2025年中考数学热点题型：动点问题（含答案）

2025年中卷数学热点题型:就点问题

目录

类型一动点问题的函数图象.......................................................2

类型二动点问题的函数关系.......................................................4

类型三动点与全等三角册或相似三角形的存在性.....................................6

类型四等腰三角舫的存在性.......................................................7

类型五动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性.................................8

类型六动点与最值问题..........................................................10

类型七求动点所经过的珞径长....................................................11

2024中考真题动点问题精炼......................................................12

类型一动点问题的函数图象

1.（2024-昆山市一模）如图①，点4、口是。。上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针

方向匀速运动到点A,运动时间是c（s），线段AP的长度是灰cm）.图②是,随力变化的关系图象，则

gl14

A.着B.4V2C.5D.号

/O

【举一反三演练】

2.（2024秋•宜兴市月考）如图①，8。是菱形4BCD的对角线，4D<8。,动点P从菱形的某个顶点出

发,沿相邻的两条线段以lcm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的长g（cm）随时间

t（s）变化的函数图象如图②所示，则菱形/BCD的周长为（）

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

3.（2024秋•工业园区月考）如图1,在菱形4BCD中，60°,连接BD,点河从B出发沿石。方向

以V3cm/s的速度运动至。，同时点N从8出发沿8c方向以1cm久的速度运动至C,设运动时间为

t（s）,的面积为夕（cn?）.4与比的函数图象如图2所示,则菱形ABCD的边长为（）

A.2V2cmB.4V2cmC.4cmD.8cm

4.（2024秋・江阴市期末）如图，放△ABC中，ZC=90°,5,AC=4,。是边AC上一动点（不与

•••

A,。两点重合），沿A-C的路径移动，过点。作ED，AC,交于点瓦将ZVIDE沿直线DE折叠

得到△40E.若设AD=x,/\A'DE与△ABC重叠部分的面积为9，则下列图象能大致反映"与必之

间函数关系的是（）

Bz

5.（2024秋・崇川区月考）如图1,在菱形483中，对角线4。，8。父于点0,/水汨=60°,AM=AN

=!AB=1,点P沿AD从点B匀速运动到点D.设点P的运动时间为①，PM+PN="，图2是点

P运动时夕随步变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（）

A.2V3B.yC.V7D.3

6.（2025春•南通月考）如图1,等腰中，/C=90°,AB=4,点。从点B出发，沿8-C-8方向

运动，0E，AB于点E,ADEB的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线

的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（）

c

A.函数图象上点的横坐标表示Z汨的长

B.当点。为的中点时，点E为线段A8的三等分点

C.两段抛物线的开口大小不一样

D.图象上点的横坐标为3时，纵坐标为目

类型二动点问题的函数关系

7.（2025春•南通月考）如图1,正方形ABCD的边长为2方，对角线/。，8。交于点。，点P从点A出

发,沿线段AO-OB运动，点P到达点B时停止运动.若点P运动的路程为T,/\DPC的面积为y,

探究？/与①的函数关系.

（1）1与9的两组对应值如表，则m=；

X0m(mW0)

ynn

（2）当点P在线段AO上运动时，“关于力的函数解析式为y=-x+4（0W刀＜2）.当点P在线段OB

上运动时，U关于比的函数解析式为，此时，自变量的取值范围是

（3）①在图2中画出函数图象;

②若直线y=~x+b与此函数图象只有一个公共点,则b的取值范围是

5---1---r--1---r

4—:---”一：一一：

2………-……--+

1

A1B

012345%

图1图2

•••

【举一反三演练】

8.（2025春•东台市月考）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边49在①轴上,点A在原点，AB

=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿c轴正方向做匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1

个单位长度沿A-B-C-D的路线做匀速运动.当P点运动到。点时停止运动，矩形也随

之停止运动.

（1）求P点从A点运动到。点所需的时间；

（2）设P点运动时间为力（秒）.

①当£=5时,求出点P的坐标；

②若△OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）.

