2025年中考数学第一次模拟考试（天津卷）（全解全析）

2025年中考数学第一次模拟考试（天津卷）

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。

2.本卷共12题，共36分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.计算6—32*4得（）

A.-30B.-12C.36D.42

【答案】A

【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可.

【详解】6-32x4=6—9x4=6_36=-30,

故选A.

【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键.

2.如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数起，第一、二、三列下面一层都有

一个小正方形，第三列上面一层有一个小正方形，即看到的图形如下:

故选：D.

3.估计后一1的值在（）

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

【答案】B

【分析】本题考查了无理数的估算，由夹逼法先确定V17的范围，进而即可确定后一1的范围，掌握夹逼

法是解题的关键.

【详解】解：•••姬<V17〈后，

.•-4<V17<5,

--.4-1<V17-1<5-1,

即3<V17-1<4,

故选：B.

4.下列图案中既是轴对称图形也是中心对称■图形的是（）■

【答案】A

【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别.解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形定义:

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样

的图形叫做轴对称图形.据此依次对各选项逐一分析即可作出判断.

【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A.

5.截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币12500000000元，成为春节档票

房口碑最好的电影；将12500000000这个数用科学记数法可以表示为（）

A.0.125XIO10B.12.5XIO10C.1.25XIO10D.1.25X1011

【答案】C

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为ax10皿的形式，其中1Wa<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

【详解】解：12500000000=1.25X1O10,

故选：C.

6.gtan60。的值等于（）

A.1B.亨C.3D.V3

【答案】C

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【详解】解：V3tan60°=V3XV3=3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键.

7•化简含一堂的结果是（）

11

A.x—2B.-x—-2C.—x+-2rD.x+2

【答案】B

【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键.

原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值.

【详解】解:原式==与—访

故选：B.

8.若y=^图象上有三个点（—I,%）,（；，%），贝1J%，丫2，乃大小关系是（）

A.yi<y2<y-iB.y3<72<yic.y3<yi<yiD.及<%<为

【答案】c

【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数y=5

（fc^O）,当k>0时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内V随x增大而减小，当k<0时，

反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大.

先证明一（。2+1）<0,进而得到反比例函数y=—哼1的图象经过第二、四象限，在每个象限内，歹随x增

大而增大，据此即可得到答案.

【详解】解：••一20,

.,.a2+1>1,

.---（a2+l）<0,

・••反比例函数y=—子的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，

・•.（—I,y。，（一；）2）,（1乃）都在反比例函数图象上,且一1<3<。<匕

•1-73

<0<y1<y2,

故选：C.

9.已知久1/2分别是方程久2—4久+3=0的两个根，则代数式五+焉的值为（）

A.4B.5C.2D.6

【答案】A

【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到的+肛=4/1尤2=3,整体代入法求值即

可.

【详解】解：,•%,冷分别是方程由-4x+3=0的两个根,

・•・％i+x2=4血/2—3,

333（血+为2）3x4

,•三+焉=1^=亍=4；

故选A.

10.如图，RtA48C中，ZC=9O°,利用尺规在8C,A4上分别截取BE,BD,使BE=BD；分别以。，E

为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在NCR4内交于点尸；作射线AF交NC于点G.在48上找一点

P使得/P=/G,若乙4PG=65。，则ZABG的度数为（

c

C.18°D.无法确定

【答案】B

【分析】根据作图可得BG是乙4BC的平分线，根据等边对等角以及三角形的内角和求得乙4,进而根据直角

三角形的两个锐角互余求得N①结合角平分线的意义即可求得乙48G的度数

【详解】解：以尸=力G,

“尸G=zs4Gp=65。，

.-.ZJ=18O°-2x65。=50。，

vzC=90°,

.4BC=90。-50°=40°,

，:BG平分乙48C,

••.zABG=、ABC=20。，

故选:B.

【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，直角三角形的两锐角互余，作角平分线，掌

握三角形的内角和定理以及读懂题意是解题的关键.

11.如图，在△ABC中，乙4cB=90。.将△力BC绕点2顺时针旋转m。得到＜m。＜180。）.CE

与力B交于点F,设N4BC=n。，当加、n满足（）条件时，△BCF是等腰三角形.

A.m=2nB.n=2m

C.m+n=180°或m=2nD.n=2zn或m+n=180°

【答案】c

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质.根据旋转性质得出力C=4E,AD=AB,

11

/-DAB=/.EAC=m°,根据等腰三角形的性质得出乙4EC=^ACE=-(180°-m°),^ADB=/.ABD=-

(180。一m。)，再分三种情况进行讨论：当BF=CF时，当BF=8C时，当BC=CF时，分别求出结果即可.

