2025年中考数学复习压轴训练：几何综合六种模型 （学生版）

专题14几何综合六种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一：两垂一圆构造直角三角形模型

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

分类讨论：

若NA=90。，则点C在过点A且垂直于AB的直线上（除点A夕卜）;

若NB=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上（除点B外）；

若NC=90°,则点C在以AB为直径的圆上（除点A,B外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A,B两点.

题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型

分类讨论：

若AB=AC,则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若BA=BC,则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN

以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

题型三：胡不归模型

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为在直线MN上运动的速度为且％＜也，A、

B为定点,点C在直线/WN上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

ACBC

1)----1----BC+^-AC,记k,即求BC+kAC的最小值.

匕匕

2）构造射线A。使得sinNDAN=k,—=k,CH=k47,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过B点作BH1AD交MN于点C,交八。于”点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解题关键】在求形如"小+kPB"的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将"R4+kP8”型问题转

化为"%+PC型.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

题型四：阿氏圆模型

【模型解读】如图1所示，。。的半径为r,点A、B都在。0外，P为。。上一动点，已知r=k-OB,连

接PA、PB,则当“PA+k，PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2,在线段0B上截取0C使OC=kr,则可说明△BP。与△PC。相似，即k-PB=PC。

故本题求“PA+/PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示:

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k%+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的"阿氏圆"问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始

终为A/W的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

2）如图，在MPQ中AP=AQ,EIRAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始

位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用"垂线段最短"求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为

其他已知轨迹的线段求最值。

题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1-1.如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,Q为4P中点.Q点轨迹是？

如图，连接A。，取A。中点任意时刻，均有ELA/MQaiAOP,QM:P0=AQ:AP=l:2.

则动点。是以“为圆心，为半径的圆。

模型1-2.如图，B4PQ是直角三角形，明4Q=90。且AP=k-AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

如图，连结A0,作AM3A0,AO:AM=k:l；任意时刻均有B4POEB4QM,且相似比为k。

则动点。是以“为圆心，为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但A8=AC=AP,则8、C、P三点共圆，

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型14定边对定角(或直角)模型

1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，EMPB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，MPB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用："一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径

之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差"的性质求解。

压轴题预测

题型一：两垂一圆构造直角三角形模型

1.(2023•安溪县二模)如图，是半圆O的直径，BPLAB,PD与半圆O相切于点。，连接45并延

长，交的延长线于点C.

(1)求证：PB=PC；

(2)若0O的半径为5,AD=8,求3尸的长.

2.(2023•平房区二模)如图1,AABC内接于OO中，Afi为直径，点。在弧BC上，连接AD,CD.

(1)求证：ZCAB+ZD=90°；

(2)如图2,连接OC交A3于点/，若NZMB+2NC4D=90。，求证：AC=CD；

(3)在(2)的条件下，如图3,点E在线段CF上，连接AE,BE交AD于点H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

3.(2022•蔡甸区校级模拟)如图，点E是正方形A5CD边3C上一点(点E不与3、C重合)，连接DE交

对角线AC于点尸，AAD厂的外接圆。交边于点G,连接GO、GE.

(1)求NEDG的度数；

(2)若——=-,求tanNDEG.

CE2

B

DC

4.(2023•怀化)如图，AB是。O的直径，点尸是。。外一点，上4与0。相切于点A,点C为。O上的一

点.连接尸C、AC.OC,且尸C=R4.

(1)求证：PC为QO的切线；

(2)延长尸C与AB的延长线交于点£),求证：PDOC=PAOD；

(3)若NC4B=3O。，OD=8,求阴影部分的面积.

5.(2023•广陵区二模)如图，顶点为A(Y,4)的二次函数图象经过原点(0,0),点尸在该图象上，O尸交其

对称轴/于点/，点M、N关于点A对称，连接RV,ON.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点尸的坐标是(-6,3),求AOPN的面积；

(3)当点尸在对称轴/左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①求证：ZPNM=ZONM；

②若AOPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

6.（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队

计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.

【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上.拟测算的写字楼与摩天轮在同一

平面内.

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）.

图2图3

,如图3,摩天轮的最局局度为128米，半径为60米，该团队

分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪

观测写字楼最高处。点，观测数据如表（观测误差忽略不计）.

【任务一】初步探究，获取基础数据

（1）如图3,请连接AO、BO,则NAOF=°；

（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置3点的高度.（结果保留根号）

【任务二】推理分析，估算实际高度

（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度。N.（结果用四舍五入法取整数，72-1.41）

7.(2022•江北区一模)如图1,四边形ABCD是。。的内接四边形，其中=对角线AC、相交

于点E,在AC上取一点尸，使得"=过点尸作GHLAC交QO于点G、H.

(1)证明：\AED~\ADC.

(2)如图2,若AE=1,且G”恰好经过圆心O,求3c-CD的值.

(3)若AE=1,EF=2,设跳;的长为无.

①如图3,用含有x的代数式表示A5CD的周长.

