2025中考数学二轮复习学案：反比例函数与一次函数、几何结合（含答案）

微专题12反比例函数与一次函数、几何结合

高频考点突破

考点1反比例函数与一次函数结合（6年3考）

方法解读

求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点

的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.

常见求三角形面积的示例如下：

①S△AOB=^OB-AD；

②S△ADB=S^ACD~\~S^BDC；

例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=左建十%（历#））的图象与反比例

函数尸,心和）的图象分别交于点A（—1,-2）,5（|,n）.

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)如图①，点。是反比例函数图象上一动点，过点。作y轴的垂线，交y轴于

点D,交一次函数图象于点石，当点。恰好是QE的中点时，求点。的坐标；

例1题图①

(3)核心设问如图②，连接。4,0B,求AA05的面积；［2019广东23(2)题考查］

ay

------沙£

例1题图②

(4)核心设问如图③，点M是一次函数图象上一动点，当时，求点V

的坐标.［2021广东21⑵题考查］

---~~5

例1题图③

考点2反比例函数与几何结合(6年2考)

方法解读

一、坐标法

由得到D=左，如：点A(%A,以)，5(加，/)在反比例函数的图象上，

则必•班=冲沙=点)，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，都等于公

①式变形为瑟兰②，即反比例函数图象上两点横坐标的比值与纵坐标的比值互

为倒数.

二、面积法

面积法的本质即利用“肥的几何意义，由个=人可以得到；反比例函数图象上

的点向X,y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为I左I；进而得到下图中：

S二AOB=S2C0D=3II.

例2（北师九上习题改编）如图，已知双曲线y=*>0）经过RtAOAB斜边0B

的中点。，与直角边A5相交于点C,OELOA于点E,连接0C若△05。的面

积为3,则左等于.

例2题图

例3（2024东莞一模改编）如图，点A是反比例函数y=%%>0）的图象上任意一

点，A5〃％轴并交反比例函数>=—：（%<（））的图象于点5以为边作菱形

ABCD,其中C,。在入轴上，则菱形A5CD的面积为.

例3题图

例4(人教九上习题改编)如图，△A5C的边A5在入轴上，边AC交y轴于点E,

AE：EC=1：2,反比例函数>=3%>())的图象过点C,且交线段于点。，

BD：：连接。，若则上的值为

DC=13,A4---------------------

例4题图

真题及变式

命题点1反比例函数与一次函数结合(6年3考)

1.(2021广东21题8分)在平面直角坐标系％2y中，一次函数y=H+8(Q0)的图

象与％轴，y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=:图象的一个交点为P(l,

m).

⑴求m的值；

(2)若PA=245,求上的值.

2.(2019广东23题9分)如图，一次函数y=kxx+b的图象与反比例函数尸，的

图象相交于4,5两点，其中点A的坐标为(一1,4),点5的坐标为(4,«).

(1)根据图象，直接写出满足上述+8>0的x的取值范围；

(2)求这两个函数的表达式；

(3)点尸在线段A5上，且&AOP：旌BOP=1：2,求点尸的坐标.

第2题图

命题点2反比例函数与几何结合(6年2考)

3.(2020广东24题10分)如图，点5是反比例函数y=：(%>0)图象上一点，过点

5分别向坐标轴作垂线，垂足为A,C反比例函数y=%x>0)的图象经过05

的中点V,与A5,5。分别相交于点。，E.连接OE并延长交工轴于点尸，点G

与点O关于点。对称，连接BG.

(1)填空：k=；

(2)求△尸的面积；

(3)求证：四边形尸G为平行四边形.

〃7

第3题图

高频考点

例1解：⑴将点4—1,—2)代入尸”出网)中,得号一2,

X1

解得左2=2,

•♦•反比例函数的解析式为尸3,

JX

将点5(|,")代入中，得〃=1,

••・点相，》，

将点4(—1,-2),5(|,§分别代入〉=肥%+加内加)中,

-Ze】+Z)i=-2

得

、|七+瓦=]

\k=-

解得13

2?

Pi=-3

•••一次函数的解析式为尸］一|;

(2)设点。的坐标为(工,|),

二点。是OE的中点,

•二点石的坐标为(2%,|),

将点石(2%,0代入》=/一&中，

整理得4%2—%—3=0,

解得％=1或%=一：，

4

当％=1时，y=j=2,点。的坐标为(1,2),

当％=一:时,y=W=一?，点。的坐标为(一：,—|).