类型三动点与全等三角形或相似三角形的存在性

9.（2024秋・梁溪区月考）已知48=10,47=6,口。=8,其中NC4B=/DBA=a，点P以每秒2个单

位长度的速度，沿着C-4-B路径运动.同时，点Q以每秒①个单位长度的速度，沿着0-B/

路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为t秒.

①若①=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；

②当P、Q两点同时到达4点时，*=6；

③若a—90°，1=5,①=1时，PC与PQ垂直；

④若△ACP与"PQ全等，则刀=0.8或告.

以上说法正确的选项为（）

A.①③B.①②③C.①②④D.①②③④

【举一反三演练】

10.（2023春•莱州市期末）△ABC中，AB=AC,ABAC=90°,P为上的动点，小慧拿含45°角的透明

三角板，使45°角的顶点落在点尸，三角板可绕尸点旋转.

（1）如图a,当三角板的两边分别交48、AC于点E、尸时.求证：〜△CFP；

（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交A4的延长线、边/。于点E、斤.

与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

（3）在（2）的条件下，连接班，△跳汨与△FFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时,

与△PFE相似？说明理由.

类型四等腰三角形的存在性

11.（2024秋・高邮市期中）如图，已知△ABC中，/_B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边

上的两个动点，其中点N从点A开始沿方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B-C

一人方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发,设运动的时间为ts.

⑴出发2s后，求MN的长；

（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？

（3）当点双在边GA上运动时,求能使成为等腰三角形的t的值.

•M

类型五动点与平行四边册及特殊平行四边册的存在性

12.（2025春•盐城月考）如图，在矩形ABC©中，=4cm,BC=8cm,点P从点。出发向点人运动，运

动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点。运动，运动到点C即停止.点P、Q的速度的速度都是

Icm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P、Q运动的时间为t（s）.

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCF的周长和面积.

•M

【举一反三演练】

13.（2024春•镇江期中）如图,在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点尸在4D边上以每秒

1cm的速度从点入向点O运动，点Q在8C边上以每秒2.5cm的速度从点。出发，在间往返运

动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止运动，同时点Q也停止运动.设运动时间为ts,开始运

动以后，当t为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？（）

BQ+C

A.fB.fC拶或平D.坐或半

14.（2025春・高新区月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB〃CD,/BCD=90°,AB=AD=10cm,BC

=8cm.点尸从点人出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点。出发，以每秒

2cm的速度沿线段。。方向向点C运动.已知动点P、Q同时出发，当点Q运动到点。时，P、Q运动

停止，设运动时间为九

⑴求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所

有满足条件的力的值;若不存在,请说明理由.

类型六动点与最值问题

15.（2024秋・沛县期中）如图，在△ABC中，NA=90°,43=6,47=8,BC=10,CD平分/BCA交

AB于点D,点P,Q分别是CD,AC上的动点，连接AP,PQ,则4P+PQ的最小值是（）

A.6B.5C.4.8D.4

【举一反三演练】

16.（2022秋・如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b,点。在上,

连接AD,在AD的右侧作等边△4DE,连接即，则△AEF周长的最小值是（）

17.（2020秋・常州期中）已知0O的半径为2,4为圆上一定点，。为圆上一动点，以AP为边作等腰

Rt/\APG,P点在圆上运动一周的过程中,OG的最大值为.

