2025年中考数学考点专练：二次函数的应用之实物运动问题

二次函数的应用…实物运动问题

专题讲练1二次函数的应用（一）——点坐标问题

考点一推铅球T与X轴交点问题

【典例1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位:m）与水平距离x（单位:m）之间的关系是y=-^x2+l

变式.如图，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间满足二次函数关系，已知铅球出手时离地面

2m,铅球运动到最iW）位时禺地面1W1度和水平距禺都是6m，则铅球推出的水平距昂是_________m.

考点二拱桥问题今点的坐标问题才------入---%

【典例2］如图，在抛物线形拱桥中，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?

变式.如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.

⑴建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）如果水面宽为2V6m,则水面下降多少米?

考点三喷水问题n与y轴交点坐标问题

典例3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形

水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3m，则水管的长应为m.

变式.（2022.南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛

物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O

点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m.那么喷头高m时，水柱落点距O点41n.

专题讲练2二次函数的应用（二）——实物抛物线运动

考点一烟花飞行一理解变量实际含义

【典例】（2023•二调）燃放烟花是一种常见的喜庆活动.如图，武小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射

一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高

度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：

飞行时间t/s00.514.5

飞行高度h/m29.51633.5

（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式；

（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；

⑶为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m.小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同

一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.

考点二跳台滑雪一将实际问题转化为求x、y的问题

变式.（2022.江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的

一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的

参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台OA的高度为66m,

基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为hm（h为定值）.设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距

离x(m)之间的函数关系式为y=ax2+b%+c.

(l)c的值为；

(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=-Q=2求基准点K的高度h；②若a=-卷时，运动

员落地点要超过K点，贝|b的取值范围为；

(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点，并说明理

由.

专题讲练3二次函数的应用(三)一球体抛物线飞行问题

考点一无人机飞行

【典例】(2023•武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面

的探究发现解决下列问题.

⑴若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相

对于安全线的高度的变化范围.

考点二小球飞行

变式.（2024.江西）如图，一小球从斜坡点O以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx（a

<0）刻画，斜坡可以用一次函数y=刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：

4

X012m4567

1515

03.568n3.5

y22

⑴①加=

②小球的落点是A,求点A的坐标.

（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y=-5t2+vt.

①小球飞行的最大高度为一米；

②求v的值.

专题讲练4二次函数的应用（四）-----足球抛物线运动

考点一抛沙包问题

【典例】小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数字题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m,小红站在点D（6,0）处，在点A（6,1.5）处将沙包（看作点）

抛出，其运动的路线为抛物线C1-.y=a（x-3）2+2.5（a为常数，a/））的一部分，小琪恰好在点B（0,c）处接住沙包，

然后跳起在点C处将沙包回传，其运动的路线为抛物线Q：y=-：/+弓”+。+1缶为常数）的一部分.

OO

⑴求a,c的值；

（2）若小红在与点A的竖直距离不超过之小的范围内可以直接接到回传的沙包,当n=3时，小红能否接住沙包?

请说明理由.

（3）若小红可以接到回传的沙包的范围是与AD的水平距离不超过1m,与点A的竖直距离不超过之小的矩形，

请直接写出n的取值范围.

方法：⑴函数问题转化为方程问题；⑵将实际问题转化为求点的坐标问题；

⑶实际问题与函数问题相互转化是难点.

考点二足球抛物线运动

变式1.已知足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）,在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地

面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高

点D,CD=4.4米.以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）.

（1）求该抛物线的解析式；

⑵若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离.

考点三二弹抛物线飞行

变式2.某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试

投，如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高

度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：10,山坡上A处的水平距离OB为30米.

⑴求这条抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）A处有一棵树AC,AC=4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树?请说明理由；

（3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面0A的最大高度.

专题讲练5二次函数的应用（五）一双层喷泉抛物线问题

考点一双层抛物线形喷泉问题

【典例】（2024•江夏模拟）图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为4m的圆内，

喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉Ci的喷水口设在圆心O处,落地点与圆心O的水平距离为2m,水

流的最高点距离地面1m；上层喷泉C2的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆

心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线1为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y（单

位：m）,水流距离中心线的水平距离为x（单位：m）.

（1）求图3中下层喷泉所对应抛物线G的函数解析式；（不必写x的取值范围）

（2）当图3中上层喷泉所对应抛物线C2的函数解析式为y=-5/+bx+c时，视觉效果最佳.

①试推算b,c应满足的数量关系；

②结合实际环境，要求上层喷泉C2的水流最大高度不低于2.8m,且不高于3.45m,求出b的取值范围.