4——343

4

综上所述，点。的坐标为(1,2)或(一：，-1)；

43

(3)由⑴可知点4(—1,—2),点蛇，

在一次函数丁=》一|中，令y=0,得%=5

S&AOB=|x|x(^+2)=|；

ZZDO

(4)设点"3，b),当点M在AB的延长线上时，

\'AM=3BM,：.AB=^AM,

如解图①，过点M作％轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P,过点

5作5。，人尸于点0,则5。〃乱尸，

.'.AABQ^AAMP,

.AQ_BQ_AB_2

*9APMPAM3'

34

...5+1产2,

a+1b+23

解得Q=2,b=3,

J点"的坐标为(?，3)；

4

当点"在线段A5上时，

4

'：AM=3BM,：.AB=-AM,

3

如解图②，过点M作％轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P,过点

5作5Q_LAP交4尸的延长线于点。，则5。〃〃尸，

.".AABQ^AAMP,

•AQ_BQ_AB

**APMPAM3'

・-2+1——-3+2——Z4

a+1b+23

解得Q=［，b=：,

oZ

・•・点”的坐标为6

综上所述，点M的坐标为(?，3)或(：，：).

482

0:

—mr|!!

A次ZI「丁小

图①

＞1I

K

/•、―-

闱衲

图②

例1题解图

例22【解析】'：DE±OA,BA±OA,：.DE//AB,\•。是05中点，：.0E

=-0A,DE=-AB,.-.^=—=2,又•.•点C,。都在上，.•.生=也=2,即

22xD0Exyc

113

DE=2AC.AAB=4AC,：.BC=3AC：.S^oBc=-BCOA=--3ACOA=-k=3,：.k

9222

—2.

一题多解法

•.•点C,。都在上，.•.%0DE=80CA=g由题意得△0DES2\05A,且相

=

彳以比第=3.\：L0DE=；,:•S40BA=4S40DE=2k,XOBAOBC+5AOCA=3+

AB2SA0BA4

：：

-2k,.2k=3+-2k,.k=2.

例39【解析】设点5的纵坐标为乩.,.一3=b,解得％=—[,轴，

xb

•••点4的纵坐标为与，:・b=g解得％=,：.AB=^—（—^）=p菱形ABCD=N

=9.

例44【解析】设1（一00）（。＞0）,..NE：EC=1：2,.,.点。（2，,白），

=1：3,.,•点0的纵坐标为袅＜[=卷，•,•点。的坐标为（8a,韵，.•.5（10a,0）,

111k

：.AB=Ua,"：BD：DC=1:3,ABC=4SAABD=4X—=11,.』ABC=-X11QX一

422a

=11,解得k=4.

真题及变式

1.解：⑴二,尸(1,加)为反比例函数y=£图象上一点，

.,.当％=1时，m=^=4；(2分)

(2)如解图，过点尸分别作轴于点M,PNLy轴于点N,

由(1)得尸(1,4),

：.PM=4,PN=1.

①当点5在y轴的正半轴时，

\'PA=2AB,

•41%一1

••,

PAr2

易证△

•0B\_A-yB^___1

**MPArP2，

.•.03=2,

.,.Bi(0,2),

将尸(1,4),3(0,2)分别代入〉=丘+》中，

得FIL，解得｛能3°分)

②当点5在y轴的负半轴时，

\'PA=2AB,

•^2^2一1

••,

PB23

易证△B2AZOS^BZPN,

•0A2_^2^2一1

・.NPPB23'

1

:.OA

23

1

•••A290),

将尸(1,4),A2(|,0)分别代入中,

行(限k++bb==4。'解H(bk==—62・

综上所述，上的值为2或6.(8分)

第1题解图

2.解:—1或0<XV4；(2分)

(2)二,点A(—1,4)在反比例函数》二会的图象上,

••・4=年，(3分)

解得左2=—4,

•••反比例函数的表达式为y=一£(4分)

丁点5(4,八)在反比例函数的图象上，

-1,

.,.n=--4=

，5(4,-1).

•.•一次函数的图象过A,5两点，

—k+b=4

1（5分）

、4k1+/）=—1

解得『1=一1，

一次函数的表达式为y=—%+3；(6分)

(3)如解图，连接OP,OA,OB,设一次函数y=—%+3与％轴交于点C,

41

第2题解图

•.•当y=0时，％=3,

•••点。的坐标为（3,0）.

S&AOB=S&AOc+底BOC，

■\-1iq

ASAAOB=-x3x4+^x3xl=y.（7分）

,*#5AAOP:5ABOP—1:2,

S&BOP=~S^AOB=[X万=5・

•••点P在线段AB上，

・••设P的坐标为（加，一加+3）,—1＜加＜4,

0**5APOB=S^POC+KSABOC，

■\i

.•.5ABOP=-X3X（-W+3）+^X