18.（2023•崇川区三模）如图,边长为a的等边△4BC中，B尸是AC上中线，点。是线段BF上的动点，连

接AD,在AD的右侧作等边△4DE,连接BE,则AE+BE的最小值是（）

C.V5aD.V3a

19.（2023-张家港市模拟）如图，48是。O的直径，点。在。O上，CD，AB,垂足为。，AD=2,^E

是。。上的动点（不与C重合），点歹为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4,则CD的值

A.2V3B.2V2C.3V2D.三

类型七求动点所经过的路径长

20.（2025•淮安一模）如图，A（—1,1）,B（—1,4）,。（一5,4）,点P是△ABC边上一动点，连接OP,以OP

为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ.当点尸在△ABC边上运动一周时，点Q运动的路径长为

21.（2024-东海县模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的

两边上同时滑动、如果Q点从4点出发，沿图中所示方向按人=>8=。3。=>人滑动到人止，同时点

R从B点出发，沿图中所示方向按口滑动到口止，在这个过程中，线段QR的中点

M所经过的路线的长为

22.（2024秋•高邮市月考）如图,在矩形ABCD中，AB=1,AD=",点P在线段8C上从点B出发向

点。运动，同时点Q在线段AD上以相同速度从点。出发向点A运动，过点人作AMA.PQ交直线

PQ于点河,当点P从点B运动到点。的过程中，点河的运动路径长是

2024中考真题动点问题精炼

23.（2024,兰州）如图1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,连接BD,点M从B出发沿8。方向以V3cm/s

的速度运动至。，同时点N从口出发沿方向以lcm/s的速度运动至。，设运动时间为c（s）,

的面积为"（cm?）."与多的函数图象如图2所示,则菱形的边长为（）

24.（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，48=《，6。=1,动点后，尸分别从点A,。同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿AB,CD向终点口，。运动，过点E,尸作直线Z,过点A作直线I的垂线，垂足为

C.2D.1

25.（2024-甘肃）如图1,动点尸从菱形的点A出发，沿边AB-匀速运动，运动到点。时停止.

设点P的运动路程为工，PO的长为沙，沙与土的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，PO

的长为（）

D.2V2

26.（2024-长沙）如图,在菱形ABCD中，48=6,=30°,点E是边上的动点,连接AE,DE，过点

A作人尸，DE于点尸.设。E=*,A尸=",则"与①之间的函数解析式为（不考虑自变量力的取值范

围）（）

B.yD.1

XX

27.（2024•绵阳）如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,连接BE,点H在BE上运动，点G为石尸的中

点，当△AGH的周长最小时，（）

28.（2024-自贡）如图，在中，/B=60°,4B=6cm,BC=12cm.点P从点？1出发，以Icm/s的

速度沿A一。运动，同时点Q从点。出发，以3cm入的速度沿CTBTCT…往复运动，当点P到达

端点。时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

29.（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,尸分别是边AB,口。上的动点，且满足

=BF,人尸与交于点。，点M是DF的中点，G是边AB上的点,AG=2GB,则OAf+^FG的最

小值是（）

AEGB

D.10

30.（2024•乐山）如图，在菱形ABCD中，AABC=60°,AB=1,点P是边上一个动点，在8。延长线

上找一点Q,使得点P和点Q关于点。对称，连结OP、阁交于点河.当点P从口点运动到。点时,

点河的运动路径长为（）

--------彳D

/\M/7

PcQ

A/3

D.V3

3

二.填空题（共8小题）

31.（2024-甘南州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发,按向上，向右，向下，向右的方向不

断地移动，每移动一个单位,得至！J点4（0,1），4（1,1）,4（1,0）,4（2,0）,…那么点A2020的坐标为

A5AA|（）

0A

32.（2024-广东）如图，菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点，点尸是8。上的动点.若4BEF的

面积为4,则图中阴影部分的面积为.

33.（2024-内江）如图，在△4BC中，ZABC=60°,BC=8,E是边上一点，且2,点/是△ABC

的内心，皮的延长线交AC于点。，P是上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为

34.（2024•凉山州）如图，。河的圆心为M（4,0）,半径为2,P是直线9=力+4上的一个动点，过点P作

的切线，切点为Q,则PQ的最小值为.

35.（2024-扬州）如图，已知两条平行线为，点人是。上的定点，L于点点。分别是15上

的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,，CD于点H,则当最大时，

sin/R4H的值为

36.（2024-宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，48=2,4D=4,E、尸分别是边CD、4D上的动点，且

CE=DF.当AB+CF的值最小时，则CE=

37.（2024-宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是边BC、CD上的动点.若/MAN=45°,则

的最小值为

15

DNC

38.（2024-广安）如图，在。ABCD中，48=4,AD=5,乙4BC=30°,点M为直线8c上一动点，则AM

+MD的最小值为.

