安徽省宿州市萧县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

萧县2023-2024学年度第二学期期中质量检测八年级数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每题4分，共40分）

1.有下列数学表达式：①3>0；②4x+5>0；③x=3；④f+x；⑤x+2<x+l,其中是不等式的有

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形

又是中心对称图形的是（）

X有害垃圾B,^可回收物

C.」\厨余垃圾D.其他垃圾

3.如图，将绕点。顺时针方向旋转43。得V4C"，若则N8/C等于（)

C.47°D.50°

4.下列命题的逆命题成立的是（）.

A.全等三角形的对应角相等

B.若三角形的三边满足/+〃=°2,则该三角形是直角三角形

C.对顶角相等

D,同位角互补，两直线平行

x+2>0

5.把不等式组.八的解集表示在数轴上，正确的是（）

x-2<0

B.

-3-2-101-3-2-1012

1

c.D.

-J—..——।—।—।—E-Z

-3-2-1012-3-2-1012

6.已知：如图，AABC.

求证：在“BC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.

下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:

①.•.N/+NB+NC>180。，这与“三角形内角和等于180。”相矛盾.

②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.

如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.

③假设“BC有两个（或三个）直角，不妨设NZ=/B=90°.

@VN4+/5=180°,

这四个步骤正确的顺序应是（）

A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②

7.如图，A/BC中，ZB=2ZC,/£>是高，BD=2,CD=7,则45长为（）

C.6D.7

8.亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，亚运会结束后，

商店准备将这批服装降价处理，打龙折出售，使得每件衣服的利润不低于5%,根据题意可列出来的不等式

为（）

A.300%-200>200x5%B.x

10

V

C.300.--200>300x5%D.300x>200x(1+5%)

10

3x-m>0

9.若关于x的不等式<,「的整数解共有4个，则机的取值范围是（）.

x-l<5

A.6<m<9B.6<m<9C.6<加<9D.6<m<9

2

10.如图，RD是AZ8C的角平分线，BA^BC=10,ZC=12,DE//BC,P,。分别是AD和BC上

的任意一点，连接PN,PC,PQ,AQ,给出下列结论：

①尸C+PQ2AQ；

②AE+DE=BC；

24

③PC+尸。的最小值是不；

④若PA平分NBAC,则A4PD的面积为9.

其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

11.不等式x+5>0的解集是.

12.如图，将A45c沿方向平移2cm得到AD£E，若的周长为16cm,则四边形/朋0的周

长为.

13.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在N/05上，两把直尺的接触点为C,边。4与其中一把

直尺边缘的交点为D,点D、。在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、4cm,则OD的长度是cm.

3

14.如图，。是等边AZ8C外一点，40=3,CD=2,则RD的最大值是，此时AZ8C的面积为

A

三、解答题（本大题共2小题，第15题5分，第16题7分，共12分）

15.解不等式，并把解集表示在数轴上：3x-1N2X+1.

4x+6<3x+7

16.解不等式组<2x+l

-----<1+x

[3

四、解答题（本大题共2小题，第17题6分，第18题12分，共18分）

17.电信部门要修建一座电视信号发射塔尸，按照设计要求，发射塔尸到两城镇/、2的距离必须相等，到

两条高速公路加和〃的距离也必须相等.请在图中作出发射塔尸的位置.（尺规作图，不写作法，保留作图

（2）平移△A8C,若点/的对应点色的坐标为（-5,-2）；则点3的对应点坐标是

4

（3）将△/2C以点。为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出点A对应点的坐标

（4）若将△4SG绕某一点旋转可以得到△也32c2,请直接写出旋转中心的坐标为.

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.如图，在和△QC8中，NN=ND=90°,=ZC与5。交于点E，过点E作

于点F.

(1)求证：AC=BD；

(2)求证：BF=CF.

20.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔

记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买

一本乙种笔记本多花费5元.

（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元?

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶

上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价

的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多需要购买多少本甲种

笔记本？

六、解答题（本题满分12分）

2x-y=l+2a

21.已知关于x、y的方程组＜

x+4y=2+a

（1）若此方程组的解满足-l＜x+y43,求〃的取值范围;

（2）在（1）的条件下，若关于加的不等式2〃冽一加＞2〃-1的解集为加＜1，求满足条件的。的整

数值.