【详解】解：连接BD,

•.・将△4BC绕点A顺时针旋转小。得到△ADE,

■■.AC=AE,AD=AB,Z.DAB=Z.EAC=m°,

：.Z-AEC=Z.ACE=1(180°-m°)=90°-1m°,

11

L.ADB=LABD=-(180°-m°)=90°--m°,

当BF="时，

贝ij448c=乙BCF=n°,

,：Z-ACB=Z.ACE+Z-BCF,

.•.ri。+90。一"。=90。，

・•・m=2n；

当BF=BC时,

贝此BCF=乙BFC=|(180°-n°)=90。一)。，

,：Z-ACB=Z-ACE+乙BCF,

1i

・・・90。一和+90。一刎。=90°,

.,.m+n=180；

当BC=CF时，点尸在B4的延长线上，不符合题意；

综上分析可知，当爪=2n或m+n=180。时，△BCF是等腰三角形.

故选：C.

12.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心，安置在柱子

顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过0A的任一平面上，建立

平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x4则下

列结论：

(1)柱子0A的高度为例；

(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有()

【答案】C

【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)，与x轴，y轴的交点，解答题

目的问题.

【详解】解：当x=0时，y=*故柱子0A的高度为(1)正确；

,­,y=-x2+2x+|=-(x-1)2+2.25,

・•・顶点是(L2.25),

故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误;

解方程-x2+2x+j=0,

得Xi=-g,X2=|,

故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确.

故选C.

【点睛】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决

问题的关键.

第n卷(非选择题)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔)。

2.本卷共13题，共84分。

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

13.在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机

取出一个球是白球的概率是.

【答案】|

【分析】用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率.

【详解】解：,•,不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球，

,从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是高=5

故答案为：

【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.计算：(一层尸+层=_.

【答案】一M

【分析】本题主要考查了幕的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则.根据幕的乘方和同底数塞除法

运算法则进行计算即可.

23

【详解】解：(—a)+=—口6+口2=—a4

故答案为：—a，.

15.计算(鱼一遍)2°2°,(V2+遍)2°21的结果是.

【答案】V2+V3/V3+V2

【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幕乘法的逆运算解答.

【详解】解：(鱼—遍)2°2°.(鱼+%)2°21

=(V2+V3)-(V2-V3)2020-(V2+V3)2020

=(V2+V3)-[(V2-V3)-(V2+V3)]2020

=V2+V3,

故答案为：V2+V3.

【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数基乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，

熟记运算公式是解题的关键.

16.在平面直角坐标系中，将直线y=日+3沿y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于（一1,0）,贝林的值

为.

【答案】1

【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征.平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可.

【详解】解：将直线y=卜久+3沿y轴向下平移2个单位长度后得到y=kx+3—2,即y=k比+1,

:平移后的直线与%轴交于（一1,0）,

0——k+1,

解得：k=1,

故答案为：1.

17.如图，在矩形4BCD中，AB=3,AB<BC,E是BC边上的一动点，连接DE、AE,过点。作DF1AE

交于点G,垂足为点R连接8凡

（D当点G恰为BC中点时，则BF=.

（2）当DE平分NFEC时，若=则4F:FE=.

【答案】（1）3；（2）4:1

【分析】（1）延长DG与瓦1交于点“，根据矩形的性质可得4B=CD=3/B||C。，从而可得

上CDG=NH/DCG=乙HBG,再根据线段的中点定义可得BG=CG,然后利用AAS证明△DCG三△HBG,从

而利用全等三角形的性质可得8H=DC=3,进而可得48=8H=3,再根据垂直定义可得乙4/口=90。，

最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答；

⑵根据矩形的性质可得NDCE=90°,AD1BC,再利用角平分线的性质可得DF=DC=3,ADEF=4DEC,

从而可得N4DE=NDEF,进而可得=然后在RtaDFE中，利用勾股定理求出EF=1,再设

AF=x,贝幺。=4E=x+l,从而在Rt△力DF中，利用勾股定理进行计算可求出4尸的长，最后求比即可.

【详解】解：如图：延长DG与B4交于点

•・,四边形是矩形，

：.AB=CD=3MBi£0,

：,/-CDG=乙H,乙DCG=乙HBG,

・・•点G为BC中点，

；.BG=CG,

△DCG=△HBG(AAS),

：.BH=DC=3,

.-.AB=BH=3,

•；DG1AE,

・•.乙4FH=90°,

：.BF=48==3.

故答案为3.