三.解答题（共6小题）

39.（2024•威海）如图，在菱形ABCD中，48=10cm,AABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE为

一边作ZDEF=60°,EF交射线BC于息F,连接BE,DF.点E从点。出发，沿CA方向以每秒2cm

的速度运动至点人处停止.设的面积为ycn?,点E的运动时间为力秒.

（1）求证：=

（2）求夕与c的函数表达式，并写出自变量力的取值范围；

（3）求T为何值时，线段DF的长度最短.

备用图

•M

40.（2024-黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAR的边08在a;轴上，点人在第一象限，

OA的长度是一元二次方程d—5c—6=0的根，动点P从点。出发以每秒2个单位长度的速度沿折

线04—48运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-BA运动，P、Q两点

同时出发，相遇时停止运动.设运动时间为t秒（0<1<3.6）,/\0。0的面积为$.

（1）求点A的坐标；

（2）求S与力的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当S=时，点朋•在y轴上,坐标平面内是否存在点N,使得以点O、P、M、N

为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标;若不存在，说明理由.

41.（2024-无锡）如图，为半圆O的直径，1,为半圆O的切线，点。为上的一个动点,

连接AC交半圆。于点。，作8M于点屏

（1）当点。关于AC的对称点O'恰好在半圆上时，求8。的长；

（2）设。E=4，CE=n，求y关于x的函数表达式.

•••

42.（2024•兰州）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在

△4BC中，点N分别为AB,AC上的动点（不含端点），且4V

【初步尝试】⑴如图1,当△ABC为等边三角形时，小颜发现:将绕点M逆时针旋转120°得到

MD,连接,则MN=DB,请思考并证明；

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△ABC中，=AC,乙艮4。=

90°,AE±MN于点E,交于点F,将M4绕点/逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想

四边形AFBD的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在△ABC中，4B=AC=4,/R4C=90°,连接

BN,CM,请直接写出目V+CA1的最小值.

•M

43.（2024•吉林）如图，在△ABC中，ZC=90°,/8=30°,AC=3cm,4D是△ABC的角平分线.动点

P从点A出发，以V3cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQHAB,交47于点

Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧.设点P的运动时间为i（s）（t>0）,APQE

与△46。重合部分图形的面积为S（cm2）.

（1）当点P在线段AD上运动时,判断XAPQ的形状（不必证明）,并直接写出狗的长（用含力的代数

式表示）.

（2）当点E与点。重合时，求t的值.

（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量力的取值范围.

44.（2024•河北）已知。。的半径为3,弦M2V=2A4BC中，/ABC=90°,48=3,BC=32.在

平面上，先将△A6C和。。按图1位置摆放（点6与点N重合，点A在。。上，点。在。。内），随后

移动△ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在0O上随之移动.设BN=x.

（1）当点口与点N重合时，求劣弧粉的长；

（2）当OA//时，如图2,求点B到OA的距离，并求此时力的值；

（3）设点。到BC的距离为d.

①当点A在劣弧加上，且过点人的切线与AC垂直时，求d的值；

②直接写出d的最小值.

图1图2备用图

2025年中卷数学热点题型:就点问题

目录

类型一动点问题的函数图象.......................................................2

类型二动点问题的函数关系.......................................................8

类型三动点与全等三角册或相似三角形的存在性....................................12

类型四等腰三角舫的存在性......................................................14

类型五动点与平行四边形及特殊平行四边形的存在性................................16

类型六动点与最值问题..........................................................19

类型七求动点所经过的珞径长....................................................23

2024中考真题动点问题精炼......................................................26

类型一动点问题的函数图象

1.(2024-昆山市一模)如图①，点4、口是。。上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针

方向匀速运动到点A,运动时间是c(s)，线段AP的长度是灰cm).图②是,随力变化的关系图象，则

图中山的值是()

图①图②

9

AB.4V2C.5

2

【思珞引领】从图2看，当2=2时，夕=AP=6,即此时40、P三点共线，则圆的半径为口。=3,当工

=0时，由勾股定理逆定理可知，OA±OB,则点P从点B走到4、O、P三点共线的位置时，此时力=2,走

过的角度为90°,可求出点P运动的速度，当t=时，AP=OA=OB,即△OAP是等边三角形，进而求

解.