七、解答题（本题满分13分）

22.如图，直线4的解析式为y=2x-2,直线4与x轴交于点。，直线£y=Ax+b与x轴交于点A,

且经过点8,直线k，6交于点C（m,2）.

5

(1)求加的值；

(2)求直线，2的解析式;

(3)根据图象，直接写出Ax+6<2x—2的解集.

八、解答题(本题满分15分)

23.△A8C和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE.

图2

(1)【观察猜想】当△A3C和△OEC按如图1所示的位置摆放，连接3D、AE,延长3。交/E于点R猜

想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系.

(2)【探究证明】如图2,将△OCE绕着点。顺时针旋转一定角度a(0°<&<90。)，线段助和线段/£

的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由.

(3)【拓展应用】如图3,在△NCD中，/4DC=45°,CD=g，40=4,将/C绕着点C逆时针旋

转90°至BC,连接3D,求8。的长.

6

萧县2023-2024学年度第二学期期中质量检测八年级数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每题4分，共40分）

1.有下列数学表达式：①3>0；②4x+5>0；③x=3；④f+x；⑤x+2<x+l,其中是不等式的有

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确把握不等式的定义：用不等号表示不等关系的式了叫不等式

是解题关键.

直接利用不等式的定义判定即可得出答案.

【详解】解：③x=3是等式不是不等式，④V+x是整式不是不等式；

@3>0；②4x+5>0；⑤x+2<x+l,共有3个是不等式.

故选：B.

2.数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形

又是中心对称图形的是（）

A.）〈有害垃圾

B.可回收物

D.其他垃圾

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【详解】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意;

B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

7

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.如图，将绕点C顺时针方向旋转43°得VHC®,若ZCL48',则/氏4c等于（）

A.43°B,45°C,47°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.先利用旋转的性质得到//以'=43°,44=44',则根据NC，/5,

利用直角三角形两锐角互余可计算出ZA'=47°，从而得到ZBAC的度数.

【详解】解：；绕点C顺时针方向旋转43°得到VHC8',

NACA'=43°,N4=ZA',

'：ACIA'B',

4'=90。-43°=47。，

ABAC=47°.

故选：C.

4.下列命题的逆命题成立的是（）.

A,全等三角形的对应角相等

B.若三角形的三边满足/+〃=°2,则该三角形是直角三角形

C.对顶角相等

D.同位角互补，两直线平行

【答案】B

【解析】

【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行

线的性质进行判断即可.

【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；

B、若三角形的三边满足/+〃=o2,则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三

边，则满足/+人2=02,此逆命题为真命题；

8

C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；

D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题等知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误

的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.

x+2>0

5.把不等式组〈°八的解集表示在数轴上，正确的是（）

x-2<0

【答案】D

【解析】

6.已知：如图，AABC.

求证：在一5。中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.

下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①.••N/+N5+NC>180°,这与“三角形内角和等于180。”相矛盾.

②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.

...如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.

③假设“5。有两个（或三个）直角，不妨设NZ=48=90°.

@VZ4+Z5=180°,

这四个步骤正确的顺序应是（）

A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到

9

4+4=180。，进而得到N/+/5+NC>180。，这与''三角形内角和等于180。”相矛盾，则假设不成

立，据此可得答案.

【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，

故选D.

7.如图，A/BC中，ZS=2ZC,4D是高，BD=2,CD=7,则48长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E,使

BD=DE=2,由4015。，得出4B=ZE，NZE8=N8三角形的外角性质定理得出

ZAEB=ZC+ZEAC,进一步得出NC=NEZC,AE=CE=5,即可求出48的值.

【详解】解：在CD上取一点£,使BD=DE=2,

,/0)=7,

:.CE=5,

,/AD1BC,

/.AB=AE，

NAEB=ZB,

•1,ZAEB=ZC+ZEAC,

又N8=2NC,

ZC=ZEAC,

AE=CE=5,

AB=5,

故选：B.

10

8.亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，亚运会结束后，

商店准备将这批服装降价处理，打龙折出售，使得每件衣服的利润不低于5%,根据题意可列出来的不等式

为（）

Y

A.300%-200>200x5%B.300---200>200x5%

10

Y

C.300.--200>300x5%D.300x>200x(1+5%)

10

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用.设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于5%”

即可列出不等式.

【详解】解：按标价打x折出售，根据题意，得

V

300---200>200x5%.

10

故选：B.

