2025年中考数学考前冲刺：二次函数与几何综合题 压轴练习题（含答案解析）

2025年中考数学考前冲刺：二次函数与几何综合题压轴练习题

1.抛物线y=f-2x-3交x轴于A,3两点(A在5的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交V

轴于点尸.

⑴直接写出A,B两点的坐标；

⑵如图(1),当OP=Q4时，在抛物线上存在点。(异于点8),使8,。两点到AC的距离相等，求出

所有满足条件的点。的横坐标；

(3)如图(2),直线交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点点C的横坐标为加.求券的值(用

含m的式子表示).

2.已知，二次函数_¥=内2+2法->2+46+1和平面直角坐标系xoy中的点A(5,0)、点B(0,5)

⑴若二次函数图象经过42两点,

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①求二次函数的解析式;

s

②如图1,D在抛物线上，且在第一象限，。。与A3交于点E,求产的最大值；

3AOE

13

(2)当。=-1时，若二次函数图象经过点C7%、且顶点在AAOB的内部，试比较％、%的大小

3.抛物线y=f+万元+c与x轴交于4(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,2).

⑴求B点坐标；

(2)如图1,点E在第一象限的抛物线上，连接BE,CD〃BE交OB于点、D,连接。E,ADBE的面积为

4.

①连接CE,直接写出四边形COBE的面积；

②求E点坐标.

⑶如图2,将直线AC绕点P(小，")顺时针旋转90。后，得到的对应直线FG与抛物线有唯一公共点，求

相与”的数量关系.

4.如图，平面直角坐标系中，抛物线、=-尤2+总+4过点A(-4,0),与y轴交于点N,与x轴正半轴交于

点、B.直线/过定点A.

一.二

:二

图1图2

图3

(1)求抛物线解析式；

(2)连接AN,BN,直线/交抛物线于另一点M,当NM4N=N8NO时，求点M的坐标；

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⑶过点T（r,T）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F,直线8E、8尸分别交y轴于点尸、

Q,是否存在f的值使得0P与。。的积为定值？若存在，求/的值，若不存在，请说明理由.

图1图2

（1）直接写出点8的坐标（,）和直线BC的解析式______；

（2）点。是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以8、C、D、E为顶点的四边形为平行四边

形，求点E的横坐标；

⑶如图2,直线/〃BC,直线/交抛物线于点M、N,直线AM交y轴于点尸，直线AN交y轴于点。，点

p、。的纵坐标为力、yQ,求证：％+为的值为定值.

6.如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4,0）的直线AB与y轴交于点3（0,4）.经过原点。的抛物线

y=-f+bx+c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D

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（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

⑵M是线段上一点，N是抛物线上一点，当"N〃，轴且MN=2时，求点M的坐标；

（3）P是抛物线上一动点，。是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,。为顶点的四边形是矩

形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，抛物线，=如2+（病+3”_（6〃7+9）与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知8（3,0）.

（2*为抛物线上一点，若SjBC=S4ABC,请直接写出点尸的坐标；

（3）。为抛物线上一点，若/ACQ=45。，求点。的坐标.

8.抛物线）=依2+乐+。（。H0）与天轴交于4、B两点，与y轴交于点C,且点4的坐标为A（-2,0）,点C

的坐标为C（0,6）,对称轴为直线x=l.点。是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为相，连接AC,

（1）求抛物线的函数表达式；

⑵若/BCD=ZACO,求HI值.

⑶点尸坐标为（0,2）,连接AF,点P在直线A尸上，点。是平面上任意一点，当以A、C,尸、。四点为

顶点的四边形为菱形时，直接写出。坐标.

9.抛物线的顶点坐标为（m,n）.

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(1)若抛物线过原点，〃?=2,”=-4,求其解析式.