图1图2图3

考点二单层抛物线喷泉

变式.（2024・二中广雅）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA,安装在水管顶端A处

的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同.如图1,以池中心O点为坐标原点，水平方向为

x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.x轴上的点C,D为水柱的落水点，若落地直径CD=8m,使

喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为|m处到达最高^m.

Zo

⑴求图1中右边抛物线的解析式；

⑵计划在图1中的线段OD上的点B处竖立一座雕像，雕像高BE=若想雕像不碰到水柱，请求出线段

OB的取值范围；

（3）当圆形水池的直径为12m时，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2）,

若右侧抛物线顶点始终在直线y=,当喷出的抛物线水柱最大高度为冷小时，水柱会喷到圆形水池之外吗？

请说明理由.

专题讲练6二次函数的应用（六）——抛物线型运动

考点一抛物线斜坡与无人机抛物线运动

典例.如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐

标系，山坡近似满足函数解析式y=-去久2+%(o4%490).无人机从西侧距坡底O点10米处的点B起飞，沿

4U4

山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线y=-^x2+bx+c(-10100).当无人机飞越坡底上空时

(即点D),与地面的距离OD为20米.

(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；

(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；

(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安

全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由.

考点二海豚抛物线跳水

变式1.在进行跳水训练时，海豚身体(看成一点)在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次

训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐

标系.海豚离水面的高度y(单位：m)与距离起跳点O的水平距离x(单位：m)之间具有函数关系y=ax2+2居海豚

在跳起过程中碰到(不改变海豚的运动路径)饲养员放在空中的离O点水平距离为3m,离水面高度为4.5m的小球.

(1)求海豚此次功11练中离水面的最大高度是多少米？

(2)当海豚离水面的高度是弓小时，距起跳点O的水平距离是多少米?

(3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m,高DE=4M的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱

(不碰到),求点D横坐标n的取值范围.

考点三飞盘抛物线运行

变式2.【生活情景】某人在山坡进行飞盘投掷运动.以飞盘未飞出前的位置O为原点，水平方向为x轴，建立

如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似的看作抛物线y=a(x-10)2+

k的一部分，山坡上有一处平台，其竖直截面为四边形ABCD,平台宽BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的

水平距离为14米，垂直距离为4米.

【建立模型】

(1)若飞盘在空中飞行的最大高度为5米,

①求抛物线的解析式；

②飞盘能飞越这个平台吗?请说明理由.

【解决问题】⑵若要使飞盘恰好落在平台的顶部BC上(包括端点B,C),求a的取值范围.

专题讲练7二次函数的应用(七)—两条抛物线问题

考点一连续抛物线抛球

【典例】某数学小组在学习竖直上抛运动时，设计了如下的问题：如图1,在同一水平面上选取A,B两处位

置，安装1m高的小球发射器.实验开始时，先把A处的小球竖直向上发射，小球离地面的高度y(m)与时间x(s)的

函数图象是图2中的抛物线Ci,已知小球发射3s后到达最高点，此时距离地面的高度是10m.

⑴求抛物线Ci的函数解析式；

(2)A处小球发射4s后，B处的小球也以相同的方式向上发射，其小球离地面的高度y(m)与时间x(s)的函数图

象是图2中的抛物线Cz,且C2和J的形状相同，则经过几秒，两个小球距离地面的高度相等?请求出这个高度；

(3)在(2)的条件下，当这两个小球之间的竖直距离为4m时，直接写出x的值.

考点二过山车在两条抛物线上运动

变式.(2024•武汉模拟)如图1,悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一.如图2,ATBTCTE—F为该过山车的

一部分轨道，轨道A-B-C和C-E-F可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B,E分别为两段轨道的最低点.

建立平面直角坐标系，点A在y轴上，B,E两点在x轴上，其中。力=16.9米，OB=13米(轨道厚度忽略不计).

⑴求抛物线A-B-C的函数表达式；

(2)已知在A-B-C轨道上有两个位置D和C,且它们到地面的距离相等，轨道抛物线C—E-F最低点E的

坐标为(33,0),求点D的坐标；

(3)现需要对轨道下坡段A-B进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架GP,GM,HQ,HN,且要求MN

=20M..已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当GP多长时，造价最低?并求最低造价为多少元?

MCF

MNBEx

图1图2

第二节实物运动问题

专题讲练1二次函数的应用(一)一点坐标问题【典例1】10m

解:令y=0,则/+|久+|=0,尤］=一2,久2=10,故推出距离为10m.