3x-m>Q

9.若关于x的不等式<,「的整数解共有4个，则机的取值范围是（）.

x-l<5

A.6<m<9B.6<m<9C.6<加<9D.6<m<9

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出3x-加>0和x—1K5两个不等式的解集，解得x>—,x<6,根据xW6判断出原不

3

等式组的四个整数解为6,5,4，3,再来判断加的取值范围即可.

3x-m>0

【详解】解：原不等式组为<,u,

x-l<5

解不等式3x-加>0,得X〉一,

3

解不等式X—1W5,得x46,

•・•原不等式组有四个整数解，

・•・原不等式组的整数解为6,5,4,3,

/.2<—<3,

3

/.6<m<9.

11

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据整数解的个数来判断加的取值范围是解题的关键.

10.如图，AD是“BC的角平分线，髭4=BC=10,AC=12,DE//BC,P,。分别是AD和5C上

的任意一点，连接PZ,PC,PQ,AQ,给出下列结论：

①尸C+PQ2/。；

②AE+DE=BC；

24

③PC+00的最小值是不；

④若PA平分NBAC,则"PD的面积为9.

其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】①根据等腰三角形的性质得出8D垂直平分/C,得出4P=PC,根据三角形三边关系即可得出

结论；

②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰二角形的性质，证明NED8=NEAD,ZADE=ZBAD,

得出£B=£D,EA=ED,即可得出结论；

③过点/作N/LBC于点当点P在2/与AD交点上时，AP+PQ=AM,此时4P+P0最小，且

最小值为AM,根据等积法求出AM即可；

S,pnAD63

④过点尸作尸N,48于点N,得出PN=P。，求出=F==即可求出结果.

、&APB105

【详解】解：BA=BC=1Q,8。是一BC的角平分线，

BDJ_AC,AD-CD——AC-6,

2

・,・AD垂直平分4C,

12

AP=PC,

：.PC+PQ=AP+PQ,

,：AP+PQ>AQ,

：.PC+PQ>AQ,故①正确；

②•：DE〃BC,

ZEDB=ZDBC,ZADE=ZACB,

•••AD是"BC的角平分线，

ZEBD=ZDBC,

ZEDB=ZEBD,

；•EB=ED，

■：AB=BC,

：.ABAC=ZACB,

ZADE=ZACB,

，NADE=ABAD,

/.EA=ED,

AE=DE=BE=-AB=-BC,

22

AAE+DE=BC,故②正确；

③根据解析①可知，PC+PQ^AP+PQ,

：.当ZP+尸0最小时，PC+PQ最小,

过点/作于点如图所示：

当点尸在//与AD交点上时，AP+PQ=AM,且最小值为

•/BD平分NABC,

：.BDLAC,,

13

BD=>/AB2-AD2=8，

•：S=-ACxBD=-BCxAM,

22

ACxBD12x848

AM=--------=-----=—,

BC105

48

即PC+PQ的最小值是y,故③错误；

④过点尸作7WJ_AB于点N,如图所示:

；P4平分NB4C,PD1AC,

：.PN=PD,

.S^APD_4D=6=3

••二一茄一布-丁

,S&APD+S&APB=S4/BQ=5*6*8=24，

,33

S=-----xS=—x24=9,故④正确；

△ZAL2PD53AAADBDDg

综上分析可知，正确的有①②④.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的

性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

11.不等式x+5>0的解集是.

【答案】x>—5

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可解答；掌握不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号符号不变是解题

的关键.

【详解】解：x+5>0,

x+5—5>0—5

14

x>—5.

故答案为：x>-5.

12.如图，将AA8C沿5c方向平移2cm得到力£/，若445C的周长为16cm,则四边形/5阳的周

长为.

【答案】20cm##20厘米

【解析】

【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与

原图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是

对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.先根据平移的性质得到CF=/D=2cm,AC=DF,而

AB+BC+AC=16cm,则四边形如自。的周长=/B+BC+C7+£>尸+/。，然后利用整体代入的方

法计算即可.

【详解】解：；A&BC沿BC方向平移2cm得至IJQEF,

CF=AD=2cm,AC=DF,

•.•△48C的周长为16cm,

AB+BC+AC=16cm,

，四边形/跖。的周长=/B+BC+C尸+£>9+/£>

^AB+BC+AC+CF+AD

=16+2+2

=20(cm).

