2025年中考数学考点专练：二次函数与实际问题之利润问题

二次函数与实际问题…利润问题

专题讲练1二次函数的应用(一)—利润问题(1)

【典例】某商场购进一批商品，商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每天可卖出100件；如果每件

商品的价格每上涨1元，那么每天少卖2件，设每件商品涨价x元，每天获利y元.

⑴涨价后，每件盈利元，每天可销售___________件；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每天获利2250元？

(3)当售价定为多少元时，每天获利最大?并求出最大利润.

考点二结合图象解一元二次不等式

探究1：若⑶中添加条件“若为了吸引客户做促销活动，规定售价最高不能超过70元"那么当售价定为多少元

时，每天获利最大？

探究2：要使每天的利润不低于2400元，求售价的取值范围.

考点二结合对称轴分类讨论

探究3：若设商品的售价为x元，每天获利y元.若售价不超过a元，求y的最大值.

考点三结合对称轴利用增减性，结合区间最值求参数范围

探究4：由于劳动成本提高，该商品的进价提高了m元/件，且物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，若

每天获得的最大利润是1800元，求m的值.

探究5：若每天销量不低于20a,最大利润为2400元，求a的值.

专题讲练2二次函数的应用(二)一利润问题(2)〈单月利润与总利润＞

考点一理解单月利润与总利润

【典例】某品牌商品进价为20元/kg,设第x天的销售单价y元/kg对应的销量为mkg,市场调查反映y与x

满足一次函数关系，且当x=30时,y=29;当x=40时,y=24.其中m=2x+80.第x天的销售价格上涨a元((KaWlO)发现第3

天到第13天的利润最大为2704元，求a的值.

变式1.某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为10万元，总利润y(万元)与月份x之间的函数关系式

为y=-/+20x-10(总利润=月销售累积利润-前期投入).

⑴投入市场后多长时间内总利润y是随月份x增加而增长的？

(2)求最快要几个月总利润能达到81万？

(3)当月销售利润不超过3万时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好？

考点二理解“第”与“最”在函数中的实际意义

变式2.水果店以一定的价格购进某种水果若干千克，通过销售统计发现：商品从开始销售至销售的第x天的总

销量y(千克)与x的关系为二次函数，销售情况记录如下表:

X123

y3976111

⑴求y与x的函数关系式；

(2)这批水果多少天才能销售完；

(3)水果店为了充实库存,在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种水果，试问再过多少天库存量为216

千克？

专题讲练3二次函数的应用(三)一利润问题(3)〈非顶点处求最值〉

考点一非顶点处求最值注意增减性

【典例】(2024.烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公

司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降

低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅

降价x元，每天的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大利润为多少元？

(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅?

考点二非顶点处求最值注意对称性

变式.（2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电

影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30SXW80,且x是整数），部分数据如下表所示：

电影票售价x（元/张）4050

售出的电影票数量y（张）164124

⑴请求出y与x之间的函数关系式；

（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为①（单位：元），求①与x之间的函数关系式；

⑶该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大?最大利润是多少？

专题讲练4二次函数的应用(四)一利润问题(4)(结合图象解不等式〉

考点•分段函数注意将最值进行比较求最值

【典例】武汉市某公司积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品,已知研发、生产这种产品的成本为

30元/件，且年销售量y(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式为

y={140—2x(40<x<60)80—x(60<x<70).

(1)若公司销售该产品获得的年利润为V(D(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；

⑵当该产品的售价x(元/件)定为多少时，公司销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少？

(3)若公司销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.

考点二注意对称轴与增减性

变式.某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元.试销售期间

发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提

价销售.设每天销售量为y件，销售单价为x元.

⑴请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利不少于3840元？

(3)网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元(0<aW6)给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求

a的值.

专题讲练5二次函数的应用（五）——利润问题（5）〈区间最值）

考点一结合对称轴对自变量区间讨论求最值

【典例】（2021.武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原

料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要

A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售50

0盒；每涨价1元，每天少销售10盒.

⑴求每盒产品的成本（成本=原料费十其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是3元，求3关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取

值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数）,直接写出每天的最大利润.

考点二注意参数范围与对称轴大小

变式.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）,这些薄板的形状均为边长为xcm的正方形（x>10）,每张薄

板的成本价与正方形的面积成正比例，每张薄板的出厂价y（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价

与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在销售过程中得到了表格中的数据.

薄板的边长x（cm）2030

出厂价y（元/张）5070

⑴求一张薄板的出厂价y与边长x之间的函数关系式；

⑵已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价）.

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；

②若每张薄板的边长不超过acm（a是不大于50的常数）,求每张薄板的最大利润.

专题讲练6二次函数的应用（六）一利润问题（6）〈和差函数〉

考点一注意两个函数x的含义不同转换变量

【典例】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车越来越畅销，某汽车经销商购进A,B两种型

号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与

花40万元购进B型汽车的数量相同.

（1）求A,B两种型号汽车的进货单价；

⑵销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元/台）满足函数关系为=-之+18;B型汽车

的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB=-xB+14.若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/

台，设每周销售这两种车的总利润为W万元.

①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润时，求B型汽车的最低售价？

②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大?最大利润是多少万元？

考点二注意前面铺垫作用

变式.某公司以6万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A,B两类(A类直接销售，B类深加工后再销

售),并全部售出.

A类农产品的销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(单位：吨)之间的函数关系是y=-x+16.

B类农产品深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数关系是s=10+t,销售价格为10万元/

吨.

(1)设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量.

①B类农产品有吨；

②A类农产品所获得总利润为万元；

③B类农产品所获得总利润为万元.