(2)如图(1),在(1)的条件下，直线/：y=-x+4与抛物线交于A、8两点(A在8的左侧)，MN为

线段上的两个点，MN=2在直线/下方的抛物线上是否存在点P,使得△PMN为等腰直角三角

形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图(2),抛物线与无轴负半轴交于点C,与y轴交于点G,尸点在点C左侧抛物线

上，。点在y轴右侧抛物线上，直线C。交y轴于点尸，直线尸C交y轴于点”，设直线P。解析式为丫=

h

kx+t,当SAHCQ=2S」GCQ,试证明不是否为一个定值.

图1图2

10.已知，如图，抛物线y=-；/+fcv+c与x轴正半轴交于A、8两点，与y轴交于点C,直线y=x-2经

过A、C两点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点。落在y轴上，求尸点坐标；

(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线＞=X-若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两

点.①求证：的长度为定值；

②结合(2)的条件，直接写出AQMN的周长的最小值

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备用图

II.抛物线>=加-26x+6（"0）与V轴相交于点。（0,-3）,且抛物线的对称轴为x=3,。为对称轴与

x轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于£、F两点,若，/溺是等腰直角三角

形，求二DEF的面积；

（3）若尸（3J）是对称轴上一定点，。是抛物线上的动点，求的最小值（用含f的代数式表示）.

12.如图1,抛物线、=以2+法+。与无轴交于A,2（点A在点8左侧），与y轴负半轴交于C,且满足

OA=OB=OC=2.

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(1)求抛物线的解析式;

⑵如图2,。为y轴负半轴上一点，过。作直线/垂直于直线BC,直线/交抛物线于E,F两点(点E在

点厂右侧)，若DF=3DE,求D点坐标;

(3)如图3,点M为抛物线第二象限部分上一点，点N关于y轴对称，连接MB,尸为线段MB上一点

(不与M、2重合)，过P点做直线(/为常数)交无轴于S,交直线A®于Q,求QS—PS的值(用含

f的代数式表示).

13.如图1,已知抛物线y=#+6x+3经过点。(1,5),且交x轴于A,5两点，交V轴于点C,已知点

A(-LO),是抛物线在第一象限内的一个动点，2。，8。于点。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当？。=百时，求加的值；

(3)是否存在点P,使VBPQ与3OC相似？若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

14.已知抛物线和：丫=皈2+公+。向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线

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⑴直接写出抛物线G的解析式―；

⑵如图1,已知抛物线C］与X轴交于A,8两点，点A在点8的左侧，点pg,。在抛物线C1上，

QBLPB交抛物线于点Q.求点。的坐标；

(3)已知点E,也在抛物线C?上，石“〃彳轴，点E在点M的左侧，过点M的直线与抛物线C?只有一

个公共点(MD与丁轴不平行)，直线QE与抛物线交于另一点N.若线段NE=DE,设点N的横坐标

分别为加，n,直接写出加和〃的数量关系(用含机的式子表示")为—.

15.已知抛物线>=以2+桁-2与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线％=根(0<m<4)交抛物线于"点，交BC于N点、,豆CM//ON,求机的值；

(3)如图2,若点尸为抛物线工轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线3尸交y轴于N点，且OM・ON

25

=—求P点坐标.

4f

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16.二次函数产的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E.

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标.

(2)如图1,。是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点。的

坐标.

(3)如图2,尸是该二次函数图象上的一个动点，连接尸C、PE、CE,当的面积为30时，求点尸

的坐标.

图2

17.在平面直角坐标系中,抛物线y=o^+6x+c与X轴交于点A(-I,o)和点B,与V轴交于点C,顶点。

的坐标为(1,-4).

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(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸在抛物线上且满足NPCB=NCBD,求点尸的坐标；

(3)如图2,M是直线上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N,。是直线AC上一个动

点，当-QWN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标

18.如图1,抛物线y=o?+2x+c(aw0)与无轴,V轴分别交于点A(TO),B点,C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。(m,3)在抛物线上，连接BC,BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足

NPBC=NDBC?如果存在，请求出点尸点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点N在抛物线的对称轴上，点/在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形

时，请直接写出点用的坐标.