故答案为：20cm

13.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在N/08上，两把直尺的接触点为C,边04与其中一把

直尺边缘的交点为。，点。、。在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、4cm,则OD的长度是cm.

15

【答案】2.1

【解析】

【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边；

过C作。VL08于N,由角平分线性质定理的逆定理推出C。平分得到NCOQ=NNOC,

由平行线的性质推出NDCO=NNOC,得到NCOD=NDCO,因此0。=CD,由

PC=4-1.9=2.1(cm),即可得到0D的长度是2.1cm.

【详解】解：过。作CN_L05于N,

由题意得：CM=CN,

■：CMLOA,

:.CO平分N40B,

NCOD=NNOC,

•/DC//OB,

NDCO=NNOC,

NCOD=NDCO,

:.0D=DC,

•.•£»、。在这把直尺上的刻度读数分别是1.9、4,

r>C=4-1.9=2.1(cm),

16

:.0D的长度是2.1cm.

故答案为：2.1cm.

14.如图，。是等边外一点，40=3,CD=2,则RD的最大值是，此时的面积为.

A

【解析】

【分析】以3为边作等边△DCE,连接NE.利用全等三角形的性质证明助=/£,利用三角形的三

边关系即可解决问题；当8。取最大值时，则点N、D、£三点共线，过点/作4FLCE,交CE延长线

于尸，过点3作8GLZC于G,利用等边三角形性质和勾股定理求出ZC、BG长，然后利用三我面积公

式求解即可.

【详解】解：以3为边作等边△QCE,连接

•;BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

ZBCD=ZACE,

在ASCD和A4CE中，

BC=AC

</BCD=NACE

CD=CE

:.ABCD学AACE(SAS),

BD=AE，

在V4DE中，

DE=CD=2,

AE<AD+DE，

AE<5,

17

当点/、D、E三点共线时，AE最大,

AE的最大值为5,

.•.3。的最大值为5.

当AD取最大值时，则点/、D、£三点共线，如图,

过点/作/ELCE,交CE延长线于尸，过点B作8GLZC于G,

,:等边ADCE，

：.ZAEF=60°,CE=CD=2,

：.ZEAF=30°,

EF=—AE=—x5=—,

222

FC=EF-CE=~,

2

由勾股定理，得AF=dAE。-EF?=）百

2

AC=yjAF2+CF2=V19

:等边AABC,BGLAC

BC=AC=J19，CG=-AC='

22

BG=^BC2~CG2=晅

2

S加=-ACBG=-XV19X晅=—V3

c2224

故答案为：5;-yV3.

4

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理.求得当AD

取最大值时，则点/、D、E三点共线是解题的关键.

三、解答题（本大题共2小题，第15题5分，第16题7分，共12分）

15.解不等式，并把解集表示在数轴上：3x-122x+l.

【答案】x>2,解集表示在数轴上见解析

【解析】

18

【分析】本题主要考查解一元一次不等式，把解集表示在数轴上.

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得；再把解集在数轴上表示出来即可.

【详解】解：3x—122x+l

移项，得：3x—2x21+1,

合并同类项，得：x>2,

将解集表示在数轴上如下：

-1012345

4x+6<3x+7

16.解不等式组,2x+l,

<1+x

【答案】—2<xKl

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再

求出这些解集的公共部分.

分别解两个不等式得到x<l和x>-2,则利用大小小大中间找得到不等式组的解集即可.

4x+6V3x+7①

【详解】解：\2x+l_，

<1+x②

解不等式①得

解不等式②得x>-2,

所以原不等式组的解集为-2<x<1.

四、解答题（本大题共2小题，第17题6分，第18题12分，共18分）

17.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔尸到两城镇/、8的距离必须相等，到

两条高速公路〃，和”的距离也必须相等.请在图中作出发射塔尸的位置.（尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹）

【答案】见解析

19

【解析】

【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，P点既在线段4B的垂直平分线

上，又在两条公路所夹角的平分线上.得到两线交点即为发射塔尸的位置是解决问题的关键.

【详解】解：设两条公路相交于。点.P为线段48的垂直平分线与NMON的平分线交点或是与NQON

如图，满足条件的点有两个，即P、P'.