(2)若B类农产品的总利润比A类农产品的总利润多10万元，则A类农产品有多少吨？

(3)直接写出两类农产品利润和的最大值.

二次函数与实际问题

第一节利润问题

专题讲练1二次函数的应用(一)—利润问题(1)

【典例】解:⑴(20+x)(100-2x)件;

(2)y=(20+x)(l00-2x)=-2(x-l5)2+2450,

-2(%-15¥+2450=2250,久1=5,x2=25,故售价定为65元或85元；

(3)当x=15时，ymax=2450.

•••当售价定为75元时，最大利润为2450元.

探究1

解：y=—2(%-15)2+2450,,又60+xW70,；.xW10,.,.当x=10时，ymax=2400,此时售价定为70元.

探究2

2

解：当y=2400时，-2(x-15)+2450=2400,与=10,%2=20,...售价的取值范围为大于等于70元小于等于

80元.

探究3

解：由题知y=~2x2+300%-8800,

对称轴%=^=75,当a>75时，ymax=2450;

2

当60<a<75时，ymax=-2a+300a-8800.

探究4

解：y=(20+x—m)(100—2x')=—2x2+(2m+60)x+(2000-100m),对称轴x=~+15>5,又x<5,.".y随x

增大而增大，

故x=5时，ymax=l800,(25-m)(100-10)=1800,m=5.

探究5

2

B：100-2x>20a)X<50-10a,X.y=—2(久-15)+2450,.•.对称轴x=15,

①当50-10a>15时，最大值为2450,不符合题意，舍去；

②当50-10a<15时，即x=50-10a,y最大值=2400,角解得a=3或4,\,a>3.5,.'.a=4.

专题讲练2二次函数的应用(二)——利润问题⑵〈单月利润与总利润>

【典例】解：由题易得y与X的函数解析式为y=-jx+44,设利润为W元，则

IV=(-|x+44+a-20)(2x+80)=-x2+(8+2a)x+80a+1920,.•.对称轴x=a+4,，/0<a<10,/.4<a+4<14,@^

a+4<13即a<9时,x=a+4,

2

Wmax=-(a+4)+(8+2a)(a+4)+8a+1920=2704,a=8(负值已舍去);②当a+4>13即9<a<10时％=13

,W=2704,a=需(舍去);综上,a=8.

maxlUo

变式1.解:(⑴y=-x2+2Ox-10=-(x-10)2+90,a=-l<0，所以前10个月总利润y是随月份x增加而增

长的；

⑵当y=81时，-x2+20x-10=81,解得％=7加=13,所以最快要7个月；

(3)根据题意得((-/+20x_io)_[_(x-l)2+20(x-l)-10长3,解得:xN9,所以第9个月推出替代产品最好.

变式2.解：⑴设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c,与x的函数关系式为y=-x2+40x；

’39=a+6+ca=-1

22

(2)由⑴得<76=4a+26+c,.・・<Q4o,/.yy=~x+40%=-(x-20)+400,当x=20时,y最大=400,，20天才能销

lll=9a+36+clc=0

售完；

・

(3)400-(一％2+40%)+20(%-6)=216,.•・%!=16,x2=4(舍),16-6=10,••再过10天库存量为216千克.

专题讲练3二次函数的应用(三)一利润问题(3)〈非顶点处求最值,

【典例】解：⑴yn(200-幻(60+4X.)

=-0.4/+2Ox+12000

=一0.4(久2-50%+625)+12250

=—0.40—25)2+12250,

V200-x>180,.,.x<20,

:.x=20,y最大值=12240;

(2)12160=-0.4(%-25)2+12250,

久1=40(舍)送2=10,

60+X4=64(辆).

这天售出了64辆轮椅.

变式解:⑴设y与x函数关系式为y=kx+b,

AOk+b=164,.k=-4,

[50fc+b=124:"=324,

y=-4x+324(30<x<80,Hx是整数)；

(2)w=xy-2000=-4x2+324%—2000;

(3)w=-4(%——+4561,

・・・x为整数,・・.x=40或41,

wmax=4560.

专题讲练4二次函数的应用(四)

利润问题（4）（结合图象解不等式,

-2x2+200%-4200(40<%<60)

【典例】解：（l）w={

-%2+110%-240(60<x<70)

(2)®40<x<60时，w=-2x2+200x-4200=

—2(%—50)2,|_8oo,x=50时，wmax=800;

②60WXW70时，w=-x2+UOx-2400=

—(x-55尸,|_525,x=60时，wmax=600;

当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品获得的年利润最大，最大利润为800万元.

2

(3)①当40<x<60时，令6=750,则-2x+200x-4200=750,解得.5=45,x2=55,.•.当45<x<55时,wN750;

②当60<x<70时,w最大值600,不可能取750,综上所述：要使公司销售该产品的年利润不少于750万元，则售

价的取值范围是45<x<55.

变式.解:⑴y=600-10x(30<x<38);

(2)(600-10x)(x-20)>384036<x<44,V30<x<38,36<x<38,

当销售单价满足36<x<38时,网店每天获利不少于3840元；

(3)设利润为W元，贝U

W=(600-10x)(x-20-a)=-10x2+800x+10ax-12000-600a,对称轴x=40+|a>40,xW38,W随x增大而增大,；.x=38时,

W=3300,(600-380)(18-a)=3300,a=3.

专题讲练5二次函数的应用(五)

—利润问题(5)〈区间最值〉

【典例】解：⑴设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，依题意，得出一翟=100解得m=3,

m1.5m

经检验，m=3是原方程的根,每盒产品的成本为45x2+4x3+9=30(元)；

(2)co=(x-3O)[5OO-lO(x-6O)]=-lOx2+14OOx-33OOO;

(3)当a>70时