【完整解答】解:从图2看，当;r=2时，沙=AP=6,即此时力、O、P三点共线，

则圆的半径为；AP=3,

当力=0时，OB2+O^=AP\

AOAB是直角三角形，且。4_LOB,

则点P从点B走到4O、P三点共线的位置时，如图所示,

图①

此时力=2,走过的角度为90°,则走过的弧长为x2兀xr=

・,•点P的运动速度是4-2=(cm/s),

当力=m，时，4P=04=OB,即是等边三角形，

・・・ZAOF=60°,

・・.ZBOF=360°-90°-60°=210°,

此时点P走过的弧长为：会与X2兀xr=-^~,

3602

._7兀.3兀_14

一馆一5"丁丁一号'•••

故选：D.

【总结提升】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是:弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系.

【举一反三演练】

2.(2024秋•宜兴市月考)如图①，6。是菱形ABC©的对角线，动点P从菱形的某个顶点出

发,沿相邻的两条线段以Icm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的长沙(cm)随时间

t(s)变化的函数图象如图②所示，则菱形ABCD的周长为()

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

【思珞引用□由图②得，P应从点A出发延AB运动到点B,再运动到点。，或从点出发延AD运动到点

。，再运动到点B,设点P应从点A出发延AB运动到点B,再运动到点D,连接AC交BD于点O,根据点

P的位置，求出AC=8cm,AB=acm,BD=a+l(cm),根据菱形性质求出OA=4cm,OB=a~^cm,

再根据勾股定理求出a,即可解答.

【克整解答】解：由图②得，当0〈力时，沙在减小，

当&＜力&2£1+1时，"先变小后变大，

/.判断点P应从点4出发延AB运动到点B,再运动到点D,

或从点4出发延4D运动到点。，再运动到点B,

设点P应从点A出发延AB运动到点B,再运动到点D,

如图，连接AC交BD于点。，

•.•四边形为菱形，

/.AC±BD,OA^OC,OB=OD,

当点P位于点＞1处时，9=8,即AC—8cm,

/.OA=4

当点P位于点B处时，cc=a,即AB=acm,

当点P位于点。处时，re=2a+1,即BD=a+l(cm),

OB=cm,

・・・在Rt^OAB中，0^2+OA2=AB2，即42+)2=。2,

电=5,电=一与(舍去)，

0

:.AB—5cm,

・・・菱形ABCD的周长为5X4=20cm.

故选：C.

【总件提升】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的

解题关键.

3.（2024秋•工业园区月考）如图1,在菱形ABCD中，60°,连接8。,点河从E出发沿8。方向

以V3cm/s的速度运动至。，同时点N从8出发沿8。方向以IcmZs的速度运动至。，设运动时间为

的函数图象如图2所示,则菱形A8CD的边长为（）

A.2V2cmB.4V2cmC.4cmD.8cm

【思庵引蜀（】根据题意可知，BN=a;cm,BM=Vixcm,结合菱形的性质得30°,过点M作A/H

于点〃，则cm,那么9=卓/2；设菱形的边长为&cm,则=cm,那么点M和

点N同时到达点D和点。，此时4BMN的面积达到最大值4V3，利用最大值即可求得/，即可知菱形的边

长a.

【完筌解答J解:根据题意可知，BN—xcm,BM—cm,

・・・四边形ABCD为菱形，/ABC=60°,

・•.ZDBC=30°,

过点M作MH于点8,连接交石。于O,如图，

则MH=BMxsin/MBH=力(cm),

2

V3

V—SABMN=gBN•MH=j;2(cm2),

4

设菱形的边长为acm,

BD=2BO=2BSOBC=2xax乎=V3a（cm）,

.•.点河和点N同时到达点D和点C,此时△BMN的面积达到最大值4V3,

-^-a;2=4V3,

解得2=4（负值舍去）,

.•.BC=4,

故选：C.