(2)••・四边形2BCD是矩形，

.•ZDCE=90°,ADWBC,

：.Z-ADE=乙DEC,

•••OE平分NFEC,DC1CE,DF1AE,

：.DF=DC=3/DEF=乙DEC,

・•・Z.ADE=zJDEF,

•••AD—AE,

在Rt△£>/*,DE=V10,

■.EF=7DE2-DF2=(V10)2-32=1,

设4F=x,AD=AE=AF+EF=x+1,

在Rt△力DF中，AF2+DF2=AD2,

.•.x2+32=(x+1)2,解得：x=4,

.-.AF=4,

•••AF-.EF=4:1,

故答案为：4:1.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，根添加适当的辅助

线是解题的关键.

18.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点/、点、B、点C均落在格点上.

(I)线段4B的长度=.

(II)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在N4BC的平分线上找一点尸，在BC上找一点0,使CP+PQ

的值最小，并简要说明点P,。的位置是如何找到的(不要求证明).

8C

【答案】(1)5；(2)如图，构造边长为5的菱形2BKD,得到射线BD为N4BC的平分线，再构造

△CEF三△C4B,作直线C尸交BD于尸，交4B于。，再作点尸关于直线BC的对称点J,连接P/交8c于点。,

点尸、0即为所求

【分析】(D根据勾股定理计算即可；

(II)构造边长为5的菱形4BKD,得到射线BD为N4BC的平分线，再构造△CEF三△CAB,作直线CF交BD

于尸，交48于。，再作点尸关于直线BC的对称点J,连接P/交于点。，点尸、0即为所求；

【详解】解：(I)AB=V32+42=5；

(II)如图所示，构造边长为5的菱形48KD,得到射线BD为N28C的平分线，再构造三△C4B,作

直线CF交BD于P,交于Q，，再作点P关于直线BC的对称点J,连接P/交BC于点°,点尸、。即为所求；

【点睛】本题考查作图一应用与设计，勾股定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、轴对称、

垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于

中考填空题中的压轴题.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题8分）

解不等式组就一榜着；%,

请按下列步骤完成解答:

（1）解不等式①，得;

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

________I_______।_______।_______।_______।_______।_______।________,

-3-2-10123

(4)原不等式组的解集为.

【答案】(1)x2—2

(2)x>2

(3),4,,,X,,二

-3-2-10123

（4）x>2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

【详解】（1）解：解不等式①，得为2—2；

（2）解不等式②，得刀>2；

(3)

(4)原不等式组的解集为x>2.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

20.(本小题8分)

寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票

房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20

名观众对电影评价评分(十分制)进行收集、整理、描述、分析.所有观众的评分均高于8分(电影评分

用x表示，共分成四组：A.8<x<8.5；B.8.5<x<9；C.9<x<9.5；D.9.5<x<10),下面给出了部

分信息：

上午20名学生的评价评分为：8.1,8.7,8.9,9,9,9.2,9.2,9.4,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.7,9.7,

9.8,9.9,10,10,10.

下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1,9.2,9.3,9.3,9.3,9.3,9,4,9.4.

上下午所抽观众的评价评分统计表下。际怙工£力.8。讦也7丽形喷“网

上午下午

平均数9.49.4

中位数9.4b

众数a9.3

(1)上述图表中□=，b=,m=；

(2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由(写

出一条理由即可)；

(3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特

别优秀(x>9)的观众人数一共是多少？

【答案】⑴9.4,9.35,40

(2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析

(3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人

【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体.

(1)根据中位数，众数的定义，即可求出a和6的值，先求出下午。组的人数所占百分比，即可求出机的

值；

(2)根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论；

(3)将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可.

【详解】(1)解：••・上午的数据中，9.4出现4次，出现次数最多，

■■-a=9.4；

54

而=15%，

20x(15%+5%)=4,

•••15%+5%<50%<15%+5%+40%,

・•・下午的中位数在。组，

1-15%-5%-40%=40%,

：.m=40，

故答案为：9.4,9,35,40.

(2)解：•••上午的平均数，中位数，众数均高于下午，

••・上午观众时间段的观众对电影的评分较高.

1C

(3)解：800x—+600x(40%+40%)1080(人)，

答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人.

21.已知四边形ABCD内接于。。，AB为。。的直径，^BCD=148°,

图①图②

(1)如图①，若E为48上一点，延长DE交O。于点尸，连接4P,求乙4PD的大小;

(2)如图②，过点/作。。的切线，与。。的延长线交于点尸，求乙4PD的大小.

【答案】(1)乙4PD=58°

(2)Z4PD=26°

【分析】(1)连接B。，由四边形力BCD内接于O。，得到434。=32。，由于AB为。。的直径，则

ABDA=90°,贝！UABD=58。，再由圆周角定理即可求解；

(2)连接/D,由。4=。。，得到乙4。。==32。，由圆的切线性质得到NP力。=90。，那么

Z.PAD=APAO+AOAD=122°,再由三角形内角和定理即可求解.

