2025中考数学二轮复习学案：几何最值问题（含答案）

微专题42几何最值问题

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

方法解读

类型一定一动型一定两动型

尸是直线/外的定点，"是直线/M是NR4C内部的定点，N,尸分别

条件

上的动点是AB,AC上的动点

图^—!L%BB

----------/----J；----iACA八；C

"ir

线段PH是点P到直线l的最短距

结论PM+PN的最小值为M'N的长

离

1.（人教八上练习改编）如图，在等边△ABC中，A5=4,点。是边上的

动点，则线段A。的最小值是.

*/>C

第1题图

2.（2024东莞模拟）如图，在等边△ABC中，A5=6,点尸是边上的动点,

将△A5P绕点A逆时针旋转60°得到△4C0,点。是AC边的中点，连接。°,

则DQ的最小值是.

A

A.

J「X

第2题图

3.如图，在△ABC中，ZABC=35°,。是边AC上一点，E,尸分别是射线

BA,5。上异于点5的动点，连接。5,DE,EF,若NC5D=10°,BD=6,则

DE+EF的最小值为

B

第3题图

4.（2024中山模拟）如图，在R3A5C中，ZA=90°,又为5。的中点，H

为上一点，过点。作CG〃AB交的延长线于点G,若AC=8,AB=6,

则四边形ACGH周长的最小值是.

第4题图

5.（2024梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=%+6的图象与

%轴交于点A,与y轴交于点5,点尸在线段A5上，PC，入轴于点C,则△尸CO

周长的最小值为.

%

az

第5题图

6.如图，在等腰△斗5。中，ZBAC=45°,AB=AC,点尸，Q,尺分别为边

BC,AB,AC上（均不与端点重合）的动点，当△尸。尺的周长最小时，则NPQH

+ZPRQ的度数为.

第6题图

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

方法解读

类型两定点H■一动点型一定点+两动点型两定点+定长型

异侧同侧尸是N495内部的A,B是定点,M,N分

条件A,5是定点，尸是直线/定点，M,N分别是别是/i,L上的动点，且

上的动点0A,05上的动点MN±h

图示

PA+PB的PA+PB的

△尸周长的最小AM+MN+BN的最小

结论最小值为最小值为

值为PP的长值为AB+MN的长

AB的长AV的长

1.（北师九上随堂练习改编）如图，在边长为4的正方形A5C。中，E为边AB

上一点，且AE=1,尸为对角线5。上一动点，连接ERCF,则石7+b的最

小值为，

第1题图

2.如图，在等腰△A5C中，AB=BC,AC=3,的垂直平分线OE分别交AB

BC边于点D,E,尸为AC边的中点，尸为线段DE上一动点，若△A5C的面积

是9,则尸C+尸尸的最小值为.

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=3%2+b%+c与％轴交于点4,B

(4,0),与y轴交于点。(0,-3).点尸是抛物线对称轴上一点，连接AP、

CP,当AP+C尸的值最小时，点尸的坐标为.

\/

\I

_____L

第3题图

4.如图，在矩形A5CD中，AB=3,AD=2,E,尸分别是45,CD上的动点,

EF//BC,则人尸+"+。石的最小值为.

5.(2024香洲区二模)如图，点A(bm)和5(n,2)在反比例函数y=£的

图象上，点。，。分别是X轴正半轴和y轴正半轴上的动点，连接ABBC,CD,

DA,则四边形A5CD周长的最小值为.

第5题图

类型三与圆有关的最值问题(6年5考)

考向1点圆、线圆最值问题

方法一点圆最值问题

方法解读

ffl®图②

条件：如图，平面内一定点。和。0,E是。。上的动点，连接。E.

结论：当圆心0在线段DE上时，。石取得最大值（图①），当圆心。在。E的

延长线上时，DE取得最小值（图②）.

1.如图，在矩形A5CD中，AB=3,BC=4,的半径为I,若圆心O在矩

形A5CD的边上运动，则点。到。。上的点的距离的最大值为.