②如图4,3C恰好经过圆心O,求ABCD内切圆半径与外接圆半径的比值.

4*一号

图1图2图3图4

题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型

1.（2022•开州区模拟）如图，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是3c的中点，E为AC边上任意一点,

连接小，将线段DE绕点。逆时针旋转90。得到线段DF,连接£F,交钻于点G.

（1）如图1,若AB=6,AE=yf2,求ED的长；

（2）如图2,点G恰好是EF的中点，连接所，求证：CD=42BF；

（3）如图3,若43=4夜，连接CF,当+取得最小值时.请直接写出斯的值.

图2图3

2.(2023春•璧山区校级期中)如图，直线丫=区+匕经过点4(8,0)和3(0,4)两点，将AAO3沿直线/对折使

点A和点3重合，直线/与无轴交于点C与AB交于点。，点。的纵坐标为2,连接3c.

(1)求直线4?的解析式；

(2)若点E在x轴的负半轴上，且ABED的面积为10,求ABQE的周长；

(3)已知y轴上有一点尸，若以点3,C,尸为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点

P的坐标.

题型三：胡不归模型

1.(2023•湘潭县校级三模)如图，抛物线丁=加+方龙+3(。H0)与x轴相交于点4-1,0),5(3,0),与y轴

交于点C,连接3C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸为y轴上一个动点，连接3P,求疝片9+103尸的最小值；

(3)连接AC,在x轴上是否存在一点P,使得NPCO+NACO=45。？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

2.(2023•徐州二模)抛物线y=-d+bx+3与直线y=x+l相交于A、3两点，与y轴相交于点C,点A在

x轴的负半轴上.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点。的坐标;

(2)如图1,直线AB上方的抛物线上有一动点P,过点P作于点求垂线段尸〃的最大值;

(3)如图2,当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接"，交抛物线的对称轴于点当AM+或DW

5

最小时，直接写出此时"的长度.

图1图2

3.(2023•丘北县一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+法+4与x轴交于A(T,0)、3(2,0)两

点，与y轴交于点C,连接AC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是线段AC上方抛物线上一动点，点E是x轴上的动点，连接以、PC,当AR4c的面积最大时,

4.（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f-2x-3与x轴交于点A,B（点A在点8的左

侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连接班），点M是线段班）上一动点（点〃不与端点3,。重合），过点M作交抛物线

于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H,交于点尸，点P是线段OC上一动

点，当取得最大值时，求叱+FP+」PC的最小值；

3

（2）在（1）中，当MN取得最大值,“b+EP+gpC取得最小值时，把点尸向上平移暗个单位得到点Q,

连接A。，把AAOQ绕点。顺时针旋转一定的角度以0。<（/<360。），得到△AOQ1其中边4。交坐标轴

于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得NQ'=NQ'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点。

5.(2023•江城区三模)如图，抛物线y=-夜/一6后x+7夜交x轴于A,3两点(点A在点3左侧)，交

y轴于点C,直线丁=缶+7应经过点A、C,点M是线段AC上的一动点(不与点A,C重合).

(1)求A,3两点的坐标；

(2)当点、P,C关于抛物线的对称轴对称时，求尸M+诿AM的最小值及此时点M的坐标;

3

(3)连接BC,当AAOM与AABC相似时，求出点M的坐标.

备用图

6.（2024•宿迁模拟）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线>=62-2办+3与无轴交于点A,B（点A在

点3的左侧），交y轴于点C,点A的坐标为（-1,0）,点。为抛物线的顶点，对称轴与无轴交于点E.

（1）填空：a=，点3的坐标是；

（2）连接点M是线段上一动点（点M不与端点3,。重合），过点/作肱V_LBD,交抛物线

于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHLx轴，垂足为"，交BD于点F,点尸是线段OC上一动

点，当AAWF的周长取得最大值时，求FP+UpC的最小值；

2

（3）在（2）中，当AAWF的周长取得最大值时，FP+’PC取得最小值时，如图2,把点P向下平移之叵

23

个单位得到点0,连接AQ,把AA。。绕点。顺时针旋转一定的角度。（0。<]<360。），得到△400「其

中边4。交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得@2=OG?若存在，请直接写出所有

满足条件的点。'的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

7.（2023•南山区三模）如图，在AACE中，CA=CE,NC4E=3O。，经过点C,且圆的直径AB在线

段上.

（1）试说明CE是QO的切线；

（2）若AACE中AE1边上的高为/z,试用含耳的代数式表示O。的直径9；

（3）设点。是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD,当gc£）+O方的最小值为6时，求。。的直径

至的长.

题型四：阿氏圆模型

1.(2024•长沙模拟)阅读材料，回答下列小题.

阅读材料1:

调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系

的点列：调和点列.

我们定义：若一直线上依次存在四点A,B,C,D,满足AB-CD=8C-AD,则称A,B,C,。为调

和点列.从直线外一点P引射线B4,PB,PC,PD,则称PB,PC,PD为调和线束.

