEB.

【探究】证明：如图2,过点G作GMLCD于