2.（2024珠海模拟）如图，的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点尸

是。”上的任意一点，PA±PB,且尸4,尸5与入轴分别交于4,5两点.若点4,

点5关于原点O对称，则当取最小值时，点A的坐标为^.

4O]R

第2题图

3.（2024东莞一模）如图，抛物线y=；%2—4与％轴交于A,5两点，尸是以点

C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，连接尸4,点。是线段尸4的中点，

连接0。，则线段0。的最大值是.

第3题图

方法二线圆最值问题

方法解读

图①图②

条件：如图，与直线/相离，设的半径为心圆心。到直线/的距离为d,

尸是。。上的动点.

结论：点尸到直线/的最小距离为d—r（图①），最大距离为d+r（图②）.

4.如图，在矩形A5C。中，A5=4,BC=3,以点5为圆心，1为半径作圆，P

是。5上一动点，。是对角线AC上一动点，则尸。的最小值为.

第4题图

5.如图，在矩形A5CD中，A5=3,BC=4,0为矩形A5CD的中心，以点。

为圆心，1为半径作。。，尸为。。上的一个动点，连接AP,OP,OA,则尸

面积的最大值为.

第5题图

6.如图，在R3A5C中，AB=4,BC=2,ZASC=90°,半径为1的。O在

斜边4。上滚动，点。是。。上一点，则四边形A5C。的最大面积为

H

第6题图

考向2利用辅助圆求最值（6年4考）

方法一定点定长作圆（2021.10）

方法解读

原理：圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.

情形：在平面内，点A为定点，点5为动点，且AB长度固定.

动点轨迹：动点5的轨迹是以点A为圆心，45长为半径的圆或圆弧的一部分.

1.（2020广东17题4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧

紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫

和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，NA5C=90°,点跖N分

别在射线A4,BC上,长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点。

至UA4,5。的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离。E的最小值

为.

HX（：

第1题图

2.（2024烟台）如图，ABCD中，ZC=120°,AB=S,BC=10.E为边

CD的中点，尸为边上的一动点，DEF沿E尸翻折得连接

BD'.则4A3。面积的最小值为.

AFI）

/

H

第2题图

3.如图，在菱形A5CQ中，AB=6,NA5C=60°,E为BC上一动点、,连接

。石，作点。关于直线。E的对称点尸，连接5尸，则5尸的最小值为.

方法二定弦定角作圆（6年2考：2021.10、17）

方法解读

情形：如图，在AABC中，ZC（a）为定角，所对的弦A3长度固定.

动点轨迹：（1）当0<a<90°时，点。的轨迹如图①所示，即融；（2）当a

=90°时，点。的轨迹如图②所示，即。O（不含A,5两点）；（3）当90°

<a<180°时，点。的轨迹如图③所示，即崩.

第4题图

4.（2024梅州市一模）在直角△斗台。中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,点P

是△斗台。内一点，满足NCfiP=N4。尸，则PA的最小值为.

5.（2021广东17题4分）在△ABC中，ZABC=90°,AB=2,5。=3.点。

为平面上一个动点，NAD5=45°,则线段CD长度的最小值为

6.（2021广东10题改编）设。为坐标原点，点A,5为抛物线y=%2上的两个

动点，且。连接点4,B,过点。作0CJ_A5于点C,则点。到y轴距离

的最大值为.

方法三四点共圆（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解读

情况一（同侧型）：如图①②，线段A5情况二（异侧型）：如图③，由

条件长度为定值，点。，。为A3同侧两动点，点A,B,C,。构成的四边形

KZACB=ZADB中，ZADC+ZABC=180°

D

类型「」念"

R

图①图②图③

结论A,B,C,。四,点共圆

第8题图

9.如图，在菱形中，ZASC=60°,AB=6,点、E,尸分别是边5C,AB

上的点，RAF^BE,连接。厂与4E交于点G,连接。G,则。G的最大值

为.