19.如图1,抛物线、=：石+公-4交x轴于A,8两点(A在8的左侧)，与了轴交于点C,且

OC=2OB.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC,2C,点P在抛物线上，且满足/P3C=NACB,求点P的坐标；

(3)如图2,直线/：y=x+K-4<f<0)交y轴于点E,过直线/上的一动点〃作加〃丫轴交抛物线于点

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N,直线CM交抛物线于另一点O,直线QN交y轴于点尸，试求OE+O尸的值.

20.抛物线C：y=-/+2]+3与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点比

图1图2

(1)写出的长；

(2)如图1,已知C(0,2),点E是x轴正半轴上的点，OE的垂直平分线MN,交OE于点凡交CE于

点",交抛物线C于点N,若MN=2,求点E的坐标；

(3)如图2.将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移6(b>0)个单位长度得到抛物线C/,点。

是抛物线C/的顶点，点尸是抛物线C/在第一象限上的动点，尸轴，交抛物线。于点P,直线尸。交

抛物线C/于点°,直线QP交y轴于求证：HD=OD.

21.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与无轴，y轴相交于A,5两点.点C的坐标是(8,4),

连接AC,BC.

(1)求过。，A,C二点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；

(2)抛物线上是否存在着一点尸，使的面积为25?若存在，求出尸的坐标，若不存在，请说明理

由；

(3)在抛物线上，是否存在着一点河，使一为以A8为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出M

的坐标；若不存在，请说明理由.

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22.如图，已知抛物线y=/+bx+c与x轴相交于A(TO),3(〃?,0)两点，与V轴相交于点C(0,-3),抛

物线的顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E在x轴上，且在点B左侧、NECB=NCBD,求点E的坐标.

(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作叨，龙轴于点H,与BC交于点

①求线段尸河长度的最大值.

②在①的条件下，若歹为y轴上一动点，求尸4+即+正CF的最小值.

2

23.如图，已知抛物线丁=加+。过点(-2,2),(4,5),过定点—0,2)的直线>=爪+。与抛物线交于A、B

两点，点5在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.

(1)直接写出抛物线的解析式.

(2)求证：BF=BC.

(3)若左=1,在直线>=乙+。下方抛物线上是否存在点。，使得一尸的面积最大？若存在，求出点。的

坐标及.沙厂的最大面积；若不存在，请说明理由.

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24.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线>=依2+法+。(。>0)与苫轴交于人、B两点(点A在点B左

侧)，与y轴交于点C.

(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

①求抛物线的解析式；

②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，ACPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐

标；

(2)如图2,若直线、=云+/«>。)与抛物线交于点乂、点N(点M在对称轴左侧).直线AM交y轴于

点E,直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.

25.抛物线>=加一2办一3°(a<0)交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点瓦

(1)直接写出点E的坐标为

(2)如图，直线y=x与抛物线交于点M、N,求OMON的值.

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（3）如图2,过点C作CZ）〃x轴交抛物线于点，连接并延长交y轴于点尸，交抛物线于点G.直线

AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接〃£、GK,求证：HE//GK.

26.如图1,已知：抛物线,=奴2+法+。过点。,0）、（4,3）、（5,8）,交x轴于点C,点B（C在5左边），交

y轴于点A.

（D求抛物线的解析式；

（2）。为抛物线上一动点，ZABD=ZCAB+ZABC,求点。的坐标；

（3）如图2,/:y=丘-3左+7（左W0）交抛物线于M,N两点（不与重合），直线MC,NC分别交y

轴于点/,点J,试求此时O/.Q7是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由.

27.如图，抛物线过点A（0,1）和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（行,

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0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点E点F的横坐标为空，四边形BDEF

为平行四边形.

(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当^PAB面积最大时，求点P的坐标及4PAB面积

的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶

点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标.