(1)如图1,过圆。外一点尸作圆。的切线R4,PB,并引圆。的割线PCD,设PD与A交于点E.

①求证：P,C,E,。是调和点列.

②求证：ACBD=BCAD.

阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点A,3和平面上一动点P,若尸到A和3的距离之比为

定值，则点P的轨迹是一个圆，我们称该圆是点P关于AB的“阿氏圆

(2)根据阅读材料1,2,回答①②小题.(本题图未给出)

①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置.

②若点尸关于的“阿氏圆”交至于C,D,求证：A,C,B,。为调和点列.

(3)如图2,ABCD是平行四边形，G是三角形/WD的重心，点尸，Q在直线上，满足GP与PC垂

2.(2024•莱芜区校级模拟)在AABC中，ZCAB=90°,AC=AB.若点。为AC上一点，连接BD,将

绕点3顺时针旋转90。得到BE,连接CE,交AB于点尸.

图3

(1)如图1,若ZABE=75。,皮)=4,求AC的长；

(2)如图2,点G为3c的中点，连接FG交BD于点若NABD=3O。，猜想线段DC与线段8G的数

量关系，并写出证明过程；

(3)如图3,若至=4,。为AC的中点，将AABD绕点B旋转得△A!BD,连接A'C、4。，当A。+交AC

2

最小时，求可450・

3.(2023•万州区模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,过点C作CD//AS交过点3的直线

于点£),ZABD=3O°,直线加交AC于〃.

(1)如图1,若筋=2,求加的长;

(2)如图2,过点A作AG_L3r＞交班＞于点G,交3c的延长线于E,取线段AB的中点尸，连接GF,求

证：GF+-JiGH=BH.

(3)在(2)的条件下，过点。作Z)PJ_钻交AB于点尸，若点M是线段G尸上任一点，连接3M,将ABGM

沿5M折叠，折叠后的三角形记为△3GM,当工47+DG取得最小时，直接写出tan/PDG的值.

2

4.(2022•从化区一模)已知，AB是QO的直径，AB=4及,AC=BC.

(1)求弦3c的长；

(2)若点。是他下方OO上的动点(不与点A,B重合)，以CD为边，作正方形CD£F,如图1所示,

若〃是DP的中点，N是3c的中点，求证：线段"N的长为定值；

(3)如图2,点尸是动点，且钎=2,连接CP,PB,一动点。从点C出发，以每秒2个单位的速度沿

线段CP匀速运动到点尸，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点5,到达点3后停止运动，求

点。的运动时间f的最小值.

E

图1图2

5.（2022•市中区校级模拟）如图，在AABC与ADEF中，ZACB=NEDF=90°,BC^AC,ED=FD,

点。在AB上.

(1)如图1,若点尸在AC的延长线上，连接AE,探究线段AF、AE.AD之间的数量关系，并证明你

的结论;

(2)如图2,若点。与点A重合，且AC=30,DE=4,将ADER绕点。旋转，连接班'，点G为防的

中点，连接CG,在旋转的过程中，求々CG+BG的最小值;

2

(3)如图3,若点。为AB的中点，连接班'、CE交于点M,CE交AB于点、N,且3C:DE:ME=7:9:10,

请直接写出世的值.

图2

图1

图3E

题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）

1.（2022•沈阳）【特例感知】

（1）如图1,AAOB和AC。。是等腰直角三角形，NAO3=NCOD=90。，点C在。4上，点。在80的延

长线上，连接AD,BC,线段AD与3C的数量关系是；

【类比迁移】

（2）如图2,将图1中的ACOD绕着点。顺时针旋转旗0。<l<90。），那么第（1）问的结论是否仍然成立？

如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由.

【方法运用】

（3）如图3,若AB=8,点C是线段至外一动点，AC=3A/3,连接BC.

①若将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接A£>,则A3的最大值是；

②若以BC为斜边作RtABCD（B,C,D三点按顺时针排列），Z.CDB=90°,连接AD,当Z.CBD=ZDAB=30°

时，直接写出AD的值.

图1图2图3

2.(2021•武进区模拟)如图①，二次函数y=-—+6无+。的图象与x轴交于点A(-1,0)、8(3,0),与y轴交

(1)求二次函数的表达式.

(2)当点P不与点A、3重合时，作直线"，交直线BC于点Q,若AAB。的面积是ABPQ面积的4倍，

求点P的横坐标.

(3)如图②，当点P在第一象限时，连接竹，交线段3c于点M,以AAf为斜边向外作等腰直角

三角形AAW,连接BN,AABN的面积是否变化？如果不变，请求出AABN的面积；如果变化，请说明理

由.

题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）

1.（2023•崖州区一模）若AC=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点尸为该圆上的动点，连接AP.

⑴如图1,取点3,使AABC为等腰直角三角形，44c=90。，将点P绕点A顺时针旋转90。得到AF.

①点P'的轨迹是—（填“线段”或者“圆”）；

②。的最小值是一；

（2）如图2,以AP为边作等边AAPQ（点A、P、。按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的

最大值.

（3）如