REC

第9题图

儿何■帔动去演乐

回£情叱

四点件■求总例

类型四利用二次函数性质解决最值问题

[6年2考:2022.23(2),2021.9]

方法解读

要求ynaT+Zur+c(aWO)的最值，可将解析式化为顶点式，确定其对称轴是

否在自变量％的取值范围内，再画出图象，利用数形结合思想及所给端点与对称

轴的距离，依据二次函数增减性求最值.

1.(2021广东9题3分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边

求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的

三边长分别为a,b,c,记P="+；+c,则其面积S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).

这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值

为()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如图，二次函数y=—1%2—1%+2的图象与％轴交于4,5两点，与y轴交于

点&且。Cm,n)是第二象限内抛物线上一点，则四边形0CD4的面积的最

大值为

/oT\

第2题图

3.如图，R3A5C中，ZC=90°,AC=BC=4,点。是AC的中点，点E是

A5上一动点，点下是5。上一动点，且点石不与端点重合，/DEF=45°,则

BF的最大值为.

/____X

4KU

第3题图

类型一利用“垂线段最短”解决最值问题

1.2V3【解析】如解图，过点A作4OUBC于点根据垂线段最短可知，

当点。与点。'重合时，A。的值最小.,:△ABC为等边三角形，.•.BC=A5=4,

：.BD'=CD'=^BC=2,：.AD'=JzB2—8。或=25.•.线段的最小值是2g.

4

A

第1题解图

2.当【解析】•.•△A5C是等边三角形，.•.N5=NAC5=60°,AB=AC=6,

如解图，过点。作于点。，由旋转可得/人。。=入8=60°,.•.点0

为射线。。上的动点，又•.•NAC5=60°,：,ZBCQ=nQ°，;点。是AC边的

中点，••.CD=)C=3,当°。，。。时，夜的长最小，止匕时，点。与。重合，

ZCDQ'=30°,C2，=|CD=j,"-DQ'=JDC2~CQ'=^,的最小值是

3V3

2.

第2题解图

3.3V3【解析】如解图，作点。关于BA的对称点ZT,连接。D，BD',过点

。作的垂线交A4于点E,交BC于点F,由对称的性质得Z)E=Z)E,.二。石

+EF=D'E+EF=D'F,此时DE+EF的值最小，最小值为线段D'F的长.丁ZABC

=35°,ZCBD=10°,BD=6,ND5A=Nr)5A=NABC—NC5D=25°,

BD'=BD=6,：.ZCBD'=35+25°=60°,：.D'F=BD'sin60°=6X—=3A/3,

2

J.DE+EF的最小值为3V1

4.22【解析】,：CG//AB,：.ZB=ZMCG,是BC的中点，：.BM=CM,

瓯FMCG

BM=CM,AAACMG(ASA),：.HM=

(国BMHFCMG

GM,BH=CG,\"AB=6,AC=8,.••四边形4CG"的周长=4C+CG+GH+AH

=AB+AC+GH=14+GH,如解图，当GH最小时，即GHLAB时，四边形ACG”

的周长有最小值，•.•NA=90°,.•.四边形ACG”为矩形，

.•.GH=AC=8,•••四边形4CG"周长的最小值为14+8=22.

第4题解图

5.3V2+6【解析】由直线y=%+6的解析式得，当％=0时，y=%+6=6,当

y=0时，％+6=0,解得％=—6,\,一次函数y=%+6的图象与％轴交于点A,

与y轴交于点5,.•.4(—6,0),B(0,6),则。4=05=6,.•.△450是等腰直角

三角形，由题意，可设点尸的坐标为(a,a+6)(-6<a<0),二•尸CXx轴，：.OC

=-a,PC=a-\-6,C.LPCO的周长为OC+PC+OP=~a+a+6+OP=6+OP,

则求△PCO周长的最小值只要求出。尸的最小值即可，如解图，过点。作

于点D,则OP的最小值为OD的长，即此时点P与点D重合，ODLAB,：.AD

=BD,.,.OD=|AB=|X^62+62=372,；.△PCO周长的最小值为6+0。=3近

+6.