脩用图)

28.如图1,已知抛物线y=a(x—1)2与y轴交于点B(0,3)，点C为抛物线的顶点.

(1)直接写出该抛物线的解析式.

(2)点A在抛物线上，且ACLBC,求点A的坐标.

(3)如图2,在(2)的条件下，作线段AC的垂直平分线交抛物线于点D,交AC于点M,点F在直线

DM上，求AFBC的最小周长，直接写出当△FBC周长最小时点F的坐标.

3).已知对称轴为x=l.

(1)求抛物线的解析式.

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(2)P为抛物线上的点，P点到直线BC的距离为0,求点P的坐标.

(3)将抛物线向左平移至对称轴为y轴(如图2).交x轴于M,N.D为顶点，E是线段ON上一动点,

EF〃y轴交抛物线于F,DE交抛物线于Q,求直线QF与y轴的交点H的坐标.

图1图2

30.如图1,已知抛物线>=加+a+。的顶点为尸(1,9),与无轴的交点为A(-2,0),B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C,若/COB=2NCBO,求点M的坐

标；

(3)如图2,将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为丫=办2+云+6E,尸新抛物线在第一象限内互不

重合的两点，EGLx轴，FHXxft,垂足分别为G,H,若始终存在这样的点E,F,满足

&GEO咨AHOF,求的取值范围.

图1

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31.如图1,已知抛物线丁=0?+桁+0的顶点为尸。,9),与x轴的交点为A(-2,0),B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C,若/COB=2/CBO,求点〃的坐

标；

(3)如图2,将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为>=办2+%+/?,E,尸是新抛物线在第一象限

内互不重合的两点，EGJ_x轴，可，无轴，垂足分别为G,H,若始终存在这样的点E,F,满足

一GEg.HOF,求〃的取值范围.

32.已知抛物线乙：y=x2-2mx+^m2-2(m>0)的顶点为M,交y轴于点G.

3

(1)如图，若点G坐标为(0,-])

①直接写出抛物线。解析式；

②点Q在y轴上，将线段QM绕点Q逆时针旋转90。得线段QN,若点N恰好落在抛物线。上，求点Q

的坐标.

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(2)探究：将抛物线4沿唯一的定直线x=a对称得抛物线七，记抛物线七交y轴于点P(0,—2m),

求a的值.

33.抛物线＞=-/+0-1)苫+加交x轴于A,B两点(点A在点B的左边)，交》轴正半轴于点C.

(1)如图1,当根=3时.

图1图2

①直接写出点A,B,C的坐标；

②若抛物线上有一点P,使NACP=NB4C,求点P的坐标.

(2)如图2,平移直线CB交抛物线于M,N两点，直线MC与直线N3交于点G,若点G在定直线x=l

上运动，求加的值.

34.已知抛物线y=a(尤-1了过点(3,1),。为抛物线的顶点.直线/：y=履+4-4经过定点A.

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(1)直接写出抛物线的解析式和点A的坐标；

(2)如图，直线/与抛物线交于P,。两点.

①求证：/尸。。=90。；

②求AP。。面积的最小值.

35.如图，已知直线y=-x+4分另ij交x轴、y轴于点A、B,抛物线过y=ax?+bx+c经过A,B两点，点

P是线段AB上一动点，过点P作PC^x轴于点C,交抛物线于点D.

(1)若抛物线的解析式为y=-；x2+x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

(2)当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

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参考答案：

1.（1）A（-1,O）,B（3,0）；

（2）0.三匣或1±叵；

22

⑶

（1）解：令/_2尤_3=0,解得：％=T,方=3,

A（-l,0）,3（3,0）.

⑵解：•；OP=OA=1,

：.P（0,l）,

直线AC的解析式为y=x+L

①若点。在AC下方时，

过点8作AC的平行线与抛物线的交点即为Q.

；3（3,0）,BD,//AC,

；•BA的解析式为y=x-3.