【总偌提升】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质,关键是根据图象得出4BMN

的面积达到最大值4班时，河，N的位置.

4.（2024秋•江阴市期末）如图，五必48。中，ZC=90°,AB=5,4。=4,。是边AC上一动点（不与

A,。两点重合），沿A-。的路径移动，过点。作ED_LAC,交48于点E,将△4DE沿直线折叠

得至（J4ADE.若设AD=孙△4L®与△ABC重叠部分的面积为y,则下列图象能大致反映g与力之

间函数关系的是（）

Bz

【思玮•引勒□分04/&2和2〈力44两种情况，利用三角形相似分别求出OS和CF,然后由三角形和梯形

的面积公式分别求出g与力的函数解析式即可.

【完整解答】解:①当04力42时，MADE与△48。重叠部分的面积为4ADE的面积，

在Rt/XABC中，/。=90°,46=5,AC=4f

・・.BC=y/AB2-AC2=V52-42=3,

・・・/.EDA=ABCA,ZA=ZA,

MBCA〜/\EDA,

.BC=AC

9,^E~~AD9

即旦二2，

DE力，

：.DE=-^-x,

/XADE沿直线Z）E折叠得到AA'DE,

A'D^AD^x,

2

y=SAADE=春4。・£K=9如系2=^-x,

••旦〉0

,8，

抛物线开口向上，当力＞0时，g随力的增大而增大，

/.当力=2时，g有最大值，最大值为y,

故排除A,C;

②当2V/W4时，4位置如图所示：

此时4E与相交于尸，

VArD=AD=x,CD=AC-AD=4：-x,

・・.ArC=AfD-CD=2T-4,

•・・/4=ZA,/LA!CF=AACB=90°,

・・・丛A'CF〜丛ACB,

.A!C=CF

「AC~CB9

红二1二查

43，

:,CF=3:6,

:・n=S梯形FCDE=f（CF+DE）・CD=gx（3%6+■力）义（4—/）=一■^-X2+6T—6=一■^（力一号）+2,

Q

——V0,2V/44,

o

/.当力=~|~时，g有最大值，最大值为2,

o

综上所述，图象过（2,?）和2）两点，且两端图象先开口向上，再开口向下，

ZO

故选：D.

【总终提升】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及对折变换，二次函数

的图象和性质，关键是确定出"与7的函数解析式.

5.（2024秋・崇川区月考）如图1,在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点。，乙4CB=60°,AM=AN

=^-AB=1,点、P沿BD从点B匀速运动到点D.设点P的运动时间为①，PM+PN="图2是点

O

P运动时“随力变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（）

A.2V3B.-y-C.V7D.3

［思庵引南□作点N关于BD的对称点M,连接W交于点P,连接NN\PN「MN,由爰形的性质可

知，点N与点N'关于BD对称，根据两点之间线段最短可知，当初、P、N，三点共线时，PM+PN的最小值

为W,在用/出。。中，解直角三角形可得咨，OC=告，于是80=3庖47=3,易证AAMV

〜AABD,△£»ACV,〜△A4C,由相似三角形的性质分别求出MN和NN',易知MN//BD，则AMNN，为直

角三角形.再根据勾股定理即可求解.

【完筌解答J解:如图，作点N关于的对称点N1连接W交BD于点P,连接MV'PAT,MN,

■：四边形ABCD为菱形，

.•.点M在CD上，AC±BD,

.♦.BD垂直平分NN，，

：.PN=PN',NN'//AC,

PM+PN=PM+PN',

：.当_M、P、N'三点共线时，PM+PN的最小值为W

在Rt^BCO中，BO=BC-sinAOCB=3x乎=-,OC=BC-cosAOCB=3Xy=-1,

:.BD=2BO=3V3,AC=2OC=3,

AM=AN=^-AB=1,

o

.AM_AN_1DN=2

"ABAD-J'AD-3",

,:NMAN=ABAD,MN//BD,

：.AAMN〜&ABD,

.AM=MN=1_即MLJ

"ABBD3；13V33，

MN=V3,

■：NN'//AC,

:.4DNN'〜4DAC,

，PN=NNL=^即驾=2

"ADAC3'33'

/.NN'=2,

•：MN//BD,NN'±BD,

：.MN±NN',即ZMNN'=90°,

在Rt^MNN'中,MN'=y/MN^+NN'2=V（3）2+22=V7,

.♦.「河+印的最小值为"，即&=。.