(3)将△/2C以点。为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出点A对应点的坐标

(4)若将△NiSG绕某一点旋转可以得到32c2,请直接写出旋转中心的坐标为

【答案】(1)见解析(2)(-3,0)

⑶(2,3)(4)(-1,-2)

【解析】

【分析】(1)根据题意作图即可；

20

（2）先根据点/（-3,2）经过平移后得到点4（-5,-2）,得到△/BC的平移方式为向左平移2个单位长

度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；

（3）先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；

（4）先得至U4（3,-2）,4（-5,—2）,G（0，—2）,。2（-2,—2）,再由旋转中心在线段44和线段G02

的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为（-1,-2）.

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求；

A【小问2详解】

x

解：•.,点/（-3,2）经过平移后得到点4（-5,-2）,

：.^ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，

:•点B（-1,4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度的对应点坐标为（-3,0）,

故答案为：（-3,0）；

【小问3详解】

解：如图所示，△4HC'是△N8C绕原点。顺时针旋转90度后的图形，

...点N对应点的坐标为（2,3）；

故答案为：（2,3）；

21

解：如图所示，4(3,—2),4(-5,-2),G(0，—2),C2(-2,-2),

..•旋转中心在线段44和线段GG的垂直平分线上,

，旋转中心的坐标为（-1,-2）.

故答案为：（-1,-2）.

【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确

定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识.

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.如图，在和△DC8中，N4=ND=90°,4B=CD,4C与BD交于点E,过点、E作EFJ.BC

于点尸.

22

(1)求证：AC=BD；

(2)求证：BF=CF.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与

性质，证明三角形全等是解题的关键.

(1)证RtA48C2RtADC8(HL),即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得=,则8E=CE,再由等腰三角形的性质得出结论.

【小问1详解】

证明：在RtA48C和RSOCS中，

BC=CB

'AB=DC'

RtA74SC^RtAr>CS(HL),

AC=BD；

【小问2详解】

证明：由(1)得RtA48C@RtA£>C3,

ZACB=ZDBC,

BE=CE,

是等腰三角形，

又；EFLBC,

BF=CF.

20.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔

记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买

一本乙种笔记本多花费5元.

(1)求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？

(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶

上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价

的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多需要购买多少本甲种

笔记本？

【答案】(1)一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元；

23

（2）至多需要购买21本甲种笔记本.

【解析】

【分析】（1）设购买一本甲种笔记本尤元，一本乙种笔记本了元，根据题意，列出方程组，解方程组即可

求解；

（2）设需要购买加本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解；

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一元一次

不等式是解题的关键.

【小问1详解】

解：设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本了元，

15x+20v=250

根据题意得《

x-v=7

x=10

解得《

b=5

答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元;

【小问2详解】

解：设需要购买加本甲种笔记本,

根据题意得：（10—2）加+5X80%（35-m）＜225,

解得加＜214,

4

...加取最大整数为21,

答：至多需要购买21本甲种笔记本.

六、解答题（本题满分12分）

2x-y=l+2a

21.已知关于x、y的方程组＜

x+4y=2+a

（1）若此方程组的解满足-l＜x+yV3,求。的取值范围;

（2）在（1）的条件下，若关于加的不等式2〃冽一冽＞2〃-1的解集为加＜1，求满足条件的。的整

数值.

【答案】⑴-2＜a＜2

（2）-1、0

【解析】

24

【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式;

(1)根据-l<x+V43列出关于。的不等式，可解得。的范围;

(2)结合(1),由〃为整数，可得。的值.

【小问1详解】

2x-y=1+2。①

x+4j=2+。②

①+②得：3x+3y=3+3。，

x+y=l+a,

v-l<x+j/<3,

/.—1<1+〃W3f

解得-2<a<2；

【小问2详解】

•.•关于加的不等式2〃加一〃2〉2a—1的解集为加<1，

2a—1<0,

1

a<一,

2

,：-2<a<2,

.1

—2<Q<一,

2

.•・满足条件的。的整数值是-1、0.

七、解答题(本题满分13分)

22.如图，直线6的解析式为y=2x-2,直线4与x轴交于点。，直线七>=Ax+b与x轴交于点A,

且经过点8,直线4，4交于点C(m,2),

(1)求加的值；

(2)求直线4的解析式;

25

（3）根据图象，直接写出Ax+6<2x—2的解集.

【答案】（1）加=2；

（2）直线6的解析式为V=-》+4；

（3）解集为x»2.

【解析】

【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次

方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点.

（1）把点C的坐标代入直线4的解析式即可求出m