联立二一3’

解得，占=0,X2=3（舍）.

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•••点2的横坐标为o.

②若点。在AC上方时，点D,(O,-3)关于点P的对称点为G(o,5).

过点G作AC的平行线/,则/与抛物线的交点即为符合条件的点D.

直线/的解析式为y=x+5.

y=x+5

联立得12—3%—8=0,

y=xz—2x—3

解得，%=三普，%=言画.

.♦.点2的横坐标分别为匕曳，也画.

22

•••符合条件的点。的横坐标为：0,士且或1±巫.

22

(3)

解：设点E的横坐标为〃.过点P的直线解析式为丁=丘+以

y=kx+b

联立得兀2—（2+左）%—3—/?=0.

y=x2-2x-3

设巧，4是方程％2—(2+%)工一3—人=0两根，贝!Jx/2=—3—6.(*)

/.xAxc=xBxE=-3-b,

・・F=T，

xc=3+b,

m=3+b.

xB=3,

■x__1_^

3

,[b

・・〃=-1——.

3

设直线CE的解析式为y=PX+q,

同（*）得m几=-3-q,

/.q=—mn—3.

2

<?=-（3+Z?）|-l-||-3=1/?+2&.

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1

:.OF=-b92+2b.

3

•：OP=b,

1

・・・FP=-b91+b.

3

,FP1.l-।1

・・=—/7?+1=—(zm-3)+1=­m.

OP333

2.(1)y=-x2+4x+5

i114

(2)b=；时，%=%;0<Z?<-,%〉％;-<b<-,

’225

(1)解：①把点A、B的坐标代入函数解析式得：

j0=25a+10Z?-Z?2+4&+l

[5=孑+46+1

[a=-1

解这个方程组得：7。，

I.所求二次函数的解析式为：y=-x2+4x+5；

②过。作。轴于点尸，交A3于点尸，如图所示：

设点P的横坐标为P，则点。的坐标为(p,-p2+4p+5),

0=5m+n

设直线A3的解析式为，=如+〃，把点A、B的坐标代入此解析式得:

5=n

=-1

[n=5'

直线AB的解析式为：y=-x+5,

.••点下的坐标为Cp,-p+5),

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OB=5,DF=—p1+4/9+5-(-p+5)=—p2+5p,

2

..DE：DF-p+5p1(5?5

FOEOEOB5512)4,

V-1<0,

•••有最大值，最大值为2.

4

(2)

*.*a=-l,

y=-x2+2bx-b2+4b+l=-Cx-b)2+4b+l,

・..顶点坐标为(b,4Z?+1),

；.x=b,y=4Z7+l,

・・・y与x之间的函数关系式为：y=4x+l,

4

设直线y=4x+l与y轴交于点与直线AB交于点N,则点〃的坐标为(0,1),点N的坐标为(彳,

:抛物线的开口向下，顶点在AAOB的内部，

•••顶点只能在线段MN上(不含M、N)

4

；.0<6<-；

5

①如图1,当CD〃x轴时，抛物线的对称轴垂直平分CD,%=%，

此时抛物线的对称轴x=6=：,即：匕=1■时，%=%；

②如图2,当点C离对称轴较近时，。＜6＜；,此时必＞必；

第4页共97页

,止匕时

图3

图1图2

3.（1）点B的坐标为（4,0）

⑵①8；②点E的坐标为（2,3)