变式.64-3V6

【典例2］解：以顶点为原点建立平面直角坐标系，y=-*，当y=-3,x=±V6故水面宽度增加(2连-4)m.

变式解：⑴：抛物线的顶点坐标为(2,2),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,点(4,0)在抛物线上，可

得0=。(4一2/+2,解得a=-j,

y=_/%_2尸+2.

(2)Im.

典例3.I

解：y=a(x-l)2+3,将(3,0)代入得a=-y=-：(x-l)2+3,令x=0,y=^.

444

变式.8

解：y=ax2+bx+2.5，过(2.5,0),

2.5a+b+l=0,

y=ax2+bX+4过(3,0),

9a+3b+4=0,

2,2

a=——,b=-,

33

y=—|^2+|x+h过(4,0),h=8.

专题讲练2二次函数的应用(二)一实物抛物线运动

【典例】解：⑴依题意，设第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为h^at2+bt+2,将(0.5,9.

5),(1,16)分别代入h=at?+从+2得｛”+”+2=95,解得｛；=-2

..•所求的函数解析式为h=-2t2+16t+2;

⑵••・h=-2t2+16t+2=—2(t-4)2+34,.•.当t=4时,h取最大值，此时,第一枚花弹到达最高点，第二

枚花弹飞行时间为2s,..•两枚花弹的飞行路径相同，，将t=2代入h=-2t2+16t+2得，h=26，，当第一枚花弹到

达最高点时，第二枚花弹达到的高度为26m；

(3)由题意知,第二枚花弹飞行高度h与第一枚花弹飞行时间t的函数关系式为h'=-2(t-6)2+34根据h=

忙得—2(t—4)2+34=—2(t—6)2+34,解得t=5,此时h=h'=32>30，，花弹的爆炸高度符合安全要求.

变式.解:⑴66;

(2)①y=x752+卷x75+66=21,.•.基准点K的高度h为21m;

②4x752+75b+66>21,b>9

(3)他的落地点能超过K点，理由如下曲题意可得y=a(x-25)2+76,a(0-25)2+76=66,a=-喂,二V

=一嗅(％-257+76,

当x=75时,y=36>21,故他的落地点能超过K点.

专题讲练3二次函数的应用(三)-----球体抛物线飞行问题

【典例】解：探究发现：x=5t,y=-|t2+12t.

⑴依题意，得一产+⑵=0,解得匕=0(舍),t2=24.当t=24时,x=120;

⑵设发射平台相对于安全线的高度为nm,飞机相对于安全线的飞行高度V=-之/+12t+n,

V125<x<130,A125<5t<130,/.25<t<26,iSy'=-|t2+12t+n中，当t=25,y'=0时,n=12.5;当t=26,y'=0时,n=26,

12.5<n<26;

答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m.

变式.解：⑴①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4,

8),

———=4_1

‘解得广=一5'.二次函数解析式.为y=-"2+4%,

—=8,b=4,

4a

由对称性知m=3,n=6,

115

y=——x7+4%x=­

-2

②由题易得｛2],

-15'

xV=­

y=4/8

,•X(T，T):

⑵②y=—5(t—+U=8“=4V1U.

专题讲练4二次函数的应用(四)一足球抛物线运动

【典例】解:⑴由点A(6,1.5)在抛物线C1上得a(6-3)2+2.5=1.5,解得a=-*

令x=0厕c=一式0-3尸+2.5=1.5,

•••a=-c=1.5;

(2)设小红在点D'(6,y)处接到回传的沙包,根据题意得1.5-0.5931.5+0.5,即上殍2,

由⑴可知C:y=-i%2+^x+|,

2ooZ

当x=6,n=3时，y=-^x62+|x6+?=1

ooN4

;<1,

..•小红不能接住沙包.

(3)•.•小红可以接到回传的沙包的范围是与AD的水平距离不超过1m，与点A的竖直距离不超过的矩形,

A(6,1.5),

6-l<x<6+l,1.5-0.5<y<1,5+0.5,BP5<x<7,l<y<2;

由题意得小红能接到沙包的最低点为(5,1),最高点为(7,2),

当经过(5,1)时,l=-v+?+25解得.=

oo5

当经过(7,2)时，2=—?+g+2.5,解得n=知

；.n的取值范围是£<714学

变式1.解:⑴•••顶点的坐标是(6,4.4),

y=a(x-6)2+4.4,

:抛物线过点(0,0.4),

.,.36a+4.4=0,4,

1

•••a=--)

.,.该抛物线的解析式y=-三(久一6/+4.4;

(2)当y=2.44时.--6/+4.4=2.44,解得均=10.2,不="(不合题意，舍去)，，该足球运动的水平距

离为10.2米.