COlx

第5题解图

6.90°【解析】如解图，作点尸关于的对称点P,关于4。的对称点

连接PP',分别交ABAC于点。，R,连接AP,4P".则PQ=P。，P"R=PR,

AP=AP'=AP",ZP'AQ=ZPAQ,ZP"AR=ZPAR,：.CAPQR=PQ+QR+PR=

P'Q+QR+P"R=P'P",ZP'AP"=ZP'AQ+ZPAQ+ZP"AR+ZPAR=2ZBAC

=2X45°=90°,.•.△/PP'为等腰直角三角形，AP=AP，=4P〃，.•.PP，=VL4P,

当APLBC时,AP最短，即△PQR周长最小，此时NAPQ=ZAPQ=45°,ZAP"R

NAPH=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPRQ=90°.

//-必：*二丁尸

第6题解图

类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题

1.5【解析】如解图，连接CE交友)于点广，.•.EF+C尸2CE,.•.当点尸与

点尸重合，即C,F,E三点共线时，石7+C厂有最小值，最小值为CE的长.丁

四边形A5C。为正方形，ZABC=90°,AB=BC=4,VAE=1,：.BE=3,

在R35CE中，由勾股定理，得CE=BE2+BC2=5,/+。尸的最小值为

5.

第1题解图

2.6【解析】如解图，连接5P.,「DE是线段的垂直平分线，，点5与。

关于。E对称，BP=CP,：.PC+PF=BP+PF,BF,当B,P,尸三点共线时，

PC+尸尸最小.•尸为AC边的中点，A5=5C,：.BF±AC,：.S^ABC=^AC-BF=

9.VAC=3,：.BF=6,，PC+P下的最小值为6.

1

ur，、

第2题解图

3.(|,—荒)【解析】如解图，连接5。交抛物线对称轴于点尸，止匕时AP+CP

z9

’1?A/)c=0b=——

的值最小，•••抛物线过(4,0),(0,—3)两点，J一,解得因

<c=—3(c=—3

•二抛物线表达式为尸%2—%—3,.•.抛物线对称轴为直线％=|,设直线的表

（77,=13

达式为>=加工+〃（根WO）,将5（4,。），C（O—3）代入y=znx+〃中，得,

?Am-\-n=0

7?2———

解得4，，直线5。的表达式为尸白一3,当％=：时，y=—?J点尸的

{n=__—3c428

坐标为e—

第3题解图

4.7【解析】由题意知E尸=BC=AZ)=2,如解图，过点尸作尸G〃CE,交BC

延长线于点G,连接AG,丁石「〃BC,.•.四边形EFGC为平行四边形，，CE=

GF,CG=EF=2,则AF+CE=A尸+尸G2AG,.••当A,F,G三点共线时，AF

+C石取得最小值，最小值为AG的长，VJBG=JBC+CG=4,...在中，

AG=IAB2+BG2=5,：.AG+EF=7,.\4尸+石尸+。石的最小值为7.

第4题解图

5.4A/5【解析】•.•点A(l,机)和5(小2)在反比例函数y=£的图象上，...m=4,

n=2,：.A(1,4),BQ,2),.,.AB=V5,如解图，分别作点A关于y轴的对称点

4,作点5关于入轴的对称点夕，连接A3交y轴于点O,交工轴于点C,此时

四边形45CD的周长最小，最小值为49+45的值.根据对称的性质，得A{—1,

4),BQ,—2),.,.49=3西，.•.四边形A5CD周长的最小值为3遮+y=4遍.