(3)n=6-3m

(D解：把A(-L0),C(0,2)两点的坐标分别代入到＞=-；/+云+。中，得：

2

_J_X(_1)—b+c=0b--13

,2IJ,解得2,・・・抛物线的解析式为y=-+2,令＞=0,即

、c=2[c=222

13

。二-尤+2,解得再=-1,x2=4f.••点3的坐标为(4,0)；

(2)①连接3C,CD//BE,SBDE=SBCE，VB(4,0),C(0,2),.,.O8=4,OC=2,/.SAOBD

=lx2x4=4S△皿=4,四边形COBE的面积=S△。皿+S△皿=4+4=8则四边形COBE的面积；8,

二

②连接OE,BC,如图：'：CD//EB,S△DBE一冒4SACBE=89此=4,设点

E的坐标为加+，"+2,SB(4,0),C(0,2),.•.08=4,

OC=2,

SAOCE+S.BE-S&OBC=S△CBE，£“2根+Jx4•(—J根？+9机+2)—Jx2x4=4,解得仍=乃=2,当m=2

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i3

时，y=--x22+-x2+2=3,・,•点£的坐标为(2,3)；

(3)过尸作FPJ_A尸且"uAP,作MTV〃y轴，交x轴于N,过户作尸于：.ZM=/PNA

ZM=ZPNA

=ZFPA=90°ZFPM=90°-APN=ZNAPA\ZFPM=ZNAPZ^ANP^/\PMF,：.AN=MP=m+lf

AP=PF

NP—FM—n,.・・尸点坐标为(m-n,m+n+1):•设旋转后得△尸GQ,则△ACO之△FGQ,・••尸Q=AO=

(<m-njk+b=m+n+1

1,GQ=CO=2,・・・G点坐标为(m-〃+2,加+〃)设直线厂G解析式为>=履+)则解

^m-n+2^k+b=m+n

k=-Ly=——x+—m+—n+l

2222

得・•・直线/G解析式为丁=龙+9m+十九+1J由,得

731113c

b=—m+—n+1y=——x2+—x+2

2222

⑶存在，r=T

⑴解：(1)将点A(-4,0)代入丁=-炉+心+4,

得一16—4〃+4=0,解得”=一3,

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y=-12-3%+4；

(2)

令y=0,则一%2一3%+4=0,

解得x=—4或x=l,

：.B(1,0),

令x=0,贝力=4,

：.N(0,4),

：.ON=4,OB=1,

：.tmZBNO=-

4f

如图1,当M点在AN上方时，过点N作N”,4V交于“点，过点”作胸，》轴交于K点,

VA(-4,0),N(0,4),

•・OA—ON,A/V=4V2，

NANO=45。，

/HNA=90。,

NHNK=45。,

：.HK=KN,

ZHAN=ZONB,

.HN1

・•菽―"

:・HN=4^,

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：.KN=HK=1,

：.H(-1,5),

设直线AM的解析式为y=kx+b,

k=-

-4k+b=03

,解得

-k+b=5

3

520

y——x-----

联立方程组'33

y=-X2-3X+4

2

解得％=-§或x=—4(舍),

250、

如图2,当M点在AN下方时，过点N作NG,4V交AM于点G,过点G作轴交于点W,

・・・NANO=45。，ZANG=90°,

AZWG=45°,

：.NW=WG,

八，…NG

•.・tan/NAM=1-=——NG

4AN4V2

NG=C，

：.WG=WN=1,

：.G(1,3),

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3I?

则直线AM的解析式为y=|x+y,

312

v=-x2

联立方程组"55,解得x或》=—4(舍),

y=—X2—3无+4

综上所述：点M的坐标为或［m］；

(3)

存在f的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下:

设E(e,-e2-3e+4),F(/,-/2-3/+4),

设直线BE的解析式为(x-1),

将点E代入y=%(尤-1),得上=—e—4,

y=-(e+4)(x-l),

令x=0,则y=e+4,

：.P(0,e+4),

：.OP=e+4,

设直线BE的解析式为y=w(x—1),

点尸代入y=A(x-l),得加=-/-4,

y=-(/+4)(x-l),

令x=0,则y=/+4,

•••2(0,/+4),

•••OQ=-f-4,

：.OP-O2=(e+4)(-/-4)=-ef-4e-4f-16,

设直线EF的解析式为y=K(%-?)-1，

y=k^x—k^—1

联立方程组

y=_%2_3%+4

+((+3)x—k,-5—0,

c+f———3,cf——kj—5,

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OP-OQ="+4kl+l=%(/+4)+l,

当f+4=0时，OP。。为定值，

・・・/=T,OPOQ=1.