变式2.解:((l)y=a(x-20)2+10)

把(0,0)代入,0=400a+10,

---1,•••y=---12I

a=40z40%+x;

(2)BC=3+4.4=7.4(m),当x=30时,y=7.5>7.4,能越过；

(3)OA的解析式为y=2％,作直线MN〃y轴交抛物线于点M,交OA于点N,

M(m>—^m2+,N

MN=——m2+m——m=——(jn—18)2

401040v7

当m=18时,MN最大高度为8.1m.

专题讲练5二次函数的应用(五)一双层喷泉抛物线问题

【典例】解:⑴由题意可知,Ci的顶点为(1,1),

设下层喷泉所对应抛物线Ci的函数解析式为y=a(x-I)2+1,

将(0,0)代入解析式得：a(0—1尸+1=0,解得a=-l,

；・下层喷泉所对应抛物线Ci的函数解析式为y=-1尸+1；

(2)①•.•上层喷泉所对应抛物线C2经过下层喷泉所对应抛物线Ci的顶点,

-5+b+c=l,

整理得:c=6-b,

•••b,c应满足的数量关系是c=6-b(形式不唯一)；

②由①得，y——5%2+bx+6—b,

抛物线c2的最大高度h=4X(-：)(6；：)»=抨2一b+6,

4x(-5)20

•••抛物线c2的对称轴%=总介于0和1之间，

即0<3<1,

/.0<b<10,

令h=2.8,即^b2—b+6—

解得瓦=16(舍去)，历=4,

令h=3.45,即景之一b+6=第

解得瓦=17(舍去)，⑦=3,

；.b的取值范围为3<b<4.

变式.解：(1)由题意得，抛物线的顶点为(|，g),

••・可设抛物线为y=a(x—lY+g,

又..•抛物线过(4,0),

(.3\2,25八1

••a(4-2；+V=°<"a=

2

..・右边抛物线的解析式为y=+个

N\Zzo

(2)由题意，BE=I

O

X1=gxz=一3舍去)，

即当0<X<弟寸，雕像不碰到水柱,

线段OB的取值范围为0<x<(;

(3)水柱会喷到圆形水池之外，理由：

...水柱最大高度为fm,右侧抛物线顶点始终在直线y=If比上,

41Z

.言=||%,解得*=3,

..•水柱达到最大高度时抛物线的对称轴为直线x=3,

:抛物线过点A(0,2),

•••点A关于直线x=3的对称点为(6,2)在抛物线上,

当x=6时,y=2>0,

•••水池的半径为6m,

水柱会喷到圆形水池之外.

专题讲练6二次函数的应用(六)—抛物线型运动

典例.解:⑴由题意可知，点B(-10,0),D(0,20),

代入y=一2/+bx+c,

得「高x(—10)2—10b+c=0,

c=20,

：.<5

、c=20,

无人机飞行轨迹的函数解析式为

y=~~x2+|x+20(-10<%<100);

(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x=30-10=20,・・•无人机与山坡的竖直距离d=-如2+声+2。

H———x=—/-----%+20,・,•当x=20时.d=—X2()2------x20+20=13,

4042002020020

答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；

(3)安全，理由如下：由⑵得d=9/_霜+20=-45)2+9,熹＞0,x=45时,d有最小值＞

ZUUZUZUUoZUUo

9,•­•无人机此次飞行是安全的.

变式1.解：(1)由抛物线y=ax2+2比，过点(3,4.5)狷4.5=9a+2x3,a=—；,

・•.y——：式之+2%=—^(x2—12%+36)+6=—：(%—6)2+6,:海豚此次训练中离水面的最大局)度是6m；

(2)依题意得:y=—2—6)2+6=.解得

=8,%2=4,

答：海豚距起跳点o的水平距离是8m或4m；

⑶若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上，

令y=4,则—+2%=4,解得久1=6-2V3

久2=6+2V3,

当点F在抛物线上时，点D的横坐标n为12-百2

当点E在抛物线上时，点D的横坐标n为6+2V3,

An的取值范围是12-2百<n<6+2V3.

变式2.解：(1)①•••飞盘在空中飞行的最大高度为5米，，飞盘飞行的函数关系式为.y=a(x-10)2+5才巴(0,0)

代入解析式得100a+5=0,解得”-弟

；•抛物线的解析式为y=-/0-10)2+5;②飞盘不能飞越这个平台.理由如下：•.•平台宽BC=2米点B与

点。的水平