【详解】(1)解：连接BO,

四边形力BCD内接于。0,

:.乙BCD+ABAD=180°,

乙BCD=148°,

•••ABAD=32°,

,MB为。。的直径,

•••ABDA=90°,

•­•/.BAD+4ABD=90°,

•••^ABD=58°,

•••/.APD=/.ABD=58°；

(2)解：连接AD,

由(1)知乙-4。=32°,

v0A—0D,

・••乙40。=A.0AD=32°,

•••。尸切。。于/,

・•・0AVPA,

・•・乙PA0=90°,

・•・APAD=APA0+Z.0AD=122°,

•••/.PAD+^ADO+/LAPD=180°,

・•・^APD=26°.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形求度数，圆的切线的性质，等腰三角形的性质等，熟练

掌握知识点是解题的关键.

22.“天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩

天轮客舱中上升到点2位置时，测得。处俯角是36.9。，测得C处俯角是66。，测得/处俯角63.6。，摩天

轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在8处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度.(参考数据:

tan36.9°«0.75,tan63.6°«2.0,tan66°«2.25)

【答案】小宇此时所在8处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米

【分析】过点5作8DLC0的延长线于点X,设。”=万米，解RtABOH得HB=gx米,OB=9米，进而得

rp—X+10

。4=白米，"。=激+10）米，解RtABHC,得2.25,求出x的值即可得出结论.

3J-X

【详解】解：延长C。，过点8作3DLC。的延长线于点X,

在RtABOH中，Z.HBO=36.9°

QLT

设米，贝。=—.

OH=xUtan/HBno

OHxx4山

•••"8=百砺=占需钎砺一米

又HU+BH2=0B2

：.0B=7H02+BH2=J02+*x)2=|万米

,.'OA=OB

・,.。/=声米

又/C=10米

ro

：.HC=HO+OX+TIC=%++10=-%+10

在RtACBH中，

HD

^x+10o

-—X=tan66=2.25

3

解得，%=30

.-.HO=30米，4。=|x30=50米

：.HC=30+|x30+10=90米，即B处距离地面高度为90米,

此时，摩天轮最高点距离地面的高度为：24。+力C=2x50+10=110米，

所以，小宇此时所在8处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米

【点睛】本题主要考查了解直角三角形一-仰角和俯角，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

23.（本小题10分）

周末，小明从家里出发，匀速走了7分钟到小吃店；在小吃店停留16分钟吃早餐后，匀速走了5分钟到图

书馆：在图书馆停留30分钟借书后，匀速走了10分钟返回家里如图的图象反映了这个过程中小明离家的

⑴填表:

离开家的时间（分钟）723285868

离家的路程（米）700700

⑵填空：

小吃店到图书馆的路程为米

小明从家到小吃店的速度为米/分钟；

小明从小吃店到图书馆的速度为米/分钟；

（3）求小明从图书馆返家这个过程中y（米）与x（分钟）之间的关系式；若小明离家的路程为600m时,

那么他离开家的时间为多少分钟？

【答案】（1）见解析

（2）300；100；60

（3）y=—100X+6800,小明离家的路程为600"?时，那么他离开家的时间为6分钟或62分钟

【分析】（1）根据函数图象填表即可；

（2）根据函数图象求解即可；

（3）利用待定系数求出y与x之间的关系式，然后把y=600代入求出尤的值即可得到答案.

【详解】（1）解：由函数图象可填表如下：

离开家的时间（分钟）723285868

离家的路程（米）700700100010000

（2）解：由函数图象可知小吃店到图书馆的路程为1000-700=300米

小明从家到小吃店的速度为700+7=100米/分钟；

小明从小吃店到图书馆的速度为300+（28-23）=60米/分钟；

故答案为:300；100；60；

（3）解：设当58<%<68时，y=k2x+b2,

[58七+力2=1000

"68k2+b2=0'

（k，2=—100

**th2=6800，

•••小明从图书馆返家这个过程中y与尤之间的关系式y=—100%+6800；

.•.当y=600时，x=6或x=62

•••小明离家的路程为600m时，那么他离开家的时间为6分钟或62分钟.

【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，解题的关键在于能够读懂函数图象.

23.（本小题10分）

如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0,4）,M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针

方向旋转90。得到点C,过点C作x轴的垂线，垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,连

接AC,BC,设点A的横坐标为t.