5.(1)4,0,y=-x—2

(2)一|■或?■或I"；

⑶证明见解析

(D解：对抛物线与》=2炉—5%一2来说，

13

当y=0时，—%2——%—2=0,

解得玉=4,x2=-l

由图像可知，点5的横坐标大于0,

・••点B的坐标是(4,0),点A的坐标是(-1,0)

当x=0时，得y=-2,即点C的坐标是(0,-2),

设直线3。的表达式是>=区+乩将5、。两点坐标代入，得

(O=4k+b

1-2=b

k=l

解得,2

b=-2

；•直线BC的解析式为y=gx-2

故答案为：4,0；y=#2

(2)

解：由题意和(1)可知，抛物线的对称轴为》=告1=1,设点。的坐标为(g，%)，

当四边形CBE。是平行四边形时，

CBDES.CB=DE,

则点C(0,-2)向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B(4,0),

.••点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E,

-311

・••点E坐标是(—+4,%+2)即(—,>o+2)

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•・•点£在抛物线上,

113911

；・点E坐标是（苛，芸），即点E的横坐标是9；

282

当四边形是平行四边形时，

CBEDS.CB=ED,

则点8（4,0）向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C（0,-2）,

.•.点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E,

35

，点E坐标是（,一4,%—2）即（--,y0—2）

:点E在抛物线上，

y0-2=；x』昌一2T

228

.55

.・%=石

...点£坐标是（-g5,芸39），即点E的横坐标是5

2o2

当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时,

DBCES.DB=CE,

33

则点。%）向左平移5个单位到，向下平移（%+2）个单位，到点C（0,-2）,

3

...点3（4,0）向左平移万个单位到，向下平移（Jo+2）个单位，到点£（/，yE），

•••点E的横坐标是g

:点E在抛物线上，

.,_1,5、23.5.021

.・yE一一x（一）—x（一）—2=-----

22228

・・・点七的坐标是（彳5，-221）即点E的横坐标是5；；

282

综上所述，点E的横坐标是或昔或g;

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解：由（1）知，直线BC的解析式为y=点A的坐标是（-1,0）

设直线/的表达式为>=“

1

y=—x+n

2

联立得方程组1q得％2_4%-4_2〃=0

y=—x2—x-2

22

设点M的坐标是（X”，加），点N的坐标是（/，yN）

由一元二次方程根与系数关系得%+xN=4,xM•xN=-4-2n,

•.•点M、N在直线/上

.1,1,

••加=斗+〃，yN=-xN+n

设直线AM的解析式为y=k{x+bl,

fQ=_k+b

1

把点A、点“坐标坐标代入，并联立得7\

1％="+瓦

解得々=勺=弋7

XM+1

即直线AM的表达式y=弋7尤

XM+1XM+1

令x=0,得尸”,即力=’21

%+1尤M+1

0——k，2+b?

同理，设直线期的解析式为y=+把点A、点N坐标坐标代入，并联立得

yN=k2xN+b2

得瓦=h=上^

即直线即直线AN的表达式>=77工+七7

XN'1%N+1

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N

令x=0,得y="：],BPyQ="

+1uXN+1

故孙+

与+1XR+1

_%(0+1)+%(无“+1)

(%M+1)(XN+1)

+〃]国+1)+&XN+"]国+1)

xMxN+(xM+xN)+l

XMXN+\(X“+XN)+n(XM+XN)+2H

XMXN+(XM+%N)+1

«%M+%N=4,//，％N=4—2〃f

—

.•.%+I%,,4=—2HH—2x4+4〃+2〃=C2i+/4几=。2/(1l。2力可、

-4-2n+4+1l-2nl-2n

即yP+yQ=-2

：•力+