故选：C.

【总结梃升】本题主要考查动点函数问题、两点之间线段最短、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判

定与性质、勾股定理，正确理解题意，学会利用模型思想解决问题是解题关键.

6.（2025春・南通月考）如图1,等腰RtABC中，NC=90°,AB=4,点。从点B出发，沿C-A方向

运动，DE_LAB于前E,ADEB的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线

的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（）

A.函数图象上点的横坐标表示Z汨的长

B.当点。为的中点时，点E为线段A8的三等分点

C.两段抛物线的开口大小不一样

D.图象上点的横坐标为3时，纵坐标为目

【思鬲■引用□当点。运动到点。处时，c=2,故判断4错误；求出BE=1,判断B错误；求出当点。在BC上

和点。在上时的函数关系式，比较a值的绝对值，判断。错误;把2=3,代入关系式求出y值，确定。

正确.

【完祭解答】解:A.：AC=BC,/C=90°,AB=4,，当点。运动到点。处时，c=2,.♦.函数

图象上点的横坐标表示不是DB的长，故A错误；

B.当点。为的中点时，BD=^-BC=V2,'：ZB=45°,，BE=1,.•.点E为不是线段的三等分

点，故B错误;

C.由题意得.•.0<a:W2时，点。在BC上，y=跳>。0=5；1；2,当2<①<4时，点。在AC上,

2

AE=DE=(4-x),：.y=^-BE-DE=-^-x+2x,，两段抛物线的开口大小一样，故。错

、口

沃；

D.把力=3,代入g=―1■力2+2名,得0二,，故。正确.

故选：D.

【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本

题的解题关键.

类型二动点问题的函数关系

7.（2025春・南通月考）如图1,正方形ABCD的边长为22,对角线AC,BD交于点O,点P从点A出

发,沿线段AO-OB运动，点P到达点B时停止运动.若点P运动的路程为T,/\DPC的面积为y,

探究,与2的函数关系.

⑴力与y的两组对应值如表，则m=4；

X0m(mW0)

ynn

（2）当点P在线段AO上运动时，夕关于t的函数解析式为y=-x+4（0&cW2）.当点P在线段OB

上运动时，?/关于力的函数解析式为夕=。，此时，自变量的取值范围是2W/44；

（3）①在图2中画出函数图象；•M

②若直线U=+b与此函数图象只有一个公共点，则b的取值范围是b=l或2V6W4

【思路引用□（1）易得当点P在点A处和点B处时，△DPC的面积即y的值是相等的，那么，=nz时，点P

移动到点B处，根据正方形的性质及边长可判断出04,OB的长度，相加即为恒的值；

（2）画出当点P在线段05上运动时的图形，作PE_LCD于点E,根据正方形的性质可得PE的长，进而可

得g与力的关系式及力的取值范围；

（3）①分别求出当力=0时，力=2时，力=4时相应的g的值.进而描点，连线即可；

②分别求出直线y=~^-x+b经过函数图象三个关键点时b的值，进而结合图象可得直线g力+6与函

数图象只有一个公共点时b的取值范围.

【完筌解答】解：（1）由题意可得：当点P在点人处和点石处时，4DPC的面积即g的值是相等的.

二/二M时，点P移动到点_B处.

・・・四边形ABCD是正方形，

・•.AC.LBD,OA=OB.

：.ZAOB=90°.

•・,正方形ABCD的边长为2口，

:.OA=OB=2.

/.m=OA+OB=4.

故答案为：4;

（2）当点P在线段08上运动时，即2&力44,如图.此