（I）当t=2时，求点M的坐标；

（II）设ABCE的面积为S,当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值

范围；

Q

【答案】(1)(1,2)；(2)S=/+8(0<t<8)；(3)当t=0时，BC+AC有最小值

【详解】试题分析：(/)过胡作9于G,分别求0G和MG的长即可；

-1

(II)如图1,同理可求得NG和OG的长，证明A4MG三得：AG=CF=~t,AF=MG=2,分别表示EC

和BE的长，代入面积公式可求得S与f的关系式；并求其f的取值范围；

(〃7)证明根据勾股定理表示/C和的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当Z=0

时，值最小.

试题解析：解：(/)如图1,过河作尸于G,，此引。以当仁2时，CM=2.是45的中点，；.G

-1-11

是/O的中点，.•.OG=^M=1,MG是A4O8的中位线，.•.K弓08=5x4=2,(1,2)；

(〃)如图1,同理得：OG=AG=^t.■■■ABAC=90°,：.^BAO+ACAF=90°.-：/-CAF+^ACF=9Q°,

11

.ZBAO=，4CF.-AMGA=^AFC=90°,MA=AC,.-.AAMG^ACAF,：.AG=CF=-t,AF=MG=2,-.EC=4-

BE=OF=t+2,:.SABCE^EGBE当(4-却G+2)=++|什4；

2

SAABC^AB-AC=1«V16+t2.1vi6+t^t+4,.■.S=SABEC+SA4BC^：t+8.

ZZZ4Z

-1

当/与O重合，C与尸重合，如图2,此时片0,当。与£重合时，如图3,AG=EF,即~t=4,a8,

与，之间的函数关系式为：S-Z+8(0</<8)；

ARORA1

(〃/)如图1,易得AABOsACAF,=2,.-.AF=2,CF；,由勾股定理得：AC=y/AF^+CF^=

ACAFFC2

,BC=y/BE2+EC2=J(t+2)2+2=^5(|t2+4),:.BC+AC=(V5

+1)Jit24-4,•••当仁0时，3C+/C有最小值.

图1图2

点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转)、

三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，

属于中考压轴题.

24.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=%2+bx+2(b为常数)经过点(3,-1),点4的坐标为(瓶而一1),过点4

作力Blx轴交抛物线于点B,点C为抛物线对称轴上一点，且4CI比轴，连接8C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当03%W5时，y的取值范围是；

(3)4、B两点之间的距离为d,当&=今时，求小的值；

(4)已知点P的坐标为(1,0),当直线2P将△4BC的面积分成1:2两部分且小>0时，直接写出租的值.

【答案】(l)y=/—4x+2

(2)-2<y<7

(3)m=乎或手或:

(4)m=2或4或当豆

【分析】(1)将点(3,—1)代入抛物线丫=必+"+2,利用待定系数法求解即可；

(2)首先确定该抛物线的对称轴和顶点坐标，然后结合二次函数的图像与性质求解即可；

(3)结合点2的坐标，可知点4为直线y=刀一1上一点，则点—47n+2),根据题意建立关于m的一

元二次方程，求解即可获得答案；

(4)首先确定点P(1,0)在直线y=x—1上，设直线4P与y轴交于点Q,并确定其坐标，当点4在抛物线对

称轴右侧时，若点4在点B下方，此时直线力P无法将△力BC的面积分成1:2两部分；若点2在点B上方，设

交支轴于点M,4P交BC于点K,过点K作KG14C,KH1AB,垂足分别为G,H,证明KG=KH,根据题意

可得爱受=等=?或产=*=2,即可建立关于6的一元二次方程并求解.当点2在抛物线对称轴左侧时，

AB2b^ABKAB

若点4在点B上方，易得直线4P无法将△2BC的面积分成1:2两部分；若点4在点8下方，同理可得料型=*

,△ABK

=：或受空=需=2,建立关于血的一元二次方程并求解，即可获得答案.

2、AABKAB

【详解】(1)解：将点(3,—1)代入抛物线y=/+法+2,

可得—1=32+36+2,解得b=-4,

该抛物线的函数表达式为y=%2—4%+2；

(2)•••该抛物线的函数表达式y=/—4x+2=(万一2尸一2,

二该抛物线的对称轴为x=2,其顶点坐标为(2,-2),

•••0<2<5,

••・当0WxW5时，y的最小值为—2,

••・该抛物线有a=1>0,

•••该抛物线开口向上，

Xv|0-2|=2<|5-2|=3,

...当x=5时，可有y=52—4x5+2=7,此时y在。<x<5范围内取最大值,

.•.当0W比W5时，y的取值范围是一2WyW7.

故答案为：-2WyW7；

(3)•.