第5题解图

类型三与圆有关的最值问题

考向1点圆、线圆最值问题

1.6【解析】如解图，在。。上任取一点E，，连接CE',则CEWCO+

0E1,当。、0、?三点共线时，C?取得最大值，即当点E与石重合时，CE取最

大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.连接AC,,.,COWAC,.•.当点0

与点A重合时，CO取得最大值时.在R3A5C中，•[A5=3,BC=4,：.AC=5,

.♦•0C最大=5,最大=0C最大+0E=6.•••点。到。。上的点的距离的最大值为

第1题解图

2.(-6,0)【解析】如解图，连接尸O,丁尸斗，尸5,.•.NAP5=90°,•点A、

点5关于原点O对称，.\40=50=尸O,.•.A5=2PO,若要使A5取得最小值，

则尸0需取得最小值，连接0河交。用于点P,当点尸位于尸位置时，O尸取得

最小值，过点〃作轴于点0,VM(6,8),则0。=6,"。=8,：.OM=

10,又•：MP，=r=4,0P'=M0~MP'=10-4=6,：.OA=OP'=6,.••点A坐

标为(一6,0).

第2题解图

3.1【解析】如解图，连接5P,当y=0时，|x2—4=0,解得％i=4,X2=-4,

则A(—4,0),5(4,0),：.OB=4,二•。是线段0A的中点，为AAB尸的中

位线，AOQ^BP,当5尸最大时，0。最大，当5尸过圆心。时，PB最大,如

解图，当点尸运动到尸位置时，BP最大,此时，0。取得最大值，最大值为匏尸

VC(0,3),：.OC=3,：.BC=JoB2+0C2=5,：.BP'=5-\-2=7,，线段0。的

最大值是最

第3题解图

4.1【解析】如解图，过点5作于点。，交。5于点尸，此时尸。的

值最小.,在矩形A5CZ)中，A5=4,5。=3,。5的半径为1,JAB2+BC2

=42+32=5,BP=1,sinZACB=—=—=~,解得5。=^..•.尸。=50—5P

YACBC55

=£-1=£工尸。的最小值为《

p_____4

也

■Z---------娼心

,4\/)

第4题解图

5.-【解析】如解图，连接OC,当点尸到AC的距离最大时，AAO尸的面积

4

最大，过点。作AC的垂线，与O。在矩形A5CQ外交于点P,交AC于点

此时△AOP的面积最大.•在矩形A5CD中，A5=3,5C=4,.\AC=AB2+BC2

qi119

=5,AD=4,AC>A=-,*.-ADDC=-ACDM,：.DM=—,：.PM=PD+DM=1

2225

+—=—?△AOP面积的最大值为二。4•尸加=工义9><"=".

5522254,

Jr'/Iy1

哈、J

ITC

第5题解图

6.4+2遮【解析】VAB=4,BC=2,ZABC=90°,.*.AC=^AB2+BC2=

2V5.,「S四边形ASCD=SAABC+SAACD,5AABC=|ABBC=4,二,当SAACD取得最大值时，

S四边形A5CD有最大值.如解图，过点D作DELAC于点E,过点O作OF±AC于点

F,连接0。'：DE^OD+OF,J当。，O,尸三点共线，即当点E与点尸重合

时，OE取得最大值，最大值即为00+0下的值.丁。。在AC上滚动，.二0尸=1,

.二。石最大=0。+0尸=2,.•.以4CD最大=%。。石最大=：*2遥乂2=2遥,.'.S四边形A5CD

最大=SAABC+SAACD最大=4+2V5.

I)

第6题解图

考向2利用辅助圆求最值

1.2V5-2【解析】如解图，连接BE,5D由题意得5Z)=j22+42=2遮，

VZMBN=9Q°,MN=4,E为MN的中点，：.BE=^N=2,.••点E的运动轨

迹是以点5为圆心，2为半径的弧，J当点E落在线段5。上时，的值最小,

•••OE的最小值为2V5-2.

第1题解图

2.20V3-16【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，过点E作

EGLA5交5A的延长线于点G,交。E于点此时△A5D的面积最小，•.,在

口ABC。中，ZC=120°,ZABC=60°,7^=10,易得A5与CD间的距

离为5g,.'.EG=5V3,二石为边的中点，；.DE=DE=[D=4,：.GD'=

5V3-4,••.84即的最小值为]乂8又(5g-4)=20g一16.

R匕-------7、t

第2题解图

3.6V3-6【解析】如解图，连接。尸，根据对称性质可知。尸=CD,•.•四边形

A5CD为菱形，.•.A5=AZ)=Cr)=JDF=6,•••点下的运动轨迹为以点Z)为圆心，

长为半径的曲，连接5。交“于点G,当B,F,。三点共线，即点尸与点

G重合时，5尸的值最小，最小值为5G的长，过点A作于点M,•.,在

菱形A5CD中，NABC=60°,ZABD=30°，在R3A5M中，5Af=AAcos30°

=3V3,：.BD=643,\"DG^AD=6,:.BG=BD—DG=6«—6,即3尸的最小

值为6V3—6.

第3题解图

4.2【解析】如解图，取5。的中点O,以5。为直径作。O,与AB交于点E,

连接OP,AO,VZACB=90°,ZACP+ZBCP=90°,ZCBP=ZACP,

：.ZCBP+ZBCP=90°,：.ZCPB=90°,.•.点尸在以BC为直径的圆弧CE

上运动，AP^AO-OP,J当点尸，A,O三点共线时，尸A有最小值，•.•点。是

1

的中点，BC=6,/BPC=90°,：.P0=C0=-BC=3,在RtAACO中，VAC

=4,.,.AO==5,的最小值=5—3=2.

第4题解图

5.V5-V2【解析】如解图，根据定弦定角，确定△A5Q的外接圆。O,点。

在的优弧循上运动，连接AO,BO,DO,CD,0C,过点。作

于点尸，VZADfi=45°,ZAOB=90°,,：OA=OB,AB=2,：.△OAB>

等腰直角三角形，：.0A=0B=^-AB=>/2,NA5O=45°,：.Z0BF=ZABC~

ZABO=45°,...△05下是等腰直角三角形，：.OF=BF=*B=1,\'BC=3,

：.FC=BC~BF=2,：.0C=JoF2+FC2=V5,'：OD+CD^OC,当点。运

动到OC与。0的交点E时，CD的值最小，最小值为OC—0E,即遮一VI

第5题解图

6.1【解析】设A(m足)，B(b,为，则直线。4的解析式为产奴，

koA'koB~—1,**•koB=—；♦直线。8的解析式为y=一不，将点5(6,左)代

入y=一中，得〃2=一2也J5=一工，.，.R—工，与，设直线AB的解析式为y

aaaaaz

q2=772(1-pH一一1

=mx+”0nW0),,解得17na,...直线AB的解析式为y

=m-(--)+nln=1

=(a—》%+l,如解图，设AB与y轴交于点。，当％=0时，y=l,：.D(0,1),

即00=1,,.,0C_LA5,.•.点。在以0。为直径的圆上，当点。在半圆0。的中

点处时，点。到y轴的距离最大，此时0C=CD,过点。作于点E,

•.•0。是直径,.*.Z0CD=90°,：.CE=DE=^OD=^.

、At1/

vvJo/

___L

ffN*

第6题解图

7.6V2【解析】•.•NA5C=NAZ)C=45°,，A,B,C,。四点共圆，AC为OO

的弦，如解图，当AZ)为。0的直径时，A。取得最大值，此时NACZ)=90°,

"：AC=6,ZADC=45°,.,.AD=V2AC=6V2.

第7题解图

8.2V2【解析】如解图，过点。作COLLAB于点O,连接00,则NA0C=

90°,•.•在R3ABC中，AC=BC=4,：.AB=4y/2,：.AO'=BO'=2y[2,,:CE

是由C。绕点。逆时针旋转90°